第六章 牛頓萬有引力

第六章 牛頓萬有引力

P.2

060101 天文中常用的距離單位

單 位 意 義 大 小 A.U. (天文單位) 日、地間的_平均 _距離 1.496×10

公尺

光 年 光走一年的距離 9.46×10

公尺 備 註 A.U. = Astronomy Unit

1 A.U.=

2 R + R

【牛刀小試】 ：光年（light year）是 (A)時間 (B)距離 (C)質量 (D)光度 的單位

060102 光速小常識：

1、光一秒走 30 萬 公里= 3 10 ×

公尺 = 3 10 ×

公分

2、光從太陽走到地球約= 500 秒 (1 億 5000 萬公里)= 8.3 分鐘 3、光走出太陽系(冥王星)= 5.46 小時

4、光從地球走到月球= 1.26 秒 5、光從北極星走到地球= 100 年

P.4

060104 橢圓(ellipse) 的基本概念

1 符號定義：

X半長軸： a ；Y長軸： 2a ； Z半短軸： b ；[短軸： 2b ；

\焦距： c 。

2 離心率(eccentricity)的意義： ___焦點 __ 離開 __ 中心___ 的比率

Sun

Earth

R

R

a F c

b

e=0 e→1

3 離心率(eccentricity)的數學定義：

c 0 1

e e

= ⇒ ≤ <（圓的e=0） a

π

eccentric 離心的；eccentricity 離心率

P.5

060106 克卜勒第二定律(Kepler′s Second Law) ---等面積(速率)定律

3、推導前的數學背景知識：

三角形面積公式 扇形面積公式

1 sin

A = 2 ab θ 1

A = 2 r θ 4、數學推導：

推導法(一) 推導法(二)

1 ( ) sin 2

1 sin 2 A r v t A rv

t

θ θ

Δ = Δ

Δ = Δ

2

2 2

1 2

1 1

2 2

A r

A A

r r

t t t

θ

θ ω

Δ = Δ

Δ Δ Δ

= = =

Δ Δ Δ

P.6

6、(平均)面積速率的大小(key:看一圈)：

軌道種類 圓 形 橢 圓 形

面積速率

A

T t

π R Δ =

Δ

b A

T t

π a Δ =

Δ Sun

Earth

Sun

Earth θ

v× Δt Δ

θ

7、各行星的比較：

A = Δ

Δ

＜

t A = Δ

Δ

＜

t A = Δ

Δ

＜………＜

t A Δ Δ

克卜勒三大定律 → 總整理

P.14

060120 克卜勒三大定律：

描 述 公 式 第一定律﹕

軌道定律

行星在以太陽為焦點的橢圓軌道上運 行

平均軌道半徑 2

R R R

+

= 第二定律﹕

等面積速率定律

行星與太陽的連線在相同時間掃過相 同面積

const 2 r

1 t A

const sin

2 rv 1 t A

2

=

Δ = Δ

= Δ =

Δ

ω θ

第三定律﹕

週期定律

平均距離的立方與週期的平方﹐兩者的

比值為常數 const

T R

2

3

= ﹔

其中 2

R R = R

+

備 註

1﹑第二定律與第三定律的差別﹕

第二定律﹕同一星球，不同位置 第三定律﹕不同星球

2﹑第三定律必須繞同一中心星球轉

K

K

K

P.17

060123 克卜勒定律的解題要訣

備 註

1﹑第二定律與第三定律的差別﹕

第二定律﹕同一星球，不同位置 第三定律﹕不同星球

2﹑第三定律必須繞同一中心星球轉

P.27

般衛星的圓周運動

人造衛星(artificial satellite)之軌道(orbit)速率：_萬有引力_____ 提供向心力 (centripetal force)

(3)

2

2

GMm v GM

m v

R = R ∴ = R

人造衛星(artificial satellite)之軌道(orbit)週期：_萬有引力_____ 提供向心力

2 3

2 2

4 2

GMm R R

m T

R T GM

π π

= ∴ =

P.28

060209 地球同步衛星：(synchronous satellite)

