# 題目：利用編序教學法之學習診斷系統

(1)

## 中 華 大 學 碩 士 論 文

### —以商職數學為例

A Learning Diagnosis System with Application of Programmed Instruction – Taking the Mathematics Course of Senior Commercial High School as an Example.

(2)

(3)

### ABSTRACT

Originally the human being process some basic model of behavior that can help to acquire knowledge from their response to surroundings and obtain cognitive structure by which they can deal with some affairs. The schema forms during the above process.

For instance, when people are learning a language, there will be a vocabulary schema and when people are solving mathematics problems, there will be a schema of signs and formulae. But the majority of learning diagnosis systems are too complicated to apply and some of them are too impracticable to combine with theory. Thus the teachers who are responsible for these operations can not make good use of computer.

In this thesis, we proposes a simple but practicable method, which makes use of programmed instruction and focuses on the mathematics course of senior commercial high school. This method can diagnose the obstacles to students’ learning and help mathematics teachers promote their teaching efficiency.

The concept applied in this paper is the programmed instruction, which includes minor items of the test tank. According to the course standard, teachers can set the degrees and variations of tests of their own choice and utilize two or-graph diagnosis system models to examine students’ learning conditions.

In the experiment part, we divide each knowledge unit into three levels, and each level is divided into five nodes. After a student finishes repeated learning at level one, he can advance to level two, and then level three. After the learning and test are finished and the results are figured out, the teacher can make students practice or review their weak or unskilled patterns and offer some proper learning suggestions to make them familiar with their learning contents and promote their ability in mathematics. In order to prove the feasibility of the framework suggested by this thesis, we divided students into two groups — the experiment group and the control group. After detecting the obstacles to the students of the experiment group with this diagnosis system, the teachers started to implement individual instructions according to every student’s performance. After a simultaneous examination, the average marks of the experiment group are higher than those of the control group by 4.69 points.

There are four essential requirements to achieve the goal of perfect teaching.

Firstly, the teaching contents ought to be vivid and inspiring. Secondly, the teaching strategies must be multi-dimensional. Thirdly, teachers have to interact well with their students. Fourthly, it is necessary to build up a sound learning environment. It is an inevitable trend to make use of ICAI. To implement individual instructions according to each student’s basic knowledge and learning ability is the sure way to improve the learning efficiency and lighten the burdens on teacher’s.

Keywords: cognitive structure, cognitive schema, concept map, knowledge hierarchy, knowledge map, programmed instruction。

(4)

(5)

### 目 錄

1.1 研究動機……… 1

1.2 研究背景……… 1

1.3 論文架構……… 2

2.1 知識……… 3

2.1.1 認知結構與基模……… 3

2.1.2 記憶……… 3

2.1.3 知識種類……… 4

2.2 概念圖……… 5

2.2.1 概念……… 5

2.2.2 概念圖……… 5

2.2.3 課程概念關聯……… 7

2.2.4 概念基模……… 9

2.3 命題………10

2.4 知識物件………11

3.1 問題狀態………12

3.1.1 問題解決圖………12

3.1.2 問題解決路徑………12

3.2 知識地圖………14

3.3 知識空間的學習診斷………15

4.1 編序教學法………16

4.1.1 編序教學的意義………16

4.1.2 編序教學的特質………16

4.1.3 編序教學原理………16

(6)

4.2 出題………17

4.3 診斷………20

5.1 系統架構………25

5.2 使用工具及操作環境………27

5.3 出題示範與診斷………27

5.4 學習紀錄………31

6.1 實驗簡介………32

6.2 研究對象………32

6.3 受測學生背景………32

6.4 施測內容及範圍………33

6.5 研究結果………33

6.6 影響受測結果的因素………36

7.1 總結 ………38

7.2 未來努力方向 ………38

(7)

(8)

(9)

### 1.2 研究背景

(10)

space)的方法進行學習診斷[14][15][16]，在教育測驗的觀點而言，本論文將知 識之間的學習順序與題目之間的關聯，編排題庫細目，依照邏輯程序建立知識庫，

(11)

### 2.1 知識

2.1.1 認知結構與基模

2.1.2 記憶

1.感覺記憶(Sensory Memory, SM)

(12)

2.短期記憶(Short-term Memory, STM)

3.長期記憶(Long-term Memory, LTM)

2.1.3 知識種類

(13)

(1)是否了解每個練習題的意義?

