4.4. Rational Form 93
Proof. 依µT(x) 的定義, 對任意 v∈ V, 皆有µT(T )(v) = OV∈ W, 得µT(T )(v) = OV = OV /W. 故由 Lemma 4.4.7 知
µT(T )(v) =µT(T )(v) =µT(T )(v) = OV /W. 利用 Lemma 3.3.5 (套用在 T ) 得 µT(x)|µT(x).
同理, 因µv(T )(v) = OV, 我們得µv(T )(v) = OV /W, 故由 Lemma 4.4.3 (套用在 v 以及 T )
得 µv(x)|µv(x).
事實上在某些情況之下有可能µv(x) =µv(x), 例如以下的情況.
Lemma 4.4.9. 令 T : V → V 為一個 F-linear operator. 給定 v ∈ V, 考慮 T : V/Cv→ V/Cv
為 linear operator induced by T on V /Cv. 若 w∈ V 滿足 µw(x)|µv(x), 則存在 u∈ V 滿足 u = w∈ V/Cv 且 µu(x) =µu(x) =µw(x).
Proof. 因 µw(T )(w) = OV /Cv, 利用 Lemma 4.4.7 得 µw(T )(w) = OV, 亦即 µw(T )(w)∈ Cv. 換言之, 存在 f (x)∈ F[x] 使得
µw(T )(w) = f (T )(v). (4.4) 依 µw(x)|µv(x) 之假設, 以及由 Corollary 4.4.8 知 µw(x)|µw(x) 可得µw(x)|µv(x), 亦即存 在 h(x)∈ F[x] 使得 µv(x) = h(x)µw(x). 故由等式 (4.4) 得
µv(T )(w) = h(T )◦µw(T )(w) = h(T )◦ f (T)(v). (4.5) 然而 µw(x)|µv(x), 故由 Lemma 4.4.3 與等式 (4.5) 知 OV =µv(T )(w) = h(T )◦ f (T)(v). 再 次利用 Lemma 4.4.3 得 µv(x)| h(x) f (x), 亦即 h(x)µw(x)| h(x) f (x). 由此知 µw(x)| f (x), 亦 即存在 g(x)∈ F[x] 使得
f (x) =µw(x)g(x). (4.6)
現令 u = w− g(T)(v). 因 g(T)(v) ∈ Cv, 我們有 u = w∈ V/Cv. 利用 µw(T ) 為 linear operator 得
µw(T )(u) =µw(T )(w− g(T)(v)) =µw(T )(w)−µw(T )◦ g(T)(v), 所以由等式 (4.6) 以及等式 (4.4) 得
µw(T )(u) = OV.
再次利用 Lemma 4.4.3 得 µu(x)|µw(x). 然而 u = w, 故µw(x) =µu(x), 即 µu(x)|µu(x). 再 加上 Lemma 4.4.8 告訴我們 µu(x)|µu(x), 得證µu(x) =µu(x). 一般來說若 deg(µw(x)) = d, 雖然 {w,T(w),...,T◦d−1(w)} 會是 Cw 的一組 basis, 不過 {w,T(w),...,T◦d−1(w)} 就未必會是 Cw的一組 basis. 不過在 Lemma 4.4.9 的假設條件下我 們可找到 u 滿足 u = w 且{u,T(u),...,T◦d−1(u)} 和 {u,T(u),...,T◦d−1(u)} 分別會是 Cu與 Cu= Cw的一組 basis.
現在我們可以利用 primary decomposition theorem 證得以下重要的定理.
94
Theorem 4.4.10 (Cyclic Decomposition Theorem). 假設 V 為 finite dimensional F-space 且 T : V→ V 為 linear operator. 則 V 可以寫成一些 T-cyclic subspaces 的 direct sum. 事實 上, 若 µT(x) = p1(x)m1··· pk(x)mk, 其中 pi(x)∈ F[x] 為相異的 monic irreducible polynomial, 則 V = W1⊕ ··· ⊕Wk, 其中
Wi= Ker(pi(T )◦mi) = Cvi,1⊕ ··· ⊕Cvi,ni,
而且每個 vi, j 的 T -annihilator 為 pi(x)mi, j 滿足 mi= mi,1≥ mi,2≥ ··· ≥ mi,ni> 0.
Proof. 由 primary decomposition theorem, 我們知道 T|Wi: Wi→ Wi 的 minimal polynomial 為 pi(x)mi. 若能證得每一個 Wi 可以寫成定理所述的 T -cyclic subspaces 的 direct sum, 則由 Corollary 3.4.7 可得 V 可以寫成一些 T -cyclic subspaces 的 direct sum. 所以我們 僅要證明當 T : V → V 是 F-linear operator 且 χT(x) = p(x)m 其中 p(x)∈ F[x] 是 monic irreducible polynomial 的情形下, 存在 v1, . . . vn∈ V 使得 V = Cv1⊕···⊕Cvn 且對於 1≤ i ≤ n, µvi(x) = p(x)mi 滿足 m = m1≥ m2≥ ··· ≥ mn.
