基波變換

基波變換

李孟書

前言

基波理論 (wavelets theory) 近年來 在調和分析的研究領域中相當熱絡。 本文試 著從古典傅立葉級數的概念開始, 簡略地引 入基波的構造方式, 並比較這兩者之間在一 些數學性質上的差異; 接著重點式地描述如 何導出在應用上常見的基波變換 (wavelets transform)。 最後舉一個用基波變換來做影 像壓縮 (image compression) 的例子作為 結束。

一. 引言:

在科學上有很多現象, 由於太複雜不易 直接去了解, 需要抽取實際問題的精要部分 去做較理想化的假設, 以簡化問題; 或是需 把問題分解成很多細小、 簡單或獨立的部分, 個個去理解它。 細小的部分了解後, 對於原來 大問題的解決, 就是把這些細小的部分綜合 (組合) 起來。 當然經由這種程序所得的結果, 須保持對原來問題在某種程度上的接近。 以 上的這些步驟, 就是一般所謂的分析與綜合 (analysis and synthesis)。 利用分析與綜合 的觀念, 假設我們要研究一個一維度的函數

f(x), 首先的 「分析」 步驟就是產生 f (x) 的 光譜 (spectrum) S(f ); 接著的 「綜合」 步 驟就是相當於用反變換 T (inverse trans- form), 還原回到函數 f (x) 本身, 也就是 T(S(f ))(x) = f (x)。 這種變換最著名的例 子便是傅立葉級數 (fourier series) 及傅立 葉積分 (fourier integral)。

假如 f (x) 是一個週期為 2π 的函數, 這 個傅立葉係數的數列, 就是光譜 S(f ),

S(f ) = {(Sf)^k}^∞k=−∞

= { 1 2π

Z

f(x)e^−ikxdx}^∞k=−∞

而反變換 T , 可經由乘法及求和得到 T({(Sf)^k}) =

X

(Sf )ke^ikx 而 T (S(f ))(x) = f (x) 就相當於這個函數 f(x) 可用傅立葉級數來表示。

另外一個例子, 假如 f (x) 是一個非週 期性的實函數, 我們有

S(f )(ξ) =

Z

−∞

f(x)e^−iξxdx T(S(f ))(x) = 1

2π

Z

−∞S(f )(ξ)e^iξxdξ

1

其中 S(f ) 就是 f (x) 的傅立葉變換, 而 T (S(f ))(x) = f (x) 就是傅立葉反變換 公式。

在數學及工程應用上尚有很多其他算子 (operator) 或變換 (transformation) 的例 子。 這些變換 S 與 T 到底要具有何種性質 呢? 這跟我們要解決的問題有關, 但一般說 來, 對於算子 S, T 的基本要求是它們應有 線性的 (linear) 性質, 也就是, 對任意的實 數α, β及函數f1, f2, 算子 S, T 滿足

S(αf1+ βf2) = αS(f1) + βS(f2) 及

T(α1f1+ βf2) = αT (f1) + βT (f2)

基於抽象化的理由, 這個算子 S 可 表成內積的形式, 也就是對於一群函數族 {g^k}^k∈K, 其中 K 是一個指標集, 我們有

S(f ) = {(Sf)^k}^k∈K = {hf, g^ki}^k∈K (1) 同時, 反變換 T 亦可表成,

T(S(f ))(x) = f (x) =

^X

k∈K

hf, g^kih^k(x) (2) 這裡 {h^k}^k∈K 是另一群函數族。 當我 們取上式中的 h_k(x) = gk(x) = ek(x) = e^ikx 時, 我們就得到傅立葉級數的模型, 也就 是

f(x) =

X

hf, e^ikxie^ikx (3)

在表示式 (2) 裡, 我們可看出如果要把 這式用到數值應用上的話, 我們需要對 S 與 T 多加一些性質。 首先我們希望能在等式的 右邊用適當的項數去逼近函數 f (x); 接著在 S(f ) 中所載的資訊, 我們除了用它來還原回 到函數 f (x) 外, 我們也希望能從它讀出函 數 f (x) 的一些性質, 如平滑性 (smooth- ness), 大小 (size) 等等。 可惜的是傅立葉級 數中的係數, 不足以來描述大多數的函數空 間 (function spaces) 中的平滑及大小特性。