(2)能否預估解題的程序和所需的時間?

(3)能否再遇到困難時自行查閱相關的資料?

(4)能否確知解題後的答案一定是正確的? 即表示他學會了後設認知的知識，也 就是能理解。

### 2.2 概念圖

2.2.1 概念

(1)學者或專家決定之。

(2)文件中選取。

2.2.2 概念圖

Ausubel 的另一個重要觀點是有意義學習。為了使學習有意義，學習者個體必須把 新知識和學過的概念聯繫起來。新知識必須和學習者現有的認知結構產生相互作 用。有意義學習與死記硬背截然不同。儘管死記硬背也能把新資訊納入知識的結構，

(14)

Ausubel 的“先行組織者”（advance organizer）是一種廣泛使用的傳遞大 量學科知識的方法。他主張用一幅“大的圖畫”，首先呈現最籠統的概念，然後逐 漸展現細節和具體的東西。他認為，如果教師在學生開始學習課文前用這種形象化 的手段呈現知識要點，可以幫助學生在新舊知識之間建立聯繫。同時，也有利於學 生按階段進行學習。

(15)

2.2.3 課程概念關聯

1. 組成關係：假設有A、B 兩課程內容，A 課程內容包含有(HP)B 課程內容，相對 地B 課程內容是A 的子課程內容，則A、B 間有組成關係。

2. 版本關係：假設有A、B 兩課程內容，從A課程演進出(HV)B 課程，相對地B 課程 是A的新版課程內容(IVO)，則A、B 間有版本關係。

3. 引用關係：假設有A、B 兩課程內容，A 課程內容有引用(RF)B 課程內容，相對 地B 課程內容被A 課程內容所引用(IRf)，則A、B間有引用關係。

4. 需求關係：假設有B、C 兩種課程內容都屬於A 課程內容的子課程內容，不過在 學習順序上B 先於C(IRq)，而相對地要學C 之前要先學B(Rq)，則BC 課 程內容有需求關係。[11]

A

B A B

A

B C

(16)

「乘法」。而圖例中代表課程內容的方塊右上角代表課程關聯的順序。「0」代表本 課程內容的關聯起點，也是代表這個課程內容名稱。「1」、「2」、「3」、「4」

(17)

2.2.4 概念基模

,...) ,

,

( OBJ ATTR1 ATTR2

schema θ θ θ

ρ

CS(θ元素)如表 2.2 所示:

… … 氦 氣態 汞 液態 表 2.2 元素物質的概念基模

(18)

### 2.3 命題

} , { :

,...)) ,

(

( j i1 i2 0 V true false

k ρ θ θ ρ → φ =

φ

2 sinπ

θ ρ φ

(19)

false

D x= →

Φ ( 4) ，命題空間以Φ0 ={ΦABCD}表示，而命題空間其中的一 個子集合(命題空間集合)可表示為Φ={ΦBCD}。

, , (θ1 θ2 θ3

(20)

### 3.1 問題狀態

3.1.1 問題解決圖

3.1.2 問題解決路徑

Path1

Path2 圖 3.1 問題解決路徑

) , ( ) , ( ) , ( ) ,

( S D 1 S i1 2 i1 i2 3 i2 D

Pathψ ψ =τ ψ ψ ∪τ ψ ψ ∪τ ψ ψ (3.1) 或 PathSD)=τ4Si3)∪τ5i3D) (3.2)

