中 華 大 學 碩 士 論 文
題目：利用編序教學法之學習診斷系統
—以商職數學為例
A Learning Diagnosis System with Application of Programmed Instruction – Taking the Mathematics Course of Senior Commercial High School as an Example.
系 所 別：資訊工程學系碩士班 學號姓名：E09102027 李志卿 指導教授：游坤明 博士
中華民國 九十四 年 一 月
摘 要
人類先天具有的基本行為模式對環境做出反應獲取知識，擁有個體的認知結構 (cognitive structure)，再以此認知結構去核對處理某些事物，形成基模(sche- ma)。例如:人們學習語言文字時，有單字的基模; 解答數理問題時，具備符號與公 式的基模。但多數的學習診斷系統，其方法太艱深且理論與實用性難以結合，使實 際操作的老師無法有效的運用電腦工具。本論文提出一個簡潔又實用的方法，利用 編序教學原理，以部訂之商職數學課程標準為範疇，診斷出學生學習的障礙，使教 師有效率的掌握教學，加速學習時間與成效。
本論文以教學方法中的編序教學法為概念，導入題庫細目，教師依課程內容的 標準，自訂各單元的題庫，深度與廣度由授課教師自行決定之，配合兩個 or-graph 系統診斷模型，檢測學生的學習情形。
實作系統與實驗部份，我們將每一個知識單元分為三個階層，每一個階層再分 為五個節點(nodes)，在第一層反覆學習通過後，進入第二層繼續學習，通過後，再 進入第三層。測驗學習完畢，統計診斷結果，老師可將學生多數學習不佳的題型或 公式加強複習與演練，並給予適當的學習建議，使學生熟能生巧，提升數理能力。
為了驗證本論文所提出架構的可行性，我們將學生劃分為實驗組與控制組。實驗組 的前兩次段考平均成績原來比控制組落後 2.77 分，經過本系統診斷出實驗組學生的 知識障礙後，老師再針對學生進行個別化的課業輔導，經過同步施測後，實驗組的 平均成績比控制組多 4.69 分。
圓滿的達成教學任務應具有的條件有四點:第一、授課內容必須多采多姿;第 二、教學的策略必須多元化;第三、老師與學生的良好互動;第四、學習環境的建構。
利用智慧型電腦輔助教學(ICAI)是未來學習的趨勢，以學生的基礎知識及學習能力 進行個別化的教學媒體輔導，才能提升學習效率，減輕老師的負擔。
關鍵字:認知結構、認知基模、概念圖、知識階層、知識地圖、編序教學法。
ABSTRACT
Originally the human being process some basic model of behavior that can help to acquire knowledge from their response to surroundings and obtain cognitive structure by which they can deal with some affairs. The schema forms during the above process.
For instance, when people are learning a language, there will be a vocabulary schema and when people are solving mathematics problems, there will be a schema of signs and formulae. But the majority of learning diagnosis systems are too complicated to apply and some of them are too impracticable to combine with theory. Thus the teachers who are responsible for these operations can not make good use of computer.
In this thesis, we proposes a simple but practicable method, which makes use of programmed instruction and focuses on the mathematics course of senior commercial high school. This method can diagnose the obstacles to students’ learning and help mathematics teachers promote their teaching efficiency.
The concept applied in this paper is the programmed instruction, which includes minor items of the test tank. According to the course standard, teachers can set the degrees and variations of tests of their own choice and utilize two or-graph diagnosis system models to examine students’ learning conditions.
In the experiment part, we divide each knowledge unit into three levels, and each level is divided into five nodes. After a student finishes repeated learning at level one, he can advance to level two, and then level three. After the learning and test are finished and the results are figured out, the teacher can make students practice or review their weak or unskilled patterns and offer some proper learning suggestions to make them familiar with their learning contents and promote their ability in mathematics. In order to prove the feasibility of the framework suggested by this thesis, we divided students into two groups — the experiment group and the control group. After detecting the obstacles to the students of the experiment group with this diagnosis system, the teachers started to implement individual instructions according to every student’s performance. After a simultaneous examination, the average marks of the experiment group are higher than those of the control group by 4.69 points.
There are four essential requirements to achieve the goal of perfect teaching.
Firstly, the teaching contents ought to be vivid and inspiring. Secondly, the teaching strategies must be multi-dimensional. Thirdly, teachers have to interact well with their students. Fourthly, it is necessary to build up a sound learning environment. It is an inevitable trend to make use of ICAI. To implement individual instructions according to each student’s basic knowledge and learning ability is the sure way to improve the learning efficiency and lighten the burdens on teacher’s.
Keywords: cognitive structure, cognitive schema, concept map, knowledge hierarchy, knowledge map, programmed instruction。
致 謝
從事補習教育工作十餘年後，才順利進入中華大學資訊工程研究所就讀，自然 非常珍惜每一次求取新知的機會。兩年來，忙碌的工作加上繁重的課業，雖然感到 辛苦與勞累，相信ㄧ切是值得的!
本論文能順利完成，要感謝許多支持我的人。首先要感謝我的指導教授游坤明 老師，讓我自由發揮思考，而他凡事包容的性格，嚴謹治學的態度，一直是我學習 的典範，尤其在百忙之中不斷的鼓勵我，給我很多資源與寶貴的意見，使我受益良 多；在系統實作部分謝謝雲林科技大學資訊管理系卓政達同學的支援，題庫部分多 謝好友張儹馨先生的幫忙，實驗部分感謝國立苗栗高商數學科李志超老師的全力協 助，特別感謝我的父母李添進先生與黃梅妹女士，照顧家裏的兩個小孩，讓我無後 顧之憂；也謝謝內人季友及弟志超給我精神上的鼓勵，還有我的一對可愛雙胞胎兒 子郁諼、郁霖，因為你們的聽話乖巧，為人父的我才可以安心的求學與工作；當然，
同學蘇乾禎、謝幸洲的鼓勵也是我努力向上的動力，在此一併謝謝大家!