二. 基波:

首先我們簡略的介紹基波如何從古典的 調和分析中的 Littlewood-Paley theory 演 進過來及近年來 (1985 年以後) 一群數學家 如何以更一般化的方法來構造它。

假 如ψ(x)是 一 個 具 有 快 速 減 緩 的 (rapidly decreasing) 實函數, 如 ψ(x) ≤

c

1+x², 而且滿足

^R

bψ(x

b), ψ_b^a(x) = 1

bψ(x− a b ) 則我們稱函數 ψ(x) 是一個基波 (wavelet)。

接下來我們可定義連續型的基波變換 (con- tinuous wavelets transform) 為函數 f (x) 與 ψ^a_b(x) 的內積。 亦即

hf, ψ^abi =

Z

−∞

f(x)ψ_b^a(x)dx = (f ∗ψ^b)(a) 而 (f ∗ ψ^b)(a) 中的 “∗” 為卷積 (convolu- tion)。

當得到 hf, ψb^ai 的值後, 我們有一個簡便的方 法來還原函數 f (x), 亦即我們有底下的表示 式, 對任一 f (x) ∈ L²(R), 我們有

f(x) =

Z

Z

−∞hf, ψb^aiψb^a(x)dadb b (4)

=

Z

0 (f ∗ ψ^b) ∗ ψ^bdb b

(4) 式有時亦稱為 Calderon repro- ducing formula。 其中ψ(x) 除了合乎上述的 條件外, ψ(x) 的傅立葉變換 ˆψ(ξ) 要滿足

Z

0 ( ˆψ(bξ))²db b = 1。

關於這式子的意義及推導細節, 有興趣的讀 者請參考[1]的第二章或 [2]的第一章, 這裡不 再重述。 有趣的是關於 (4) 式, 如果 ψ(x) 滿 足 Daubechies 書上 [1]第 56 頁 3.1.4 所述 之不等式 (即存在 A, B 兩正數, 使得對所有 f ∈ L²(R), Akfk² ≤

^P

m,n|hf, ψmⁿ > |² ≤ Bkfk², 其中 ψ_mⁿ(x) = 2^mψ(2^mx − n), m, n 為整數)。 則我們有一個類似於傅立葉 級數的離散型版本來表示函數 f (x)。 即

f(x) =

^X

k,j

hf, ψ^kjiψ

^e

其中 ψ 為 ψ 的一種對偶函數

^e

這個式子可解釋為對於 (4) 式的一 種逼近。 廣義上說來, 基波分析就像傅立葉 分析同樣是用來探討係數 hf, ψj^ki 及函數 f(x) 之間的關係。 事實上, 約在六十年前 (1930’s), 當基波這個名詞尚未出現時, 研 究調和分析的數學家, 就已經發展出一套理 論來描述大部分的古典函數空間與係數間的 關係。 這套理論現今稱為 Littlewood-Paley Theory。 這裡所提到的古典函數空間包括 H¨older spaces, L^p spaces, 1 < p <

∞, Sobolev Spaces 等。 這個情形正好是 給予傅立葉級數一個對比, 因為從 (3) 式及 Plancherel’s Theorem 知道, 唯一能被係數 的大小所描述的函數空間, 就是 L²(R) 及其 相關函數空間而已。 另外, 給定一個函數或訊 號 f (x), 對於 (3) 式及 (5) 式間的一個重要 差別是如何從係數部分來認知這個函數或訊 號在某個小區域的變化情形。 關於這一點, 我 們舉個例子來說明: 假如我們要分析的訊號 是如下圖。

