Direct Sum 當 V 是一個 vector space 且 W1,W2 為 V 的 subspaces, 我們曾介紹過 W1+ W2 的概念

6.5. Direct Sum

當 V 是一個 vector space 且 W₁,W₂ 為 V 的 subspaces, 我們曾介紹過 W₁+ W₂ 的概念. 事 實上 W₁+ W2 是由 W₁,W2 中的向量所展成的向量空間. 換言之, W₁ 的 basis 和 W₂ 的 basis 聯合起來可以展成 W₁+ W₂. 不過它們聯合起來未必會是 linearly independent. 所以它們不 一定會是 W₁+W2 的 basis. 特別地當這兩組 basis 一起會是 linearly independent, 我們就說 W₁+W₂ 是 W₁,W₂ 的 direct sum 且用 W₁⊕W2 表示.

要檢查 V 的 subspace W 是否為 W₁,W₂ 的 direct sum W₁⊕W2, 當然首先要符合 W = W₁+ W₂. 這個部分關係到 W 和 W₁,W₂ 也就是說我們要檢查 W 中的元素是否都可寫成 w₁+ w2, 其中 w1⊆ W1, w2⊆ W2 (這表示 W⊆ W1+ W2). 另一方面, 要確認對任意 w1∈ W1, w₂∈ W2 皆會滿足 w₁+ w₂∈ W (這表示 W ⊇ W1+ W₂). 接著要檢查的部分就和 W 無關 了, 而是要確認 W₁,W₂ 元素間有沒有線性關係. 簡單來說就是要檢查 W₁∩W2={0}. 這 是因為如果 (w₁, w₂, . . . , w_r) 為 W₁ 的一組 ordered basis, (w^′₁. . . . , w^′_s) 為 W₂ 的一組 ordered basis. 若 (w₁, . . . , w_r, w^′₁, . . . , w^′_s) 為 linearly dependent, 這表示存在 c₁, . . . , c_r, d₁, . . . , d_s∈ F 不全為 0 使得 c1w₁+··· + crw_r+ d1w^′₁+···dsw^′_s= 0, 亦 即 c1w₁+··· + crw_r=−(d1w^′₁+

···dsw^′_s)∈ W1∩W2. 因此若 W₁∩W2={0}, 可得 c1w₁+··· + crw_r= d₁w^′₁+···dsw^′_s= 0. 再 加上 {w1, . . . , wr} 為 linearly independent 以及 {w^′₁, . . . , w^′_s} 亦為 linearly independent, 可 得 c₁=··· = cr= d₁=··· = ds= 0. 此與當初假設 c₁, . . . , c_r, d₁, . . . , d_s 不全為 0 相矛盾, 故得 (w₁, . . . , w_r, w^′₁, . . . , w^′_s) 為 linearly independent. 反過來, 當 (w₁, . . . , w_r, w^′₁, . . . , w^′_s) 為 linearly independent, 現若 W1∩W2̸= {0}, 表示存在 v ∈ W1∩W2 且 v̸= 0. 然而因 v ∈ W1 且 {w1, . . . , w_r} 為 W1 的一組 basis, 故存在 c₁, . . . , c_r∈ F 使得 v = c1w₁+···+crw_r. 又因 v̸= 0, 所以 c₁, . . . , cr不全為 0. 同理可得存在 d1, . . . , ds∈ F 不全為 0 使得 v = d1w^′₁+···+dsw^′_s. 然 而 = c₁w₁+··· + crw_r= d₁w^′₁+··· + dsw^′_s 與 (w₁, . . . , w_r, w^′₁, . . . , w^′_s) 為 linearly independent 相矛盾故得證 W₁∩W2̸= {0}.

我們可以將兩個 subspaces 的 direct sum 推廣到更多個 subspaces 的 direct sum. 例如 W1, . . . ,Wk 為 V 的 subspaces, 我們可以考慮

W1+··· +Wk={w1+··· + wk| wi∈ Wi,∀i = 1,...,k}

這一個 subspace (稱為 W₁, . . . ,W_k 的 sum). 和前面一樣的, 假設對所有的 i = 1, . . . , k, 我們 有 βi 為 W_i 的 basis. 我們希望將這些β1, . . . ,βk 放在一起就會是 W₁+··· +Wk 的 basis. 當 然和兩個 subspace 的情況一樣, 這一般不一定會成立. 問題發生在它們會不會是 linearly independent. 如果它們會是 linearly independent, 我們就稱 W1+··· +Wk 是 W₁, . . . ,W_k 的 direct sum, 用 W1⊕ ··· ⊕Wk 來表示. 因為 β1, . . . ,βk 放在一起其向量的個數會是每個βi 中 向量個數 (即 dim(W_i))加在一起 (即 dim(W₁) +···+dim(Wk)). 所以若β1, . . . ,βk 放在一起會 是 W₁+··· +Wk 的 basis, 則可得

dim(W1+··· +Wk) = dim(W₁) +··· + dim(Wk).