李志卿 書於 中華大學資訊工程學系 2005 年元月
目 錄
摘要………Ⅱ ABSTRACT………Ⅲ 致謝………Ⅳ
第一章 導論………1
1.1 研究動機……… 1
1.2 研究背景……… 1
1.3 論文架構……… 2
第二章 知識結構……… 3
2.1 知識……… 3
2.1.1 認知結構與基模……… 3
2.1.2 記憶……… 3
2.1.3 知識種類……… 4
2.2 概念圖……… 5
2.2.1 概念……… 5
2.2.2 概念圖……… 5
2.2.3 課程概念關聯……… 7
2.2.4 概念基模……… 9
2.3 命題………10
2.4 知識物件………11
第三章 問題基模與知識地圖………12
3.1 問題狀態………12
3.1.1 問題解決圖………12
3.1.2 問題解決路徑………12
3.2 知識地圖………14
3.3 知識空間的學習診斷………15
第四章 系統設計 ………16
4.1 編序教學法………16
4.1.1 編序教學的意義………16
4.1.2 編序教學的特質………16
4.1.3 編序教學原理………16
4.2 出題………17
4.3 診斷………20
第五章 實作系統 ………25
5.1 系統架構………25
5.2 使用工具及操作環境………27
5.3 出題示範與診斷………27
5.4 學習紀錄………31
第六章 實驗結果………32
6.1 實驗簡介………32
6.2 研究對象………32
6.3 受測學生背景………32
6.4 施測內容及範圍………33
6.5 研究結果………33
6.6 影響受測結果的因素………36
第七章 結論………38
7.1 總結 ………38
7.2 未來努力方向 ………38
參考文獻 ………39
附件一:數學科學習診斷試題—指數與對數………41
附件二:數學科學習診斷試題—直線方程式………43
附件三:數學科學習診斷試題—多項式………45
圖目錄
圖 2.1 記憶儲存的種類與過程……… 4
圖 2.2 概念圖範例……… 6
圖 2.3 課程間的關係圖……… 7
圖 2.4 課程關聯圖範例……… 8
圖 2.5 元素物質的知識地圖………10
圖 2.6 知識物件的概念關聯………11
圖 2.7 知識物件的模型………11
圖 3.1 問題解決路徑………12
圖 3.2 知識地圖的範例………14
圖 3.3 知識階層的範例………14
圖 3.4 兩個 or-graph 表示知識空間………15
圖 4.1 每一層的出題順序圖………18
圖 4.2 學習多項式的層級圖………21
圖 4.3 兩個 or-graph 的問題操作例子………21
圖 4.4 三層 or-graph 操作………23
圖 5.1 系統架構圖………26
圖 5.2 進入診斷系統………27
圖 5.3 選擇作答方式………28
圖 5.4 選擇測驗單元………28
圖 5.5 作答說明………29
圖 5.6 開始作答………29
圖 5.7 初級診斷介面………30
圖 5.8 中級診斷介面………30
圖 5.9 優級診斷介面………31
圖 5.10 學生學習與診斷記錄………31
圖 6.1 實驗流程………32
圖 6.2 學生成績分佈折線圖………35
圖 6.3 實驗組學生成績分佈長條圖………36
圖 6.4 控制組學生成績分佈長條圖………36
表目錄
表 2.1 課程關聯表示圖示法……… 8
表 2.2 元素物質的概念基模……… 9
表 4.1 各單元的題庫細目………18
表 4.2 每一層所有答題情形表………23
表 6.1 學生受測背景表………33
表 6.2 測驗成績表………34
表 6.3 學生在本研究測驗成績的平均數、中位數與標準差………35
第一章 導論
1.1 研究動機
我們的教育改革在浪濤中已經進行了十年，其中經歷許多的變革，教育政策的 鬆綁，使課程學習多元化，教材出現『一綱多本』的現象，不再有單一化的學習教 材;師資培育法的修改，老師已不再是師範院校學生的專利。
近年來，網路化學習的普及與方便，越來越多的學者也對其電腦媒體的環境提 出學習輔助工具及運用學習策略來幫助學習，例如:電腦輔助教學(CAI)、遠距教學 系統等。Reader 和 Hammond (1994) 研究利用電腦網路的超本文(hypertext) 技術來設計概念構圖系統，並與傳統做筆記(notebook)的學習方式作比較。研究 結果發現，運用電腦化概念構圖的大學生，在學業成績上學習成效優於傳統作筆記 的學生 [10]。
如果能在單元學習時，提供學習者適當的知識圖鷹架，讓學習者透過知識建構 與組織，將零散的知識與概念、組成有意義的知識結構，並依知識單元間的關係以 空間或視覺性組織方式將不同概念間的關係呈現出來，以促進學生對新教材學習的 記憶和理解[17]。
本人在中華大學資訊工程研究所求學期間，也同時在師資培育中心修讀中等教 育—數學科/領域，所以對中學數學教學方法有些基礎的概念，希望透過本篇研究論 文，對中等學校數學教師的教學有一些幫助。
1.2 研究背景
記憶是構成人類智力的重要基石，從出生的那一刻起，甚至更早，記憶就在不 停地記錄、歸類和管理，那些值得儲存的最微不足道的資訊。而遺忘是管理思維過 濾無用資訊非常有效的工具，記憶總是在挑選、管理資訊，此過程端視人類對於資 訊的興趣程度而定，同時由資訊引起的情感，以及資訊與人的個性和經歷的關係，
也會影響這個過程的發展。
由以上對記憶的探討，我們瞭解記憶力是可以被訓練的，有了記憶力就可以將 知識理解，然後對周遭的環境事物做出立即反應;就好像人的身體一般，熟悉某些動 作後，就會對外界的刺激做出正確的反應。
近 年 來 多 位 學 者 專 家 提 出 以 知 識 空 間 理 論(The theory of knowledge
space)的方法進行學習診斷[14][15][16]，在教育測驗的觀點而言，本論文將知 識之間的學習順序與題目之間的關聯，編排題庫細目，依照邏輯程序建立知識庫，
藉 以 進 行 出 題 診 斷 。 所 有 的 操 作 子 集 合 中 ， 此 子 集 合 為 受 測 者 的 知 識 空 間 (knowledge space)。
1.3 論文架構
本論文中各章節內容如下:第一章說明研究動機、研究背景與論文架構。第二章 闡述認知的結構，進而產生知識，並且導入課程概念關聯，以及對知識的相關研究 探討。第三章分析有關解決數學問題的路徑與策略，以及知識地圖的特性。第四章 以教學方法中的編序教學法為導向，設計出題系統與診斷系統。第五章，介紹系統 實作的架構及其結果。第六章以實驗組 34 位、控制組 32 位學生為樣本，將本系統 作學習實驗與統計分析。最後於第七章對本論文作結論，以及未來可以繼續努力的 方向。
