傅立葉級數

傅立葉級數

單維彰

一. 前言

八十四年及八十六年的春季, 我在中央 大學嘗試了一門新的課程, 現在定名叫計算 富氏分析 (Computational Fourier Anal- ysis)。 課程的內容是以傅立葉級數 (Fourier series) 和傅立葉轉換 (Fourier transform) 為數學基礎的應用與計算問題, 包括介紹凌 波函數 (wavelets), 以及介紹數位訊號處理 (signal processing) 這個應用課題, 還有關 於它們的演算法則。

有鑑於數位化的聲音與影像, 逐漸隨著 電子計算機網路的普及而成為日益重要的新 資料形態。 我認為訊號處理這門課題應該會 成為應用數學的一支重要方向。 因此也希望 這一代的學生能夠及早接觸這個領域。 所以 我選擇將這門課設計成大學三四年級程度的 選修課程。 預備知識只留下傳統的高等微積 分和線性代數。

為了有足夠的時間處理應用課題, 我們 必須精簡地介紹數學的理論基礎。 何況大部 分學生在學期之初並不具備完整的數學背景 (我們鼓勵學生同時修實變函數論或富氏分析 之類的純數學課程, 以收相輔相成之效, 但並 不是很多學生能夠接受這樣的建議)。 所以我

們必須在相對來說比較短的時間內, 為學生 準備一套比較簡略的數學基礎課程, 以備後 來的應用課題之需。

首先我們花三小時複習線性代數, 特別 是將正則基底 (orthonormal basis) 推廣到 對偶基底 (dual bases) 和框架 (frame) 的 觀念。 然後花三小時簡單地介紹 L²空間和模 (norm), 內積, 投影這些觀念, 並盡量用

R

²

平面幾何作為類比, 提高學生的直覺認識。 接 著是三小時的傅立葉級數簡介, 然後就開始 講傅立葉轉換, 離散傅立葉轉換 (DFT) 和 其快速算法 (FFT)。

以下就是我所設計的三小時傅立葉級數 課程。 此間搜集了將來在應用課題上所需要 的核心理論, 和兩個在訊號處理上的兩個極 重要的觀念: 高頻係數較小和 Gibbs 現 象。 除了對本系的選修學生之外, 我也在中央 電機和中山應數的短期課程中用過這篇講義。

我發現此間的內容雖然簡單而且標準, 卻不 為一般的數學課程所涵蓋。 所以, 想嘗試藉這 個園地, 將這一小段經過整理的課程與同仁 們分享, 並請不吝指教。

二. 定義

81

所謂 Fourier 級數是指 a0+

X

∞ n=1

ancos nx + bnsin nx 這樣的級數。 它首次出現於 Euler (1707–

1783) 的一個等式 1

2x= sin x−1

2sin 2x+1

3sin 3x−· · · , x∈ (−π, π)。

但是數學史上並沒有以 Euler 來命名這一 類的級數。 或許是因為以 Euler 命名的數 學結構已經夠多了, 也或許是因為 Fourier (1768–1830) 發現這類級數的原因具有比較 深的數學影響。 Fourier 是一個與拿破侖同期 的法國人, 曾經是拿破侖的御用科學家, 隨軍 遠征埃及, 並對古埃及文化的研究有所貢獻。

他所發掘的一件著名契形文字泥版, Rosetta stone, 在他被英國海軍俘虜的時候給沒收 了, 現在展示於大英博物館。 他的穩定的科 學家生活始於拿破侖被流放南大西洋的小島 (1814)。 但是他在 1807 就已經提到過這一 類的級數。

Fourier 是在研究熱傳導問題的時候, 發現這種三角級數的應用。 但是這種級數的 使用遠在它的嚴格意義被數學家瞭解之前。

由於這 Fourier 級數所衍生的許多數學問 題, 諸如一致性與嚴密性等等, 被某些數學 家認為是主導了近代分析學的發展, 並成為 所謂 “數學分析” 的一支主流。 至於在這一 方面有主要貢獻的人, Rudin 舉出三個我們 應該熟悉的名字: Riemann, Cantor 和 Lebesgue。

首先, 所謂三角多項式 (trigonometric polynomial) 是以下形式的函數

a0+

N

X

n=1

ancos nx + bnsin nx。 (1) 其中 N 是一個正整數, x 是實數, 在此我們 假設 an, bn 也都是實數。 很明顯的, 三角多 項式是一個以 2π 為週期的函數。

