使用主動式電感之振盪器動態系統分析及製程、電壓與溫度補償設計

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國立臺灣大學電機資訊學院電機工程學系碩士論文

Department of Electrical Engineering

College of Electrical Engineering and Computer Science National Taiwan University

Master Thesis

使用主動式電感之振盪器動態系統分析及製程、電壓與溫度補償設計

Dynamical Systems Analysis and PVT Compensated Design for Oscillator Using Active Inductor

邱永全

Yung-Chuan Chiu

指導教授：鄭士康博士 Advisor: Shyh-Kang Jeng, Ph.D.

中華民國 106 年 7 月

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i

(3)

誌謝

首先非常感謝指導教授鄭士康老師在這些年中耐心地給予教導與幫助，在研究上激勵我們勇於創新及突破，在面對人生境遇上也給予關懷與鼓勵，有幸獲得教授如此幫助，感激不盡！感謝口試委員陳怡然教授給予寶貴的建議與提醒，並感謝口試委員李鐏鐶技術長所提出的關鍵問題與未來展望，使本論文能更趨完整。

感謝公司部門中的前輩同事們在類比電子領域方面不吝給予教導及協助。感謝 JEMG 電磁研究小組、JCMG 電腦音樂研究小組以及 JAMG 代理人程式與多媒體研究小組中的學長與同學們在研究討論上總是激盪出許多有趣的想法，並且在學業上相互扶持與幫助。

最後要感謝親愛的家人與摯友們在這段時間的包容、鼓勵與陪伴，在精神上給予我莫大的支持與力量。

再次感謝這一路上給予幫助的每個人，使我得以完成論文與學業，謝謝你們！

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iii

中文摘要

在討論主動式電感振盪器的文獻中，本篇論文首次採用電晶體大信號模型以及動態系統分析。相較以往常用的電晶體小信號模型與阻抗分析，能得到更接近主動式電感振盪器實際運作之波形與軌跡特徵。論文內採用 SMIC 0.11-μm 製程模型來模擬主動式電感振盪器，配合低壓差穩壓器（LDO）以及帶隙（bandgap）參考電壓實現電壓及溫度補償設計，使原本在−20~100°C 的溫度範圍中，振盪頻率隨溫度的變化率從 6.48%降低至 1.60%。在 3.0~3.6 V 的供應電壓範圍內，振盪頻率的變化率也減低至±0.57%。在製程偏移的部分，使用電容修整陣列，讓振盪頻率在不同製程角（process corner）的情況下皆能夠修整回 540 MHz，修整誤差（trim error）在±0.21%以內。

關鍵字：主動式電感、振盪器、動態系統、製程、電壓與溫度補償、低壓差穩壓器。

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ABSTRACT

In the research on the oscillators using active inductor, it is first time to propose dynamical systems analysis with large-signal model for the oscillators in this thesis.

Comparing to impedance analysis with small-signal model, we can approach more practical waveform and characteristics of the trajectories of the oscillator by dynamical systems analysis with large-signal model. The oscillator presented in this thesis is simulated with SMIC 0.11-μm process model. For the voltage and temperature compensated design, we adopt an LDO and a bandgap reference circuit. Therefore, the oscillation frequency variation is reduced from 6.48% to 1.60% across temperature −20

°C to 100°C, and the frequency variation in the supply voltage range from 3.0 V to 3.6 V is ±0.57%. For the process variation, the oscillator using capacitor trimming array could achieve the desired frequency 540 MHz within trim error ±0.21% in any process corner.

Keyword: active inductors, oscillators, dynamical systems, PVT compensation, low-dropout regulator.

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圖目錄

圖 2-1 Gyrator 原理示意圖[5]。 ... 3

圖 2-2 無損單端 gyrator-C 主動式電感[3]。 ... 4

圖 2-3 轉導器的基本架構[3]。 ... 5

圖 2-4 有損單端 gyrator-C 主動式電感[3]。 ... 6

圖 2-5 以兩個電晶體所實現之主動式電感[6]。 ... 8

圖 2-6 轉導器信號分析[10]。 ... 9

圖 2-7 (a)電晶體所實作之單端主動式電感[3]。(b)大信號模型之單端主動式電感。 ... 11

圖 3-1 LC 並聯電路。 ... 13

圖 3-2 (a)LC 並聯電路動態系統之相圖。(b)軌跡所對應之電壓電流隨時間變化圖。 ... 15

圖 3-3 無損 gyrator-C 主動式電感連接一電容C₂。 ... 16

圖 3-4 (a)無損 Gyrator-C 主動式電感與電容之動態系統相圖。(b)軌跡所對應之電壓隨時間變化圖。 ... 17

圖 3-5 (a)電晶體所實作之單端主動式電感與電容。(b)電晶體小信號模型組成之主動式電感與電容。 ... 18

圖 3-6 (a)電晶體小信號模型組成之主動式電感與電容之動態系統相圖。(b)軌跡所對應之電壓隨時間變化圖 ... 19

圖 3-7 (a)由一轉導器實現之單端負阻電路[3]。(b)由電晶體小信號模型組成之主動式電感、電容以及單端負阻電路所組成之振盪電路。 ... 20

圖 3-8 (a)由電晶體小信號模型組成之主動式電感、電容以及單端負阻電路所組成之振盪電路之動態系統相圖。(b)軌跡所對應之電壓隨時間變化圖 .. 22

圖 3-9 (a)電晶體所實作之單端主動式電感與電容。(b)電晶體大信號模型組成之主動式電感與電容。 ... 23

圖 3-10 (a)電晶體大信號模型組成之主動式電感與電容之動態系統相圖。(b)軌跡所對應之電壓隨時間變化圖。 ... 24 圖 3-11 由電晶體大信號模型組成之主動式電感、電容以及單端負阻電路所組成