第二章 知識結構
2.1 知識
2.1.1 認知結構與基模
根據瑞士心理學家皮亞傑(Jean Piaget)的解釋，嬰兒出生不久，即開始主動運 用他與生俱來的一些基本行為模式來對環境中的事物做出反應，從而獲取知識。此 等以身體感官為基礎的基本行為模式，可以視之為個體用以了解周圍世界的認知結 構(cognitive structure)。每當他遇到某事物時，他就用他的認知結構去核對與處 理。皮亞傑將此種認知結構稱之為基模或圖式(schema，scheme)。個體最原始 性的基模多屬感覺動作式的，即憑其感覺與動作了解周圍的世界。如嬰兒憑口唇的 感 覺 而 有 吸 吮 基 模(sucking schema)，憑手的觸覺而有抓取基模(grasping schema)。稍長，基模將因經驗增多而漸趨複雜，變為心理性的行為模式。人們學 習語言文字時，之所以對熟悉的單字能辨識其字形、字音、字義，就是因為在他的 記憶中已存有此等單字的基模。同理，學生在解答數理問題時，之所以能適當運用 數學符號或物理化學公式，也是由於他早已具備此等符號與公式的基模。因此，基 模一詞有時也稱認知基模(cognitive schema)[6]。皮亞傑將基模視為人類吸收知 識的基本架構，因而將認知發展或智力發展，均解釋為個體的基模隨年齡增長而產 生的改變。
皮亞傑的理論對電腦界也有不可忽視的影響。西摩爾·派普特(Seymour Papert)
就是根據皮亞傑的理論而開發了可讓兒童學習使用電腦的 Logo 程式語言。Alan Kay 以皮亞傑的理論為基礎，開發了 Dynabook 編程概念。以上這兩項技術，都 是現今我們日常使用的圖形使用者介面(GUI)的基礎技術，使電腦從文字界面過渡 至圖形介面，改寫了電腦技術的發展方向。
2.1.2 記憶
根據記憶儲存的時間長短來劃分，記憶系統的資訊處理模式主要分為三個部分:
1.感覺記憶(Sensory Memory, SM)
感官感應到外部刺激時的短暫記憶，當刺激停止時，半秒至一秒間即消失。在 感覺記憶階段，大腦對感覺資訊還沒有進行心理加工，人們還沒有意識到所感知的 事物就已遺忘。
2.短期記憶(Short-term Memory, STM)
儲存時間最多不超過 1 分鐘的記憶為短期記憶。外在的刺激(資訊)可以被短暫 儲存在短期記憶區;複誦,可以使短期記憶區的資訊存在更久,甚至轉存至LTM 中。
3.長期記憶(Long-term Memory, LTM)
資訊在記憶儲存一分鐘以上直至一生的記憶稱為長期記憶。如果短期記憶被及 時充分地復述，就會轉入長期記憶。某些較強的刺激，即使不經復述也能直接轉入 長期記憶。
圖 2.1 記憶儲存的種類與過程
2.1.3 知識種類
認知心理學家安德遜(Anderson ,1985)將語文知識分為兩類:
一為陳述性知識（declarative knowledge），指有關事實性或真實性的知識，
屬於靜態知識;例如人名、地名、時間、地點以及事實經過等均屬之。
二為程序性知識（procedural knowledge），指按一定程序或步驟理解操作 以獲得某種結果的知識，屬於動態知識;諸如解答數學題目、從事理化實驗、烹調縫 紉、駕駛或操作機器等。
所謂後設認知(或反省認知、原認知)(meta-cognition)，是指個人對自己認知 歷程的認知。具體來說，每當個人經由認知的思維從事求知活動時，能明確了解所 學知識的性質與內容，而且能了解如何進一步支配知識，以解決問題。所以Mayer 將後設認知稱為『策略性知識』(strategic knowledge)[18]，指個體從事學習時，
複習
注意 輸出
訊息 輸入 (刺激)
行為
感覺記憶 (反應)
短期記憶
工作記憶
長期記憶
其一是後設認知知識(meta-cognitive knowledge)，
其二是後設認知技能(meta-cognitive skill)[19]。
今以高中學生學習數學為例，他在課堂聽過老師講解並看過示範例題後，如果 在課後開始解答作業之前，他自信能夠回答自己心中的四個問題:
(1)是否了解每個練習題的意義?
(2)能否預估解題的程序和所需的時間?
(3)能否再遇到困難時自行查閱相關的資料?
(4)能否確知解題後的答案一定是正確的? 即表示他學會了後設認知的知識，也 就是能理解。
後設認知技能即指他實際逐一演算，而且確實做到程序適當，方法正確以及檢 驗答案後肯定無誤的整個歷程。
2.2 概念圖
2.2.1 概念
概念(concept)是某種事物的表示法。通常為一個知識片段的基本單位，其符 號定義為θi，概念的名稱通常由兩種方式產生:
(1)學者或專家決定之。
(2)文件中選取。
2.2.2 概念圖
概念圖是 Ausubel[20](1968)提倡的學習理論。Ausubel 認為新知識的學習 取決於新舊知識能否達到意義的同化。換言之，知識的建構是通過已有的概念對事 物的觀察和認識開始的。學習就是建立一個概念網路，不斷地向網路增添新內容。
Ausubel 的另一個重要觀點是有意義學習。為了使學習有意義，學習者個體必須把 新知識和學過的概念聯繫起來。新知識必須和學習者現有的認知結構產生相互作 用。有意義學習與死記硬背截然不同。儘管死記硬背也能把新資訊納入知識的結構，
但是，它缺乏新知識與知識結構的相互作用。死記硬背固然對記憶事物的順序有用，
可是，它無法幫助學習者理解事物之間的聯繫。而有意義學習能使學習者認識概念 之間的關係。不管採用那一種教學策略，死記硬背和有意義學習都有可能發生。接 受式學習和發現學習都可能導致有意義學習。因此，問題並不一定在資訊呈現的方 式上，而是新資訊如何與已有知識結構整合，這是實現有意義學習的關鍵。Ausubel 的第三個主要觀點是概念有不同的深度，可以非常籠統，也可以非常具體。而且，
籠統的概念中包含著不太籠統的概念，在這些不太籠統的概念中又含有相當具體的 概念。所以，根據概念具體的程度可以漸進地對概念進行區別。Ausubel 認為，學
習者應會辨別新概念的層次。根據層次，把這些概念放入他們知識結構中相應的位 置上。