ψ1

ψD

ψ2

ψ3

τ1

τ2

τ3

τ4 τ5

ψs

(21)

x=6 或-1 path 2:

2 49 5 1

2

) 6 ( 1 4 ) 5 (

5 2 = ±

= ± x

x=6 或-1 操作步驟如下:

)

) (

, attr(

1 τ 一元二次方程式 十字交乘法 CS θ一元二次方程式

τ = ρ θ θ ∈ (3.3)

)

) (

, attr(

2 τ 一元二次方程式 if CS θ一元二次方程式

τ = ρ θ θ ∈ (3.4)

)

) (

, attr(

3 τ 一元二次方程式 一元一次方程求解 CS θ一元一次方程式

τ = ρ θ θ ∈ (3.5)

)

) (

, attr(

4 τ 一元二次方程式 公式解求解 CS θ一元二次方程式

τ = ρ θ θ ∈ (3.6)

)

) (

, attr(

5 τ 四則運算 CS θ

τ = ρ θ θ ∈ (3.7)

} )

0 6 5 ( ), (

{ i1 xi1 i2 x2 x true

S = φ φ − − = =

ψ (3.8) }

) 0 ) 1 )(

6 ((

), ( { 1 1 2

1 = φi xi φi xx+ = =true

ψ (3.9) }

)) 1 or 6 ( ), ( { 1 1 2

2 = φi xi φi x= x=− =true

ψ (3.10) }

) 0 6 5 ( ), (

{ 1 1 2 2

3 = φi xi φi xx− = =true

ψ (3.11) }

)) 1 or 6 ( ), (

{ i1 xi1 i2 x x true

D = φ φ = =− =

ψ (3.12)

(22)

### 3.2 知識地圖

Ausubel[20]認為知識結構(knowledge structures)是有階層性的組織在 階 層 性 的 知 識 結 構 之 下包 含 了 更 多 更 詳 細 的 概 念 。 於 本 論 文 中 ， 知 識 階 層 (knowledge hierarchy)以KH(θ,ρCLUSTER)表示。知識階層是由某些概念及其聚類 關係(clustering relations)所構成的，包含下列兩種關聯:

(1)IS_A 概念關聯:通常用來代表”KIND”概念關聯，如果在知識階層中有兩個 知識單位是以”IS_A”概念關聯做連結，則較上層的知識單位比下層的知識單位擁有 較一般化的概念。

(2)HAS_A 概念關聯:通常用來代表”PART”概念關聯，如果在知識階層中 θ2

θ3

θ4

θ0

θ1

θ5

θ6

(23)

### 3.3 知識空間的學習診斷

e 五個操作，操作條件為:

(1)會 c，則一定會 a 或 b 中的至少一種。

(2)會 e，一定會 c 或 d。

Φ,{a},{b},{d},{a,c},{b,c},{a,b},{a,d},{b,d},{d,e},{a,b,c},{a,c,d}, {b,c,d},{a,b,d},{a,c,e},{b,c,e},{a,d,e},{b,d,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e },{a,b,d,e},{a,c,d,e},{b,c,d,e},{a,b,c,d,e}共 24 種。

(24)

4.1.1 編序教學的意義

4.1.2 編序教學的特質

4.1.3 編序教學原理

(25)

### 4.2 出題

(26)

a:各項提公因式 a:多項式的四則運算 a:一次因式檢驗法 b:分組提公因式 b:多項式的係數和問題 b:觀察法求 HCF 與 LCM c:十字交乘法與雙十字交

c:綜合除法 c:因式分解法求 HCF 與 LCM

d:乘法公式 d:餘式定理 d:輾轉相除法求 HCF e:以乘法公式因式分解 e:因式定理 e:消頭去尾法求未知係數 例如:

