§2.4

§2.4 克莱姆 (cramer) 法则 §2.4 克莱姆 (cramer) 法则

一 . 克莱姆法则 一 . 克莱姆法则

二 . 重要定理 二 . 重要定理

三 . 小结

三 . 小结

可逆矩阵的判定及其求法

1 、伴随矩阵法

定义 设 A=(a_ij) 为 n 阶矩阵， A_ij 为 |A| 中元素 a_ij 的代数余子式 , (ⁱ,j = 1, 2, …,n), 则称矩阵























nn n

n

n n

A A

A

A A

A

A A

A A

















2 1

2 22

12

1 21

11

*

为 A 的伴随矩阵 .

定理 1 矩阵 A ^{可逆的充要条件}

是 _1  1 A_, A A

 0 A

证明 若 可逆，A 即有A^1使AA^1  E . ,

1   1

 A^ E

故 A ^{所以 A  0.}

的伴随矩阵. 为矩阵

其中A^ A 必要性

充分性 当 A 0时,

,

A A

a A

a A

a_{11 11}  _{12 12}   _{1n 1n}  A A

a A

a A

a_n1 _n1  _n2 _n2  _{nn nn}  ,

0时 当 A









































 

nn n

n

n n

nn n

n

n n

A A

A

A A

A

A A

A

a a

a

a a

a

a a

a AA





























2 1

2 22

12

1 21

11

2 1

2 22

21

1 12

11

O O ^

,

A A

A A



 

 







 

 









E A A

A

AA^  ^  A E

,

A A

A A

 



1 .

A A A

  

按逆矩阵的定义得

证毕

.

, 0 ,

, 0 非奇异矩阵

称为 时

当 称为奇异矩阵

时

当A  A A  A 奇异矩阵与非奇异矩阵的定义

为非奇异矩阵. 是可逆阵的充要条件是

由此可得A A

推论 1奇异矩阵经过初等变换后仍是奇异矩阵 , 非奇异矩阵经过初等变换后仍是非奇异阵 .

证 设 P 是任何一个与 A 同阶的初等矩阵，则

|PA| = |P| |A| = |A| |P| = |AP| , 因此 , 当 |A| = 0 时 , |PA| = |AP| = 0 .

当 |A| ≠ 0 时 , |PA| ≠0, |AP| ≠0 证毕 .





 E BA E B A

AB 或 则

若 推论 2

,

 1



 B E

A 故 A  0,

1存在,

因而A^ 于是 EB

B  ^





证明

A E^1

  A^1

分块对角阵

即

零子块都是方阵 其余子块都为零矩阵 且非 角线上有非零子块设 为 阶矩阵 若 的分块矩阵只有在主对

.

, ,

, A

n A

2 ,

1























As

A A

A O 

O

其中 A_i (i=1 , 2 , … , s) 都是方阵 , 则 A 为分块对 角阵 .

2 .

1 A As

A

A  

分块对角矩阵的行列式具有下述性质 :

 

若 A_i  0 i  1,2,, s , A  0,

.































1 s 1

2 1

1 1

A A

A

A

o

o

































n n

nn n

n

n n

n n

b x

a x

a x

a

b x

a x

a x

a

b x

a x

a x

a































2 2 1

1

2 2

2 22 1

21

1 1

2 12 1

11

设线性方程组

, ,

, , ₂

1 不全为零

若常数项b b  b_n 则称此方程组为非 齐次线性方程组 ; 若常数项 b₁, b₂,,b_n 全为零,

此时称方程组为齐次线性方程组 .

非齐次与齐次线性方程组的概念

一、克莱姆法则

如果线性方程组

的系数行列式不等于零，即

nn n

n

n n

a a

a

a a

a

a a

a D





















2 1

2 22

21

1 12

11

  0

) 1 (

2 2 1

1

2 2

2 22 1

21

1 1

2 12 1

11

































n n

nn n

n

n n

n n

b x

a x

a x

a

b x

a x

a x

a

b x

a x

a x

a































D . x D

, D ,

x D D ,

x D D ,

x¹  D^{1 2}  ^{2 3}  ²  _n  ⁿ

其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即

Dj D j

n

nn j

, n n

j , n n

n j

, j

,

j

a a

b a

a

a a

b a

a D































1 1

1

1 1

1 1

1 1 11











则方程组有唯一解 , 其解为 :