(9)

之振盪電路。 ... 25

圖 3-12 (a)由電晶體大信號模型組成之主動式電感、電容以及單端負阻電路所組成之振盪電路之動態系統相圖。(b)初始值為



v vin^, sgp





^

^{0, 1}

^

之軌跡所對應之電壓隨時間變化圖。 ... 26

圖 4-1 差動主動式電感振盪器[11]。 ... 29

圖 4-2 (a)差動主動式電感之小信號等效電路。(b)主動式電感由小信號模型推導之等效電路[11]。 ... 30

圖 4-3 低壓差穩壓器之基本電路。 ... 32

圖 4-4 在 SS corner、供應電壓 3.6 V、溫度−20°C 的條件下之傳輸電晶體電流，三條線各別代表傳輸電晶體之 multiplier 為 150、170 以及 190 的情況。 ... 34

圖 4-5 在 SS corner、供應電壓 3.0 V 及負載電流 35 mA 的條件下，低壓差穩壓器之輸出電壓V_LDO及傳輸電晶體之汲源電壓V_DS與飽和電壓V_DSsat隨溫度的變化。 ... 35

圖 4-6 穩定度交流分析之電路設置。 ... 36

圖 4-7 低壓差穩壓器穩定度分析之波德圖（Bode plot）與相位圖。 ... 37

圖 4-8 正比於絕對溫度（PTAT）之電壓差[12]。 ... 40

圖 4-9 帶隙（bandgap）參考電壓[12]。 ... 41

圖 4-10 主動式電感振盪器之振盪頻率隨溫度變化圖。 ... 43

圖 4-11 低壓差穩壓器輸出電壓V_LDO隨溫度變化圖 ... 43

圖 4-12 電容修整陣列電路。 ... 44

圖 4-13 FF、TT 與 SS 三種製程角（process corner）中，振盪頻率隨修整位元組（trim byte）的變化。 ... 45

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ix

表目錄

表 4-1 主動式電感振盪器之電路參數與數值 ... 31 表 4-2 在三組溫度與負載電阻條件下之增益與相位邊限及單位增益頻率。 .. 38 表 4-3 三種供應電壓下，主動式電感振盪器之振盪頻率與低壓差穩壓器之輸出

電壓與輸出電流。 ... 38 表 4-4 電容修整陣列中電容之電容值。 ... 44 表 4-5 FF、TT 與 SS 三種製程角（process corner）條件下，使振盪頻率修整

至 540 MHz 的修整位元組（trim byte）、修整誤差（trim error）與頻率範圍。 ... 46

(11)

1 第一章緒論

1.1 研究動機與目的

時脈（clock rate）與供應電壓（supply voltage）為積體電路運作的兩大基石，

電路中的時脈由振盪器提供，常見的振盪器有晶體振盪器、LC 振盪器與弛張

（relaxation）振盪器等。晶體振盪器的頻率穩定度非常好，是最常見的線性振盪器，然而因無法製作於積體電路晶片上，需另外購買，且為了從外部與積體電路相連接，需要耗費一至兩根的接腳（pin），皆會增加量產時的成本負擔。採用傳統螺旋式電感的 LC 振盪器，因面積大、品質因子（Q factor）不突出，且製造完成後電感值不容易實現可調的功能，因此在使用上有其限制。非線性的弛張振盪器比線性振盪器容易設計，且容易製作於積體電路晶片上，然而跟線性振盪器相比，

其相位雜訊（phase noise）較多，頻率穩定度也較差[1]。

最早於 1991 年[2]所提出的主動式電感，以 MOS 電晶體組合而成，與傳統螺旋式電感相比，其具有較大且可調控的電感值、占用的晶片面積小，並且可完全在數位導向的 CMOS 技術中實現[3]，因此相當適合作為壓控振盪器（VCO）使用。

然而其相位雜訊、線性度以及動態範圍（dynamic range）尚有改善空間，且容易受製程、供應電壓以及溫度的變化所影響[4]，因此在本論文中將針對線性度進行分析，並且嘗試製程、電壓與溫度的補償設計，期望能在主動式電感振盪器的應用發展上奉獻一己之力。

1.2 章節概要

本篇論文共有五章。在 2 將會更詳細介紹主動式電感以及振盪器的運作原理，

並且在最後一節針對線性度進行大信號分析。3 聚焦於 LC 以及主動式電感振盪器

(12)

2

1.3 本論文貢獻

此研究之貢獻在於，針對線性度採用大信號模型與動態系統分析，以及定頻振盪器的製程、電壓與溫度補償設計。

(13)

2 第二章背景知識

2.1 Gyrator 電路原理

圖 2-1 Gyrator 原理示意圖[5]。

Gyrator 為一被動、線性、無損、雙埠電路元件，於 1948 年由 Bernard D. H.

Tellegen 所提出[5]。一理想的 gyrator 可將一端電流與另一端之電壓耦合，瞬間電流與瞬間電壓之間的關係為

2 1

1 2

v Ri



  (2.1)

其中R為此 gyrator 之 gyration 電阻。由圖 2-1 可見 gyration 電阻在 gyrator 中具方向性。依照慣例，在箭號頭端的電壓v₂為箭號尾端的電流i₁與 gyration 電阻之乘積；在箭號尾端的電壓v₁為箭號頭端的電流i₂與 gyration 電阻之乘積，再加上一負號，如(2.1)所示。

(14)

4

2.2 無損單端 Gyrator-C 主動式電感

一個 gyrator 可由兩個轉導器組合而成。當此 gyrator 之一埠與電容相連，如圖 2-2，則此電路稱為 gyrator-C。當 gyrator-C 電路中的轉導器其輸入與輸出阻抗皆為無限大，且其轉導值為常數，則此 gyrator-C 電路為無損。輸入電流與輸入電壓之間的關係為：

