蜜蜂問題與無窮級數

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✐ 數學傳播 45 卷 2 期, pp. 81-82

蜜蜂問題與無窮級數

範花妹 · ^秦慶雄

這是關於 20 世紀最傑出的數學家馮 · 諾伊曼 (John von Neumann, 1903∼1957) 的一 段軼事, 相信大多數讀者都知道。

馮 · 諾伊曼不僅頭腦敏銳, 而且心算能力也異於常人。 常常有人向他提出茶餘飯後的趣題, 作為遊戲, 看他如何作答。 據說有一次有人向他提出這樣的一個問題 :

兩列火車 A、 B 相距 200 公里相向而行, 它們時速均為 50 公里。 一隻時速 75 公里的蜜 蜂從火車 A 飛向火車 B, 碰到火車 B 便轉頭飛向火車 A, 碰到火車 B 便轉頭飛向火車 A, 如此這般來回穿梭, 直到兩列火車相遇, 問 : 蜜蜂一共飛了多少公里?

據說那人剛說完了題目, 馮 · 諾伊曼想了一想便回答 : 「150 公里。」 對方便說 :「哦, 你一 定曾經碰到過這個問題, 而且曉得解題的捷徑!」 馮 · 諾伊曼有點愕然 : 「什麼捷徑? 我只是計 算蜜蜂來來回回每次飛多遠, 把它加起來, 求一個無窮級數的和而已。」

快捷解法: A、 B 兩列火車相遇需要時間 : 200

50 + 50 = 2 (小時), 這期間蜜蜂一直在飛, 所以 它飛了 2 小時, 因而蜜蜂一共飛了 2 × 75 = 150 (公里)。

那馮 · 諾伊曼無窮級數求和的方法又是如何?

級數解法: 蜜蜂開始從 A 出發首次與 B 相遇用時 200

75 + 50 = 8

5 小時, 行程 75 × 8

5 = 120 公里, 此時兩車相距 200 − 8

5 × (50 + 50) = 40 公里, 即原來距離的 1 5。 蜜蜂再由 B 折返 A 時, 只飛行原來距離的 1

5。而且每次蜜蜂折返時, 都只飛行了它在上 一次飛行距離的 1

5。 依此分析, 蜜蜂在兩車相遇時共飛行:

120 +1

5 × 120 + 1

5² × 120 + · · · = 120

1 + 1 5+ 1

5² + 1

5³ + · · · .

仔細看上述式子, 你會發現括弧內是一個無窮等比級數。 馮 · 諾伊曼是如何把這個公比為 1

5 的無窮等比級數加起來的呢?

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✐ 82 數學傳播 45 卷 2 期 民 110 年 6 月

如圖 1 所示, 是一個把 1 + r + r²+ r³+ · · · 加起來的辦法, 式中 0 < r < 1。

圖 1

從圖 1 右圖中的相似三角形, 可以看出 1 + r + r²+ r³+ · · · = 1

1 − r, 這正是無窮等比級數 的求和公式。 把 1 + r + r²+ r³+ · · · 加起來, 還可以通過一個簡單的技巧算出: 記

S = 1 + r + r²+ r³+ · · · . (1) 將 (1) 式兩邊同乘以 r, 得到

rS = r + r²+ r³+ r⁴+ · · · . (2) 用 (1)−(2), 得

(1 − r)S = 1, 因此, S = 1 1 − r. 所以, 1 + r + r² + r³+ · · · = 1

1 − r, 其中 0 < r < 1。

從而, 蜜蜂在兩車相遇時共飛行 : 120 × 1+1

5+1 5²+ 1

5³+· · ·

= 120 × 1 1−1

5

= 150(公里)。

從上述分析過程可以看出, 如果你直接從蜜蜂往返飛行的路程去求解, 那就很複雜了; 而 間接用蜜蜂飛行的時間去求解, 就非常簡單。

此題也說明, 每個人的思考方式和路徑不一定相同, 無需強迫人人都用同一種方法去解決 問題。

參考文獻

1. 張海潮著。 當火車撞上蘋果: 走近愛因斯坦和牛頓。 三民書局, 2020 年。

—本文作者任教雲南省大理州漾濞縣第一中學 (高中部)—