這裡就用這個等式作為 direct sum 的定義.

Definition 6.5.1. 假設 V 為 vector space 且 W₁, . . . ,W_k 為 V 的 subspaces. 若 dim(W₁+··· +Wk) = dim(W₁) +··· + dim(Wk),

則稱 W₁+··· +Wk 是 W₁, . . . ,W_k 的 direct sum, 用 W₁⊕ ··· ⊕Wk 來表示.

要檢查兩個以上的 subspaces 是否可形成 direct sum 並不像檢查兩個 subspaces 的情 況只要檢查它們的交集即可. 例如檢查 subspaces W₁,W₂,W₃ 是否可形成 direct sum 不能 僅檢查是否 W₁∩W2∩W3={0}. 因為由 W1∩W2∩W3={0} 未必可得 W1∩W2={0}, 也 就是說 W₁,W₂ 就可能無法形成 direct sum 就更遑論 W₁,W₂,W₃ 了. 或許大家認為檢查 W1∩W2={0}, W1∩W3={0} 和 W3∩W2={0} 就可以了, 其實不然. 例如 V = R² 的情 形, 若令 e₁= (1, 0), e2= (0, 1), 考慮 W1= Span(e1), W2= Span(e2) 以及 W₂= Span(e1+ e2).

很容易檢查當 i̸= j 時 W1∩ Wj ={0}. 但這僅表示 Wi,W_j 可形成 direct sum 即 R²= Wi+ Wj = Wi⊕Wj, 但無法表示 W1,W2,W3 可形成 direct sum. 事實上 R²= W1+ W2+ W3

但 dim(R²) = 2̸= dim(W1) + dim(W₂) + dim(W₃) = 1 + 1 + 1 = 3. 其實在一般的情況, 若令 W = W1+W₂, 則由 W1∩W2={0} 可知 W = W1⊕W2, 但若要達到 W1+W₂+W₃= W⊕W3, 則 需要檢查 W∩W3= (W₁+W₂)∩W3={0}, 這和單純檢查 W1∩W3={0} 和 W2∩W3={0} (即 (W₁∪W2)∩W3={0}) 是不一樣的. 由此可知檢查更多 subspaces 是否可形成 direct sum 就 更加複雜了, 底下的定理給我們一個較有效的方法處理.

Proposition 6.5.2. 假設 V 為 vector space 且 W₁, . . . ,W_k 為 V 的 subspaces. 則 W₁+··· + Wk= W1⊕ ··· ⊕Wk 若且唯若任取 W₁, . . . ,Wk 中的非零向量皆為 linearly independent.

Proof. 首先假設 W₁+··· +Wk= W₁⊕ ··· ⊕Wk. 若存在 w₁, . . . , w_k 為 linearly dependent 其 中 w_i∈ Wi 且 w_i̸= 0, ∀i ∈ {1,...,k}, 這表示由 W1, . . . ,W_k 的 basis 所組成的集合是 linearly dependent. 這和 dim(W1+···+Wk) = dim(W1) +···+dim(Wk)之假設相矛盾, 故知 w₁, . . . , w_k 為 linearly independent.

反之, 要證明 W₁+··· +Wk= W₁⊕ ··· ⊕Wk, 我們僅要證明當 w_i,1, . . . , w_i,mi 為 W_i 的一 組 basis. 將 W₁, . . . ,W_k 的這 k 組 basis 收集在一起後它們 w_1,1, . . . , w_1,m1, . . . , w_k,1, . . . , w_k,mk 仍是 linearly independent. 照慣例, 我們先假設 w_1,1, . . . , w_1,m1, . . . , w_k,1, . . . , w_k,mk 是 linearly dependent. 亦即存在不全為 0 的 c_1,1, . . . , c_1,m1, . . . , c_k,1, . . . , c_k,mk∈ F 使得

c_1,1w_1,1+··· + c1,m1w_1,m1+··· + ck,1w_k,1+··· + ck,mkw_k,mk= 0.