我們利用對 dim(V ) 作數學歸納法證明. 當 dim(V ) = 1 時, 很自然對於任意 v̸= OV
in V , 我們有 V = Cv 且 µT(x) =µv(x), 所以定理成立. 現假設此定理在維度小於 dim(V ) 的情形都成立, 此時依假設 µT(x) = p(x)m, 故存在 v1∈ V 滿足 p(T)◦m−1(v1)̸= OV. 因 µv1(x)|µT(x) = p(x)m以及 p(x) 為 irreducible, 所以存在 m1≤ m 使得µv1(x) = p(x)m1. 然而 若 m1≤ m − 1, 由 µv1(x)| p(x)m−1, 得 p(T )◦m−1(v1) = OV. 此和當初 v1 的選取相矛盾, 所以 m1> m− 1, 因此得 m1= m.
現考慮 T : W /Cv1 → V/Cv1 induced by T on V /Cv1. 注意此時 µT(x)|µT(x) (Corollary 4.4.8), 故知 µT(x) = p(x)m′, 其中 m′≤ m. 因此由 dim(V/Cv1) < dim(V ), 我們可以套用數學 歸納法之假設, 即存在 w2, . . . , wn∈ V 滿足
V /Cv1 = Cw2⊕ ··· ⊕Cwn,
且對於 2≤ i ≤ n, µwi(x) = p(x)mi 滿足 m≥ m′= m2≥ ··· ≥ mn. 又由於 mi ≤ m = m1, 即 µwi(x)|µv1(x), 所以利用 Lemma 4.4.9 知, 存在 vi∈ V 使得 vi= wi且µvi(x) =µvi(x) = p(x)mi.
現若 deg(p(x)) = d, 由 direct sum 的性質 (Proposition 3.4.6) 以及 Theorem 4.4.4 知 {v2, T (v2), . . . , T◦dm2−1(v2), . . . , vn, T (vn), . . . , T◦dmn−1(vn)}
為 V /Cv1 = Cv2⊕ ··· ⊕ Cvn 的 一 組 basis. 現 因 T◦ j(vi) = T◦ j(vi) (Lemma 4.4.7), 以 及 {v1, T (v1), . . . , T◦dm1−1(v1)} 為 Cv1 的一組 basis, 利用 Proposition 1.6.2 的證明所用的方 法我們得
{v1, T (v1), . . . , T◦dm1−1(v1), v2, T (v2), . . . , T◦dm2−1(v2), . . . , vn, T (vn), . . . , T◦dmn−1(vn)}
為 V 的一組 basis. 因為對所有 1≤ i ≤ n, {vi, T (vi), . . . , T◦dmi−1(vi)} 為 Cvi 的一組 basis, 故 由 direct sum 的性質 (Proposition 3.4.6) 得證
V = Cv1⊕Cv2⊕ ··· ⊕Cvn.
4.4. Rational Form 95
Question 4.20. 在 Theorem 4.4.10 的證明中, 為何要將 w2, . . . , wn 改成 v2, . . . , vn?
Question 4.21. 可以用 cyclic decomposition theorem 說明若 µT(x) = (x−λ1)···(x −λk), 其中λi̸=λj for i̸= j, 則 T 是 diagonalizable 嗎?
利用 primary decomposition theorem, 我們可以找到 V 的 ordered basis β, 使得 [T]β 為以下的 block diagonal matrix
A1 . ..
O O
Ak
,
其中每個 Ai 的 minimal polynomial 為 pi(x)mi. 而 cyclic decomposition theorem 告訴我們, β 可以由一些 cyclic vectors 所形成的 cyclic bases 所組成, 此時每一個 Ai 可寫成
Ci,1 . ..
O O
Ci,ni
,
其中每個 Ci, j 是 the companion matrix of pi(x)mi, j. 這也告訴我們任何的方陣都會 similar to 這樣形式的方陣, 我們稱此為 rational form.
Example 4.4.11. 考慮 overR, 我們要求出 A 的 rational form, 其中
A =
2 −5 −1 6 1
1 −2 0 3 1 0 0 2 −1 0
0 0 1 0 0
0 0 0 0 1
.
首先算出 χA(x) = (x2+ 1)(x− 1)3, 再求得µA(x) = (x2+ 1)(x− 1)2.
首先考慮 primary decomposition, 求出 A2+ I5與 (A−I5)2的 null space W1,W2. 得 W1,W2
之一組 basis 分別為{(1,0,0,0,0)t, (0, 1, 0, 0, 0)t}, {(−1,0,0,0,1)t, (1, 0, 1, 0, 0)t, (−1,1,0,1,0)t}.
由 dim(W1) = 2 可 知 W1 本 身 是 一 個 cyclic space. 事 實 上 取 w1 = (1, 0, 0, 0, 0)t, 則 Aw1= (2, 1, 0, 0, 0)t (注意 A2w1=−w1). 即 W1= Cw1.