概念圖(concept map)是一種用節點代表概念、連線表示概念間關係的圖示 法，以一種階層性的架構表示。康乃爾大學的Joseph D. Novak 博士根據 Ausubel 的學習理論在 1960 年代著手研究概念圖技術，並使之成為一種教學的工具。事實 上，概念圖的用途極其廣泛。它除了用來輔助學生學習的工具外，還是教師和研究 人員分析評價學生對知識的理解和建構的方法，也是人們產生想法（頭腦風暴），
設計結構複雜的超媒體、大網站以及交流複雜想法的手段。
Ausubel 的“先行組織者”（advance organizer）是一種廣泛使用的傳遞大 量學科知識的方法。他主張用一幅“大的圖畫”，首先呈現最籠統的概念，然後逐 漸展現細節和具體的東西。他認為，如果教師在學生開始學習課文前用這種形象化 的手段呈現知識要點，可以幫助學生在新舊知識之間建立聯繫。同時，也有利於學 生按階段進行學習。
用概念圖來考察學生組織和理解知識的變化，強調學生知識構建的過程時，概 念圖與建構主義的學習觀是一致的。
概念（concepts）、命題（propositions）、交叉連接（cross-links）和層 級結構（hierarchical frameworks）是概念圖的四個圖表特徵，如圖 2.2 所示。
圖 2.2 概念圖範例
2.2.3 課程概念關聯
概念與概念之間的關聯性稱為概念關聯(concept relation)。
在課程概念關聯中，首先我們以一個節點代表一個課程單元，通常是一個學習 概念和目標。其課程間的關係有下列四種:
1. 組成關係：假設有A、B 兩課程內容，A 課程內容包含有(HP)B 課程內容，相對 地B 課程內容是A 的子課程內容，則A、B 間有組成關係。
2. 版本關係：假設有A、B 兩課程內容，從A課程演進出(HV)B 課程，相對地B 課程 是A的新版課程內容(IVO)，則A、B 間有版本關係。
3. 引用關係：假設有A、B 兩課程內容，A 課程內容有引用(RF)B 課程內容，相對 地B 課程內容被A 課程內容所引用(IRf)，則A、B間有引用關係。
4. 需求關係：假設有B、C 兩種課程內容都屬於A 課程內容的子課程內容，不過在 學習順序上B 先於C(IRq)，而相對地要學C 之前要先學B(Rq)，則BC 課 程內容有需求關係。[11]
組成關係 版本關係
引用關係 需求關係 圖2.3 課程間的關係圖
A
B A B
A
B C
而本論文採用Conceptual Graph InterchangeForm（CGIF）的圖示表法[13] 。其 中課程內容我們以方塊做為圖示，而兩課程內容的的關係是由圓圈表示，而連結概 念和關係的線段是箭頭符號。和CGIF 有所不同的是，我們在方塊右上角加入了數 字，如0,1,2,… .., 代表課程內容的學習順序。
表2.1 課程關聯表示圖示法
圖2.4 課程關聯圖範例
圖2.3中，「數學運算」課程內容包含四個子課程：「加法」、「減法」、「乘 法」、「除法」;因為「加法」課程內容是「減法」課程內容和「乘法」課程內容的 先備課程，所以在學習完「加法」課程內容之後，可以學習「減法」和「乘法」，
而由於「乘法」是「除法」的先備課程內容，所以在學習「除法」之前必須先學習
「乘法」。而圖例中代表課程內容的方塊右上角代表課程關聯的順序。「0」代表本 課程內容的關聯起點，也是代表這個課程內容名稱。「1」、「2」、「3」、「4」
則代表本課程內容的子單元課程內容的學習順序，也是將來學習路徑的瀏覽順序。
2.2.4 概念基模
概念基模(concept schema)是描述概念本身擁有的屬性[7]。
對於一個概念集合 θ，它的概念基模可定義為:
,...) ,
,
( OBJ ATTR1 ATTR2
schema θ θ θ
ρ
=ρschema(ρLINK1(θOBJ,θATTR1),ρLINK2(θOBJ,θATTR2),...) 或CS(θi)={ρk(θi,θj):ρk ∈ρschema(⋅) in concept θi}
其中θj為θi概念的屬性，ρk(θi,θj)表示概念物件與其屬性的關係(relation)。
例如:元素概念集合θ元素={元素物質，金屬元素，非金屬元素，諦，汞，氦，鈧}，
狀態概念集合θ狀態={固態，液態，氣態}，狀態的關係集合 ρ狀態={ρ狀態(金屬元素，
固態)，ρ狀態(非金屬元素，固態)，ρ狀態(汞，固態)，…}。
CS(θ元素)如表 2.2 所示:
元素概念 狀態概念
元素物質 固態 元素物質 液態 元素物質 氣態 金屬元素 固態 元素物質 固態 元素物質 液態 元素物質 氣態 金屬元素 固態 金屬元素 液態 金屬元素 氣態
… … 氦 氣態 汞 液態 表 2.2 元素物質的概念基模
結合概念階層與概念基模的例子，我們得到元素物質的知識地圖，如圖 2.5 所 示。
圖 2.5 元素物質的知識地圖 其中包含有概念、概念的屬性和概念與概念之間的關係。
2.3 命題
命題(proposition)有表達或提出概念之間關係的功能，可以利用一連串真偽的 描述來描述一個問題。若命題為真，表示此命題所描述的事實存在; 若命題為偽，
則表示此命題所描述的事實不存在。任一個命題φk將描述概念之間的關聯，並且有 true、false 兩個數值與之對應，其命題關聯為
} , { :
,...)) ,
(
( j i1 i2 0 V true false
k ρ θ θ ρ → φ =
φ
例如: k( j( ,1)):→true
2 sinπ
θ ρ φ
命題的對應值通常是一個真偽的邏輯，也可以對應至其他種類的資料型態，例 如模糊集合或是連續值。
命題空間(proposition space)定義為Φ0 ={Φk}，表示所有的命題。
命題集合(proposition set)定義為Φ={Φk(ρj(⋅))∈VΦ :ρj(⋅)∈ρ}。
以解一元一次方程式”5x+3=8，求 x=?(A)x=1(B)x=2(C)x=3(D)x=4”為例，各選項 的 命 題 為 ΦA(x=1)→true 、 ΦB(x=2)→ false 、 ΦC(x=3)→ false 、
false
D x= →
Φ ( 4) ，命題空間以Φ0 ={ΦA,ΦB,ΦC,ΦD}表示，而命題空間其中的一 個子集合(命題空間集合)可表示為Φ={ΦB,ΦC,ΦD}。
2.4 知識物件
知識單元以KU(θi,Φ)表示之，包含了概念和概念本身的命題，而且每一個命 題都能對應到一個概念關聯和相關的概念。
知識物件的關聯以ρINTERPRETATION(θSIGNIFIER,θSIGNIFIER)表示，知識物件的模型以 ,...)