由著名的 Euler identity e^iθ = cos θ + i sin θ, 其中 i =√

−1, 我們可以改寫 cos nx = e^inx+ e^−inx

2 , sin nx = e^inx− e^−inx

2i 。 所以, 這個三角多項式又可以寫成

N

X

n=−N

cne^inx。 這時 x 是實數, cn 就是複數了。

習題: (1) 1

2π

Z

π

−πe^inxdx =

(

1 if n = 0, 0 otherwise。

(2) {^√1_2πe^inx | n ∈

^Z

} 在 L²(−π, π) 上形 成一組正則集合。 注意, 複數值函數的內積是 (f, g) =

^R

fg。¯

(3) {^√1_2π,^√1_π cos nx,^√1_π sin nx | n > 0}

在 L²(−π, π) 上形成一組正則集合。

(4) 定義 Dirichlet kernel DN(x) =

P

N

n=−Ne^inx。 證明

DN(x) = sin(N + ¹₂)x sin^x₂ 。

很明顯的, 由 {^√1_2πe^inx} 的線性組合所 造成的函數都是以 2π 為週期的函數。 注意,

除了零以外, 它們不會是屬於 L²(

R

) 的函數。

Fourier 級數的理論大致上是說, 如果 f (x) 是一個以 2π 為週期的函數, 什麼時候它可以 寫成一個 Fourier 級數的和:

f(x) =

X

∞ n=−∞

fne^inx (2) 這個等式的確實意義留待後面說明。

定義 (u, v)T = _2π¹

^R

_−π^π u¯v dx, 則

fn= (f (x), e^inx)T

= 1 2π

Z

π

−πf(x)e^−inxdx。 (3) 此後, 若 u(x) 是一個以 2π 為週期的函數, 且 (u, u)T <∞, 則記作

u(x) ∈ L²p(−π, π)。

定義 kuk²T = (u, u)T = _2π¹ kuk²L²(−π,π)。

三. 實驗

注意 (3) 式。 由於 e^inx 覆蓋整個 [−π, π], 所以 f(x) 的一點局部的變化就影

響到所有 fn 的值。 換句話說, 即使 f (x) 和 g(x) 只有在很小的一段區間內不同, fn 和 gn 也可能就全然不同。

例如, 若 f (x) = 0, 則 fn= 0。 但是若 變化一點點, 令

f(x) =

(

₁

4 − |x| if |x| < ¹4, 0 otherwise

x∈ [−π, π], (4) 然後拓展 f (x) 成 2π 週期函數。 可見 f (x) 是一個偶函數, 所以對應 sin nx 的係數都是 零, 故 fn ∈

^R

而且 fn = f_−n。 計算得 f0 = _32π¹ , f1, . . . , f16 的值依序是:

0.0099 0.0097 0.0095 0.0091 0.0087 0.0082 0.0077 0.0070 0.0064 0.0057 0.0051 0.0044 0.0038 0.0031 0.0026 0.0021 而所得的部份和如圖一。

−3 −2 −1 0 1 2 3

−0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

圖一

四. 基底

首先講幾個非 Fourier 級數所專有的 一般理論。 如果 {φⁿ(x)} 是在 L²(a, b) 上 的一組正則集合 (未必是基底), 令 V = span{φⁿ(x) | 1 ≤ n ≤ N} 是一個有限 維子空間。 則 f ∈ L²(a, b) 在 V 上的投影 是

P f(x) =

N

X

n=1

fnφn(x), 其中 fn=

Z

b

a f(x) ¯φn(x) dx。

那麼 P f 將是 f (x) 在 V 中的最佳逼近。

定理: 若令 t(x) =

N

X

n=1

tnφn(x), 則

kf − P fk^L2(a,b) ≤ kf − tk^L2(a,b) 而等式成立若且唯若

fn= tn, 1 ≤ n ≤ N。

證明: 由 fn 的定義,

Z

b

a f ¯t dx=

N

X

n=1

¯tn

Z

b

a f ¯φndx=

N

X

n=1

fn¯tn。 再由 {φⁿ} 的正則性,

ktk²L²(a,b)=

Z

b a t¯t dx

=

^X

n,m

tn¯tm

Z

b

a φnφ¯mdx

=

N

X

n=1

|tⁿ|²。

如此得到

kf − tk²L²(a,b)

