1 Hash function
1.1 Introduction
在解題甚至是一般應用中，我們常常需要執行下列這些操作：
1. 檢索 (ex. 詢問某元素是否在某集合內) 2. 比較 (ex. 比較兩字串是否相同)
3. 映射 (ex. 把一個集合 S 映射到 {1 · · · n})
我們先前分別已經學過了一些工具可以解決上述的幾個問題 (如二元搜尋樹和 Trie 用於檢索、KMP 用於比較等等)，但在很多情況下如果元素的結構非常複雜，以上的 操作難度就會大幅增加。舉例來說，許多人常常用 BitTorrent 等 P2P 界面下載影片，
影片來源這麼多，到底要怎麼確定兩個巨大的影片檔案是不是同一個檔案呢？一個檔 案大小動輒數 GB，如果對於所有檔案都還要 O(n) 比較一下位元，將會非常耗費時 間。類似這樣的情形，我們通常會需要把原先複雜的資料型態轉換為較簡單的資料型 態，而轉換過程中使用的函數我們就稱為 hash function (雜湊函數)，映射後的所有可 能形成的狀態空間則稱為 hash table。
對於一個資料型態 T ，一個好的雜湊函數 f 通常需要滿足以下條件：
1. 對於一個 T 型態的元素 x ，f (x) 為一個 T � 型態的元素，且比較兩 T � 型態元素 是否相等的複雜度低於比較 T 型態。
2. 對於兩個 T 型態的元素 x, y ，若 x = y ，則 f (x) = f (y) 。
3. 對於兩個 T 型態的元素 x, y ，若 x̸= y ，則 f(x) ̸= f(y) 成立的機率應盡量高。
注意到我們並不要求第三點的機率等於 1 ，因為將複雜的型態轉為簡單的型態往 往會丟失部份訊息，從而降低代表性。舉例而言，如果我們想要針對僅含有小寫字 母，長度為 L 的字串設計一個雜湊函數將之映射到 [0, 1000000) 內的整數，則原始輸 入資料有 26L 種可能，映射到的對象卻只有 1000000 種可能，根據鴿籠定理必定會有 許多元素映射到同一個整數。然而這並不影響雜湊函數的作用，至少雜湊函數已經減 少許多不必要的比較。
底下我們介紹一些雜湊函數設計的例子，注意到雜湊函數設計的方式有很多種，很 多時候優劣性也不容易直觀判斷，所以在實務上使用雜湊函數時很多時候是需要一些 經驗與靈感的。
例題 1
給定 C 語言中 int 範圍內的整數 k ，請設計雜湊函數 f 將 k 映射到 [0, M ) 內 的整數。
解答
令 f (k) = k mod M 。
這是一個很常見的問題，例如排列組合問題中，解答常常是個很大的數值，為了避 免大家要寫大數的困擾，我們當然會希望輸出會是一個範圍內的數值。最常見的作法 就是取除以 M 的餘數，而這顯然滿足雜湊函數的前兩個要求。而第三個要求效果是 否良好則仰賴於 M 的選擇，根據數學性質我們知道 M 為質數且數值較大時，映射到 同一個元素的情形會較不嚴重，雜湊函數的正確性較高。
例題 2
給定字串 s = s1· · · sn ，字元集合大小為 C ，試設計雜湊函數 f 將 s 映射到一 個整數。
解答
令 f (s) = ∑n
i=1
si× Cn−i 。
此函數在字串演算法中扮演著重要的角色，稱為 rolling hash 。該函數實際上等價 於把字串作為一種 C 進位的數字系統，除了雜湊函數的前兩要素都符合外，連第三個 要素都能滿足機率為 1，理論上是個絕佳的雜湊函數。然而由於映射過後得到的整數 往往非常龐大，實務上我們往往還是需要如例題 1 一樣，將運算結果除以 M 取餘數，
導致雜湊函數的精確度瓶頸仰賴於設計者選取的質數 M 。 例題 3
給定 k 個長度為 n 的序列 A1· · · Ak，每次詢問其中兩序列是否為相同的集合 (即包含的元素集合完全相同)。
解答