問題：地球同步衛星(synchronous satellite)的軌道(orbit)為何？

解法(一)：圓周運動的計算： _萬有引力_ 提供向心力

2 3

2 2

4 2

GMm R R

m T

R T GM

π π

= ∴ =

解法(二)：克卜勒第三定律--與 月球 比較

3 3 3 3

2 2 2 2

1

1 27 9

R R R R

R R

T^同 =T^月 ⇒ ^同 = ^月 ⇒ _同 = _月

同 月

P.30

060213 雙星(binary star)運動

【軌道速率】 ：

2 2

1 2 1 1 2 1

1 1

2 2

1 2

1 2

( )

Gm m v Gm m v

m m

R R R m

m m R

= ⇒ =

+

【軌道週期】 ：

2 2

2

1 2 1 1 2 1 2

1 1

2 2 2 2

4 ( )

4

m R

Gm m R Gm m m m

m m

R T R T

π π +

= ⇒ =

P.33

060217 牛頓萬有引力定律推出克卜勒第三定律

(行星運動)從牛頓的萬有引力定律推出克卜勒第三定律

2 3

2 2 2 2

2 1

2 2 2

4

T 4

4 2

T 4

n n

GMm R R GM

m M

R T

GMm R R GM

m n

R T

π

π π

π

+

= ⇒ = ∝

= ⇒ = ⇒ =

060218 牛頓萬有引力定律與克卜勒第二定律之關係

2

2

2

2

...

40 248

1 1

A R GMR

M R

t T

A A A A

t t t t

A t A t

π π

π

π π

Δ = = ∝ ×

Δ

Δ Δ Δ Δ

> > > >

Δ Δ Δ Δ

Δ ==

Δ

Δ ==

Δ

冥 海 天 水

冥

地

`

m1

m2

m1 R1 R₂ R

P.35

060303 地球的重力場(gravitational field) ^{假設地球為密度}

均勻的球體：

地球外部 地球內部

2

2

GMm

F r GM

g = m = m = r

※ 均勻球殼對其內部物體不施力

3 2

2 2 3

' ( )

GMm r

G M

F r GM R GM

g r r

m m r r R

= = = = = ∝

與距離平方成反比 與距離成正比

P.39

060309 失重狀態(等效重力 gravitational field 強度=0)：

----1.(體重計)無正向力 ----2.(體重計)讀數=0

----3.失重時，可能仍受重力(gravity)

(1)自由落體＋平拋、斜拋：

mg-N=ma if a=g, N=0

牛頓萬有引力定律→失重狀態

我們在這裡! 我們在這裡! Here we are! ここです。

R

r

(2)做等速率圓周運動的軌道(orbit) (太 空中的失重與真空無關) ：

mg-N=ma

if a

=g, N=0

(3)地心處：

g=0

1.(69 日大)設一星球為密度均勻的球體，如一質點在此星球表面的重量為 W，則 此質點在此星球球心位置的重量? (A)0 (B)0.5W (C)W (D)2W (E)無窮大 地心處 g=0，失重 N=0

2.(69 日大)一太空船熄掉引擎，進入離地面上 200 公里的圓形軌道，某人在地面 上時的體重為 60 公斤，若此人在太空船內用彈簧秤量其體重，其結果應為?

(A)60kg (B)58.2kg (C)56.4kg (D)0kg 在等速率圓周運動的軌道上，失重 N=0

1. 某人在地面上時的體重為 60 公斤，若一電梯自由落下，此人立於此電梯的彈 簧秤上，則彈簧秤的讀數為若干公斤重?

2. 某人在地面上時的體重為 60 公斤，若一電梯以 g 之加速度上升，此人立於此 電梯的彈簧秤上，則彈簧秤的讀數為若干公斤重?

3. 某人在地面上時的體重為 60 公斤，若一電梯以 g/2 之加速度下降，此人立於 此電梯的彈簧秤上，則彈簧秤的讀數為若干公斤重?