訊號 f (t) 在不同的時間域 A, B, C, D 各有不同的行為。 為了說明起見, 讓我們 集中在 B 區域。 回想我們求傅立葉係數時,

是把整個訊號 f (t) 對各種不同的頻率做積 分, 這樣所得的結果必然有很多係數不為零, 但還原 (重建) 訊號 f (t) 在 B 區域的值時,

必須使得 f (t) = 0, 如何能做到呢? 就是要 利用這些不為零的項之間的抵消 (cancella- tion)。 這個性質源自於 sin, cos 函數在時間 域上散佈於整個實數軸, 因此在訊號處理的 應用上有時造成不便。 然而 (5) 式的基波展 開式卻能避開這個不便, 即基波係數 hf, ψj^ki 能代表訊號 f (t) 在某個小區域的特徵。 這個 重要的基波性質在 [4]裡有詳述, 請參閱。 在 本文最後的應用部分, 我們將用此特性來做 影像壓縮。

三. 基波變換:

以下我們略述基波的構造方法, 詳細請 參閱 [1]的第五、 六兩章。 這裡的重點放在如 何導出離散型基波變換 (discrete wavelets transform) 的演算法。 目前構造基波的方法 中, 以多重解像分析 (multiresolution anal- ysis) 最為普遍 (註一), 在這裡我們也採用此 法做為開始。

假如 V_j, j ∈ Z 是 L²(R) 的閉子空 間序列, 而且滿足以下的五個條件, 我們就稱 V_j, j ∈ Z 是 L²(R) 的一個多重解像分析。

(i) Vj ⊂ V^j+1

(ii) f (x) ∈ V^j ⇐⇒ f(2x) ∈ V^j+1 (iii) f (x) ∈ V⁰ ⇐⇒ f(x + 1) ∈ V⁰ (iv)

^S

j∈Z

V_j = L²(R), and

^T

j∈Z

V_j = {0}

(v) 存在一個函數 φ(x) 在 V0 中使得 {φ(x − k)}, k ∈ Z 是一個 V⁰ 的正 交基底。

從上述的幾個條件中, 我們可得以下的 一些結論。

(a) 因為 φ(x) ∈ V⁰ ⊂ V¹, 我們可找到 一個序列 (hk) 使得

φ(x) =

^X

k

h_k√

2φ(2x − k)

特別在 Daubechies 的書裡 [1]提到, 如果加上一些條件限制, 我們可找到有限的 序列 (hk)²_k=0^{N −1}, 使得 φ 函數的緊羷o支 柱(compact support) 是 [0, 2N − 1], 而 且 φ(x) 函數的平滑性隨著 N 增加而遞增, 其中 N ≥ 2。(註二)

(b) 函 數 φ(x) 經 過 平 移 及 放 大(translation and dilation) 我們有

φ_j, ℓ(x) =

^X

k

h_k−2ℓφ_j+1,k(x) (6) 而 φj,ℓ(x) 是 Vj 上的一個正交基底, 其 中 φ_j,ℓ(x) 定義為 2^j2φ(2^jx− ℓ)。(註三)

因為 φ_j,ℓ(x) = 2^j2φ(2^jx− ℓ)

= 2^j2

^X

k

√2hkφ(2^j+1x− 2ℓ − k)

= 2^j+12 (

^X

k

h_kφ(2^j+1x− 2ℓ − k))

= 2^j+12 (

^X

k

h_k−2ℓφ(2^j+1x− k))

=

^X

k

h_k−2ℓφ_j+1,k

(c) 假如我們定義 W0 是 V0 在 V1 上 的正交互補(orthogonal complement), 我 們得到 V1 = V0 ⊕ W⁰, 而在一般情況下是 V_j+1 = Vj ⊕ W^j。 對於多重解像分析裡一個 基本的重要結果便是存在一個函數 ψ(x), 使 得 ψ(x − k), k ∈ Z, 是 W⁰ 的一個正交規

格化基底(orthonormal basis), 而且 ψ(x) 可表成

ψ(x) =

^X

k

g_kφ(2x − k), g^k = (−1)^kh_1−k 同樣的, ψ(x) 經過平移與放大, 我們有

ψ_j,ℓ(x) =

^X

k

g_k−2ℓφ_j+1,k (7) 其中 ψ_j,ℓ(x) 與 φj,ℓ(x) 有相同的定義, 亦 即 ψ_j,ℓ(x) = 2^j2ψ(2^jx − ℓ); 而 {ψ^j,ℓ; j, ℓ ∈ Z} 是 L²(R) 上的正交規格化基底, 也就是 L²(R) = ⊕W^j, 如果結合一些較小 的頻率在一起, 我們也可把上式表成