此時對任意 i∈ {1,...,k}, 我們令 wi = c_i,1w_i,1+··· + ci,miw_i,mi. 因此由於 w_i,1, . . . , w_i,mi 為 linearly independent, 如果 ci,1, . . . , ci,mi 不全為 0, 可得 wi ̸= 0. 但由於 wi∈ Wi. 這表示 W₁, . . . ,W_i 存在一些 w_i∈ Wi 不為 0 但會是 linearly dependent. 此和我們的假設不符, 故得

證本定理. 

在 Proposition 6.4.1 我們知道對於一個矩陣 (或 linear operator) 其 eigenvalue 相異 的 eigenspaces 之 間 任 選 非 零 向 量 (即 eigenvector) 都 會 是 linearly independent, 因 此 由 Proposition 6.5.2 我們知 eigenvalue 相異的 eigenspaces 可形成 direct sum. 現假設 λ1, . . . ,λk ∈ F 為 A ∈ Mn×n 所有的 eigenvalues, 則我們可以考慮這些 eigenvalue 所對應的

eigenspace 的 direct sum E_A(λ1)⊕ ··· ⊕ EA(λk). 因為任意 A 的 eigenvector 都會在某個 EA(λi) 中, 所以 A 的所有 eigenvectors 所展成的向量空間會包含在 E_A(λ1)⊕ ··· ⊕ EA(λk). 另 一方面由於 E_A(λ1)⊕ ··· ⊕ EA(λk) 中的非零向量都是 A 的一些 eigenvectors 之和, 所以我們 也知 E_A(λ1)⊕ ··· ⊕ EA(λk) 會包含於 A 的所有 eigenvectors 所展成的向量空間. 因此我們有 以下的結果.

Corollary 6.5.3. 假設 A∈ Mn×n 且 λ1, . . . ,λk ∈ F 為 A 所有的 eigenvalues. 則 A 的所有 eigenvectors 所展成的向量空間等於 EA(λ1)⊕ ··· ⊕ EA(λk). 特別的, 若 A 為 diagonalizable, 則 Fⁿ= E_A(λ1)⊕ ··· ⊕ EA(λk).

Proof. 我們僅剩證明 A 為 diagonalizable 的情況. 此時依定義 Fⁿ 中可找到一組由 A 的 eigenvectors 所形成的 basis. 換言之 Fⁿ 中的非零向量都可寫成 A 的一些 eigenvectors 之 和, 亦即 Fⁿ 就是 A 的所有 eigenvectors 所展成的向量空間. 故得證 Fⁿ= EA(λ1)⊕ ··· ⊕

E_A(λk). 

Question 6.7. 設 V 為 vector space overF 且 T : V → V 為 diagonalizable linear operator.

令 λ1, . . . ,λk∈ F 為 T 所有的 eigenvalues 且 ET(λi) ={v ∈ V | T(v) =λiv} 為 λi 所對應的 eigenspace. 試證明 V = E_T(λ1)⊕ ··· ⊕ ET(λk).

當 v₁, . . . , v_n 是 V 的一組 basis 時, 由 v₁, . . . , v_n 可展成 V , 知 V 中的元素都可以寫成 v₁, . . . , v_n 的線性組合. 又由 v₁, . . . , v_n 是 linearly independent 知 V 中的元素寫成 v₁, . . . , v_n 的線性組合的寫法是唯一的. 而當 V 可以寫成 subspaces W₁, . . . ,W_k 的 direct sum 時, 由 V = W₁+··· +Wk, 我們可得 V 中的元素都可以寫成 W₁, . . . ,W_k 中的元素之和. 而 W₁, . . . ,W_k 中的非零向量是 linearly independent 這個性質也可推導出 V 中的元素寫成 W₁, . . . ,Wk 中 的元素之和的寫法也是唯一的. 簡單來說 direct sum 的概念可以說是將 basis 的概念由 vectors 推廣到 subspace. 我們有以下之定理.

