教育部 100 學年度高級中學數學競賽 嘉義區複賽試題（二）

教育部 100 學年度高級中學數學競賽

嘉義區複賽試題（二） （時間一小時）參考解答

注意事項：

.

1 本試卷共六題填充題，滿分為二十一分。

2. 請將答案寫在答案欄內，計算紙必須連同試卷交回。

一、方程式

2

log

x  14log

x  40log

x  0 的所有實數解

為 。

【解】

方程左邊轉換為以 4 為底的對數得

2 3

16 4

2

4 4 4

1

4 2 4 4

log 14 log 40

2 log 42 log 20 log

log log 2 log 1

x x xx x x

x x x

x x x

 

  

  

明顯x1 為一解。方程有意義只當 x2, 4 , 4^{1 2}，故分母均不為零。令 log4

t x，通分母後化簡得

1 1

2 2

2

2( 1)( 2) 42( )( 1) 20( )( 2) 5(4 3 1) 5(4 1)( 1)

t t t t t t

t t t t

       

        故另一解為 t 1/ 4, t1或x4, 4 ^{1/4 2}

x ^  2 。因此方程有三實解 1, 4, 2

x 2 。

二、方程 x

       x 1 2 3 4 5 x

  x 30 的所有實數解為 。

【解】

左邊為非負，故 x² x 30 (x 5)(x 6) 0，x5或 x 6。

在這範圍內 x² x 20 (x 4)(x 5) 0，因此右邊所有絕對值符號可以拿掉，

而方程為x² x 15x² x 30，解為 7.5。

(3 分)

(3 分)

三、方程式 ( x  1)( x  3)( x  6)( x  7)  y

有 組整數解 ( , ) x y 。

【解】

若 m²35x²y²為自然數，則 m²35 ， 為某一自然數，

因此 ( m)( m)35，故 ¹ 35 m m

  

  

 或 5

7 m m

  

  

 ，前者之解為

( , )m (18,17)，後者( , )m (6,1)。若x²y²18，( , )x y (3,3)。 若x²y²6，則( , )x y 無解。因此原式之自然解為( , , )x y m (3,3,17)。

四、設賭徒 A 有賭本 m 元，賭徒 B 有賭本 n 元。兩人擲骰子決定勝負，

每次擲兩粒骰子，點數和若不大於 7 點則 B 須給 A 一元，反之則 A 須給 B 一元。最後 A 會贏得 B 全部賭本的機率為 。

【解】

原方程變形為y²[(x1)(x7)][(x2)(x6)]，即 y²( x²8 x7 ) (²x  8x 1 2 ) 設 x²8xz，則 y²z²19z84

(1)若z 3，則

(z 9 )²z ² 1 8z 8 1z ² z1 9  y8 4< ²z ² z 2 0 z1 0 010) (² 所以此時y 不是完全平方數。 ²

(2)若z 3，則x²8x 3或(x4)²13，解得 7   x 1， 所以 x  7, 6, , 2, 1 

將x  7, 6, , 2, 1  依次入原方程式可得原方程的整數解( , )x y 為 ( 7 , 0 ) , ( 6 , 0 ) , ( 4 , 6 ) , ( 4 ,      6 ) , ( 2 , 0 ) , ( 1 , 0 )，

所以有 6 組整數解。

五、滿足 x

 y

 m

 35 的所有自然數解 ( , , ) x y m 為 。

(3 分)

(3 分)

(3 分)

【解】

2 1 2 1

1 5 1 5

1 21 15

( ) ( ) ( )

n m n

m n









。

六、在 ABC  中， AB  5 ， BC  6 ， CA  7 ，E 為外心且 AE 交直線 BC 於 D。若 AD  x AB  y AC ，則 x  ， y  。

【解】

如圖所示 ^{ABD sin}

ACD

sin

sin sin

BD a AB AD AB

CD a AC AD AC







    

  

作BE，則 ABE= ， BER AER 

   

E 是外接圓之圓心

 1

C 2 AEB 

   

2

   ，sin cos cos C

同理，sin cos cos B

 cos C

cos B BD AB

CD  AC 



由餘弦定理

2 2 2 2 2 2

AC BC AB

C = AC 6 7

6 7 5 5

cos 2 BC 2 7

   

    

 冋理， cos 1

B=5



 5

125 7 49

5 7 1 5 BD

CD   



 49 125

125 49 125 49

AD AB AC

 

 49

x174 ， ¹²⁵ y174。

(6 分)