傅立葉級數
林楨芸 June 26, 2015
傅立葉級數是法國數學家Joseph Fourier 在研究熱傳導方程時所提出的，希望熱傳導方程的解 能用正弦及餘弦函數的級數和來表示。傅立葉級數在數論、信號處理、光學、聲學、影像處理 等領域都有廣泛的應用，可說是與我們的生活息息相關。
考慮一個函數 f (t), t∈ [−π, π]，我們想知道是否可以找到實數 an和 bn將 f (t) 以正弦及餘弦函 數表示：
f (t) = a0
2 +
∑∞ n=1
(ancos(nt) + bnsin(nt)), −π ≤ t ≤ π (1) 而這樣的級數就稱為傅立葉級數。其中
cos t, sin t, cos 2t, sin 2t,· · · , cos nt, sin nt, · · · , 是所謂的諧波。這些諧波具有週期 2π
1 ,2π 2 ,2π
3 ,· · · ,2π n 。
微積分中主要工具
• 週期函數
一個定義在實數上的函數 f (t)，若存在常數 p > 0 使得 f (t) 都滿足下面等式
f (t + p) = f (t)對於所有 t∈ R (2)
函數 f (t) 被稱為週期函數，此數 p 被稱為 f (t) 的一個週期。如果一個週期函數 f (t) 具有 一個最小的週期 p > 0 ，則被稱作 f (t) 的基本週期。
• 無窮級數/級數收斂性
• 極限/單邊極限
• 三角函數的積分
1
討論
假設一個函數 f (t), t∈ [−π, π] 可以用正弦及餘弦函數表示，也就是說
f (t) = a0 2 +
∑∞ n=1
(ancos(nt) + bnsin(nt)), −π ≤ t ≤ π (3)
並假設我們可以對級數(1) 逐項積分。則 a0為 a0= 1
π
∫ π
−πf (t)dt (4)
且 an, bn, n≥ 1 如下 an= 1
π
∫ π
−πf (t)cos ntdt, bn= 1 π
∫ π
−πf (t)sin ntdt (5)
問題1. 說明
∫ π
−πsin nx cos mxdx = 0 對於所有 n, m
問題2. 說明
∫ π
−πcos nx cos mxdx =
0 如果n̸= m π 如果n = m
(6)
3
問題3. 計算
∫ π
−πsin nx sin mxdx
問題4. 說明等式(4) 和 (5)，也就是
a0= 1 π
∫ π
−πf (t)dt 且 an, bn, n≥ 1 為
an= 1 π
∫ π
−πf (t)cos ntdt, bn= 1 π
∫ π
−πf (t)sin ntdt
傅立葉級數
Definition 1 (傅立葉級數). 假設 f (t) 為一個分段連續函數，定義在 [−π, π] 之間。f(t) 的傅立 葉級數定義如下
a0 2 +
∑∞ n=1
(ancos(nt) + bnsin(nt)) (7)
其係數 a0 為
a0= 1 π
∫ π
−πf (t)dt (8)
係數 an, bn, n≥ 1
an= 1 π
∫ π
−πf (t)cos ntdt, bn= 1 π
∫ π
−πf (t)sin ntdt (9)
並稱為傅立葉係數。
備註5. 注意到這裏並沒有說1. 傅立葉級數是否收斂 2. f(t) 與其傅立葉級數是否相等。
5
在我們繼續往下討論傅立葉級數之前，讓我們用兩個問題思考一下「級數收斂」、「級數與函數 相等」有什麼陷阱。
問題6. 等比級數 1 + x + x2+· · · + xn+· · · 是否收斂？
問題7 (級數收斂/級數跟函數). 對一個可微分函數 f (x)，我們可以定義級數
f (0) + f′(0)x +f′′(0)
2! x2+f(3)(0)
3! x3+· · · + f(n)(0)
n! xn+· · · 稱作 f (x) 對 x = 0 的泰勒展式。考慮 f (x) = 1
1− x，求 f 對 x = 0 的泰勒展式。
問題8. 求函數 f (t) =cos2(3t) 的傅立葉級數。
定理1 (傅立葉級數的收斂性). 假設 f (x) 是一個週期為 2π 的函數且 f (x) 和 f′(x) 在 [−π, π] 上 都是分段連續。則我們有傅立葉級數收斂。在函數 f (x) 連續的地方，f (x) 等於其傅立葉級數 和。在 f (x) 不連續的地方，（設 x = a 唯一不連續點），其傅立葉級數和為 f (x) 在該點的左、
右極限的平均，即
1 2
( lim
x→a+f (x) + lim
x→a−f (x) )
問題9. 考慮方波函數(square-wave function) f (x) =
{
0, if − π ≤ x < 0
1, if 0≤ x < π (10)
並且 f (x + 2π) = f (x)。求方波函數 f (x) 的傅立葉級數。
7
Sn= 1 2 + 2
π sin x + 2
3πsin 3x +· · · + 2
nπsin nx, 其中 n 為奇數 問題10. 利用方波函數的傅立葉級數，說明
1−1 3 +1
5 −1
7 +· · · = π 4
隨堂練習
問題11. 如何計算下面級數和
1 + 1 22 + 1
32 +· · · + 1 n2 +· · ·
(解)
1. 計算在 x∈ (0, 2π) 上，Ax2+ Bx + C 的傅立葉級數。
2. 找出 A, B, C ，使得
Ax2+ Bx + C =
∑∞ n=1
cos nx n2
3. 1 + 1 22 + 1
32 +· · · + 1
n2 +· · · =
結語
傅立葉分析本身除了工程應用的重要性也是數學領域中的一個分支，我們今天利用簡單的微積 分看到如何用正弦、餘弦函數得到一個週期函數的傅立葉級數。在問題9 中，我們也看到傅立 葉級數的部分和是如何地逼近函數，因此傅立葉級數可用來當作函數的逼近式。未來同學在微 積分課程中也許不會碰到傅立葉級數，但會正式學到一些處理無窮級數的方法。
參考資料/圖片來源
1. http : //www.stewartcalculus.com/data/CALCULUS%206E%20Early%20Transcendentals /upfiles/topics/6et_at_01_fs_stu.pdf
2. https : //zh.wikipedia.org/wiki/ 熱傳導方程式
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