1 1 1 2

2 2 2

m m m in

in m m

G V G G V

I G V G

sC sC

 

      ^(2.2)

其中s為拉普拉斯轉換中之複數頻率

s     j

。輸入阻抗為：

1 2

in in

in m m

V sC

Z  I G G (2.3) 圖 2-2 無損單端 gyrator-C 主動式電感[3]。

(15)

(2.3)式顯示，此一 gyrator-C 從輸入端所見之電路行為表現如同一單端、無損之電感器，其電感值為：

1 2

m m

L C

G G (2.4)

因此 gyrator-C 電路可使用於合成電感器，此電感器即稱為 gyrator-C 主動式電感。

Gyrator-C 主動式電感之電感值直接與另一埠之電容值C成正比，而與兩個轉導器之轉導值之乘積成反比。此 gyrator-C 電路在所有頻率範圍中皆表現為電感性。另外，gyrator-C 也可以如圖 2-2(b)，先連接於轉導器輸入端的負端，於回授的部分再接上轉導器輸入端的正端。

圖 2-3 轉導器的基本架構[3]。

雖然 gyrator-C 電路中的轉導器可以使用許多不同的方式進行配置，但由於此合成電感器需滿足大的頻率範圍、小的功率消耗，以及小的晶片面積，在這些要求下，使得 gyrator-C 中的轉導器需要盡可能簡潔地配置。圖 2-3 為 gyrator-C 主動式電感電路架構中所廣泛採用的基本轉導器架構。以圖 2-3(a)的共源極轉導器為例，當v_in增大，i_D隨之增大，而i_o  I i_D，故i_o將減少。由v_in與i_o的關係，可知共源極轉導器之轉導值為負值，如同圖 2-2 中，連接於轉導器輸入端之負端。至於共閘極與共汲極轉導器的轉導值則為正值，如同連接於轉導器輸入端之正端。

(16)

6

2.3 有損單端 Gyrator-C 主動式電感

圖 2-4 有損單端 gyrator-C 主動式電感[3]。

當 gyrator-C 電路中的轉導器，其輸入或輸出阻抗大小為有限時，則此合成電感即不再是無損的。並且，此 gyrator-C 電路僅在特定的頻段內表現為電感性。

考慮圖 2-4 中的 gyrator-C 電路，其中G_o₁與G_o₂各別代表節點 1 以及節點 2 上的總電導。以G_o₁為例，此總電導是來自於轉導器 1 的有限輸出阻抗以及轉導器 2 的有限輸入阻抗。為簡化分析，假設轉導器之轉導值為常數。節點 1 與 2 由克希荷夫電流定律可得

  

 

1 1 2 1 1

2 2 1 2 2

0 0

o m

in o m

sC G V G V

I sC G V G V

   



    

 (2.5)

由節點 2 看入之輸入導納為

2 2

1 1 1

1 2 1 2

in 1

in o

o

m m m m

Y I sC G

V C G

s G G G G

   

 

 

 

(2.6)

(2.6)可如圖 2-4 由 RLC 電路所表示，其各別的值為

2 2

1

1 2

1

1 2

1 , ,

, .

p o

p

o s

m m

R G

C C

R G

G G L C

G G



(2.7)

(17)

當考慮了轉導器之輸入及輸出電導，則 gyrator-C 電路表現如一有損電感器，

其寄生並聯電阻為R_p，並聯電感為C_p，串聯電阻為。為了使電感器之損耗降到最低，R_p應盡可能大，而R_s應盡可能的小。另外，由(2.7)可發現，此主動式電感之電感值，不會受到轉導器之輸入及輸出阻抗所影響。R_p與C_p單單由G_o₂與C₂所決定。而G_o₁與C₁僅影響R_s與L。

由 RLC 電路可知，此主動式電感器之諧振頻率為

1 2

1 ^m ^m ,

o t t

p

G G C C LC

      (2.8)

其中

1,2 1,2

1,2 m t

G

  C (2.9)

(2.9)為轉導器之截止頻率。_o為 gyrator-C 主動式電感之自諧頻率，也是此主動式 電感的最高操作頻率。

一 Gyrator-C 主動式電感透過 RLC 等效電路可完全表現出其小信號行為特徵。然而 RLC 等效電路無法使用於量化其大信號之行為，例如電感值與轉導器之直流偏壓條件之相依性，以及振盪之最大幅度。

(18)

8

2.4 基本電晶體實現之 Gyrator-C 主動式電感

圖 2-5 以兩個電晶體所實現之主動式電感[6]。

如 2.2 所討論的，由於 gyrator-C 需要由一個轉導器提供正的轉導值，另一轉導器提供負的轉導值，可提供正轉導值之基本轉導器為共閘極與共汲極轉導器，

而可提供正轉導值之基本轉導器為共源極轉導器，故 gyrator-C 可由共閘極與共源極轉導器組成，或由共汲極與共源極轉導器組成。另外電晶體的部分可選擇 PMOS 或 NMOS，因此組合方式如圖 2-5，總共有八種。圖 2-5(a)-(d)為共源極與共汲極轉導器的組合，圖 2-5(e)-(h)為共源極與共閘極轉導器的組合。