Proposition 6.5.4. 假設 V 為 vector space 且 W₁, . . . ,W_k 為 V 的 subspaces. 則 V = W₁⊕···⊕Wk 若且唯若對任意 v∈ V 皆存在唯一的 wi∈ Wi, i = 1, . . . , k 使得 v = w₁+···+wk. Proof. 首先假設 V = W₁⊕ ··· ⊕ Wk. 由此假設知 V = W₁+··· + Wk, 因此對任意 v∈ V 皆 存 在 w_i∈ Wi 使 得 v = w₁+··· + wk. 現 證 明 唯 一 性, 即 假 設 存 在 另 一 組 w^′_i ∈ Wi 使 得 v = w^′₁+··· + w^′_k 我 們 要 推 得 矛 盾. 此 時 可 得 (w_i− w^′₁) +··· + (wk− w^′_k) = 0. 然 而 w_i− w^′_i∈ Wi 且依假設存在 j∈ {1,...,k} 使得 wj− w^′_j̸= 0, 這會造成與 Proposition 6.5.2 所 述 W₁, . . . ,W_k 中的非零向量會 linearly independent 相矛盾. 因此得證唯一性.

反之, 假設對任意 v∈ V 皆存在唯一的 wi∈ Wi, i = 1, . . . , k 使得 v = w1+···+wk. 則由存 在性我們知 V = W₁+···+Wk, 故現僅要證明 W₁, . . . ,W_k可形成 direct sum. 利用 Proposition 6.5.2, 我們要證明 W1, . . . ,W_k 中的非零向量會是 linearly independent. 我們仍然用反證法, 假設存在一組 W₁, . . . ,W_k 中的非零向量是 linearly dependent. 這表示這組非零向量中存在 一個 w_j∈ Wj 會是其他 W_j 以外的向量的線性組合. 換言之 w_j 會有兩種表示法 (一種是 w_j 另一種是 W_j 以外的向量之和), 此語表法唯一之假設相違, 故得證 W₁, . . . ,Wk 可形成 direct

sum. 

當一個 linear operator T : V→ V 是 diagonalizable 時, 在 Question 6.7 我們知道 V 可 以寫成 T 的 eigenspace 的 direct sum. 因此當給定 v∈ V, 由 Proposition 6.5.4 我們可以將 v 寫成 v₁+··· + vk, 其中 vi∈ ET(λi). 此時

T (v) = T (v₁+··· + vk) = T (v₁) +··· + T(vk) =λ1v₁+··· +λkv_k.

由於 T : V → V 是 linear operator, 其定義域等於對應域, 因此我們可以考慮 T 的合成. 通 常我們會用 T² 來表示 T 和 T 的合成函數, 即 T²= T◦ T. 也就是說 T²(v) = T (T (v)). 因此 套用上面的式子, 再利用 T 是 linear 的性質, 可得 T²(v) =λ1²v₁+··· +λ_k²v_k. 同樣的, 對於 m∈ N, 我們令 T^m 表示由 m 個 T 合成起來的 linear operator, 所以我們可得

T^m(v) =λ1^mv₁+··· +λk^mv_k,∀m ∈ N. (6.6) 回顧過去, 我們提及當 T₁, T₂ 是從 V 到 W 的 linear transformation, 其中 V,W 為 over F 的 vector spaces, 則我們可定義 T1, T₂ 的線性組合使其仍為 V 到 W 的 linear transformation.

也就是說, 若 c₁, c2∈ F, 對於任意 v ∈ V, 我們定義 (c1T1+ c2T2)(v) = c1T1(v) + c2T2(v). 當 T : V → V 是 linear operator, 我們知 T², T³, . . . , T^m 以及 id_V 皆為定義在 V 上的 linear operators. 所以我們也可以考慮它們的線性組合, 亦即給定 cm, cm−1, . . . , c1, c0∈ F, 我們考 慮 c_mT^m+ c_m−1T^m−1+ c₁T + c₀id_V 這個 linear operator. 由於這個符號有點複雜, 我們一般 會先寫下一個係數在 F 的多項式 f (x) = cmx^m+ c_m−1x^m−1+··· + c1x + c0, 然後將上面提到的 linear operator 寫成

f (T ) = c_mT^m+ c_m−1T^m−1+··· + c1T + c₀id_v.

若 v = v₁+···+vk, 其中 vi∈ ET(λi) (即 T (v_i) =λiv_i), 則 f (T )(v) = cmT^m(v) +···+c1T (v) + c₀id_V(v). 利用式子 6.6 以及 c₀id_V(v) = c₀v = c₀(v₁+··· + vk),將每個 v_i 的係數合併可得

f (T )v = (cmλ1^m+··· + c1λ1+ c0)v1+··· + (cmλk^m+··· + c1λk+ c0)vk= f (λ1)v1+··· + f (λk)vk. 這個結果在 f (x) 是 T 的 characteristic polynomial 時特別有趣. 我們有以下的結果.

