一道面積比公式的另證

(1)

一道面積比公式的另證

連威翔

一、前言

在數學傳播 30 卷 2 期「換個觀點看三角形的四心」一文中 (見[1]), 作者證明了底下的面積比公式:

公式1: 設 H 為銳角 △ABC 的垂心, 則

△ABH : △BCH : △CAH

= (c⁴− a⁴+ 2a²b²− b⁴) : (a⁴− b⁴ + 2b²c²− c⁴) : (b⁴− c⁴+ 2c²a²− a⁴) 隨後, 作者並利用公式 1 計算了三個例題。

但筆者發現, 作者使用公式 1 計算其中第三個例題時, 解題的過程較長些, 這促使筆者想找出是否有另外的方法來處理該例題。經過一番嘗試之後, 筆者也以另外一個方法得到相同的解。

此外, 筆者也透過與求解該例題同樣的手法證明了公式 1。以下, 筆者將分享自己的解題與證明過程, 希望可做為 [1] 文的補充與對照。

二、例題的另解

在 [1] 中, 作者使用公式 1 所解的第三個例題如下:

例: 設 H 為銳角 △ABC 的垂心, 且 △ABH : △BCH : △CAH = 1 : 2 : 3, 求 △ABC 三邊長的比例值, 即 a : b : c = ?

解: 請參考下圖

圖1

80

(2)

在上圖中, 因為垂心 H 是三高的交會點, 我們可以將圖 1 中的三高還原如下圖 :

圖 2

注意圖 2 中 △ABH 與 △ACH 共用底邊 AH, 因此可得底下的面積關係 (面積比=高的比):

△ABH : △ACH = BD : CD 因此

BD

CD = △ABH

△ACH = 1 3 同理可知

AF BF = 3

2, CE AE = 2

1 因此可令

BD= s, CD= 3s, AF = 3u, BF = 2u, CE = 2t, AE = t 則 AB = 5u, BC = 4s, CA = 3t。由圖 2 知

AD² = AB²− BD² = AC² − CD²

⇒ 25u²− s² = 9t²− 9s²

⇒ 8s² − 9t²+ 25u² = 0 (1) 此外由圖 2 也有

BE² = AB²− AE² = BC² − CE²

⇒ 25u²− t² = 16s²− 4t²

⇒ 16s²− 3t² − 25u² = 0 (2) 由 (1), (2) 可解得

s² : t² : u² = 5 : 10 : 2

⇒ s : t : u =√ 5 :√

10 : √ 2

⇒ AB : BC : CA = 5u : 4s : 3t = 5√ 2 : 4√

5 : 3√

10 =√ 5 :√

8 : 3

(3)

或者寫成 a : b : c =√

8 : 3 :√

5, 這與 [1] 中第三個例題的解答相同。

三、公式的另證

本節中, 筆者將以第二節例題的解題手法來證明公式 1, 證明如下:

證明: 請先參考下圖

圖3 我們先假設

△ABH : △BCH : △CAH = p : q : r 依照與第二節例題相同的原理, 可知 BD : CD = p : r, 因此可令

BD= p

p+ rBC = pa p+ r CD = r

p+ rBC = ra p+ r 同理也可得

AF = rc

q+ r, BF = qc

q+ r, CE = qb

p+ q, AE = pb p+ q 由圖 3 可知

AD² = AB² − BD² = AC²− CD²

⇒ c²− pa p+ r

2

= b²− ra p+ r

2

⇒ c²− a²

1 − r p+ r

2

= b²− a² r p+ r

2

⇒ c²− a²

1 − 2r p+ r

= b²

⇒ c²− a²p− r p+ r

= b²

⇒p− r

p+ r = c²− b²

a² (3)

(4)

若 b 6= c, 由 (3) 我們可令 p − r = (c²− b²)d, p + r = a²d, 其中 d 6= 0, 因此 p: r = 2p : 2r = [(p + r) + (p − r)] : [(p + r) − (p − r)]

= [(c²+ a²− b²)d] : [(a²+ b²− c²)d]

= (c²+ a²− b²) : (a²+ b²− c²) (4) 若 b = c, 由 (3) 可知 p = r, 因此有

p: r = 1 : 1 = a² : a² = (c²+ a²− b²) : (a² + b²− c²) 此時 p : r 同樣符合 (4) 式。

由圖 3 同理可知

CF² = AC²− AF² = BC² − BF²

⇒r− q

r+ q = b²− a² c²

⇒ q : r = (c²+ a²− b²) : (b²+ c²− a²) (5) 將 (4), (5) 兩式分別改寫為

p: r = (c²+ a²− b²)(b² + c²− a²) : (a²+ b²− c²)(b²+ c²− a²) (6) q : r = (a² + b²− c²)(c²+ a² − b²) : (a²+ b²− c²)(b²+ c²− a²) (7) 將上兩式合起來看, 就有

p: q : r = [c⁴− (a²− b²)²] : [a⁴− (b² − c²)²] : [b⁴− (c²− a²)²] 這樣就得到了公式 1 中的面積比, 即

△ABH : △BCH : △CAH

= (c⁴− a⁴+ 2a²b²− b⁴) : (a⁴− b⁴+ 2b²c²− c⁴) : (b⁴− c⁴+ 2c²a²− a⁴). (8)

四、結語

重新看一次公式 1 的結論, 即 (8) 式, 我們可能會覺得奇怪的地方是, △ABH、 △BCH、

△CAH 三塊面積的因次是「長度的平方」, 但為何在 (8) 的右式出現的三項, 都是「長度的 4 次方」呢? 其實, 這是因為我們分別對 (4), (5) 進行擴分而得 (6), (7) 兩式時, 把 (4), (5) 這兩個 (因次) 原為長度平方的比改寫成了長度 4 次方比的緣故。想進一步了解因次概念的讀者, 不妨參考 [2]。

(5)

最後值得一提的是, 在第二節例題的解題過程中, 因為沒有用上公式 1, 對於較不偏好套用公式的讀者而言, 或許不失為一較直接的解法。

參考文獻

1. 劉俊傑。換個觀點看三角形的四心。數學傳播, 30(2), 28-39, 2006。

Available from: http://web.math.sinica.edu.tw/math_media/d302/30203.pdf.

2. 林琦焜。從量綱看世界。數學傳播, 33(3), 13-27, 2009。

Available from: http://web.math.sinica.edu.tw/math_media/d333/33302.pdf.

—本文作者投稿時任職於麥當勞竹南民權中心_—

2017 全國技專院校「文以載數創作獎」作品選集

圓周率 ^文 _/ ^方千豪

那千古的未解之謎, 去探究其幽深的邊際。

就連廣袤的蒼穹亦無法, 遮蔽它浩瀚無窮的原初之理。

自視甚高的數學家們前仆後繼, 皆徬徨於首尾相連的永劫迴廊裡。

趨之若鶩的賢者至今仍在追尋奇蹟, 僅為了觸及存在無窮之徑中的可能性。

僅為了觸及存在無窮之徑中的可能性, 趨之若鶩的賢者至今仍在追尋奇蹟。

皆徬徨於首尾相連的永劫迴廊裡, 自視甚高的數學家們前仆後繼,

遮蔽它浩瀚無窮的原初之理。

就連廣袤的蒼穹亦無法, 去探究其幽深的邊際。

那千古的未解之謎!

—本文作者就讀南臺科技大學應用日語系—

一道面積比公式的另證