最早的主動式電感架構由 Ismail [2] 等人所提出，將兩個 NMOS 以共源極與共汲極的方式所構成，如圖 2-5(a)，而後由[7]的作者們所改良。可達到非常高的品質因子，且可在相當寬的頻寬中維持電感性。然而為維持適當的運作，此電路需要至少2V_t V_{D at}_S 的供應電壓，因此此架構不適合使用於低供應電壓的應用。另一方面，圖 2-5(c)-(d)的電路[8]雖然僅需V_t2V_{D at}_S 的供應電壓，然而，為了使電晶體運作於飽和區，此電路需滿足V_DSat₂ V_t₁ V_t₂ 的條件。在現今的 CMOS 製程技術中，PMOS 與 NMOS 的臨界電壓大小差異並不大，這將迫使M₂運作於弱反轉區，導致電路無法使用於高頻應用。

圖 2-5(e)-(f)的電路由[9]所提出，僅需V_t V_{D at}_S 的供應電壓，且兩個電晶體僅

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需共用同一個偏壓電流，因此此電路適合低功率以及低電壓的應用。但是此電路之品質因子相當小，必須配合負阻電路增強品質因子。然而加上負阻電路後，增加的寄生電容將會使自諧頻率降低，並且增加功率消耗。共閘極與共源極的主動式電感還可以由另一種方式組成，如圖 2-5(g)-(h)[6]。此電路需V_t 2V_{D at}_S 的供應電壓，因此也適合低電壓的應用。與圖 2-5(e)-(f)相比，圖 2-5(g)-(h)的每個電晶體皆可各別使用偏壓電流，獨立控制其直流偏壓條件，使得電感值的調整更有彈性。

也因此，後續線性度、大信號模型以及動態系統分析便採用圖 2-5(g)的架構來進行討論。

2.5 線性度與大信號分析

圖 2-6 轉導器信號分析[10]。

先前關於 gyrator-C 主動式電感的討論，皆假設轉導器之轉導值為線性。以圖 2-6 為例，閘極至源極之瞬時總跨壓為

GS GS gs

v V v (2.10) VGS為直流偏壓，v_gs為輸入電壓信號。而瞬時汲極總電流i_D則為

 

²

1

D 2 n GS gs t

i  k V v V

(2.11)

(20)

10

 

1 2

2

n gs n GS t gs

gs GS t

k v k V V v

v V V



 

(2.12)

在此條件下，即可忽略(2.11)中的最後一項，並將瞬時汲極總電流改寫為

 

1 2

2

D D d

D n GS t

d n GS t gs

i I i

I k V V

i k V V v

 

 

(2.13)

此時，轉導值為

 

d

m n GS t

gs

g i k V V

 v   (2.14)

然而小信號的條件僅適用於轉導器之輸入電壓信號振幅小的情況。為使振盪器不容易受到雜訊影響，電壓振幅不可太小，但當電壓振幅大，轉導器將出現非線性的特徵，汲極電流信號將變回

 

¹ ²

d n GS t gs 2 n gs

i k V V v  k v (2.15) 為觀察電壓信號振幅大的時候，主動式電感的特性，故將電晶體以大信號模型進行分析。採用的架構為圖 2-5(g)共閘極與共源極的主動式電感，配合適當的直流偏壓電流I₁與I₂，即圖 2-7(a)。將電晶體置換為大信號等效電路模型，如圖 2-7(b)。瞬時輸入總電壓包含直流偏壓與輸入電壓信號

IN IN in

v V v (2.16) 為求簡化，NMOS 仍以小信號等效電路模型進行分析，運算不考慮直流偏壓與直流電流源的部分，只聚焦於電壓信號與電流信號。

(21)

圖 2-7 (a)電晶體所實作之單端主動式電感[3]。(b)大信號模型之單端主動式電感。

 

2

1

2

gsn in

dn mn gsn

t

sgp dn

gsp

p

dp mp sgp sgp

in dp

v v

i g v

v i d

C

i g v k v

i i

  

 



 

 



^(2.17)

當輸入電壓信號為一正弦信號

 

in in sin v

v  v  t (2.18) 則輸入電流信號為

   

2

cos cos 2 2 1

4

mp mn in p mn in

in v v

gsp gsp

g g v k g v

i t t

C   C  

 

 

           (2.19)

由此式可得知，若電壓信號不滿足小信號的條件，電流信號除了原本電感性的部分 _eq ^gsp

mp mn

L C

 g g ，將多出二倍頻以及直流的成分，此主動式電感將不再是線性，

且無法使用阻抗分析。職是之故，於下一章將採用動態系統分析以剖析此問題。

(22)

12

3 第三章動態系統分析

當考慮大振幅的情形，採用大信號分析後，顯示主動式電感的電流信號含有二倍頻的成分，也因此在此情況下無法採用阻抗的分析。為能更完整分析大振幅時主動式電感運作的情形，在這一節將採用動態系統分析。

在數學中，任何描述系統狀態隨時間變化的方程式系統即稱為動態系統。例如鐘擺的擺動，或生態系中獵食者與其獵物，兩物種之間個數隨時間的變化，這些數學模型皆為動態系統。

任何規模的動態系統皆具有幾種特徵狀態。其狀態變數可能會達到靜態，例如當鐘擺靜止的時候。系統也可能處於週期性變化的狀態，如鐘擺規律擺動的時候。也可能有某些情況使得系統處於非週期性或混亂的狀態。動態系統理論即為尋找在何種條件下，將會決定系統朝向何種狀態變化的應用數學領域。

3.1 穩定性分析

為得知一平衡點為穩定或不穩定，可透過觀察平衡點之狀態變數受小干擾後的變化來了解。一般而言，二維動態系統的微分方程可寫為

 

^,

dv f v i

dt  (3.1)

 

^,

di g v i

dt  (3.2)

其中 ^{f v w}



^,



^與^{g v i}

 

^, 為給定的非線性函數。

在一平衡點



v i0, 0



，兩變數皆不隨時間變動，故(3.1)與(3.2)兩導數皆為 0，



^,



f v w 與^{g v i}

 