Proposition 6.5.5. 假設 V 為 vector space 且 T : V → V 為 diagonalizable linear operator.

考慮 T 的 characteristic polynomial p_T(x), 我們有 p_T(T ) : V→ V 為 zero operator, 亦即對 任意 v∈ V, pT(T )(v) = 0.

Proof. 因為 T : V→ V 為 diagonalizable, 假設 λ1, . . . ,λk∈ F 為 T 的所有 eigenvalue, 對任 意 v∈ V, 我們知存在 vi∈ ET(λi) 使得 v = v₁+··· + vk. 由前面所提結果我們知 p_T(T )(v) = pT(λ1)v1+··· + pT(λk)vk. 然而每個 T 的 eigenvalue 都會是 T 的 characteristic polynomial p_T(x) 的一個根, 因此 p_T(λi) = 0, ∀i = 1,...,k. 得證 pT(T )(v) = 0v₁+··· + 0vk= 0. 因為 pT(T ) 這個 linear operator 將所有 v∈ V 皆映射到 0, 故其為 zero operator.  雖然 Proposition 6.5.5 我們假設 T 是 diagonalizable linear operator, 事實上它對一般 的 linear operator 也會成立, 這就是所謂的 Cayley-Hamilton Theorem. 我們留待下一節再 探討這更一般的情形. 目前我們先將剛才探討 diagonalizable linear operator 的性質轉換成 diagonalizable matrix 的情況討論.

假設 A∈ Mn×n(F) 為 diagonalizable, 我們知存在 invertible matrix Q 使得 Q⁻¹AQ 為 diagonal matrix D. 換言之, 我們可以將 A 寫成 A = QDQ⁻¹. 也因此我們可得

A²= (QDQ⁻¹)(QDQ⁻¹) = QD²Q⁻¹.

同理對任意 m∈ N, 我們有 A^m= QD^mQ⁻¹. 寫成這樣有什麼好處呢? 因為 D 為對角矩陣





λ1 0 . ..

0 λn



, 我們很可以容易算出 D^m, 即





λ₁^m 0 . ..

0 λn^m



. 因此只要知道 Q 和 Q⁻1,

我們就可以很輕易算出 A^m (即 QD^mQ⁻¹), 而不必真正將 A 乘到 m 次方了.

Example 6.5.6. 考慮實矩陣 B =



 −1 4 2

−1 3 1

−1 2 2



. 在 Example 6.4.4 我們算出 Q⁻¹BQ = D,

其中 Q =



 2 1 2 1 0 1 0 1 1



 以及 D =



 1 0 0 0 1 0 0 0 2



. 由於 Q⁻¹=



 1 −1 −1

1 −2 0

−1 2 1



, 我們得

B⁵= QD⁵Q⁻¹=



 2 1 2 1 0 1 0 1 1







 1 0 0 0 1 0 0 0 32







 1 −1 −1 1 −2 0

−1 2 1



 =



 −61 124 62

−31 63 31

−31 62 32



.

對於 A∈ Mn×n(F), 給定一係數在 F 的多項式 f (x) = cmx^m+ c_m−1x^m−1+··· + c1x + c₀, 我 們可定義 f (A) = c_mA^m+ c_m−1A^m−1+··· + c1A + c₀I_n. 也就是在 c_jx^j 處用 c_jA^j 取代, 不過注 意常數項 c₀ 需用 c₀In 取代. 如此一來 f (A) 會是一個 n× n matrix. 現若 A = QDQ⁻¹, 則依 剛才的計算我們有

f (A) = c_mQD^mQ⁻¹+ c_m−1QD^m−1Q⁻¹+··· + c1QDQ⁻¹+ c₀I_n. 在利用矩陣加法與乘法的分配律可得

f (A) = Q(cmD^m+ c_m−1D^m−1+··· + c1D + c0In)Q⁻¹= Q f (D)Q⁻¹.

然而 D =





λ1 0 . ..

0 λn



, 為在對角線 (i,i)-th entry 為 λi 的對角矩陣. 我們很快推得

f (D) =





f (λ1) 0 . ..