L²(R) = Vj0

M

W_j,

其中 j0 是某固定的整數。

接下來, 我們定義 Pj, Qj 分別為 L²(R) → V_j, L²(R) → W_j 的正交投射算 子(orthogonal projector)。 從以下的式子 裡, 我們即將導出, 如果給定一個函數 f (x), 如何經過離散型基波變換, 類似於快速傅立 葉變換 (fast fourier transform), 算出它的 基波係數 (wavelets coefficients), 以做進 一步應用。

對於任一給定函數 f (x) ∈ L²(R), 定 義 fj(x) 為函數 f (x) 在 Vj 層上的正交投 射, 我們有

f_j(x) = Pjf(x) =

^X

ℓ

c_j,ℓφ_j,ℓ(x) 其中係數是 f (x) 與 φj,ℓ(x) 經由內積而來, 也就是 c_j,ℓ = hf, φ^j,ℓi, 而正交投射算子的特 性 PjP_j+1 = Pj, 告訴我們可更進一步計算 係數 c_j,ℓ,

c_j,ℓ = hf^j+1, φ_j,ℓi

=

^X

k

c_j+1,khφ^j+1,k, φ_j,ℓi (8)

=

^X

k

c_j+1,kh_k−2ℓ

同樣地, 對於任一給定函數 f ∈ L²(R), 定 義 wj(x) 為函數 f (x) 在 Wj 層上的正交投 射, 我們有

w_j(x) = Qjf(x) =

^X

ℓ

d_j,ℓψ_j,ℓ(x) 其中係數 d_j,ℓ = hf, ψ^j,ℓi, 而且利用 (7) 式, 我們可計算出

d_j,ℓ =

^X

k

c_j+1,kg_k−2ℓ (9) 關於 (8) 及 (9) 式, 告訴我們以下這樣的 事實: 如果我們以某一個固定層 V_j+1 對 f(x) 的逼近 fj+1 為開始, 表示式 (8) 的 計算將得到 fj, 是較粗層 Vj 對 f (x) 的 逼近, 而 (9) 式的計算代表著函數 f (x) 在 這兩個鄰近層 Vj+1, Vj 逼近所“遺失”的資 訊。 現在, 假如我們從 cj+1 開始, 由 (8) 及 (9) 的式子裡可得 cj, dj, 然後再從 cj 及 式子 (8), (9) 去得到 cj−1, d_j−1. . . 一直做 下去。 在實際應用上, 我們只做有限次, 便停 止。 有時稱此部分的步驟為“分解” (Decom- position)。“還原”(Reconstruction) 的步驟 則告訴我們如何從 cj−1,ℓ 和 d_j−1,ℓ 來計算 c_j,k。 因為

c_j,k = hf^j, φ_j,ki

= hf^j−1+ wj−1, φ_j,ki

=

^X

ℓ

c_j−1,ℓhφ^j−1,ℓ, φ_j,ki +

^X

ℓ

d_j−1,ℓhψ^j−1,ℓ, φ_ji

=

^X

ℓ

c_j−1,ℓh_k−2ℓ+

^X

ℓ

d_j−1,ℓg_k−2ℓ

我們以下圖來表示它們的演算法。

到此我們可發現在應用離散型的基波變換時, 真正在意的是這些係數 hk、g_k, 而在電機工 程上, hk、g_k 亦稱為濾波係數 (filter coeffi- cients)。 至於如何找到這些值及係數 hk、g_k 間的性質, 請參考 Daubechies 的書 [1]第六 章。

四. 應用:

影像壓縮是基波理論的其中一個應用。

一般說來, 一個工程上處理的影像, 或稱為 數位化的影像 (digitized image), 需要佔據 相當大的儲存記憶體。 例如一個 512 × 512 pixel, 24 bits 的彩色影像, 就需要 0.75 Mega bytes 來儲存。 近年來, 由於個人電腦 多媒體 (multimedia) 的流行趨勢, 要將大 量的資訊儲存於記憶容量有限的 PC 上, 影 像壓縮的技術也就更被重視了。