a:恰有一解 a:十字交乘法 a:一次因式檢驗法

b:無解 b:判別式 b:準二次型高次方程式

c:無限多解 c:公式解 c:對稱型與代換型

d:含絕對值的一元一次方 程式

d:一元二次方程式的根與 係數關係

d:一元三次方程式的根與 係數關係

(27)

a:指數律 a:指數與對數的互換 a:有效數字

b:零指數、負指數與根指 數

b:對數的性質及運算 b:求首數與尾數 c:指數函數的圖形 c:對數函數的圖形 c:求整數的位數 d:解指數方程式 d:解對數方程式 d:求小數的位數

e:解指數不等式 e:解對數不等式 e:指數與對數的應用問題

a:距離與分點公式 a:兩點式與點斜式 a:點到線的距離

b:中點與重心公式 b:斜截式 b:平行線間的距離

c:斜角與斜率 c:截距式 c:求直線的交角

d:斜率的大小與正負 d:求垂線與平行線 d:求交角平分線方程式 e:直線的平行與垂直 e:兩直線的關係 e:同側異側與直線系

a:度 a:銳角三角函數的定義 a:廣義三角函數的定義

B:弧度(弳) b:特別角三角函數 b:三角函數的正負

c:度與弧度的互換 c:三角恆等式—倒數關係 c:象限軸上的三角函數值

d:同界角 d:三角恆等式—平方關係 d:化任意角為銳角

e:扇型弧長與面積 e:三角恆等式—商數關係 e:三角函數的定義域值域

a:加法原理 a:含相同物的排列 a:一般組合運算

b:乘法原理 b:捷徑問題 b:幾何圖形的計數 c:相異物的直線排列 c:上樓與信號問題 c:組合總數

d:相鄰問題 d:環狀排列與珠狀排列 d:重複組合

e:數字問題 e:桌狀排列 e:二項式與多項式定理

(28)

a:機率的定義與性質 a:條件機率的定義 a:二項隨機試驗

b:骰子問題 b:貝氏定理 b:獲利的期望值 c:取球問題 c:獨立事件 c:幾何分布與期望值

d:樸克牌問題 d:幾何機率 d:二項分布與期望值

e:應用題 e:應用題 e:應用題

### 4.3 診斷

a:各項提公因式 a:多項式的四則運算 a:一次因式檢驗法 b:分組提公因式 b:多項式的係數和問題 b:觀察法求 HCF 與 LCM c:十字交乘法與雙十字交

c:綜合除法 c:因式分解法求 HCF 與 LCM

d:乘法公式 d:餘式定理 d:輾轉相除法求 HCF e:以乘法公式因式分解 e:因式定理 e:消頭去尾法求未知係數

n

q q

q q

q1*1+ 2*1+ 3*2+ 4*2+ 5*3

δ = (4.1) 其中q1,q2,q3,q4,q5之數值為 0 或 1，n 為 size

“1”表示答對該題，“0”表示答錯該題。

(29)

} ,

d τe ,{τabc},{τacd} ,{τbcd},{τabd},{τace},{τbce}, }

, ,

a τd τe ,{τbcde},{τbde},{τabcd},{τabce},{τabde}, }

, , ,

a τc τd τe ,{τabcde}。

[例 1]進入系統施測時，會由第一層開始出題。

b τd},{τde},{τbcd},{τbce},{τbde},{τbcde}, 等 9 種知識狀態。

, , , { }, , , { }, , , { }, , , { }, , {

}, b d b c d b c e b d e b c d e

c τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ

τ 等 7 種知識

, , , { }, , , { }, , , {

}, b c d b c e b c d e

c τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ

τ 等 4 種 知 識 狀 態 。

b τcd},{τbcde}等 2 種知識狀態。

(30)