, , (θ1 θ2 θ3
ρPARADIGM 表示之。
圖 2.6 知識物件的概念關聯
圖 2.7 知識物件的模型
第三章 問題基模與知識地圖
3.1 問題狀態
3.1.1 問題解決圖
問題解決圖(Problem Solving Graph, PSG)，以PSG(ψ,τ)表示。在問題 解決圖中以點表示問題的狀態，而問題狀態之間的轉換是經由操作加以改變[2]。
其中，PSG(ψ,τ)是一種有向圖，τi稱為有向邊。
3.1.2 問題解決路徑
Path1
Path2 圖 3.1 問題解決路徑
) , ( ) , ( ) , ( ) ,
( S D 1 S i1 2 i1 i2 3 i2 D
Pathψ ψ =τ ψ ψ ∪τ ψ ψ ∪τ ψ ψ (3.1) 或 Path(ψS,ψD)=τ4(ψS,ψi3)∪τ5(ψi3,ψD) (3.2)
ψ1
ψD
ψ2
ψ3
τ1
τ2
τ3
τ4 τ5
ψs
例如:解一元二次方程式 x2 − x5 −6=0 path 1:(x-6)(x+1)=0
x=6 或-1 path 2:
2 49 5 1
2
) 6 ( 1 4 ) 5 (
5 2 = ±
⋅
−
⋅
⋅
−
−
= ± x
x=6 或-1 操作步驟如下:
)
) (
, attr(
1 τ 一元二次方程式 十字交乘法 CS θ一元二次方程式
τ = ρ θ θ ∈ (3.3)
)
) (
可因式分解
, attr(
2 τ 一元二次方程式 if CS θ一元二次方程式
τ = ρ θ θ ∈ (3.4)
)
) (
, attr(
3 τ 一元二次方程式 一元一次方程求解 CS θ一元一次方程式
τ = ρ θ θ ∈ (3.5)
)
) (
, attr(
4 τ 一元二次方程式 公式解求解 CS θ一元二次方程式
τ = ρ θ θ ∈ (3.6)
)
) (
, attr(
5 τ 數 四則運算 CS θ數
τ = ρ θ θ ∈ (3.7)
} )
0 6 5 ( ), (
{ i1 xi1 i2 x2 x true
S = φ φ − − = =
ψ (3.8) }
) 0 ) 1 )(
6 ((
), ( { 1 1 2
1 = φi xi φi x− x+ = =true
ψ (3.9) }
)) 1 or 6 ( ), ( { 1 1 2
2 = φi xi φi x= x=− =true
ψ (3.10) }
) 0 6 5 ( ), (
{ 1 1 2 2
3 = φi xi φi x − x− = =true
ψ (3.11) }
)) 1 or 6 ( ), (
{ i1 xi1 i2 x x true
D = φ φ = =− =
ψ (3.12)
3.2 知識地圖
知識地圖由多個知識物件所組成，並以知識階層的方式呈現。知識結構中的每 個節點(為知識物件)(nodes)有”先行者—後繼者” 的關係。
圖 3.2 知識地圖的範例
圖 3.3 知識階層的範例
Ausubel[20]認為知識結構(knowledge structures)是有階層性的組織，在 階 層 性 的 知 識 結 構 之 下，包 含 了 更 多 更 詳 細 的 概 念 。 於 本 論 文 中 ， 知 識 階 層 (knowledge hierarchy)以KH(θ,ρCLUSTER)表示。知識階層是由某些概念及其聚類 關係(clustering relations)所構成的，包含下列兩種關聯:
(1)IS_A 概念關聯:通常用來代表”KIND”概念關聯，如果在知識階層中有兩個 知識單位是以”IS_A”概念關聯做連結，則較上層的知識單位比下層的知識單位擁有 較一般化的概念。
(2)HAS_A 概念關聯:通常用來代表”PART”概念關聯，如果在知識階層中 θ2
θ3
θ4
θ0
θ1
θ5
θ6
先行者
先行者 後繼者
後繼者
3.3 知識空間的學習診斷
在圖 3.4 中，我們以兩個 or-graph 表示問題的前提關係，其中有 a、b、c、d、
e 五個操作，操作條件為:
(1)會 c，則一定會 a 或 b 中的至少一種。
(2)會 e，一定會 c 或 d。
進行學習診斷時，每一題的處置情形有兩種:
若學生答對本題時，表示對本題的某些操作熟悉，保留含本題操作的知識狀態，
繼續出題;答錯時，表示對本題的某些操作不熟悉，則刪除含有本題操作的知識狀態。
圖 3.4 兩個 or - graph 表示知識空間 其知識狀態有
Φ,{a},{b},{d},{a,c},{b,c},{a,b},{a,d},{b,d},{d,e},{a,b,c},{a,c,d}, {b,c,d},{a,b,d},{a,c,e},{b,c,e},{a,d,e},{b,d,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e },{a,b,d,e},{a,c,d,e},{b,c,d,e},{a,b,c,d,e}共 24 種。
而{c},{e},{a,e},{b,e},{c,e},{a,b,e},{c,d,e}不是知識狀態，因為會 c，
一定會 a 或 b;會 e，則一定會 c 或 d。
第四章 系統設計
4.1 編序教學法
4.1.1 編序教學的意義
編序教學（Programmed Instruction, PI）法是將教材按照學習的程序，編 成許多細目以便學生自習的學習方式。學生藉由教材從簡而繁由淺入深的順序學 習，就像階梯一樣，循序漸升，只要第一階層學會通過，就可晉升至第二階層學習；
等第二階層通過，便可以一、二兩層的經驗為基礎，晉升到第三層學習，層層而上，
最後達到預定的教學目標，而且學生在學習過程中，能立即核對結果，便能增強學 習效果，在教學中我們所看到的教學機與電腦輔助教學（CAI），皆是運用編序教 學的原理。
4.1.2 編序教學的特質
編序教學專家史肯納（B. F. Skinner）認為編序教學的特質有：
一、教材細目組成一系列程序，以促進合適的學習。
二、學生對呈現的教材，要自動的反應。
三、學生能立即獲得其回答是否正確的反應。
四、學生經由循序漸進的單元以學會教材。
五、教材的組織，提供一種正確反應的優勢。
六、學生按自己瞭解的程度和學習速度，向學習目標邁進。
由此可知，編序教學是一種自學輔導的方式，不過事先需要教師的編序，而非 學習進行的輔導。
4.1.3 編序教學原理
一、教材細目
教材細目可說是編序教學最顯著的特點，把教材分為許多細目，再按其邏輯程 序，做嚴密組織，循序誘導學生完成學習，而且有助於辨別能力與綜合能力的培養。
二、積極反應
教材在沒有教師講解，或聽取旁人討論而學得，學生必須自己切實閱讀、填寫、
核對、進行而學會，這是徹底的、積極的反應。