^, 也為 0。在靠近平衡點的一點



v0 v i, 0 i



， ^{f v w}



^,



^的泰勒展

開式為



0 , 0

 

0,0



f f f f

f v v i i f v i v i v i

v i v i

   

            

    (3.3) 其中 f v與 f i是在平衡點



v i0, 0



上運算的。^{g v i}

 

^, 也有其泰勒展開式，利用這兩個展開式可使原微分方程(3.1)與(3.2)得以線性化：

(23)

d v f f

v i

dt v i

    

  (3.4)

d i g g

v i

dt v i

    

  (3.5)

此兩式的一般解為

1t 2t

v Ae^ Be^

   (3.6)

1t 2t

i Ce^ De^

   (3.7)

其中A、B、C、D、₁與₂為常數。₁與₂為矩陣(3.8)的特徵值。

f f

v i

g g

v i

 

 

  

 

 

 

  

 

(3.8)

此矩陣為(3.4)與(3.5)之雅可比（Jacobian）矩陣。兩個特徵值的實部決定其穩定性

   

1 2

Re 0, Re 0 : Re 0, Re 0 : Re 0, Re 0 : Re 0, Re 0 :

 

 

 

 

 

穩定平衡點不穩定平衡點鞍點

鞍點

(3.9)

實部的大小也決定了靠近或遠離平衡點的速度，而虛部決定了在圓軌跡上的速度。若其中一個或兩個特徵值之實部為 0，則為分歧（bifurcation）點，依分歧參數（bifurcation parameter）的變化，會轉變為穩定平衡點或不穩定平衡點。

3.2 LC 諧振電路

(24)

14

 

dv i

dt f i C

di v

dt g v L

  

 

(3.10)

平衡點



v i0, 0



上兩導數為 0，由(3.10)兩等式，可知平衡點



v i0, 0



為



^{0, 0}



^。雅可比

矩陣為

0 1 1 0

C L

  

 

 

(3.11)

特徵值為

1

2

1 1 j LC

j LC





 

(3.12)

由於兩特徵值之實部皆為 0，可知在平衡點鄰近的位置上，接近或遠離平衡點的速度皆為 0。

設L為 10 nH，C為 10 nF，可得圖 3-2(a) LC 諧振電路動態系統之相圖（phase plane）。當dv i 0

dt  C  ，表示電壓v對時間t的變化率為 0，同時i0。故當滿足i0

的條件，則電壓v對時間t的變化率為 0。由此可知，在相圖中i0這條虛線上的每一點，其電壓v對時間t的變化率皆為 0。因此，i0這條虛線即為電壓v的零斜率線（nullcline）。從圖上可觀察到，在i0這條虛線上，標示對時間變化率的箭號，其方向皆為垂直，無水平分量，表示虛線上的每一點，僅有縱軸的電流i對時間的變化率，而無橫軸的電壓v對時間的變化率。同理可證，^di ^v ₀

dt  L ，則相圖上v0這條點線（dotted line），即為電流i的零斜率線（nullcline）。而兩條零斜率線之交點代入(3.10)中，將使兩導數為 0，故零斜率線的交點即為平衡點



v i0, 0



。

(25)

圖 3-2 (a)LC 並聯電路動態系統之相圖。(b)軌跡所對應之電壓電流隨時間變化圖。

於t0時，提供一初始值

   

^{v i}^, ^ ^{1, 0} ，在圖上以點號（‧）標示此起始點。

隨時間增加，它以逆時針方向繞行圓形軌跡，於一個週期後回到同一點，以方形圖案標示此點，而圓形軌跡之圓心即為平衡點



^{0, 0}



。此軌跡所對應之電壓電流隨時間變化圖，則如圖 3-2(b)，週期為 62.83 ns。從起始點，不論經過多少時間皆未接近或收斂至平衡點上，也未遠離平衡點，而是固定在一圓形軌跡上週期性變化，

吻合特徵值的判別，且此特性可滿足振盪器持續穩定振盪的需求。

3.3 無損 Gyrator-C 主動式電感連接一電容

將 LC 諧振電路中的電感替換成無損 gyrator-C，如圖 3-3，來觀察 gyrator-C 主動式電感連接一電容C₂的動態系統。其中，V_in與V₂的微分方程為

 

2 2

in m

dV g V

dt  C  f V

(3.13)

(26)

16

圖 3-3 無損 gyrator-C 主動式電感連接一電容C₂。

平衡點為



^{0, 0}



^{，雅可比矩陣為}

2 2 1 1

0

m

g C g

C

 

 

 

 

(3.14)

特徵值為

1 2

1

1 2

2

1 2

m m

j g g C C j g g

C C





 

(3.15)

與 LC 諧振電路相同，兩特徵值之實部皆為 0，表示在平衡點鄰近的位置上，接近或遠離平衡點的速度皆為 0。

(27)

圖 3-4 (a)無損 Gyrator-C 主動式電感與電容之動態系統相圖。(b)軌跡所對應之電壓隨時間變化圖。

設C₁ C₂ 1 nF，g_m₁g_m₂ 1 mA/V可得圖 3-4(a) gyrator-C 主動式電感連接一電容C₂的動態系統之相圖（phase plane）。V_in的零斜率線為虛線V₂0，V₂的零斜率線為點線V_in 0。於t0時，提供一初始值



V_in,V2

  

 1, 0 ，在圖上以點號（‧）

標示此起始點。隨時間增加，它以順時針方向繞行圓形軌跡，於一個週期後回到同一點，以方形圖案標示此點，而圓形軌跡之圓心即為平衡點



^{0, 0}



^{。此軌跡所對}

應之電壓隨時間變化圖，則如圖 3-4(b)，週期為 6.283μs。如同 LC 諧振電路，將平衡點以外的鄰近任一點作為起始點，不論經過多少時間皆不會接近或收斂至平衡點上，也未遠離平衡點，而是固定在一圓軌跡上週期性變化，此特性可滿足振盪器持續穩定振盪的需求。