=

Z

b

a |f|²− f ¯t− ¯f t+ |t|²dx

=kfk²L²(a,b)−

N

X

n=1

fn¯tn+ ¯fntn− |tⁿ|²

=kfk²L²(a,b)−

N

X

n=1

|fⁿ|²+

N

X

n=1

|fⁿ−tⁿ|²。(5) 所以 kf − tk^L2(a,b) 最小的可能就是當 fn = tn 的時候, 也就是 t = P f 的時候。

令 (5) 式中的 fn = tn。 則 0 ≤ kf − P fk²L²(a,b)

= kfk²L²(a,b) −

N

X

n=1

|fⁿ|²。

再令 N → ∞ (如果有那麼多 φⁿ(x) 的話), 則得到所謂的 Bessel 不等式

X

∞ n=1

|

Z

b

a f(x) ¯φn(x) dx|² ≤

Z

b

a |f(x)|²dx。

(6) 一個簡單的推論是, 如果 {φn(x)} 是一組正 則集合, 則

nlim→∞

Z

b a

f(x) ¯φn(x) dx = 0。 (7)

五. 低頻與高頻

由 (7) 式得知 lim f_n → 0; 也就是說 當 |n| 很大的時候, |fⁿ| 很小。 但是, 用 (1) 式的角度來看, fn 和 f_−n實際上是組成 a_|n|

和 b_|n| 的值。 現在我們暫時只看 (1) 式和 n > 0 的情形。 an 和 bn 分別是 cos nx 和 sin nx 的係數, 這時候 n 是這兩個波形的頻

率。 這也就是說, 當 n 大的時候, an 和 bn

代表了 f (x) 的“高頻”分量; 或說, f_±n 是 f(x) 的高頻分量。 那麼以上的數學敘述, 就 是說一個 2π 週期函數一定可以被整數頻率

的正餘弦波展開而且高頻的分量一定很小。

這個“高頻分量很小”的現象, 除了在數 學辨證中看得出來, 也可以有直覺的認識。 假 想一個 f (x), 在 [−π, π] 中如圖二。

f (x)

−3 −2 −1 0 1 2 3

−5

−4

−3

−2

−1 0 1 2 3 4 5

圖二 則 f (x) sin x 繪於圖三而 f (x) sin 20x 繪於圖四。

f (x) sin x

−3 −2 −1 0 1 2 3

−5

−4

−3

−2

−1 0 1 2 3 4 5

圖三

_{f (x) sin x}

。

f (x) sin 20x

−3 −2 −1 0 1 2 3

−5

−4

−3

−2

−1 0 1 2 3 4 5

圖四

f (x) sin 20x

。

R

π

−πf(x) sin xdx 是圖三中y軸上方的面 積減去下方的面積, 數值大約是−2.5203。

R

π

−πf(x) sin 20x dx 則是圖四中的面積差, 由圖可見上下部份幾乎互相消去, 所以應該 很小; 大約是 0.0516。

六. Parseval 定理

Parseval 定理基本上就是說, 在三角級 數的情況下, Bessel 不等式的等號成立。 考 慮 L²_p(−π, π) 上的正則集合 ^√1_2πe^inx, 若 f ∈ L²p(−π, π), 定義其三角多項式展開為

F^N(f, x) =

N

X

n=−N

fne^inx, 其中 fn= (f (x), e^inx)T。 而 Fourier 級數則為

F(f, x) = lim_N

→∞F^N(f, x)。

當 |fⁿ| < ∞, 我們就說 f(x) 可以作三角 多項式展開。 假設 f ∈ L²p(−π, π), 使得

|fⁿ| ≤ kfk^Tke^inxk^T = kfk^T。 但這個假設 其實太強了一點, 只要

^R

_−π^π |f(x)| dx < ∞, 也就是說 f ∈ L¹(−π, π), 就可以有

|fⁿ| ≤ 1 2π

Z

π

−π|f(x)| |e^−inx| dx

=

Z

π

−π|f(x)| dx < ∞。

但是, 如果 f (x) 只是在 L¹(−π, π), 我 們並沒有一個類似 Parseval 的理論保證 F^N(f, x) 的收斂性。 甚至可以找到一個 (病 態的) 例子, 使得 limN→∞F^N(f, x) 在每一 點 x 都發散。

Parseval 定理: 依上述符號,

nlim→∞kf(x) − Fⁿ(f, x)k^T = 0, (8) 而且

X

∞ n=−∞

|fⁿ|² = kf(x)k²T。 (9) 如果 g(x) ∈ L²p(−π, π), F(g, x) =

P

gne^inx, 則

(f, g)T =

X

∞ n=−∞

fn¯gn。 (10)