三、立即核對
編序教學為方便學生自學，提供了正確的答案以便學生能立即核對其學習結 果，瞭解學習成績。這種效果，不但引起積極反應，而且深符「準備」與「動機」
的原理，有繼續再學和努力完成的願望和需求。
四、適應差異
速度差異之適應亦是編序教學的特點之一，在一般的教學中如講演、討論、或 視聽教學均迫使每一位學生在同一速度下學習，必然形成「太快」或「太慢」的現 象；這時若利用編序教學法，便能真正做到適應差異的原理，使學生可以自由的改 變其學習速度，以符合自己的能力，甚至適合自己的興趣和需要。
五、學者驗證
一般的教學缺乏正確的記錄，以供教師改進教材內容；但編序教學則可根據學 生學習的記錄，以修正教材細目。例如有一個細目有多數的學生答錯，就表示教材 提示或編輯需要修正，而這種修正，是經由學習者自己的試驗和實際的反應而改進 的，是驗證的，而非猜測估計的。
4.2 出題
本系統將題庫每個學習單元設計為三層學習結構，分為:
一、初級(第一層)—解決數理問題時，一般的定理或工具，主要使學習者產生學習 動機和興趣，並培養解決基本問題的能力。
二、中級(第二層)—有一定能力解決初級問題後，中級學習旨在培養學習者反覆思 考問題，達到舉一反三、以簡御繁的目的。
三、優級(第三層)—加強與第一層、第二層的連貫性，反覆練習已學過的觀念與技 巧，著重獨立思考，達到活學活用的境界。
本論文將題庫教材分為許多細目，再按其邏輯程序，做嚴密組織，循序漸進誘 導學生完成學習，所以每一層由q1Æq2Æq Æ3 q4Æq 的順序出題，其中每一個節5 點隨機取亂數出題，如圖 4.1。
圖 4.1 每一層的出題順序圖
本論文以民國八十七年九月部訂商職數學課程標準為教材，依照學習者學習知 識的順序，建立學習的知識庫，並且訂定下列七大單元的題庫細目，如表 4.1。
表 4.1 各單元的題庫細目 第一單元:多項式
第一層 第二層 第三層 因式分解 多項式的基本運算 最高公因式與最低公倍式
a:各項提公因式 a:多項式的四則運算 a:一次因式檢驗法 b:分組提公因式 b:多項式的係數和問題 b:觀察法求 HCF 與 LCM c:十字交乘法與雙十字交
乘法
c:綜合除法 c:因式分解法求 HCF 與 LCM
d:乘法公式 d:餘式定理 d:輾轉相除法求 HCF e:以乘法公式因式分解 e:因式定理 e:消頭去尾法求未知係數 例如:
第一層中，會”十字交乘法”則一定會”各項提公因式”或”分組提公因式”。
會”以乘法公式因式分解”則一定會”乘法公式”或”十字交乘法與雙 十字交乘法”。
第二單元:方程式
第一層 第二層 第三層 一元一次方程式 一元二次方程式 一元高次方程式
a:恰有一解 a:十字交乘法 a:一次因式檢驗法
b:無解 b:判別式 b:準二次型高次方程式
c:無限多解 c:公式解 c:對稱型與代換型
d:含絕對值的一元一次方 程式
d:一元二次方程式的根與 係數關係
d:一元三次方程式的根與 係數關係
第三單元:指數與對數
第一層 第二層 第三層 指數及其運算 對數及其運算 首數與尾數
a:指數律 a:指數與對數的互換 a:有效數字
b:零指數、負指數與根指 數
b:對數的性質及運算 b:求首數與尾數 c:指數函數的圖形 c:對數函數的圖形 c:求整數的位數 d:解指數方程式 d:解對數方程式 d:求小數的位數
e:解指數不等式 e:解對數不等式 e:指數與對數的應用問題
第四單元:直線方程式
第一層 第二層 第三層
直線方程式 求直線方程式 直線系
a:距離與分點公式 a:兩點式與點斜式 a:點到線的距離
b:中點與重心公式 b:斜截式 b:平行線間的距離
c:斜角與斜率 c:截距式 c:求直線的交角
d:斜率的大小與正負 d:求垂線與平行線 d:求交角平分線方程式 e:直線的平行與垂直 e:兩直線的關係 e:同側異側與直線系
第五單元:基礎三角函數
第一層 第二層 第三層
角的度量 銳角三角函數 廣義三角函數
a:度 a:銳角三角函數的定義 a:廣義三角函數的定義
B:弧度(弳) b:特別角三角函數 b:三角函數的正負
c:度與弧度的互換 c:三角恆等式—倒數關係 c:象限軸上的三角函數值
d:同界角 d:三角恆等式—平方關係 d:化任意角為銳角
e:扇型弧長與面積 e:三角恆等式—商數關係 e:三角函數的定義域值域
第六單元:排列、組合
第一層 第二層 第三層
排列(一) 排列(二) 組合
a:加法原理 a:含相同物的排列 a:一般組合運算
b:乘法原理 b:捷徑問題 b:幾何圖形的計數 c:相異物的直線排列 c:上樓與信號問題 c:組合總數
d:相鄰問題 d:環狀排列與珠狀排列 d:重複組合
e:數字問題 e:桌狀排列 e:二項式與多項式定理
第七單元:機率
第一層 第二層 第三層
古典機率 條件機率 二項隨機試驗與數學期望
值
a:機率的定義與性質 a:條件機率的定義 a:二項隨機試驗
b:骰子問題 b:貝氏定理 b:獲利的期望值 c:取球問題 c:獨立事件 c:幾何分布與期望值
d:樸克牌問題 d:幾何機率 d:二項分布與期望值
e:應用題 e:應用題 e:應用題
4.3 診斷
老師建立各單元知識題庫細目後，系統出題讓學生學習並且診斷其知識狀態，
以表 4.1 第一單元診斷學生是否會多項式的運算為例，教師想要讓學生學習有關多 項式的解題方法，所以老師自訂題庫細目與層級分別為:
第一層 第二層 第三層 因式分解 多項式的基本運算 最高公因式與最低公倍式
a:各項提公因式 a:多項式的四則運算 a:一次因式檢驗法 b:分組提公因式 b:多項式的係數和問題 b:觀察法求 HCF 與 LCM c:十字交乘法與雙十字交
乘法
c:綜合除法 c:因式分解法求 HCF 與 LCM
d:乘法公式 d:餘式定理 d:輾轉相除法求 HCF e:以乘法公式因式分解 e:因式定理 e:消頭去尾法求未知係數
我們以三層做學習測驗，每一層出題 5 題，每個節點依照題目的邏輯程序給予 不同的權值(weight)，每次測驗完畢後，會得到參加此測驗的加權平均數，稱為 δ 值。
n
q q
q q
q1*1+ 2*1+ 3*2+ 4*2+ 5*3
δ = (4.1) 其中q1,q2,q3,q4,q5之數值為 0 或 1，n 為 size
“1”表示答對該題，“0”表示答錯該題。
權值設定為*1,*2,*3 之目的是為了使 δ 值不超過 1，又 δ>0.8 時才允許進入 下一層學習，此舉使q1、q2、q 為”OR”的診斷，而3 q 、3 q4、q 為”AND”的診斷。5 也就是說，q1、q2至少答對 1 題，q 、3 q4、q 全部答對才能進入下一層繼續學習。 5
第一層 第二層 第三層 圖 4.2 學習多項式的層級圖