令 f (A) = A[1]⊕ A[2] ⊕ · · · ⊕ A[n] 。(⊕ 表示布林運算的 XOR)
如果我們直接每次都比較兩個序列，那麼複雜度是 O(n)。由於我們想知道的是元 素組成是否相同，元素的順序並不重要，因此可以設計如上的雜湊函數 f ，並且先
O(kn) 預處理所有序列的 f 函數，之後對於每組詢問直接檢查兩序列的 f 函數值是否
相等即可，詢問複雜度為 O(1)。當然，這犧牲了一些正確性。
例題 4
給定 k 個長度為 n 的序列 A1· · · Ak，每次詢問其中兩序列是否為相同的序列 (即元素順序也須完全相同)。
解答
接續例題 3，先令序列 B ={A[1], A[2] − A[1], · · · , A[n] − A[n − 1]}，即 A 序列 中相鄰兩數的差，再令雜湊函數 g(A) = f (A) + f (B)。
相較於上題，本題的要求更嚴格，連元素之間的順序關係也是需要考慮的部份。一 個解決的辦法是把前一題的想法強化，先定義序列 B ，再將兩序列的 f 函數值相加。
如此一來如果兩序列 A1, A2 元素組成相同但順序不同，則 f (A1)和 f (A2) 會相等，但 f (B1) 和 f (B2) 很可能不相等，導致 g(A1) ̸= g(A2) 的機率較高，達到雜湊函數的需 求。
1.2 Conflict
在上一小節中，我們已經提到 hash function 的侷限性：由於丟失部份資料，且必 須滿足映射到的型態較原型態更易操作，難免會有兩個不同的元素在經過轉換後變成 相同的元素。我們稱這種情形為「碰撞」(hash conflict)。為了避免碰撞造成的誤判，
我們最常見的處理方式有如下四種：
1. 視而不見：
總是假設碰撞不存在。無視並不代表消極處理，而是代表我們沒必要或者沒辦法 處理此時的碰撞情形。舉例而言，前面提到的 P2P 檔案辨識問題，如果兩個檔 案經過 hash function 得到的驗證碼是相同的，理論上並不代表兩個檔案就是相 同的檔案，但在實務上我們會如此默認，因為確認的成本過於高昂且發生的機率 過低。
2. 閉合雜湊 (closed hashing)：
如果把映射後的結果看成座位，則碰撞可以看成是「有人搶了自己的座位」。這 時候閉合雜湊的解決方法是，如果真的在自己座位上的人不是自己 (即碰撞確實 成立)，那麼當前元素就按照某些特定的規則再去搶別人的空位。這樣做的好處 是使用的空間量較固定，壞處則是好的搶奪規則不好設計，且在碰撞嚴重時效率 不佳。
3. 開放雜湊 (open hashing)：
相較於閉合雜湊，開放雜湊在遭遇碰撞時的處理方式是「既然命運決定我們同個 位子，那只好擠一擠了」。開放雜湊的實做方式是在 hash table 的每個狀態裡都 維護一個 list，記錄所有同屬此狀態的相異元素。如果有某個元素已知映射到某 個狀態 S ，則為了避免誤判，我們可以進一步檢查 S 內 list 中的所有相異元素 來確定元素是否相等。由於實做相對方便，且可配合諸多優化方式 (如將 list 改 為二元平衡樹)，在解題實務上我們相較於閉合雜湊更常使用開放雜湊。
4. 多重雜湊：
一個便當吃不飽，可以吃兩個；一個雜湊函數不夠準確，我們當然也可以用兩 個！假如兩個雜湊函數 f, g 互相獨立，f 的誤判率為 p1 ，g 的誤判率為 p2 ，則 兩者同時誤判的機率就大幅下降為 p1× p2。類似地，若有更多彼此獨立的雜湊 函數，則誤判的機率為各個雜湊函數誤判率的乘積。多重雜湊的好處在於誤判率 足夠低後，我們甚至可以略去判斷碰撞的過程 (即視而不見)，壞處則為運算常 數增加，且設計許多獨立的雜湊函數並不容易。
※ 例題 4 實際上就是多重雜湊的一個應用，只是為了方便起見將兩個雜湊函數 直接相加起來。
