6 摩擦力、曳力及向心力
Friction, Drag, and Centripetal Force
6-1 物理學探討什麼?
6-2 摩擦力
6-3 摩擦力的性質 6-4 曳力與終端速率 6-5 等速圓周運動
6-1 物理學探討什麼?
這一章我們專注於三種常見的力:摩擦力、曳力及向 心力。6-2 摩擦力
在圖 6-1a 中,一木塊靜置於桌面上,木塊所受重力F g
被正向力 FN
平衡了。在圖 6-1b 中,你施一力 F 於木塊上,想將它向左推動;此時,會有一個摩擦力f s
出現,它的方向指向右,恰好平衡你所施的力。這 個力 fs
稱之為靜摩擦力(static frictional force)。
圖 6-1c 及 6-1d 中顯示,當施力的大小逐漸增加時,靜摩擦力 f
s
也隨著增加,而木塊仍保持不動。但當所 施之力達到某一數值以後,木塊會突然起動,而向左 加速運動(見圖 6-1e)。此時,反抗運動的摩擦力稱 之為動摩擦力(kinetic frictional force)fk
。圖6-1
圖6-1
(a) 作用在一靜止木塊上的力。
(b)~(d) 有一外力 F 作用於木塊上,此外力與靜摩擦 力 fs 達到平衡。當 F 增加時,fs 也隨著增加,直到 fs 達到某一最大數值。
(e) 然後,木塊突然起動,並沿著 F 的方向加速。
(f) 假如現在木塊以固定速度運動,F 必定比木塊開始 起動前的最大值還小。
(g) 由圖(a)到圖(f)過程的某些實驗結果。
圖6-2
滑動摩擦的機制。
(a) 上方的表面向右滑過下方 的表面。
(b) 接觸面的部分細節。有兩 個點發生冷焊,要將冷焊點 拉開並保持運動需要施力。
6-3 摩擦力的性質
摩擦力具有下列三個性質:
性質 1 若物體靜止不動,則靜摩擦力 fs
與力 F 平行 於接觸面上的分量互相平衡,其大小相同且 fs
的方向 與 F 該分量的方向相反。
性質 2 fs
的大小有一最大值 fs,max
,可寫成上式中,μ
s
被稱為靜摩擦係數(coefficient of static friction),FN
是表面作用在物體上的正向力大小。6-3 摩擦力的性質
(續)
性質 3 假若物體開始沿接觸面滑動,則摩擦力的大 小會迅速地降低到一個值 fk
,它可寫為μ
k
稱為動摩擦係數(coefficient of kinetic friction)。
係數μs
與μk
均是無單位的量,且必須由實驗來決定。它們的值與物體及接觸面的某些性質有關。
範例6-1
緊急剎車時,若車輪被「鎖定」(防止滾動)車子便會 在路面上滑行。輪胎剝落的碎屑及路面融化的些許柏油 形成「剎車痕」,這正是滑行過程中所留下的冷焊痕跡
。在公路上最長的剎車痕紀錄是 1960 年由一部積架車 在英格蘭的 M1 高速公路上留下的(見圖6-3a)—長達
290 m!假設μ
k
=0.60,且在剎車期間車子的加速度是 固定的,當輪子開始被鎖定時,車子的速度有多快?範例6-1 (續)
解題關鍵
(1) 因為加速度 a 被假設為定值,所以我們可以用表 2-1 中的等加速方程式來計算車子的初始速率 v
0
。(2) 假若 我們忽略空氣對車子的影響,則加速度 a 僅是由道路作 用在車子上的動摩擦力 fk
所產生,它的方向與車子的 運動方向相反,假設車子的運動方向是在 x 軸的正方向 上(見圖 6-3b)。用 x 分量上的牛頓第二定律(F net,x =ma x
),可以將動摩擦力與加速度關係起來,m 為汽車的質量,負號表示動摩擦力的方向。
範例6-1 (續)
解題算式
由 6-2 式,摩擦力的大小是 f
k =μ k F N
,FN
為道路作用在 車上的正向力大小因為車子沒有垂直方向的加速度,所 以由圖 6-3b 及牛頓第二定律可知 FN
等於作用在車子上 的重力 Fg
的大小 mg。因此 FN =mg。
現在,將 f
k =μ k F N =μ k mg 代入 6-3 式,
負號表示加速度在 x 軸的負方向上,與運動速度方向相 反。
範例6-1 (續)
其次,讓我們用第 2 章內的等加速方程式,2-16 式,
已知位移 x–x
0
是 290 m 且假設最後速率 v 是 0,將 6-4 式中的 a 代入,解出 v0