3.4 電晶體小信號模型組成之主動式電感

為了透過動態系統分析基本電晶體所實現之 gyrator-C 主動式電感，先在主動

(28)

18

   

 

1 ,

in

mn in mp sgp in sgp

sgp mn in

in gsp

dv g v g v f v v

dt C

dv g v

dt C g v

   

   (3.16)

圖 3-5 (a)電晶體所實作之單端主動式電感與電容。(b)電晶體小信號模型組成之主動式電感與電容。

平衡點為



^{0, 0}



0

mn mp

mn

gsp

g g

C C

g C

 

 

 

 

 

 

(3.17)

特徵值為

2 4

2

mp mn

mn mn

gsp

g g

C C CC



 

    

 (3.18)

由於電晶體的閘極電容通常不會大於一般電容的電容值，故在此假設C_gsp C，並假設g_mp g_mn，則特徵值為

1

2

3

2 2

3

2 2

mn mn

g g

C j C

g g

C j C



  

  

(3.19)

(29)

兩特徵值之實部皆小於 0，故平衡點為穩定平衡點。

圖 3-6 (a)電晶體小信號模型組成之主動式電感與電容之動態系統相圖。(b)軌跡所對應之電壓隨時間變化圖

設CC_gsp 1 nF，g_mn g_mp 1 mA/V，可得到圖 3-6(a)電晶體小信號模型組成之主動式電感與電容之動態系統相圖。虛線v_inv_sgp為v_in之零斜率線，點線

in 0

v  為v_sgp之零斜率線。

為使兩個電晶體的運作不進入截止區（cutoff region），故兩個電壓信號v_in與v_sgp 不可使兩電晶體之閘極對源極跨壓小於臨界電壓

 

b IN in tn

SGp sgp tp

V V v V

V v V

  

  

 (3.20)

in b IN tn

sgp tp SGp

v V V V

v V V

  

    (3.21)

其中，V_tn與V_tp為 NMOS 與 PMOS 的臨界電壓，V_b、V_IN與V_SGp為直流偏壓。設 1

V V V  與V V  1，則

(30)

20

因此於圖 3-6(a)上標示v_in 1與v_sgp 1兩實線作為v_in的上限與v_sgp的下限。

於t0時，設初始值為



v vin^, sgp





^{ }

^{1, 0} ，圖中以點號（‧）標示此起始點，從軌跡可看見它在 15μs的時間中不斷靠近平衡點



^{0, 0}



^{，圖中的方形標示}^t^^{15 μs}^時

的座標，已經非常接近平衡點。此軌跡所對應之電壓隨時間變化圖，如圖 3-6(b)，

可看見兩電壓信號的振幅不斷衰減，越來越接近 0。此收斂於穩定平衡點的特性，

將使振幅不斷減弱到停止振盪，故無法達到振盪器持續穩定振盪的需求。

為解決此問題，需要加上負阻電路以補償此能量損耗，來達到持續的振盪。

圖 3-7(a)為一轉導器所實現之單端負阻電路，圖 3-7(b)為圖 3-5(b)電晶體小信號模型組成之主動式電感與電容，再加上單端負阻電路後，所構成之振盪電路。此振盪電路中，電壓小信號v_in與v_sgp的微分方程為

   

 

1 ,

in

m in mn in mp sgp in sgp

sgp mn in

in gsp

dv G v g v g v f v v

dt C

dv g v

dt C g v

   

   (3.23)

圖 3-7 (a)由一轉導器實現之單端負阻電路[3]。(b)由電晶體小信號模型組成之主動式電感、電容以及單端負阻電路所組成之振盪電路。

當單端負阻電路中的轉導器其轉導值特意設計為G_m=g_mn，則電壓小信號v_in與v_sgp 的微分方程為

(31)

 

mp sgp in

sgp

sgp mn in

in gsp

dv g v dt C f v

dv g v

dt C g v

 

  

(3.24)

平衡點為



^{0, 0}



0

mp

mn

gsp

g C g

C

 

 

 

 

 

(3.25)

特徵值為

1

2

mp mn

gsp

mp mn

gsp

j g g CC j g g

CC





 

(3.26)

得到兩特徵值之實部皆為 0，表示在平衡點鄰近的位置上，接近或遠離平衡點的速度皆為 0。

設CC_gsp 1 nF，g_mp g_mn 1 mA/V，由微分方程可得圖 3-8(a)振盪電路之動態系統相圖。v_in的零斜率線為虛線v_sgp 0，v_sgp的零斜率線為點線v_in 0。為確保兩個電晶體不會運作於截止區（cutoff region），則需滿足

in b IN tn

sgp tp SGp

v V V V

v V V

  

  

 (3.27)

設V_bV_IN V_tn 1與V_tp V_SGp  1，則圖 3-8 (a)上標示的v_in 1與v_sgp  1兩實線即為v_in的上限與v_sgp的下限。

(32)

22

圖 3-8 (a)由電晶體小信號模型組成之主動式電感、電容以及單端負阻電路所組成之振盪電路之動態系統相圖。(b)軌跡所對應之電壓隨時間變化圖

於t0時，提供一初始值



^{v v}ⁱⁿ^, ^sgp



^

^{ }

^{1, 0} ，在圖上以點號（‧）標示此起始點，

變化軌跡為一圓形，其圓心為平衡點



^{0, 0}



，以順時針方向繞行圓形軌跡一個週期後回到同一點，以方形圖案標示之。而此軌跡所對應之電壓隨時間變化圖，如圖 3-8(b)，週期為 6.283 μs。將平衡點以外的鄰近任一點作為起始點，不論經過多少時間皆不會接近或收斂至平衡點上，也未遠離平衡點，而是固定在一圓軌跡上週期性變化。由此可知，加上一單端負阻電路後，即可改善原先會衰減、收斂至穩定平衡點而無法持續穩定振盪的問題，使得電晶體小信號模型主動式電感與電容可實現振盪器之功能。