1. g’=g-a=g-g=0

2. g’=g+a=2g W’=120kgw

3. g’=g-a=g-g/2=g/2 W’=30kgw

第六章 詳解

範例 01：

【解答】 ：(D)

【解析】 ：r

v

=r

v

7 1

1 7

0.98 1.02 v r

v = r =

<法 1>

1 7

0.98 1 0.02

1 0.04 1.02 1 0.02

v r v r

= = = − ≅ −

+

<法 2>

1 7

0.98 0.98(1 0.02) 0.98 (1 0.02) 1 0.04 0.96 1.02

v r v r

= = = +

≅ = − ≅ − =

範例 02：

【解答】 ：10

【解析】 ：r

v

=r

v

1×1000=100×v

v

=10 範例 03：

【解答】 ：1:4

【解析】 ：

2 2

2 2 1 2

1 1 2 2 2 2

2 1

1 1 2 4 r r r

r ω ω ω

= ⇒ ω = = =

範例 04：

【解答】 ： 9：1

【解析】 ：從

可得

1 2 2 2 2

2 1 2 k

1 k

r r v v E

E = ∝

範例 05：

【解答】 ：1. 2A

r = v 2. 2A

R 3. 2 A ω

【解析】 ：1.

1 1

2 2

1 2

2

A rv r t

A rv r A v Δ = = ω

Δ

= ⇒ =

2.

r1

v1

R7

v7

r1

ω

r2

ω

1 1

2 2

1 2

2

A rv r t

A Rv v A R Δ = = ω

Δ

= ⇒ =

3.

2

2

1 2

1 2

2 2

A r

t

A r r A

v r A

ω

ω ω

ω ω

Δ = Δ

= ⇒ =

= =

範例 06：

【解答】 ：1.(E) 2.(A)

【解析】 ：1.

2 12 2

18 6

(2 10 )

4 10 10

A R

t T

π π π

Δ ×

= = = ×

Δ 2.

12 12

6

12 12

18 6

(2 10 )(1 10 ) 10

(2 10 ) (1 10 )

2 2 0.5 10

10 A ab

t T A ab

t T

π π

π π π

Δ = = × ×

Δ

× ×

Δ = = = ×

Δ

範例 07：

【解答】 ：10 10

【解析】 ：

3

3 3 3

2 2 2 2

10 1

1000 10 10 1

R R

T

= T

⇒ T = ⇒ T

= =

土 地 土

範例 08：

【解答】 ：1.(B)

【解析】 ：

3 3 3 3

2 2 2 2

( ) 1

3 1 27

27

R R

T

= T

⇒ T = ⇒ = T

衛 月 衛

範例 09：

【解答】 ：(B)(D)(E)

【解析】 ： 範例 10：

【解答】 ：(B)

【解析】 ：

3 3 3 3

2 2 2 2

1 4 2 8

8 1

R R R

R a

T = T

⇒ = ⇒ = ⇒ =

地

範例 11：

【解答】 ：(D)

【解析】 ：

3 3 3 3

2 2 2 2

3

6 2

3 3 3

3 3 3 3

1 2500 1 6250000

6.25 10 6.25 10 6.25 100 1??

1 6.25 8 1 6.25 2

R R R

T T

R

= ⇒ =

⇒ =

= × = × = × =

< < ⇒ < <

海 地

海 地

範例 12：

【解答】 ：(B)

【解析】 ：

3 3 3 3

2 2 2 2

3 2 3 2 3 2 4 3 3 3

3 3

1 76 1

76 75 3 5 3 5 5 3 5 15 1.67 16

3

R R R

T T

R

= ⇒ =

⇒ = ≅ = × = × ×

× ≅ ×

哈 地

哈 地

範例 13：

【解答】 ：(D)

【解析】 ：

3 3

1 2 1 3 1

2 2

1 2 2 2

1 2 2 1

64 4 2 1 1 , 4 1 1

1 8 2

R R R R v

T T R v T v

R T R T

= ⇒ = = = π ⇒

= = =

v

v

地

b

範例 14：

【解答】 ： 1 2 2

【解析】 ：

3

3 3

1 2

2 2 2

1 2

( )1

1 1

2 1,

8 2 2

R R

T = T ⇒ T = T = =

範例 15：

【解答】 ：

1 2 1 2 1 2 1 2

1 1

1.(1) (2) (3) 2.

2 2

T T T T T T T T

T − T T − T T − T T + T

【解析】 ：1.