證明: 給定任意的 ǫ > 0。 我們利用兩 個未經證明的結果。 第一, 存在一個連續函數 h(x) ∈ C(−π, π), h(−π) = f(−π) = f(π) = h(π) 而且 kf − hkL²(−π,π) < ǫ。

可以拓展 h(x) ∈ L²p(−π, π)。 第二, 如果 h(x) 是一個連續的 2π 週期函數, 則存在一 個三角多項式 P (x) 使得

|h(x) − P (x)| < ǫ, ∀x ∈ [−π, π]。

(參見後面的逐點收斂定理。)

由 k · k^T 的定義, 得到 kh − P k^T < ǫ。

假設 P (x) 的階數是 N0。 由於 Fⁿ(h, x) 是 h(x) 的最佳三角多項式逼近, 故

kh−F^Nhk^T ≤ kh−P k^T < ǫ, ∀N > N⁰。 又由 Bessel 不等式,

kF^Nf−F^Nhk^T=kF^N(f − h)k^T

≤kf − hk^T

= 1

√2πkf − hk^L2(−π,π)

< 1

√2πǫ。

所以

kf −F^Nfk^T≤kf −hk^T+kh−F^Nhk^T +kF^Nh− F^Nfk^T

<(1 + 2

√2π) 因為 ǫ 是任意正數, 故得 (8)。

由 Schwarz 不等式,

|

Z

π

−πf¯g dx−

Z

π

−πF^Nfg dx¯ |

≤

Z

π

−π|f − F^Nf| |g| dx

≤ kf − F^Nfk^L2(−π,π)kgk^L2(−π,π)。 令 N → ∞, 得到

(f, g)T = lim

N→∞(F^Nf, g)T

= lim

N→∞

N

X

n=−N

fn(e^inx, g)T

=

X

∞ n=−∞

fng¯n。 故得 (10)。 把 g 換成 f 就得 (9)。

七. Gibbs 現象

但是 Parseval 定理說的是 L² 模之 下的平均收斂。 這並不代表對每一個點 x ∈ [−π, π], 我們的三角級數都會逐點收斂, 也 就是:

nlim→∞|f(x) − Fⁿ(f, x)| = 0

如果 f (x) 在某點 x0 不連續, 但是 f (x^±₀) = lim_x→x^±

0 f(x) 存在而且 f (x) 在 x0 兩側附 近均平滑。 則 F^N(f, x₀) 將收斂到

f(x⁺₀) + f (x⁻₀)

2 。 (11)

更有趣的現象是, F_N(f, x) 在 x0 的兩側都 有射過頭的部份。 這一部份的“寬度”隨著 N 變大而變窄, 但是它們的“高度”卻大約是個 常數。 根據 Parseval 定理, FNf 還是收斂 到 f (x), 在 L² 模的意義之下。 這是一個非 常著名的現象, 稱作 Gibbs phenomenon。

雖然這個現象事後被發現曾經出現於 1848 年的一篇文章 “On a certain periodic

function” 之中, 作者是劍橋三一學院的數 學家 Wilbraham。 但今人一般還是把這個現 象的發現與解釋歸功於兩篇分別於 1898 和 1899 年刊在美國 Nature 雜誌上的文章。

在 1898 年提出這個觀察現象的是美國 的物理學家 Michelson (1852–1931)。 他在 1892 年出任剛成立的芝加哥大學物理系的 第一位系主任。 因為他測定光速以及證明以 太 (ether) 不存在, 使他獲得 1907 年的諾 貝爾物理獎。 當時, 在自動計算機的發展歷史 上, 處於機戒類比型的時代。 在 1880 左右, 英國的物理學家 Lord Kelvin 利用類比積分 器發明了一種稱作 Harmonic Analyzer 的 計算機。 它的功能是可以依據輸入的 f (x) 圖

形計算其三角多項式係數; 也就是, (1) 式中 的 a_n 和 bn。 當時被用在對海潮的研究上, 所 以又有個名字叫 tidal harmonic analyzer。

這種機器一直到二次大戰期間還在使用。 在 1897 年間, Michelson 設計了一些技術, 使 得這種 Harmonic Analyzer 可以算出更高 項的 Fourier 係數; 起先是 20 項, 最後是 80 項。 他帶著這個機器參加 1900 年在巴黎 舉辦的世界博覽會, 得了首獎。

從這個計算機的輸出, Michelson 觀 察到以下這個現象。 令 f (x) = x, x ∈ [−π, π), 並拓展成一個 2π 週期函數, 如圖 五。 顯然 f (x) 在 (2k + 1)π 不連續。 我們