(33)

3.5 電晶體大信號模型組成之主動式電感

圖 3-9 (a)電晶體所實作之單端主動式電感與電容。(b)電晶體大信號模型組成之主動式電感與電容。

為了了解主動式電感所實現之振盪器，其振盪幅度大的時候的情形，因此採用電晶體的大信號模型等效電路來分析其所組成之主動式電感。為簡化分析，僅先考慮 M2 採用大信號模型的情形，M1 維持小信號模型。兩電晶體之汲極電流信號

2

dn mn gsn mn in

p

dp mp sgp sgp

i g v g v

i g v k v

  

  (3.28)

由此得電壓信號v_in與v_sgp的微分方程

 

1 2

+ ,

2

in p

mn in mp sgp sgp in sgp

sgp mn in

in gsp

dv k

g v g v v f v v

dt C

dv g v

dt C g v

 

   

 

  

(3.29)

平衡點為



^{0, 0}



mp p sgp mp

mn g k v mn g

g  g

   

 

   

(34)

24

特徵值為

1 2

2 2 4

mn mp

mn mn

gsp

g g g g

C C CC

   ^ ^  (3.31)

由於電晶體的閘極電容通常不會大於一般電容的電容值，故在此假設C_gsp C，並假設g_mp g_mn，則特徵值為

1

2

3

2 2

3

2 2

mn mn

g g

C j C

g g

C j C



  

  

(3.32)

由於兩特徵值之實部皆小於 0，故平衡點為穩定平衡點。

圖 3-10 (a)電晶體大信號模型組成之主動式電感與電容之動態系統相圖。(b)軌跡所對應之電壓隨時間變化圖。

設CC_gsp 1 nF，g_mn g_mp 1 mA/V，k_p 1 mA/V²，可得到圖 3-10(a)電晶體大信號模型組成之主動式電感與電容之動態系統相圖。其中，虛線

1 2

i n 2 s g p s g p

v  v  v 為v_in之零斜率線，點線v_in 0為v_sgp之零斜率線。為確保兩個電晶體不會進入截止區（cutoff region），則需滿足

in b IN tn

sgp tp SGp

v V V V

v V V

  

  

 (3.33)

(35)

設V_bV_IN V_tn 1與V_tp V_SGp  1，則相圖上標示的v_in 1與v_sgp  1兩實線即為v_in 的上限與v_sgp的下限。

於t0時，設初始值為



v vin^, sgp





^{ }

^{1, 0} ，圖中以點號（‧）標示此起始點，從軌跡可看見它在 15 μs 的時間中不斷靠近平衡點



^{0, 0}



^{，圖中的方形標示}^t^^{15 μs}^時

的座標，已經非常接近平衡點。此軌跡所對應之電壓隨時間變化圖，如圖 3-10(b)，

可看見兩電壓小信號的振幅不斷衰減，越來越接近 0。此收斂於穩定平衡點的特性，將使振幅不斷減弱到停止振盪，故無法達到振盪器穩定振盪的需求。

圖 3-11 由電晶體大信號模型組成之主動式電感、電容以及單端負阻電路所組成之振盪電路。

為了解決振盪衰減問題，在此同樣採用一單端負阻電路，則電壓信號v_in與v_sgp 的微分方程為

 

1 2

+ ,

2

in p

m in mn in mp sgp sgp in sgp

sgp mn in

in gsp

dv k

G v g v g v v f v v

dt C

dv g v

dt C g v

 

    

 

  

(3.34)

設計負阻電路轉導器之轉導值G_m  g_mn，則

(36)

26

平衡點為



^{0, 0}



 ^,   ^0,0

0 0

in sgp

mp p sgp mp

mn mn

gsp v v gsp

g k v g

C C

g g

C C



    

   

   

   

   

   

(3.36)

特徵值為

1

2

mp mn

gsp

mp mn

gsp

j g g CC j g g

CC





 

(3.37)

得到兩特徵值之實部皆為 0，表示在平衡點鄰近的位置上，接近或遠離平衡點的速度皆為 0。

圖 3-12 (a)由電晶體大信號模型組成之主動式電感、電容以及單端負阻電路所組成之振盪電路之動態系統相圖。(b)初始值為



v vin^, sgp





^

^{0, 1}

^

之軌跡所對應之電壓隨時間變化圖。

設CC_gsp 1 nF，g_mp g_mn 1 mA/V，k_p 1 mA/V²，可得到加上負阻電路後的振盪電路之動態系統相圖，即圖 3-12(a)。與未加負阻電路的圖 3-10(a)相比，v_sgp 的零斜率線v_in 0、v_in的上限v_in 1與v_sgp的下限v_sgp  1皆相同，不同的為v_in的零

(37)

斜率線變為虛線v_sgp 0，且各軌跡不會隨時間接近或收斂於平衡點導致電壓振幅減弱。

為觀察不同起始點的變化軌跡，因此在t0時，設了五組初始值，各別是



^{0.75, 0}



^、



^{0.5, 0}



^、



^{0.25, 0}



^與



^{0, 0}



，圖中以點號（‧）標示各起始點，以方形標示經過 20μs 的時間後狀態所處的座標。從軌跡可看見狀態在 20 μs 的時間中並沒有朝平衡點靠近，也沒有遠離、發散。圖 3-12(b)為初始值