每一層的節點如圖 4.3 所示:
圖 4.3 兩個 or-graph 的問題操作例子
圖 4.3 中，q1,q2,q3,q4,q5所有的操作集合為{τa,τb,τc,τd,τe}，其知識空間有 24 種，分別為Φ ,{τa},{τb},{τd},{τa,τc},{τb,τc},{τa,τb},{τa,τd},{τb,τd},
} ,
{τd τe ,{τa,τb,τc},{τa,τc,τd} ,{τb,τc,τd},{τa,τb,τd},{τa,τc,τe},{τb,τc,τe}, }
, ,
{τa τd τe ,{τb,τc,τd,τe},{τb,τd,τe},{τa,τb,τc,τd},{τa,τb,τc,τe},{τa,τb,τd,τe}, }
, , ,
{τa τc τd τe ,{τa,τb,τc,τd,τe}。
今以兩個實例說明知識診斷的步驟:
[例 1]進入系統施測時，會由第一層開始出題。
步驟 1:學生答錯q1，則刪除含有{τa}的知識狀態。剩下{τb},{τd},{τb,τc}, ,
{τb τd},{τd,τe},{τb,τc,τd},{τb,τc,τe},{τb,τd,τe},{τb,τc,τd,τe}, 等 9 種知識狀態。
步驟 2:學生答對q2，則保留含有{τb}的知識狀態。知識狀態變更為{τb},{τb, }
, , , { }, , , { }, , , { }, , , { }, , {
}, b d b c d b c e b d e b c d e
c τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ
τ 等 7 種知識
狀態。
步驟 3:學生答對q ，則保留含有3 {τc}的知識狀態。此時知識狀態變更為{τb, }
, , , { }, , , { }, , , {
}, b c d b c e b c d e
c τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ
τ 等 4 種 知 識 狀 態 。
步驟 4:學生答對q4，則保留含有{τd}的知識狀態。最後知識狀態變更為 ,
{τb τc,τd},{τb,τc,τd,τe}等 2 種知識狀態。
初 中 優
步驟 5:學生答錯q ，則刪除含有5 {τe}的知識狀態。此時知識狀態變更為 }
, ,
{τb τc τd 。
因此可診斷出學生熟悉{τb,τc,τd}的操作。
也就是說，學生不熟悉”各項提公因式、以乘法公式因式分解”這兩個 數學操作。
又 0.555
9 5 9
3
* 0 2
* 1 2
* 1 1
* 1 1
*
0 + + + + = =
δ = <0.8
所以停留在第一層繼續學習。
[例 2]第一層
步驟 1:學生答對q1，則保留含有{τa}的知識狀態。剩下{τa},{τa,τc},{τa,τb}, },
,
{τa τd {τa,τb,τc},{τa,τc,τd},{τa,τb,τd},{τa,τc,τe}, {τa,τd,τe}, {τa,τb, },
, d
c τ
τ {τa,τb,τc,τe},{τa,τb,τd,τe},{τa,τc,τd,τe},{τa,τb,τc,τd,τe} 等 14 種知識狀態。
步 驟 2: 學 生 答 錯q2 ， 則 刪 除 含 有{τb}的 知 識 狀 態 。 知 識 狀 態 變 更 為 },
, , { }, , , { }, , , { }, , { }, , { }, , { },
{τa τa τc τa τb τa τd τa τc τd τa τc τe τa τd τe {τa,τc,
d,
τ τe}等 8 種知識狀態。
步驟 3:學生答對q ，則保留含有3 {τc}的知識狀態。此時知識狀態變更為{τa, }
, , , { }, , , { }, , , {
}, a c d a c e a c d e
c τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ
τ 等 4 種知識狀態。
步驟 4:學生答對q4，則保留含有{τd}的知識狀態。此時知識狀態變更為 }
, , , { }, , ,
{τa τc τd τa τc τd τe 等 2 種知識狀態。
步驟 5:學生答對q ，則保留含有5 {τe}的知識狀態。最後知識狀態變更為 }
, , ,
{τa τc τd τe 。
因此可診斷出學生熟悉{τa,τc,τd,τe}的操作。即學生不熟悉”分組提 公因式”的數學操作。
但 0.888
9 8 9
3
* 1 2
* 1 2
* 1 1
* 0 1
*
1 + + + + = =
δ = >0.8，進入第二層繼續學習，重
複第一層的操作與知識診斷，若通過，進入第三層學習。
如此由第一層到第三層的數學操作，可診斷出學生容易產生失誤之處，如下圖 4.3 所示。
第一層 第二層 第三層 圖 4.4 三層 or-graph 操作
表 4.2 每一層所有答題情形表 所有可能答題情形:
編號 q5 q4 q3 q2 q1 知識狀態 δ 值 處置
#01 0 0 0 0 0 --- 0 在同一層繼續測驗
#02 0 0 0 0 1 a 0.111 在同一層繼續測驗
#03 0 0 0 1 0 b 0.111 在同一層繼續測驗
#04 0 0 0 1 1 ab 0.222 在同一層繼續測驗
#05 0 0 1 0 0 --- 0 在同一層繼續測驗
#06 0 0 1 0 1 ac 0.333 在同一層繼續測驗
#07 0 0 1 1 0 bc 0.333 在同一層繼續測驗
#08 0 0 1 1 1 abc 0.444 在同一層繼續測驗
#09 0 1 0 0 0 d 0.222 在同一層繼續測驗
#10 0 1 0 0 1 ad 0.333 在同一層繼續測驗
#11 0 1 0 1 0 bd 0.333 在同一層繼續測驗
#12 0 1 0 1 1 abd 0.444 在同一層繼續測驗
#13 0 1 1 0 0 cd 0.444 在同一層繼續測驗
#14 0 1 1 0 1 acd 0.555 在同一層繼續測驗
#15 0 1 1 1 0 bcd 0.555 在同一層繼續測驗
#16 0 1 1 1 1 abcd 0.666 在同一層繼續測驗
#17 1 0 0 0 0 --- 0 在同一層繼續測驗
#18 1 0 0 0 1 --- 0 在同一層繼續測驗
#19 1 0 0 1 0 --- 0 在同一層繼續測驗
#20 1 0 0 1 1 --- 0 在同一層繼續測驗
#21 1 0 1 0 0 --- 0 在同一層繼續測驗