−6 −4 −2 0 2 4 6

−4

−3

−2

−1 0 1 2 3 4

圖五

只看 −π 和 π 兩點就可以了。 根據 Euler 早 就已經知道的等式,

f(x) = 2(sin x−1

2sin 2x+1

3sin 3x−· · ·)

= 2

X

∞ n=1

(−1)ⁿ⁺¹

n sin nx。

(f (x) 是個奇函數。) 但是, 不論是 n = 20 或

n= 40, Fⁿ(f, x) 看起來好像都會射過頭一 點點, 而且過頭的程度好像不會隨著 n 變大 而改善。 我們用 Matlab 的浮點計算重造這 兩個例子, 如圖六。 但是當時 Michelson 的 計算機的精確度只有三五個有效數字, 製圖 的功能也很原始。 他觀察這個超射的部份大 約是常數 0.56。

20 terms

−6 −4 −2 0 2 4 6

−4

−3

−2

−1 0 1 2 3 4

40 terms

−6 −4 −2 0 2 4 6

−4

−3

−2

−1 0 1 2 3 4

圖六

Gibbs phenomenon

雖然這個現象是由此特例觀察到的, 但 是只要 f (x) 有不連續的部份, 它就普遍性 地出現。

1899 年, Gibbs (1839–1903) 回應了 Michelson 的發現。 Gibbs 被譽為十九世紀 美國最偉大的數學物理學家。 他證明了, 上述 的 Fⁿ(f, x) 在 (2k + 1)π 附近的最大值減 最小值趨近於

4

Z

π 0

sin x x dx。

而上下超射的部份各是 2

Z

π 0

sin x

x dx− π ≈ 0.562281。

為了算式上的方便, 我們不完全跟隨 Michelson 和 Gibbs 的腳步來深究這個 現象。 我們取一個比較方便的 2π 週期函數 f(x) = π − x, x ∈ [0, 2π)。 這個 f(x) 在 x= 2kπ 時不連續。 f (x) 還是個奇函數, 故 an = 0。 前面說的所有有關 L²_p(−π, π) 的理 論和計算, 都可以移到 L²(0, 2π)。 因為

Z

2π

0 xsin nx dx = 2π n (用部份積分技巧), 得

F^N(f, x) = 2

N

X

n=1

sin nx n 。

明顯地, F(f, 2kπ) = 0。 令 g^N(x) = F^N(f, x) − f(x)。 則

g_N^′ (x) = 2

N

X

n=1

cos nx + 1 =

N

X

n=−N

e^inx

= DN(x)。

根據習題 (4), gN(x) 在 0 的右邊第一個相 對極值出現於

xN = π N +¹₂, 而 gN(x) 的另一個表示式是

gN(x) = gN(0) +

Z

x 0

sin(N + ¹₂)x sin^x₂ dx。

而在 0 右邊超射部份的極限將是

Nlim→∞gN(xN)

= lim

N→∞

Z

x_N 0

sin(N + ¹₂)x

sin^x₂ dx− π

= lim

N→∞

Z

π 0

sin θ sin ¹₂(_N^θ₊¹

2

) 1

N +¹₂ dθ− π

=

Z

π 0 2sin θ

θ lim

N→∞

1 2(_N+^θ1

2

) sin¹₂(_N+^θ1

2

)dθ− π

= 2

Z

π 0

sin θ

θ dθ− π。

從 Gibbs phenomenon 我們看到, 若 f(x) 不連續, 則 F(f, x) 不會逐點收斂。 那 麼是不是對連續函數就會逐點收斂呢? 差不 多了, 只要沒有趨近於垂直的切線, 例如 x¹³ 在原點附近。 下一個定理給了一個逐點收斂 的充分條件。

八. 收斂定理

逐點收斂定理: 若 f (x) 是一個連續的 2π 週期函數。 對某個 x, 若存在常數 δ > 0, M <∞, 使得對所有的 h ∈ (−δ, δ),

|f(x + h) − f(x)| ≤ M|h|。

則

Nlim→∞F^N(f, x) = f (x)。

證明: 利用 Dirichlet kernel, F^N(f, x)=

N

X

n=−N

1 2π

Z

π

−πf(t)e^−intdt e^inx

= 1 2π

Z

π

−πf(t)

