教育部九十九學年度高級中學數學競賽 嘉義區複賽試題（一）及參考解答

教育部九十九學年度高級中學數學競賽

嘉義區複賽試題（一）及參考解答

一 、 若 對 所 有 實 數 x y , , 3

 3

 f x ( )  f y ( )  g x ( )  g y ( ) 恆 成 立 ， 且 (0) 0

g  ，求 f x ( ) 和 g x ( ) 。

【解】

令x y, 由題目的關係式得 3^x3^x2 ( )f x  3 3

( ) 2

x x

f x

 



代回原式

3 3 3 3

3 3 ( ) ( )

2 2

x x y y

x y

g x g y

 

  

    

整理後可得

3 3 3 3

( ) ( )

2 2

x x y y

g x g y

 

    

因為x y, 是任意的實數，所以 3 3

( ) , 2

x x

g x c

 

  c 為某常數

但g(0)0，所以此常數為 0，亦即 3 3 ( ) 2

x x

g x

 



故 3 3

( ) 2

x x

f x

 

 , 3 3

( ) 2

x x

g x

 

 .

二、遞迴定義一個數列：

(2 ) 10

n

n n

x

 x  x ， n  0,1,2, 。若 0  x

 10 ，證

明：對所有的 n  0,1,2, , 0  x

 x

 10 。

【證】

假設

0  x

  x

 10

 

 2 1

10 xk

  ₁ ( 2 ) 10

k k k k

x _ x  x x

(9 分)

(10 分)

而 ¹ 10 10

k k

x _ x



2 10 2 10

(2 ) 1

10 2

k k

x x

xk    

  

 

 

 

（ 等號相等的必要條件是 2

10 10

k k

x x

  , 即 x_k 10, 但x_k 10）

 x_k110

 0x₀ x_k x_k110 由歸納法，得證。

三、找出所有滿足 x

 3 xy  194( x  y ) 97 

 0 的整數解 ( , ) x y 。

【解】

原方程式等價於

972

9 3 388

3 194 y x

    x

 。

因為x y, 為整數，所以(3x194) | 97²。又因為 97 為質數，所以解得 65, 97, 3201

x    ，對應的 y 值分別為 1024, 0, 1024 。

四、設 O 為平面上的定點，若 A, B, C 為平面上的三點且使得 AO  15 , 15

BO  , CO  7 ，則當  ABC 的面積為最大時，  ABC 的周長為多少？

【解】

O 點必為ABC的垂心，否則，AO 不垂直 BC，固定 B, C 讓 A 繞著 O 點轉直到 AO 垂直 B, C，則 ABC 的面積變大。所以當 ABC 為最大時， ABC 為等腰三角形。

O 為其垂心，因FAO相似於 FCB ，所以^{AF CF 7 OF}

OF BF AF

  

所以AF² OF² 7 OF。因AF² 15²OF²，所以OF 9, AF 12, AB24, 20

BC ，周長為 64。

(10 分)

(10 分)

五、設 a  0, b  0, c  0 且 abc  1 。證明

1

1

1 3

( ) ( ) ( ) 2

a b c  b c a  c a b 

   ^。

【解】

令x ¹

 a, y ¹

b, z ¹

c，則xyz ¹ 1

abc  且

5 5 5

5 5 5

1 1 1 ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

x yz y xz z xy a b c b c a c a b  y z  x z  x y

     

4 4 4

x y z

y z x z x y

  

  

因為

4 4 4

2 2 2 2

( ) ( )

x y z

y z x z x y x y z y z x z x y

 

         

    

 

且 ( ^{2 2 2}) ¹( )²

x y z 3 x y z ，所以

4 4 4 2 2 2 2 4

( ) 1 ( ) 1 3

( )

2( ) 18 ( ) 18

x y z x y z x y z

x y z

y z x z x y x y z x y z

   

      

      

¹ ( 3^{3 3}) ^{2 7 3}

1 8 xyz 1 8 2

   。

(10 分)