#22 1 0 1 0 1 ace 0.666 在同一層繼續測驗
#23 1 0 1 1 0 bce 0.666 在同一層繼續測驗
#24 1 0 1 1 1 abce 0.777 在同一層繼續測驗
#25 1 1 0 0 0 de 0.555 在同一層繼續測驗
#26 1 1 0 0 1 ade 0.666 在同一層繼續測驗
#27 1 1 0 1 0 bde 0.666 在同一層繼續測驗
#28 1 1 0 1 1 abde 0.777 在同一層繼續測驗
#29 1 1 1 0 0 --- 0 在同一層繼續測驗
#30 1 1 1 0 1 acde 0.888 進入下一層
#31 1 1 1 1 0 bcde 0.888 進入下一層
#32 1 1 1 1 1 abcde 1 進入下一層
第五章 實作系統
5.1 系統架構
本論文以民國八十七年九月教育部公佈之商職數學課程標準為範圍，利用 知識庫建立數學學科的題庫細目，實際操作。本論文的操作重點在於使學生階層性 的學習以及老師根據多數題目答錯的部分，可在課堂上講解複習，以收舉一反三之 效果，系統架構如圖 5.1 所示。
1.知識地圖部分
由專家學者或任課教師將教材分析做成題庫細目，建立數學學科的知識地圖與 知識庫。
2.老師部分
授課老師由題庫細目選擇題目或直接輸入至題庫之中，並且設定測驗單元，選 擇層級。
老師出題完成後，系統會根據前述第四章 or-graph 的模型，分初級、中級與優 級順序測驗學生。
3.學生部份
學生可先選擇待測的單元，系統會依照老師建立的模型出題讓學生作答。學生 作答時，若發生公式或定理不熟悉的現象，可點選”提示”參考之。作答完成後，
系統會記錄學生的學習情形並加以診斷，學生可以立即獲得結果，系統會給學生學 習的建議，讓學生知道那些題型或觀念不熟，以便加強練習。
圖 5.1 系統架構圖
出題
讀取 選取
出題
診斷結果
出題介面
測驗完成 匯入題目
答題 每一個 節點隨
測 驗 機選題
診斷結果 及建議
建立學生 學習記錄
編序教學 層級結構
建立題庫 細目 知識地圖
知識庫
題庫
5.2 使用工具及操作環境
1.使用工具:Microsoft Visual Basic 6.0
2.作業系統:Windows 2000 Professional 或 Windows XP Professional/Home 3.記憶體:64MB 以上
4.CPU:Intel Pentium 處理器/AMD K 系列處理器 5.硬碟空間:50MB 以上
6.診斷系統安裝路徑:c:\
7.題庫安裝路徑:c:\題庫
5.3 出題示範與診斷
第一步驟:進入系統，並輸入學生學號
圖 5.2 進入診斷系統
第二步驟:選擇作答方式
圖 5.3 選擇作答方式 第三步驟:選擇測驗單元
圖 5.4 選擇測驗單元
第四步驟:作答說明
圖 5.5 作答說明 第五步驟:開始作答
圖 5.6 開始作答
第六步驟:
初級診斷，若δ≥0.8，則進入中級學習測驗；δ<0.8 時，停留在初級繼續學習。
圖 5.7 初級診斷介面 第七步驟:
中級診斷，若δ≥0.8，則進入優級學習測驗；δ<0.8 時，停留在中級繼續學習。
第八步驟:
優級診斷，若δ≥0.8，則建立學習紀錄；δ<0.8 時，停留在優級繼續學習。
圖 5.9 優級診斷介面
5.4 學習紀錄
圖 5.10 學生學習與診斷記錄
第六章 實驗結果
本論文藉由教材從簡而繁，由淺入深的順序讓學生學習，就像階梯一樣，循序 漸升，只要第一階層學會通過，就可晉升至第二階層學習；等第二階層通過，便可 以一、二兩層的經驗為基礎，晉升到第三層學習，層層而上，最後達到預定的教學 目標，而且學生在學習過程中，能立即核對結果，便能增強學習效果，建立學習自 信。
6.1 實驗簡介
本系統將學習的內容製作成光碟，實驗組學生人手一套系統，使學生透過操作 電腦並加以演算，診斷學習的障礙。此種個別化學習的方式擁有”訓練與練習”、”
個別指導”、”模擬”、”發現問題”以及”解決問題”的特點。
本實驗的流程:實驗組學生於 2005 年 1 月 3 日獲取光碟後，將全班學生分為七 小組討論學習，每組選出一位數學能力較佳者擔任小老師;授課老師訂於四天後(1 月 7 日)與控制組學生同步施測，閱卷完畢後，獎勵優秀與用心的學生，並進行補救 教學。除了課外討論與互相研究學習的時間外，兩組都不耽誤任何正常教學時間。
又為了引起學生的學習動機與興趣，授課教師並告知兩組學生—隨堂測驗成績在六 十分(含)以上，則本學期總成績加三分。如圖 6.1 所示。
圖 6.1 實驗流程
6.2 研究對象
以國立苗栗高級商業職業學校資料處理科高一 101 班 34 位學生、商業經營科高 一 101 班 32 位學生為研究對象，將前者 34 名學生劃分為實驗組，後者 32 位學生為 控制組。
6.3 受測學生背景
實驗組學生 34 人中，有 26 人居住苗栗縣，有 7 人居住在新竹縣市，1 人來自桃 園縣，參加民國 93 年國民中學第二次學科基本能力測驗的成績在 140~168 之間(滿
發 診 斷 系 統光碟
將全班分 為七組，
選一人為 小老師
練習與 討論
實驗組與 控制組同 步施測
獎勵、回 饋與補救 教學
加民國 93 年國民中學第二次學科基本能力測驗的成績在 143~180 之間(滿分 300 分)。
由於城鄉的差距，苗栗縣學生的教育資源略顯不足，所以苗栗高商的學生在學業 成績表現上明顯落後，尤其對數學科，約有 62%的學生對數學不感興趣，長期累積 的結果，造成學生使用數理工具明顯吃力，學習情緒低落，教師教學受挫，造成缺 乏競爭力的結果。
表 6.1 學生受測背景表
6.4 施測內容及範圍
一.測驗時間:民國 94 年元月 7 日，下午 01:10 - 02:00，共 50 分鐘。
二.測驗地點:國立苗栗高商教學樓—商 101、資 101 教室。
三.試場安排:為了讓考試具有公平性與正確性，將兩班教室互換，考試時間前 10 分鐘以號碼牌抽籤決定應考座位，並安排兩位老師負責監考。
四.課程來源:以民國八十七年九月教育部公佈之商職數學課程標準—東大圖書 公司。
五.測驗範圍:第一冊第三章。
六.測驗內容:指數與對數。
七.測驗方式:採單一選擇題，共 20 題，答錯不倒扣，如附件一。
組別 項目
實驗組 控制組 班級 資料處理科高一 101 班 商業經營科高一 101 班
人數 34 32
入學年月日 93.09.01 93.09.01
第一次段考數學全班 平均成績
52.07 54.32 第二次段考數學全班
平均成績
50.33 53.62 對數學有研究興趣人
數
7 6 對數學無研究興趣人
數
20 18 每週自行研讀數學花
費之平均時間(小時)
3.5 4