^{0.75, 0}



^{之軌跡所對應}

之電壓隨時間變化圖，可看見兩個電壓信號週期性的變化。但為了確認隨著時間增加，電壓狀態最終是否會維持穩定的週期性變化，將根據龐加萊－本迪克松定理（Poincaré–Bendixson theorem）檢驗此動態系統是否存在極限環（limit cycle），

使得狀態不在平衡點上時，將會於平衡點外的環狀曲線繞著平衡點週期性變化。

兩個電壓信號變化的軌跡可由(3.35)的微分方程推導

2

2 2 3

1 +

2

1 +

2

Constant 3

mn in

sgp sgp gsp

in in p

mp sgp sgp

p mn in

mp sgp sgp sgp in

gsp

mp p

mn

in sgp sgp

gsp

g v

dv dv dt C

dv dv dt k

g v v

C

k g v

g v v dv dv

C C

g k

g v v v

C C C



 

 

 

 

 

    

 

   

 

^(3.38)

為了確定此軌跡所形成之封閉曲線上的狀態將隨時間如何變化，設軌跡之曲線為



^,



² ² ³

3

mp p

mn

in sgp in sgp sgp

gsp

g k

L v v g v v v

C C C

   (3.39)

接著對時間微分，若微分後的值小於 0 則表示在曲線上的狀態將隨時間往曲線內部區域移動，若大於 0 則將隨時間往曲線外部區域移動

2 2

2 1 + 2

2

in sgp

p mp p

mn mn in

in mp sgp sgp sgp sgp

gsp gsp

dv dv

dL L L

dt v dt v dt

k g k

g g v

v g v v v v

C C C C C

 

 

 

 

   

        (3.40)

(38)

28

因對時間微分後為 0，表示在此封閉曲線上之狀態將不會隨時間從封閉曲線上往內部或外部區域移動，而是將繼續維持在此封閉曲線上，則此封閉曲線即為此動態系統之極限環。如圖 3-12(a)，除了平衡點外，不同的起始點有它們各自的軌跡，

即各自不同的L v v



in^, sgp



的解。每個極限環鄰近的軌跡皆不會隨時間靠近、進入該極限環，也不會隨時間遠離該極限環，因為每個軌跡皆在其所屬的極限環上，因此這些極限環既不是穩定（stable）、不穩定（unstable），也不是半穩定（semi-stable）

極限環，而是隨遇穩定（neutrally-stable）極限環。由此可知，即使是電壓振幅大、

電晶體採用大信號模型的例子，電壓信號原本會隨時間收斂於平衡點上停止振盪，在加上了負阻電路後，電壓信號將能夠持續繞行於極限環上週期性振盪。雖然信號振幅大時，主動式電感中的電晶體轉導器將顯現其非線性特性，無法如電感電容諧振電路保持線性、提供正弦波信號，但經適當設計後仍能具備週期性振盪的特性，確實能勝任振盪器之應用。

(39)

4 第四章定頻振盪器

為了提供 USB 3.0、USB 2.0 以及影像傳輸應用各別所需的 30 MHz、12 MHz 與 27 MHz，因此此定頻振盪器之振盪頻率將會設計於三種頻率的最小公倍數 540 MHz，配合除頻器的使用即可得到這三個不同的頻率。

在電壓補償方面，將會使用低壓差穩壓器（LDO）在 3.0 至 3.6 V 的供應電壓範圍內，提供 2.7 V 的穩定電壓。並設計帶隙（bandgap）參考電壓電路，提供負溫度係數（complementary to absolute temperature）電壓以實現溫度補償功能。因主動式電感振盪器之振盪頻率會隨溫度上升而提高，也會隨供應電壓上升而提高，

因此在此刻意將帶隙參考電壓與低壓差穩壓器的輸出電壓設計為隨溫度上升而下降，以抵消原本會隨溫度上升而提高的振盪頻率。製程偏移方面，採用電容修整

（trimming）的方式，使振盪頻率在不同的製程角（process corner）皆能調整回 540 MHz。

使用主動式電感之振盪器動態系統分析及製程、電壓與溫度補償設計

國立臺灣大學電機資訊學院電機工程學系 碩士論文

Department of Electrical Engineering

College of Electrical Engineering and Computer Science National Taiwan University

Master Thesis

使用主動式電感之振盪器動態系統分析及製程、電壓與溫度補 償設計

Dynamical Systems Analysis and PVT Compensated Design for Oscillator Using Active Inductor

邱永全

Yung-Chuan Chiu

指導教授：鄭士康 博士 Advisor: Shyh-Kang Jeng, Ph.D.

中華民國 106 年 7 月

誌謝

中文摘要

ABSTRACT

目錄

圖目錄









表目錄

1 第一章 緒論

1.1 研究動機與目的

1.2 章節概要

1.3 本論文貢獻

2 第二章 背景知識

2.1 Gyrator 電路原理

2.2 無損單端 Gyrator-C 主動式電感

s     j

2.3 有損單端 Gyrator-C 主動式電感

  

 

2.4 基本電晶體實現之 Gyrator-C 主動式電感

2.5 線性度與大信號分析

 

 

 

 

 

 

 

 



 

   

3 第三章 動態系統分析

3.1 穩定性分析

 

 





 









 











 







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3.2 LC 諧振電路

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國立臺灣大學電機資訊學院電機工程學系碩士論文

使用主動式電感之振盪器動態系統分析及製程、電壓與溫度補償設計

指導教授：鄭士康博士 Advisor: Shyh-Kang Jeng, Ph.D.

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1 第一章緒論

2 第二章背景知識

3 第三章動態系統分析

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4 第四章定頻振盪器