一百學年度高級中學數學科能力競賽複賽試題

一百學年度高級中學數學科能力競賽複賽試題 南區（高雄區） 筆試（一）參考解答

注意事項：

(1)時間分配：2 小時

(2)本試卷共四題，滿分 49 分。第一題 12 分，第二題 12 分，第三題 12 分，第四題 13 分。

(3)將計算ヽ證明過程依序寫在答案卷上。

(4)不可使用電算器。

(5)試題與答案卷一同繳回。

一、(1) 滿足x²  y²  z²的正整數 x, y, z 稱為畢氏三數組，證明互質的畢氏三數組 x, y, z 必為兩兩互質且 x 和 y 為一奇一偶。

(2) 如果 x, y, z 為一組互質的畢氏三數組(假設 x 是偶數)，則必存在一奇一偶且 互質的 s 和 t 使x2st,yt²s²,zs²t²(假設 t > s)，利用此證明

2 4

4 y z

x   沒有正整數 x, y, z 的解。

【參考解答】

(1) 如果 x 和 y 不互質，則存在一個質數 p 使 p|x 且 p|y，容易可證 p|z，與 x,y,z 互 質矛盾，所以 x 和 y 互質。同理 y 和 z 互質，x 和 z 互質。

如果 x 和 y 同為奇數，則x²和y 被 4 除都餘 1，所以² z 被 4 除餘 2，但有整數² 的平方被 4 朝 2 的，矛盾。又 x 和 y 互質，因此 x 和 y 為一奇一偶。

(2) 如果x⁴ y⁴  z²有正整數 x,y,z 的解(其中 x 是偶數)。假設 a,b,c 為其中一組 且 a 為所有解中的最小 x。由所給的結果，存存在一奇一偶且互質的 s 和 t 使

2 2 2

2 2

2 2st,b t s ,c s t

a      ，其中 s 是偶數，因此t l²,s2k²,k a，又

2 2

2 b t

s   ，存在一奇一偶且互質 u 和 v 使s2uv,bv² u²,t u² v²，其 中 v > u 因此k² uv，故ud²,ve²,其中 d 和 e 為一奇一偶且互質，而且偶 數的會小於 a。將之代入tu² v²得到d⁴ e⁴ l²，得到一組偶數比 a 小的 解，與 a,b,c 為其中一組且 a 為所有解中的最小 x 的假設矛盾。因此x⁴  y⁴ z² 沒有正整數 x,y,z 的解。

二、已知ab1且ab0，4ab1。試證：9ab(12a)(12b)(14ab)²

【參考解答】

（一）0a1，0b1， 12aba，12bab

9ab(12a)(12b)9ab(ab)² 0 因為4ab1，所以(14ab)² 0

三、如右圖，ABC^中，AD是BAC^{的平分線，以}C^為圓心，CD^{為半徑的半圓}

交BC^{的延長線於點}E，交AD於點F，交AE於點M ，且  B CAE^， : 4 : 3

FE FD ^。

(1) 求證：AF DF； (2) 求AED的餘弦值；

(3) 如果BD10^，求ABC^的面積。

【參考解答】

(1) ∵ AD平分BAC ^∴ BAD DAC

∵   B CAE ∴ BAD   B DAC CAE

∵ ADE BAD B

∴ ADE DAE  EAED

∵ DE是圓C的直徑   D F E9 0

∴ AF DF

(2) 過點A作AN BE^於N^，在Rt DFE ^中，因FE FD: 4 : 3^，故

設^{FE4 x}





5 , 3

AEDE x AF FD x

1 1

S_^ADE 2AD EF 2DE AN

    

 

AD EF DE AN 3x 3x 4x 5x AN

        

∴ 24

AN  5 x，由勾股定理得 7 EN  5x

∴ 7

cos 25

AED EN

  AE  ^。

(3) 由 (2) 知 7

cosAED 25 ， 得 24

sinAED 25

24 24

AN 25AE 5 x

  

在CAE^和ABE中

A

B D C

F M

E

∵ CAE  B, AEC BEA   CAE ABE

∴ AE CE ²

AE BE CE BE  AE   

  



5 10 5 2

x x 2x x

      

∴ 24 48 5

, 10 15

5 5 2

AN  x BC BDDC   x

∴ 1 1 48

15 72

2 2 5

S_ABC  BC AN     ^。

四、設 x₀ 2 3, y₀3，對於任意一個正整數n， ^{1 1}

1 1

2 _{n n}

n

n n

x y x x y

 

 

  ^且 yⁿ  x y^{n n}_¹ 。

證明：對於所有正整數n，y_n1 y_nx_nx_n1。

【參考解答】

(1) 利用數學歸納法證明：對於所有正整數n，x_n  y_n 1。

已知x₀ y₀1，假設 x_n1 y_n11，則

∵ y_n1²x_n1y_n1 y_n1









∴ ^{1 1} ₁

1 1

2 _{n n}

n n

n n

x y

x y

x y

 



 

 



∵ x_n  y_n1 1  x_n  x y_{n n1}  y_n  1 1 1

根據數學歸納法，可證得：對於所有正整數n，x_n  y_n 1。

(2)∵ y_n x_n  2y_n x_n y_n ∴ ₁ 2 1

2 2

n n

n n n n

n n n

x x y x y x

x y y

    



∵x_n1 y_n  y_n1 x_n1y_n  y_n²  y_n

故由(1)和(2)證得：對於所有正整數n，y_n1 y_n x_n x_n1。