(1)

2 1 1 2

T T 1 T T

T − T = ⇒ = T T T

− T

=30 秒 T

=50 秒 T=150 秒 1 跑 5 圈 2 跑 3 圈

(2)

2 1 1 2

1 1

2 2

T T T T

T − T = ⇒ = T T T

−

2.

2 1 1 2

T T 1 T T

T + T = ⇒ = T T T +

範例 16：

【解答】 ：

1 2

T T T + T

【解析】 ：

1 2

2 1 1 2

T T 1 T T

T + T = ⇒ = T T T +

範例 17：

【解答】 ：(略，見講義)

【解析】 ：(略，見講義) 範例 18：

【解答】 ：距 4M 物體 2 5 d

【解析】 ：

2 2

4 9 4 2

9 3

G Mm G Mm x M

x = y ⇒ = y M =

地

2AU 1 . .AU

sun 30°

4M

m

x

y

9M

範例 19：

【解答】 ：(1)距地心 4640 公里(在地球內部) (2)與地心距 34.6 萬公里處。

【解析】 ：

地球質量：月球質量=1：0.01223 (1)故質心位置：

=

× + × ( 3 . 84 10 )

01223 . 0 1

01223 .

0

4.64×10

m=4.64×10

km=4640 km 而地球半徑=6400 km 故月地質心在地球內部

(2)引力=0 處，與地心距離= × × =

+ ( 3 . 84 10 ) 01223

. 0 1

1

3.46×10

m=34.6 萬公里

範例 20：

【解答】 ： 8

27

GMm R

【解析】 ：

2

2

cos

( ) 8

(3 ) 3 8

27

F F

F G M m

R GMm

R θ

= Δ

= Δ

= Δ ×

=

∑ ∑

∑

範例 21：

【解答】 ：

( )

3 3

2 2

(1) GMm (2) . . . (3)2 R x S H M

x R GM

π +

【解析】 ：

2 2 2 2 2

2 2 3

3

cos ( )

( )

( )

F F F

G M m x

x R x R

GMm x x R

x R F GMm x kx SHM R

θ

= Δ = Δ

= Δ ×

+ +

= +

<< ⇒ ≅ = ⇒

∑ ∑

∑

地 月

M m

x y

38 萬 km

θ m M R

ΔM

ΔF

8R

ΔM

x θ m R

ΔM

ΔF

2 2

R + x

2aR 範例 22：

【解答】 ：(1)距原點右方 R/14 (2) 7

36

GMm

× R (3) 1

2

GMm

× R (4) 1

2

GMm

× R

【解析】 ：

(1)質量比=1：7 距離比=7：1

⇒ (M 距原點正 方) 14

= R

(2) F

= F

+ F

2

2

( 1 ) 8 (2 ) 3

( ) 2 G M m

GMm F

R R

⇒ = +

2

7 36 F GMm

= × R

餘

(3) F

= F

+ F

2

( 1 ) ( ) 2 G M m

O F

R

⇒ = δ =

2

1 2 F GMm

= − × R

餘

2

( 1 ) (4) 8

( ) 2 G M m

R

範例 23：

【解答】 ：

【解析】 ：萬有引力提供向心力： v 2 aR

R 2 m v ma

2

⇒ =

= ※注意：距地高 R，故軌道半徑=2R

1：7

1

7

m =

2

1

m =

2 R 14

R

R R

2 R

m

範例 24：

【解答】 ：(A)

【解析】 ：

2

2 2 2

3 2 2 2

192 GT

⇒ =

T ) r 4 ( m 4 ) =

r 4 (

m ) 3 r ( 4 G

T ) r 4 ( m 4 ) = r 4 ( GMm

ρ π π π ρ

π

範例 25：

【解答】 ：R/9

【解析】 ：

3

272 9

R R R

= ⇒R =

3 同 2 同

1

範例 26：

【解答】 ：(C)(D)

【解析】 ：(A)角速度比為 2：1 錯 1 : 1 (B)軌道半徑比為 4：1 錯 2 : 1 (C)向心加速度之比為 2：1 對 (D)切線速率比為 2：1 對 (E)所受淨力比為 2：1 錯 1:1 範例 27：