, ,

b τc τd

9 5 9

3

* 0 2

* 1 2

* 1 1

* 1 1

*

0 + + + + = =

δ = <0.8

[例 2]第一層

,

, d

c τ

τ {τabce},{τabde},{τacde},{τabcde} 等 14 種知識狀態。

, , { }, , , { }, , , { }, , { }, , { }, , { },

a τa τc τa τb τa τd τa τc τd τa τc τe τa τd τeac,

d,

τ τe}等 8 種知識狀態。

, , , { }, , , { }, , , {

}, a c d a c e a c d e

c τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ

τ 等 4 種知識狀態。

, , , { }, , ,

a τc τd τa τc τd τe 等 2 種知識狀態。

, , ,

a τc τd τe

9 8 9

3

* 1 2

* 1 2

* 1 1

* 0 1

*

1 + + + + = =

δ = >0.8，進入第二層繼續學習，重

(31)

#01 0 0 0 0 0 --- 0 在同一層繼續測驗

#02 0 0 0 0 1 a 0.111 在同一層繼續測驗

#03 0 0 0 1 0 b 0.111 在同一層繼續測驗

#04 0 0 0 1 1 ab 0.222 在同一層繼續測驗

#05 0 0 1 0 0 --- 0 在同一層繼續測驗

#06 0 0 1 0 1 ac 0.333 在同一層繼續測驗

#07 0 0 1 1 0 bc 0.333 在同一層繼續測驗

#08 0 0 1 1 1 abc 0.444 在同一層繼續測驗

#09 0 1 0 0 0 d 0.222 在同一層繼續測驗

#10 0 1 0 0 1 ad 0.333 在同一層繼續測驗

#11 0 1 0 1 0 bd 0.333 在同一層繼續測驗

#12 0 1 0 1 1 abd 0.444 在同一層繼續測驗

#13 0 1 1 0 0 cd 0.444 在同一層繼續測驗

#14 0 1 1 0 1 acd 0.555 在同一層繼續測驗

#15 0 1 1 1 0 bcd 0.555 在同一層繼續測驗

#16 0 1 1 1 1 abcd 0.666 在同一層繼續測驗

#17 1 0 0 0 0 --- 0 在同一層繼續測驗

#18 1 0 0 0 1 --- 0 在同一層繼續測驗

#19 1 0 0 1 0 --- 0 在同一層繼續測驗

#20 1 0 0 1 1 --- 0 在同一層繼續測驗

#21 1 0 1 0 0 --- 0 在同一層繼續測驗

#22 1 0 1 0 1 ace 0.666 在同一層繼續測驗

#23 1 0 1 1 0 bce 0.666 在同一層繼續測驗

#24 1 0 1 1 1 abce 0.777 在同一層繼續測驗

#25 1 1 0 0 0 de 0.555 在同一層繼續測驗

(32)

#26 1 1 0 0 1 ade 0.666 在同一層繼續測驗

#27 1 1 0 1 0 bde 0.666 在同一層繼續測驗

#28 1 1 0 1 1 abde 0.777 在同一層繼續測驗

#29 1 1 1 0 0 --- 0 在同一層繼續測驗

#30 1 1 1 0 1 acde 0.888 進入下一層

#31 1 1 1 1 0 bcde 0.888 進入下一層

#32 1 1 1 1 1 abcde 1 進入下一層

(33)

1.知識地圖部分

2.老師部分

3.學生部份

(34)

(35)

### 5.2 使用工具及操作環境

1.使用工具:Microsoft Visual Basic 6.0

2.作業系統:Windows 2000 Professional 或 Windows XP Professional/Home 3.記憶體:64MB 以上

4.CPU:Intel Pentium 處理器/AMD K 系列處理器 5.硬碟空間:50MB 以上

6.診斷系統安裝路徑:c:\

7.題庫安裝路徑:c:\題庫

(36)

(37)

(38)

(39)

(40)

(41)

### 6.4 施測內容及範圍

52.07 54.32 第二次段考數學全班

50.33 53.62 對數學有研究興趣人

7 6 對數學無研究興趣人

20 18 每週自行研讀數學花

3.5 4

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## References

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