雜湊函數本身並不穩定，相較於其他資料結構效能分析也更困難，因此一開始會不 容易掌握；但在平均效率上，雜湊函數卻有相當驚人的表現，實務上也隨處可見。希 望大家可以不要太過害怕其不穩定性，多多研究與嘗試，累積一些經驗後將會成為好 使又強力的工具。
習題
1. 請依照需求設計雜湊函數。請注意，以下題目並沒有標準答案，也不需要太在意運 算的時間複雜度，但是請大家盡量避免碰撞，例如令 ∀x, f(x) = 1 是不會得到任何 分數的 (笑)。
(a) (15 pts) 請設計一個雜湊函數 f 將一個簡單凸多邊形 P = {(x1, y1),· · · , (xn, yn)} 映射到一個整數，以判斷兩多邊形是否全等 (即在平面上經過平移或翻轉後兩 者完全疊合)，其中 xi、yi 皆為整數。另外，請保證 P1, P2 映射到不同的整數，
其中 P1 = {(0, 0), (5, 0), (5, 5), (0, 5)}, P2 = {(0, 0), (5, 0), (8, 4), (3, 4)} ，否則只 能得到部份分數。
※ 簡單凸多邊形：內角小於等於 180 度，且除了相鄰的邊相交於頂點之外，所 有邊彼此不相交。
(b) (15 pts) 請設計一個雜湊函數 f 將一個簡單凸多邊形 P = {(x1, y1),· · · , (xn, yn)} 映射到一個整數，以判斷兩多邊形是否相似 (即在平面上經過平移、翻轉或縮 放後兩者完全疊合)，其中 xi、yi 皆為整數。另外，請保證 P1, P2 映射到不同 的整數，其中 P1 ={(0, 0), (5, 0), (5, 5), (0, 5)}, P2 ={(0, 0), (5, 0), (8, 4), (3, 4)} ， 否則只能得到部份分數。
(c) (15 pts) 我們說兩棵 (節點和邊皆沒有權重的) 二元樹 T1, T2 「同構」(T1 = T2)，
若且唯若 T1, T2 滿足以下條件其中之一：
i. T1 = NULL 且 T2 = NULL
ii. T1 ̸= NULL 且 T2 ̸= NULL 且 T1.lef t = T2.lef t 且 T1.right = T2.right 請設計一個雜湊函數 f 將一棵二元樹映射到一個整數，以判斷兩棵二元樹是否 同構。
2. 在例題中，我們提到一個字串 s = s1s2· · · sn 的 rolling hash 為 H(s) =
∑n i=1
si× Cn−i mod M 其中 C 為字元集合大小，M 為設計者選擇的一個常數。
(a) (10 pts) 請描述如何在 O(n) 的時間內得到 H(s) 的值。
(b) (15 pts) 令字元集合為英文小寫字母，a = 0, b = 1,· · · , z = 25，C = 26，M = 1000007。請列出三個互不相同，但長度相等的字串 s1, s2, s3，滿足 H(s1) = H(s2) = H(s3)。(你可能會想要寫點 code。)
(c) (15 pts) 令 s[l : r] = slsl+1· · · sr 為 s 的一個長度為 k = (r− l + 1) 的子字串。
已知 s[l : r] 的 rolling hash 值 H(s[l : r]) = x ，且 H(s[l + 1 : r + 1]) = y ，請 以 x, si, k, C, M 表示 y 。(以數學形式表達即可，不需要考慮程式上的細節) (d) (15 pts) 給定兩個長度分別為 n 和 m (n ≤ m) 的字串 s, t ，請描述如何使用
rolling hash 在 O(n + m) 的時間內，判斷 s 是否為 t 的子字串。為了方便起見，
可以假設 hash value 不會發生碰撞。