【解答】 ：(B)(C)(E)

【解析】 ：

(A) 1

= 9 R

⇒ R 1

= 27 T

= T R

⇒ R T

= R T R

2 1 2

2 2 2 2 1 3 2 3 1 2 2 3 2 2 1

3 1

(B) 3

= 1 1 / 1

27 /

= 9 T / R

T /

= R v

⇒ v T

R

= 2 v

2 2

1 1 2

π

(C) 81

= 1 1 / 1

27 /

= 9 T / R

T /

= R a

⇒ a T

R

= 4 a

2 2

2 2

2 1 1 2 1 2

π

(D) F

=ma

因為 m 未知，故 F 未知

(E) 1

= 3 1 / 1

27 /

= 9 T / R

T /

= R t A t A T ⇒

= R t A

2 2

2 2 2

1 2 1 2 1 2

Δ Δ Δ π Δ

Δ

Δ

範例 28：

【解答】 ：

【解析】 ：

R

= Gm v

3 R m v

= 2 2 ×

× 3 R Gmm

' R mv

= 2

× 30 cos F

2 2

2 o

範例 29：

【解答】 ： (D)

【解析】 ：

2 2

2 2

4 2

2

3 4

= GM T

⇒R 4

= GM T

⇒R T

R m4 R =

GMm

π π

π

範例 30：

【解答】 ： (D)

【解析】 ：

T 3 T ⇒

⇒ R 4

⇒ T 4

4 ∝

⇒ T 4

2 2 4 2

2 2

1 2

2

2 2 3 2

2 2

=

⇒

=

=

=

=

=

=

+

n R k

GM k R

T m R R

GMm

GM M R

T m R R

GMm

n

n

π

π

π π

範例 31：

【解答】 ：9:8

【解析】 ： 2 g

= 1 g

2 R

9 g

= 4 g

2 R 3

8

= 9 9 g 4 2 g 1 g =

g

2 R 3

2 R

R F F

30°30°

3 2 3

2 3 3 3

R × = R = R

範例 32：

【解答】 ：1. (C) 2.384 kg

【解析】

∝ R R

) 3 R ( 4 G R =

) V (

= G R

= GM m

= F

g

3

2

2

ρ ρ ρ ρ

1. g’=2g

W’=2W=2×64=128kgw 2. g’= 3x2g=6g

→W’ = 6W = 6 × 64 = 384kgw 範例 33：

【解答】 ：(1)2 (2) 1

2 (3) 1

2 (4)

(5)

π

【解析】 ：

1.

3

2 2 2

( 4 ) ( ) G 3 R F G M G V

g R

m R R R

ρ ρ π ρ

= = = = ∝ , g’=2

2. ℓ 1 T = 2π ∝

g g

3. 2H

t = g

π

=

範例 34：

【解答】 ：(1)

2g (2)2g

【解析】 ：

= 2 g R

2 GM ) =

R 2 (

) M 2 (

= G '

g

2 = (

2 )

＋ ＝

M M 2M

V V 2V

R R

R

= 2 g R

2 GM R =

) M 2 (

= G '

g

範例 35：

【解答】 ：(1) （略） (2)84 分鐘 (3)84 分鐘

【解析】 ：

(1) x = kx ⇒ SHM ! R

= GMm x

Mm R ) ( x G x =

m '

= GM

F

3

2

(2) = 84 min . GM

2 R k = 2 m

= T

3

π π

(3) = 84 min . GM

2 R

=

⇒ T T

R m 4 R =

GMm

2 2

2

π π

範例 36：

【解答】 ：(A)

【解析】 ：地心處 g=0，失重 N=0 範例 37：

【解答】 ：(D)

【解析】 ：在等速率圓周運動的軌道上，失重 N=0 範例 38：

【解答】 ：1. 0 2. 120kgw 3. 30kgw

【解析】 ：1.g’=g－a=g－g=0

2.g’=g+a=2g W’=120kgw

3.g’=g－a=g－g/2=g/2 W’=30kgw

＋ ＝

M M 2M V V 2V R R

R

m

R

x