看聯考試題談心聲

看聯考試題談心聲

羅添壽

今年聯考數學科試題, 我們幾位數學教 師在解題過程中, 認為難易適中, 明確靈活, 而且相當具有鑑別力, 大體而言值得喝彩, 然 我們還是有一些命題上的問題, 希望借 「數播 聯考專欄」提出共同討論研究。

今筆者分別就自然組、 社會組試題, 提 出值得探討的問題

(A) 自然組方面:

1. 配分不均勻, 容易造成投機取巧

冊數 一 二 三 四 理科上 理科下 配分 5 分 28分 20分 15分 22分 10 分 (註)(82) 年聯考第一冊亦僅佔 5 分, 容易誤 以為第一冊不重要。

2. 填充題第 3 題學過隱函數的導函數的考生 佔便宜。

題目: 設P 點是拋物線 Γ : y² = 4x 外一 點, 已知過 P 點有二直線與Γ相切, 其 斜率分別為 2 與−3, 則斜率為2 的切線 方程式為 , P 點的坐標為

解: (此方法課本未提)

y² = 4x 分別對x, y偏微分

得 2ydy = 4dx

所以 其斜率函數為 m = ^dy_dx = ²_y。 (1) 當斜率 m = 2 得 m = _y² = 2 所以y = 1, x = ¹₄

所以 切點 A(¹₄,1)

所以 切線為 y − 1 = 2(x −¹₄

所以 y = 2x + 1

2 (1)

(2) 當斜率 m = −3 得 ^dydx = ²_y = −3 所以y = −²₃, x= ¹₉ 得切點 B(¹₉,−²₃) 所以 切線為 y +²₃ = −3(x − ¹9)

所以 y = −3x − 1

3 (2)

由 (1), (2) 得 x = −¹₆, y = ¹₆。 所以P (−¹₆,¹₆)。

1

2

83

9

(B) 社會組方面:

1. 試題靈活, 學生誤以為沒有簡易題, 故今 年高低標, 可能比 82年聯考分別低 5 分左右。

例如填充題第 (1) 題: 有一軍團, 人 數在三千與四千之間, 今將此軍團排成若干 個同樣的方陣, 發現以8 × 8方陣排之, 或 以12 × 12方陣排之, 都恰好排盡, 則此軍團 人數為 。

此題若改為課本習題: 韓信點兵, 兵不 滿一萬, 每5人一數, 9人一數, 13人一數, 17 人一數, 都餘 3 人, 問兵有多少? 如此一改則 一定有多數學生, 異口同聲道聯考有送分題, 其實是同一形態的試題。

2. 選擇題第 2 題, 有學過斜坐標系的學生佔 便宜。

題目: 如下圖所示, D 在 △ABC 之 BC 邊上且 CD = 2BD, G 為AC 之中 點。 若將−GD向量寫為 −−→ GD−→ = r−→AB + s−→AC, 其中 r 及 s 為實數, 則 r + s 之 值等於

(A) ¹₂ (B) ²₃ (C)¹₃ (D)−¹₃ (E) −⁴₃

解:

(1) 利用斜坐標系

取 B(0, 0), C(3, 0), A(0, 1) 因為BD : DC = 1 : 2 AG: GC = 1 : 1 由分點公式

得 D(1, 0), G(³₂,¹₂)

(2) 因為−−→GD = r−→AB+ s−→AC

⇒ (−¹₂,−¹₂) = r(0, −1) + s(3, −1)

⇒ (−¹₂,−¹₂) = (3s, −r − s) 所以

(

−r − s = −¹₂ 所以r + s = ¹₂

註: 此法只要斜坐標系建立後即可解出, 此類之試題。

3. 選擇題第 3 題不宜以選擇題之形式出題。

題目:1 + i tan^π₈ 1 − i tan^π8

之值等於

(A) ¹₂+^√₂²i(B) ¹₂+^√₂³i(C) ¹₂+^√₂²i

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3

(D) ^√₂³ + ¹₂i (E) ^√₂² +^√₂²i 分析: 令θ = ^π₈ ⇒ 2θ = ^π₄

因角度為^π

4 故考生會猜^√2

2 +^√₂²i, 而選 (E) 註: 此種想法是考生告訴筆者他們聯考 所用之法而轉述之。

建議 :

1. 考生方面:

近年來, 由於聯考數學試題靈活, 考生對 教材內容要徹底了解外, 還要反應快, 隨時思 考解題過程的轉換。

例: (1) 求3 + 4i 的兩個平方根 (2) 求解 z² − 3 − 4i = 0

(3) 求解 z²+ (4 − 3i)z + 1 − 7i = 0 以上三題, 為同一形態的試題, 但有一些 考生會第 (1) 小題, 未必會第 (2) 或第 (3) 小題。

註: 解(3) z = ^(−4+3i)±

√△ 2

其中 △ = (4−3i)²−4(1−7i) = 3+4i 所以 ±√

△ = ±√

3 + 4i 表求 3 + 4i 的兩個平方根

令 α² = 3 + 4i = (a + bi)² = a²− b²+ 2abi, a, b ∈ R

所以

(

(

(

△ = ±(2 + i) 所以z = −4+3i±(2+i)

2 = −1 + 2i 或

−3 + i

2. 命題教授方面:

您們的命題決定考生的命運, 尤其社會 組考題儘量有基本題 (試題敘述簡單扼要), 以免叫好不叫座。

例: (1) 求sin 555^◦ 之值

(2) 求以x − 7 除f(x) = x⁷ − 50x⁵+ 6x⁴+ 4x³+ 25x²− 30x − 11 之餘式

3. 聯招會方面:

(1) 希望數學考卷上能有更多的空白處, 供 學生草稿, 以免影響考生解題情緒, 因 今年空白處很少。

(2)「設法」 讓高中老師也能 「參與」 命題工 作, 因與考生接觸最多, 最能了解考生 情況的是高中教師, 如此大學聯考的試 題一定更能測出考生真正的程度。

—本文作者任教於新化高中—