,得我們原先假設在剎車痕末端 v=0。事實上,積架車在剎 車痕末端並未停下,而是在 290 m 後衝出路面。因此
v 0
最少是 210 km/h。圖6-3
(a) 一輛車向右滑行並位移了 290 m 後停止。
(b) 這輛車的自由體圖。
6-4 曳力與終端速率
任何可以流動的東西都叫流體(fluid),通常指液體 或氣體。
當一物體與流體之間有相對速度時(不管是物體穿過 流體,或者是流體流經物體),物體會受到一曳力(drag force)D 的作用。
曳力阻擋物體及流體的相對運動,相對於物體而言,它指向流體的流動方向。
6-4 曳力與終端速率
(續)
曳力 D 的大小與相對速率 v 有關,並可以用一個由 實驗決定的曳力係數(drag coefficient)C 關聯起來,即
ρ為空氣的密度(每單位體積的質量),且 A 為物體 的有效截面積(effective cross-sectional area;垂直於速 度 v 的截面積)。
6-4 曳力與終端速率
(續)
在空氣中,當一鈍形物體由靜止開始落下時,曳力 D 指向上,它的大小由 0 開始,隨著物體的速率增加而 逐漸增加。這個向上的力 D,與作用在物體上並向下 的重力 Fg
相反。由鉛直 y 軸方向上的牛頓第二定律(F
net,y =ma y
),我們可以列出這些力與物體加速度間的關係,
m 為物體的質量。
6-4 曳力與終端速率
(續)
如圖 6-6 所示,如果物體落下得夠久,則 D 最後會等 於 Fg
。依 6-15 式,這代表此時 a=0,所以物體的速 率不會再增加。物體會以等速率落下,此速率稱為終 端速率(terminal speed)vt
。
要計算 vt
,令 6-15 式中 a=0,然後將 6-14 式中的 D 代入,v
t=
圖6-6
作用於空氣中落下物體上 的力:(a) 物體剛開始下 落;(b) 稍後,開始有空 氣阻力時物體的自由體圖
;(c) 空氣阻力會增加,
直到與施於物體的重力達 到平衡。此時,物體以固 定的終端速率落下。
表6-1
範例6-5
一半徑為 R=1.5 mm 的雨滴由離地高度為 h=1200 m 的 雲層落下。雨滴的曳力係數 C 為 0.60。假設雨滴落下 的過程中均保持正球形。已知水的密度ρ
w
是 1000 kg/m3
且空氣密度ρa
是 1.2 kg/m3
。(a) 試求雨滴的終端速率。
解題關鍵
當雨滴所受的重力與空氣阻力(曳力)達到平衡時,雨 滴便會到達終端速率 v
t
,此時它的加速度是 0。我們可 以使用牛頓第二定律和曳力方程式來求 vt
。不過,6-16式已經把它寫出來了。
範例6-5 (續)
解題算式
要運用 6-16 式,我們必須知道雨滴的有效截面積 A 和 重力 F
g
的大小。因為雨滴是正球形,所以 A 為與球體 有相同半徑的圓面積(πR2
)。計算 Fg
,我們用以下 三個事實:(1) Fg =mg,m 為雨滴的質量;(2) (圓球狀)
雨滴的體積是 V= ;(3) 雨滴內水的密度是單位體 積內的質量,或ρw =m/V。因此可得
範例6-5 (續)
然後,我們將此式、A 的表示式及給定的資料代入 6-16 式。要小心分辨空氣密度
ρ a
和水密度ρ w
的不同。我 們得到以上算式中並未用到雲層的高度。由表 6-1 可知,雨滴 落下數公尺後,即達到終端速率。
範例6-5 (續)
(b) 若無空氣的曳力,計算雨滴著地的速率。
解題關鍵
在雨滴落下的過程中,若無空氣阻力來減緩雨滴的速率
,它將以固定的自由落體加速度 g 落下,所以表 2-1 中 的等加速度方程式可以適用。
解題算式
因為加速度是 g,初速度 v
0
是 0 且位移 x – x0
是 –h,利 用 2-16 式:範例6-5 (續)
事實上,這個速率大約是從大口徑手槍發出的子彈的速 率。如果莎士比亞知道這件事,他大概就寫不出:「它 由天空飄然降下,宛若溫柔的雨滴。」
6-5 等速圓周運動
當一物體以等速率 v 沿一圓周(或圓弧)運動時,我 們稱這個物體正在做等速圓周運動。此時,物體有向 心加速度(指向圓心),它的大小是固定的,且等於R 是圓的半徑。
6-5 等速圓周運動
(續)
當汽車沿一圓弧運動時,它正在做等速圓周運動;也就 是,它有一個指向圓心的加速度。根據牛頓第二定律,一定要有一個力來產生這個加速度。同時,這個力指向 圓心,所以它是一個向心力(centripetal force)。「向心