证明

 

 

 



































nj n

nj n

nn n

n

j j

n n

j j

n n

A b A

x a

x a

x a

A b A

x a

x a

x a

A b A

x a

x a x

a































2 2 1

1

2 2 2

2 2

22 1

21

1 1 1

1 2

12 1

11

 _{的 个方程 得}

依次乘方程组

列元素的代数余子式 中第

用

, 1

, ,

, ₂

1

n

A A

A j

D _{j j}  _nj

在把 个方程依次相加，得n

,

1

1 1

1 1

1





















 



 





 



 





 





n k

kj k

n n

k

kj kn j

n k

kj kj n

k

kj k

A b

x A

a x

A a x

A

a  

由代数余子式的性质可知 ,

 ^{j 1,2, ,n}^.

D

Dx_j  _j  

D . x

, D ,

x D ,

x D ,

x  ¹  ²  ²   ⁿ

, D x_j的系数等于 上式中

 _{的系数均为}^0;

而其余x_i i  j 又等式右端为D_j.

于是  ²

当 时 , 方程组 有唯一的一个解D  0  ²

由于方程组 与方程组 等价 , ²  ¹ _故

D . x D

, D ,

x D D ,

x D D ,

x¹  D^{1 2}  ^{2 3}  ²  _n  ⁿ

也是方程组的 解 . ¹

例1 给定平面上三个点

1,1 , 2,1 , 3,1,

y  c bx ax 2

1

2 4 1

3 9 1 c b a

c b a

c b a

  

    

   



且对称轴与 y 轴平行的抛物线方

解 因抛物线的对称轴与 y 轴平行 , 故可设其方程程 . 为

于是有

, 求过这三

点

. 2 2

, 4 2 8

, 16 2 7

14     

 b a

c

, 4 ,

16 ,

14 _{2 3}

1  D  D 

D

. 2

8

7 x x² y  

 3 2 3 1 2 1 2 0. 9

4 1

3 2

1

1 1

1 9

3 1

4 2

1

1 1

1















 D

此方程的系数行列式是范德蒙得行列式 , 而

所以方程组有唯一解 , 又

故

即所求的抛物线方程为

重要定理

定理 1 如果线性方程组 的系数行列式 则 一定有解 , 且解是唯一的 . ¹

 ^{1 D  0,}

定理 2 如果线性方程组 无解或有两个不同的 解，则它的系数行列式必为零 . ¹

二 . 齐次线性方程组有非零解的条件

 ²

0 0 0

2 2 1

1

2 2

22 1

21

1 2

12 1

11

































n nn n

n

n n

n n

x a

x a

x a

x a

x a

x a

x a

x a

x a































定理 3 如果齐次线性方程组 (2) 的系数行列

式 D0,

则它只有零解 .

定理 4 如果齐次线性方程组

 2 有非零解 , 则它 的系数行列式必为零 .

例 2 问 取何值时，齐次方程组

 

 

 































, 0 1

, 0 3

2

, 0 4

2 1

3 2

1

3 2

1

3 2

1

x x

x

x x

x

x x

x







有非零解？



解

















1 1

1

1 3

2

4 2

1 D

齐次方程组有非零解，则 D  0

所以 或 时齐次方程组有非零解 .  0,  2   3

3

1 2r

r 

 

















1 1

1

1 3

2

2 0

1 3

 

 1

1 1

3 3

2

0 0

1 3

















1 

3 2c

c 

行展开

按第1  ^1 ^3 ^{ 3}^1^3 3 2

因

1. 用克莱姆法则解方程组的两个条件 (1) 方程个数等于未知量个数 ;

(2) 系数行列式不等于零 .

2. 克莱姆法则建立了线性方程组的解和已知的系 数与常数项之间的关系 . 它主要适用于理论推导 .

三、小结

思考题

当线性方程组的系数行列式为零时 , 能否用克莱姆 法则解方程组 ? 为什么 ? 此时方程组的解为何 ?

思考题解答

不能 , 此时方程组的解为无解或有无穷多解 .