0 f (λn)



, 即在對角線 (i,i)-th entry 為 f (λⁱ) 的對角矩陣. 特別地, 當

f (x) 為 A 的 characteristic polynomial pA(x), 由於 A 的 eigenvalue λi 皆滿足 p_A(λi) = 0, 因 此我們可得 p_A(D) = 0 (即零矩陣). 因而 P_A(A) = Q(p_A(D))Q⁻¹= 0. 我們推得以下的定理.

Proposition 6.5.7. 假設 A∈ Mn×n(F) 為 diagonalizable 且 pA(x) 為 A 的 characteristic polynomial. 則 pA(A) = 0.

同樣的對於矩陣也有所謂的 Cayley-Hamilton Theorem, 亦即對任意 A∈ Mn×n(F), 若 pA(x) 為 A 的 characteristic polynomial. 則 pA(A) = 0 (不需 A 為 diagonalizable 的假設).

我們留待下一節再探討.

6.6. Cayley-Hamilton Theorm

在這節中我們將介紹 Cayley-Hamilton Theorem. 首先我們先介紹 linear operator 的 invari- ant subspace, 再利用 invariant subspace 的概念證明 linear operator 的 Cayley-Hamilton Theorem, 再因此推得矩陣的 Cayley-Hamilton Theorem.

在探討函數的理論時, 通常當定義域很大時, 我們可以透過所謂的 restriction 將函數限 制在較小的範圍來了解該函數. 給定一個函數 f : X→ Y, 以及 X 中的子集合 S, 所謂 f 的 restriction on S, 用 f|S 表示, 就是將 f 的定義域縮小到 S, 其他對於 f 的映射方式都沒有改 變. 也就是說 f|S 是一個定義域為 S 的函數 f|S: S→ Y, 且對於任意 s ∈ S, f |S(s) = f (s), 不 過若 x∈ X 但 x ̸∈ S, 則 f |S(x) 是無定義的. 現若 T : V → V 是 linear operator, W 為 V 的 subspace, 則 T|W 依然會是一個 linear transformation (只是定義域在 W 上). 不過 T|W 未 必會是一個 linear operator, 因為 T 未必會將 W 中的元素映射到 W . 如此一來, 我們就不 能將過去探討 linear operator 的理論運用在 T|W 上了. 為了達到 T|W 仍為 linear operator 的目的, 我們必須選有特殊性質的 W (即 T 會將 W 的元素映射到 W ), 這樣就能套用 linear operator 的理論了. 因此我們有以下的定義.

Definition 6.6.1. 假設 V 是一個 vector space overF 且 T : V → V 是 linear operator. 若 W 是 V 的 subspace 且滿足 T (W )⊆ W (即 T(w) ∈ W, ∀w ∈ W), 則稱 W 為一個 T-invariant subspace.

要注意當 T : V → V 是 linear operator„ Definition 6.6.1, 告訴我們 W 是 T-invariant, 表 示 T (W )⊆ W, 並不是說 T(W) = W, 也不是說 T(w) = w, ∀w ∈ W. 請大家不要誤解. 也就是 說要檢查 V 的 subspace W 是否為 T -invariant subspace, 我們僅要檢查是否所有 W 的元素 w 經由 T 的映射 (即 T (w)) 依然在 W 中. 當然了, 因 T 為 linear operator, 對任意 v∈ V, 皆有 T (v)∈ V, 故 V 本身是 T-invariant. 還有因為 T 是 linear tansformation, 我們知道 T (0) = 0, 所以 zero space{0} 也是 T-invariant. 另外若λ ∈ F 是 T 的 eigenvector, 則 λ 所 對應的 eigenspace E_T(λ) = {v ∈ V | T(v) = λv} 也會是 T-invariant subspace. 這是因為若 v∈ ET(λ), 則 T(v) = λv. 由於 ET(λ) 是 V 的 subspace 且 v ∈ ET(λ), 自然有 λv ∈ ET(λ), 亦即 T (v)∈ ET(λ). 故 ET(λ) 亦為 T-invariant. 另外我們過去熟悉的 T 的 range R(T), 也是 T -invariant, 這是因為對任意 v∈ V, 自然有 T(v) ∈ T(V) = R(T). 當然當 v ∈ R(T), 由於 T : V→ V 是 linear operator, 故 R(T) ⊆ V, 因此我們依然有 T(v) ∈ R(T). T 的 null space N(T ) 也是 T -invariant. 這是因為對任意 v∈ N(T), 由於 T(v) = 0 且 0 ∈ N(T) (別忘 了 T (0) = 0), 故 T (v)∈ N(T).