N

X

n=−N

e^in(x−t)dt, 故

F^N(f, x) = 1 2π

Z

π

−πf(x − t)D^N(t) dt。

(12) 當 |t| ∈ (0, π], 令

g(t) = f(x − t) − f(x)

sin₂^t , (13) 任意令 g(0) = 0。 由 f (x) 的性質, 知道 g(t) 也是 2π 週期函數。 而且, 因為 |g(t)| 在 [−δ, δ] 上有界, 由此推知 |g(t)| 在 [−π, π]

上有界。

由於 ¹

2π

R

π

−πDN(t) dt = 1, 故 F^N(f, x) − f(x)

= 1 2π

Z

π

−πf(x − t)D^N(t) dt

− 1 2π

Z

π

−πf(x)DN(t) dt

= 1 2π

Z

π

−πg(t) sin(N + 1 2t) dt

= 1 2π

Z

_π

−π(g(t) cos t

2) sin Nt dt +

Z

π

−π(g(t) sin t

2) cos Nt dt



。 由於 √¹πsin Nt 和 ^√1_πcos Nt 是 L²(−π, π) 上的一組正則集合, 由於 (7), 所以上式中最 後的兩個積分項都隨著 N → ∞ 而 → 0。

故得證。

第 (12) 式中型如

^R

f(x−y)g(y) dy 的 積分稱為 f 和 g 的折積 (convolution)。 記

作 (f ⋆ g)(x)。 這種積分, 和它的離散型式:

X

n

αk−nβn

都有許多奇妙的應用。 我們已經熟悉的是多 項式的乘法。 若

f(x) = αnxⁿ+ · · · + α¹x+ α0, g(x) = βmx^m+ · · · + β1x+ β₀。 則

(f g)(x) =

m+n

X

k=0

γkx^k, 其中

γk =

k

X

n=0

αk−nβn。

若我們把 (α_n), (βn) 和 (γn) 寫成無窮長的 數列, 但只有有限多項非零, 則

(γn) = (αn) ⋆ (βn)。

上面那個定理同時說明了 Fourier 級數 有一種局部性。 也就是說, 即使 Ff 和 Fg 在 某一段區間 (a, b) 內收斂到同一個函數, 它 們在 (a, b) 之外仍可以收斂到不同的函數。

這個性質和指數級數 (power series) 是不同 的。 兩個指數級數

X

∞ n=0

αnxⁿ,

X

∞ n=0

βnxⁿ

若在某一段區間 (a, b) 內收斂到同一個函數, 則

X

(αn− βⁿ)xⁿ = 0, x∈ (a, b)。

由導函數值可見 αn = βn, ∀n。 所以

P

αnxⁿ 和

^P

βnxⁿ 全然相等 (只要收斂 了)。

這種局部性, 也可以由圖一看出來。 雖 然 (4) 式中 f (x) 的 Fourier 係數 f_n 都不是零函數的係數 (fn 6= 0), 但是在 [−π, −¹₄] 之間 f (x) = 0。 而且 f (x) 顯然 滿足 Fourier 級數逐點收斂之條件。 所以它 的 Fourier 級數在 [−π, −¹₄] 之間將收斂到 零函數。

最後, 我們討論什麼時候 F^N(f, x) 會 收斂到平均值 (11)。 假設 f (x) 是個 2π 週 期函數, 在 (−π, π) 之間存在有限多個點 x₁ < . . . < xN, 使得 f (x) 在 (−π, x¹), (x₁, x₂), . . ., (xN, π) 之間是可微函數。 而 且, 在這些開區間之內, f (x) 和 f^′(x) 在區 間兩端點的單邊極限值均存在。 這樣的函數 我們簡稱為分片平滑的 2π 週期函數。

平均點收斂定理: 若 f (x) 是個分片 平滑的 2π 週期函數, 定義 f (x±) = limt→x^±f(t)。 則

Nlim→∞F^N(f, x)

=f(x−) + f(x+)

2 。

證明: 由於 Dirichlet kernel DN(x) 是個偶函數而且 ¹

2π

R

π

−πDN(x) dx = 1, 所 以

1

2f(x−) = 1

2πf(x−)

Z

π

0 DN(t) dt, 1

2f(x+) = 1

2πf(x+)

Z

0

−πDN(t) dt。

故有

F^N(f, x) − f(x−) + f(x+) 2

= 1 2π

Z

π

0 [f (x−t)−f(x−)]D^N(t) dt + 1

2π

Z

0

−π[f (x − t) − f(x+)]D^N(t) dt。

然後如 (13), 定義

g_±(t) = f(x − t) − f(x±) sin₂^t 。

仿效上面逐點收斂定理中的技巧可完成此證 明。

—本文作者任教於國立中央大學數學系—