至於要將 W2分解成 cyclic subspaces 的 direct sum, 我們需先選出 w2 滿足 (A−I5)w2̸=
(0, 0, 0, 0, 0)t. 事實上若選 w2= (1, 0, 1, 0, 0)t, 則 Aw2= (1, 1, 2, 1, 0)t (注意 A2w2= 2Aw2−w2), 所以 dim(Cw2) = 2. 由於 dim(W2) = 3, 我們知道 W2 應為 Cw2 和另一個 dimension 為 1 的 cyclic subspace 的 direct sum. 此 cyclic subspace 應為 eigenvalue 為 1 的 eigenvector w3
所形成, 而且 w3̸∈ Cw2. 我們選取 w3= (−1,0,0,0,1)t, 所以若令
P =
1 2 1 1 −1 0 1 0 1 0 0 0 1 2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1
, 則 P−1AP =
0 −1 0 0 0
1 0 0 0 0
0 0 0 −1 0
0 0 1 2 0
0 0 0 0 1
96
為 A 的 rational form.
事實上在 Example 4.4.11 中, 我們可以很快的判斷出 A 的 rational form. 因為χA(x) = (x2+ 1)(x−1)3所以 A2+ I5的 null space 僅由一個 cyclic subspace 所組成, 且其 cyclic vector 的 annihilator 為 x2+ 1. 而 µA(x) = (x2+ 1)(x− 1)2 所以由 Theorem 4.4.10 知, (A− I5)2 的 null space 中一定有一個 cyclic subspace 其 cyclic vector 的 annihilator 為 (x− 1)2. 也因而 我們知僅剩的 cyclic subspace 其 cyclic vector 的 annihilator 為 x− 1. 所以 A 的 rational form 為有三個 blocks 的 diagonal matrix 其中每個 block 分別為 x2+ 1, x2−2x+1 以及 x−1 的 companion matrix. 一般來說一個 matrix 的 rational form 並不能僅由其 characteristic polynomial 和 minimal polynomial 就能確定. 不過我們可以列出其所有可能的情形. 另一 方面 rational form 是一個 canonical form, 也就是說兩個矩陣是 similar 的若且唯若它們可 以化成同樣的 rational form. 我們會在下一節討論完 classical form 之後再探討這些課題.
4.5. Classical Form
當一個 linear operator 的 minimal polynomial 可以完全分解成一次多項式的乘積時, 除 非它沒有重根 (即 diagonalizable), 此 linear operator 的 rational form 並不是 Jordan form.
此節中我們將說明如何另外選取 cyclic subspace 的一組 basis, 將其化成所謂的 classical form. 我們很容易看出 classical form 就是 Jordan form 的推廣.
當 T : V→ V 是 F-linear, 給定 v ∈ V, 考慮 T-cyclic subspace Cv. 如果 v 的 T -annihilator 可以寫成µv(x) = p(x)m(這裡 p(x)∈ F[x] 不需假設為 irreducible), 回顧一下若 deg(p(x)) = d, 則 {v,T(v),T◦2(v), . . . , T◦md−1(v)} 為 Cv 的一組 basis, 稱為 cyclic basis. 我們可以考慮以下 一組新的 basis.
Lemma 4.5.1. 假設 T : V → V 是 F-linear, 給定 v ∈ V. 若 µv(x) = p(x)m, 其中 p(x)∈ F[x]
且 deg(p(x)) = d, 則
v T (v) . . . T◦d−1(v)
p(T )(v) p(T )(T (v)) . . . p(T )(T◦d−1(v))
... ... ...
pm−1(T )(v) pm−1(T )(T (v)) . . . pm−1(T )(T◦d−1(v))
(4.7)
是 Cv 的一組 basis.
Proof. 由 µv(x) = p(x)m 知 dim(Cv) = dm. 因為 (4.7) 中共有 dm 個元素, 若能證明它們為 linearly independent over F, 則它們便是 Cv 的一組 basis.
對於 0≤ i ≤ m − 1, 0 ≤ j ≤ d − 1, 若令 hi, j(x) = pi(x)xj, 則 pi(T )(T◦ j)(v) = hi, j(T )(v). 因 為 deg(hi, j(x)) = di + j, 我們知若 (i, j)̸= (i′, j′), 則 deg(hi, j(x))̸= deg(hi′, j′(x)). 換言之, 若 c0,0, . . . , ci, j, . . . , cm−1,d−1∈ F 不全為 0, 則 ∑i, jci, jhi, j(x) 是 F[x] 中一個 nonzero polynomial.
現若存在一組不全為 0 的{ci, j} 使得 ∑i, jci, jpi(T )(T◦ j(v)) = OV, 表示 h(x) =∑i, jci, jhi, j(x) 這一個 nonzero polynomial 會滿足 h(T )(v) = OV. 很顯然 deg(h(x)) < dm = deg(µv(x)), 這 和 annihilator 的定義相矛盾, 故得證 (4.7) 中的元素為 linearly independent.