」這個詞用來形容力的方向。在這個例子裡,向心力是 路面施於輪子的摩擦力。有了它,汽車才能轉彎。
如果你和車子一起做等速圓周運動,那麼一定也有一股 向心力作用在你身上。然而,座椅施於你的摩擦力並不 夠大到足以使你與車子一起做圓周運動,所以座椅會在 你身體的下方滑動,一直到你碰到車子的右壁為止。6-5 等速圓周運動
(續)
由牛頓第二定律和 6-17 式(a=v2
/R),我們可以寫 出向心力(或者,淨向心力)的大小 F 為因為速率 v 是常數,所以加速度和力的大小也是常數。
圖6-7
俯視圖。在無摩擦的水平 面上,一個曲棍球圓盤以 等速率 v 繞一半徑為 R 的 圓周運動。作用於圓盤的 向心力是繩子對它的拉力 T,方向是沿著徑向並由 圓盤延伸向內。
範例6-6
Igor 是國際太空站上的太空工程師。太空站在地球上空 高度 h=520 km 處,並以等速率 v=7.6 km/s 在圓形軌道 上繞地球運行。Igor 的質量 m 是 79 kg。
(a) 計算他的加速度。
解題關鍵
Igor 正在做等速率圓周運動。因此,有一向心加速度且 其大小由 6-17 式得到。
解題算式
Igor 運動的半徑 R 是 R
E
+h,RE
是地球半徑(由附錄 C 知為 6.37×106
m)。因此範例6-6 (續)
這個值是 Igor 所在軌道高度的自由落體加速度。如果 他不是在軌道上運行,而是被帶到這個高度上釋放,那 麼他會朝向地球中心掉下,同時,他開始掉落時的加速 度就是上式的值。這兩個情況的不同點在於,若他是在 軌道上繞地球運動,總是會有一側向的運動;當他掉落 時,同時也會向側面移動,結果使他沿著一繞地球的彎 曲路徑移動。
範例6-6
(b) 試求地球施於 Igor 的力。
解題關鍵
(1) 若 Igor 做等速圓周運動,那麼他必定受到一個向心 力。(2) 這個力是地球作用在 Igor 身上的重力 F
g
,並 指向他轉動的中心(即地球的中心)。解題算式
依據牛頓第二定律,這個沿著徑向軸 r 的力大小為
範例6-6 (續)
假如 Igor 是站在高度 h= 520 km 的高塔上,並用磅秤 測量體重,磅秤讀數會是 660 N。而當 Igor 是在軌道上 運行時,磅秤的讀數卻為 0(假如 Igor 站得上磅秤的話
);因為他與磅秤一起自由落下,因此他的腳無法確實 地壓在磅秤上。
範例6-7
在 1901 年的一場馬戲表演中,綽號「不怕死」的特技 演員 Allo Diavolo 表演騎單車在圓圈翻跟斗的絕技(見 圖 6-8a)。假設圓圈半徑為 R=2.7 m。試問,在圓圈最 高點時,他的速率至少要多少才不會掉下來?
解題關鍵
我們可以假設,當 Diavolo 和他的單車通過圓圈頂端時
,他們就像一個做等速率圓周運動的粒子一般。此時,
依據 6-17式,這個粒子的加速度 a 的大小是 a=v
2
/R,而且方向朝下;也就是朝向圓圈中心。
圖6-8
(a) 關於 Diavolo 的平面廣告。(b) 當 Diavolo 在圓圈頂端時,
他的自由體圖。( 由 Circus World Museum 許可提供圖片。)
範例6-7 (續)
解題算式
當粒子在圓圈頂端時,作用在粒子上的力如圖 6-8b 中 的自由體圖所畫重力 F
g
是沿 y 軸並指向下;圓圈對粒 子所施的正向力 FN
也是向下;粒子的向心加速度亦 然。所以 y 分量的牛頓第二定律(Fnet,y =ma y
)給我們範例6-7 (續)
假設粒子要保持與圓圈接觸所需的速率最小為 v。此時
,它正處於與圓圈失去接觸(從圓上掉落)的邊緣,這 代表在圓圈頂端時 F
N =0(粒子與圓圈接觸,但卻沒有
正向力)。將 6-19 式中的 FN
以 0 代入,解出 v 並將 其他已知數值代入,可得範例6-7 (續)
評論
Diavolo 若不想與圓圈失去接觸而掉落下來,他必須確 定自己在圓圈最高點時的速率大於 5.1 m/s。我們注意 到這個最小速率的條件與 Diavolo 及腳踏車的質量無關
。也就是說,假設 Diavolo 在表演前大吃大喝,他仍然 只需要在圓圈頂端超過 5.1 m/s 的速率,便可以保持與 圓圈接觸。