除了前面舉的幾個例子外, 還有哪些 T -invariant subspace 呢? 前面提過考慮 T -invariant subspace 就是想將 T 的定義域縮小. 所以給定 v∈ V, 我們很想知道甚麼是包含 v 最小的 T -invariant subspace. 假設 W 是包含 v 的 T -invariant subspace. 當然了, 我們有 v∈ W.

不過由 W 是 T -invariant, 我們自然要有 T (v)∈ W (因 v ∈ W). 再由 T(v) ∈ W 以及 W 是 T -invariant, 我們有 T (T (v)) = T²(v)∈ W. 如此一直下去我們知 T^m(v)∈ W, ∀m ∈ N. 由此我 們知, 若 W 是包含 v 的 T -invariant subspace, 則 W 必須包含{v,T(v),T²(v), . . . , T^m(v), . . .}

這個集合 (即 {Tⁱ(v)| i ∈ N}) 中所有的元素. 不過 W 是 subspace, 所以也必須包含所有這 些元素所 span 的 subspace, 所以我們有以下的定義.

Definition 6.6.2. 假設 T : V→ V 是 linear operator. 對任意 v ∈ V, 令 C(T, v) = Span{v,T(v),T²(v), . . . , T^m(v), . . .}.

我們稱 C(T, v) 為 the T -cyclic space generated by v.

要注意若令 S ={v,T(v),T²(v), . . . , T^m(v), . . .}, 雖然 S 中可能有無窮多個元素, 不過 依 span 的定義, C(T, v) = Span(S) 中的元素是 S 中有限多個元素的線性組合. 因此若 w∈ C(T,v) = Span(S), 表示存在 c0, c₁, . . . , c_m∈ F 使得 w = c0v + c₁T (v) +··· + cmT^m(v) (其 中可能有些 c_i= 0). 故得 T (w) = c₀T (v) + c₁T²(v) +··· + cmT^m+1(v)∈ Span(S) = C(T,v). 也 因此得證 c(T, v) 是 T -invariant subspace. 前面提過包含 v 的 T -invariant subspace 必包含 S, 故我們得到下面的定理.

Proposition 6.6.3. 假設 T : V → V 是 linear operator 且 v ∈ V. 則 C(T,v) 是包含 v 最小 的 T -invariant subspace.

Question 6.8. 假設 V 是 vector space over F, T : V → V 是 linear operator 且 v ∈ V.

證 明 對 任 意 w∈ C(T,v), 皆存在係數在 F 的多項式 f (x) 使得 w = f (T)(v). 依此得 C(T, v) ={ f (T)(v) | f (x) ∈ F[x]}.

當 V 是 finite dimensional vector space overF, C(T,v) 為其 subspace, 故 C(T,v) 也是 finite dimensional. 如何知道 C(T, v) 的維度呢? 當然了, 若 v = 0, 則 Tⁱ(v) = Tⁱ(0) = 0,

∀i ∈ N, 故此時 C(T,v) = {0}, 即 dim(C(T,v)) = 0. 因此我們僅考慮 v ̸= 0 的情況. 首先 我們考慮 v, T (v) 是否為 linearly independent. 若 v, T (v) 不是 independent, 由於 v̸= 0, 故知存在 c∈ F 使得 T(v) = cv. 由此知 Tⁱ(v) = cⁱv∈ Span(v), ∀i ∈ N. 因此得 C(T,v) = Span(v), 即 dim(C(T, v)) = 1. 而若 v, T (v) 為 independent, 則我們考慮 v, T (v), T²(v) 是否為 independent. 若它們不是 independent, 則由 v, T (v) 為 independent 知 T²(v)∈ Span(v,T(v)) (Lemma 2.5.4). 因此存在 c, d∈ F 使得 T²(v) = cv + dT (v). 此時

T³(v) = T (T²(v)) = cT (v) + dT²(v) = cT (v) + d(cv + dT (v)) = dcv + (c + d²)T (v).

因 此 得 T³(v)∈ Span(v,T(v)). 再利用數學歸納法, 我們可以證明 Tⁱ(v)∈ Span(v,T(v)),

∀i ∈ N, 因此知此時 C(T,v) = Span(v,T(v)), 即 dim(C(T,v)) = 2. 我們可以一直這樣探討下 去得到以下的定理.

———————————– 25 April, 2019