影像壓縮的種類可分為不失真 (loss- less) 及失真 (lossy) 兩種。 前者強調在還

原過程中沒有失去任何資料或訊息; 而後者 是以願意接受在處理過程中有些微誤差但仍 維持一定程度的影像品質為原則。 在失真壓 縮裡最常用來處理影像的程序是經過變換編 碼 (transform coding), 目前在電機工程上 利用離散餘弦變換 (discrete cosine trans- form) 的 JPEG, 就是屬於這類。 而這裡我 們要介紹另一種失真壓縮處理—離散型基波 變換。

為了方便討論起見, 讓我以一個灰度 (grayscale) 為 256(8 bits) 的 L × L 黑 白影像為例。 我們可準確地描述這個影像為 一個定義在方格上的常數函數, 亦即

f(x, y) = pij 其中

 

 

 



i≤ x < i + 1 j ≤ y < j + 1 0 ≤ i, j < L

而 pij 的灰度值為整數值, 且 0 ≤ p^ij ≤ 255

以圖表示則為:

工程上, 影像壓縮的技術相當複雜。

一個圖像首先要經過變換, 得到一些係數 (如 wavelets coefficients) 後, 還 需 經 過 量 化 (quantization)、 編碼 (coding),

以便傳遞輸送。 當訊號傳送到另一端後, 需解 碼 (decoding), 解壓縮 (decompression), 才能讓影像重新出現在該端的螢幕上。 由於 自量化到解碼的過程屬電機工程的研究範圍。

在此我們略過這部分, 僅就基波變換以取得 係數的部分, 來加以討論:

對於一個影像 (相當於 f (x, y)), 經過 基波變換 (就是上節提到的“分解”步驟), 我 們設定一個臨界值 (threshhold), 讓基波係 數大於這個臨界值的保留下來, 而其他小於 這個臨界值的基波係數設為 0, 然後再把剩下 的基波係數經過反基波變換 (相當上節提到 的“重建”步驟), 還原回到逼近原來的影像。

我們可以下圖來說明這整個步驟:

圖一. 原來的影像 “Lanna”

圖二. 經壓縮還原後的影像, 壓縮比 10:1.

圖三. 經壓縮還原後的影像, 壓縮比 20:1.

圖四. 經壓縮還原後的影像, 壓縮比 30:1.

圖五. 經壓縮還原後的影像, 壓縮比 50:1.

圖六. 經壓縮還原後的影像, 壓縮比 100:1.

在此我們附有一些經過壓縮後的影像及原來 的影像圖片。 這裡我用在基波變換中的基波 是 Daubichies 書 [1]中的 W6 基波 (見該書 195 頁表中 N = 3 的情形)。 讀者比較觀察 下, 可發現如果壓縮比是 10:1 或 20:1, 則影 像的畫質, 整體看來, 與原來的影像幾乎沒有 什麼差別; 但如果基波係數被刪除的愈多 (即 壓縮比愈大), 則影像的品質就更模糊, 這裡 所謂的壓縮比 (compression ratio) 定義為:

壓縮比 = 原來的總基波係數 刪除後剩下的基波係數。 註一: S. Mallat 及 Y. Meger 在 1986 年

首先提出這個方法。

註二: Daubechies 構造出的基波所具有的 緊緻支柱特性, 是六十年來數學家所尋 求的, 這是她成名的原因。

註三: 這裡基波符號定義的方式與上節略有 不同, 它們分別代表兩個不同時期基波 的定義方式。

參考書籍

1. I. Daubechis, “Ten Lectures on Wave- lets” (1993), SIAM 出版。

2. M. Frazier, B. Jawerth and G.

Weiss, “Littlewood - Paley The- ory and the Study of Function Spaces” (1991), AMS 出版。

3. W. Press, B. Flannery, S. Teukolskg, W. Vetterling, “Numerical Recipes in C” (1992), Cambridge University Press 出版。

4. 李孟書,“從哈耳級數到基波理論” 「數學傳 播 」, 第 16 卷第 3 期, 68-71 頁, 81 年 9 月。

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