第三章雙邊雜訊濾波器演算法設計

(1)

第三章雙邊雜訊濾波器演算法設計

3.1 問題簡介

數位影像在擷取與傳輸的過程中，經常會因為多種因素受到干擾而產生雜訊，例如當數位影像利用無線網路傳輸時，有可能受到閃電或是其他大氣中的干擾而損壞，而當在使用數位相機擷取影像時，數位相機本身的硬體設計、光感測器產生的暗電流、高ISO 值的設定或是攝取影像時使用長曝光時間…等，也都可能使取得的影像混雜各式各樣的多餘雜訊，一般影像雜訊按照雜訊的分佈形狀來區分，大致可以分為脈衝雜訊(impulse noise)、高斯雜訊 (Gaussian noise)、均勻雜訊(uniform noise)…等等。對於觀察者來說，雜訊對影像的破壞是相當明顯且嚴重的，因此，雜訊濾除(Noise Filter)在數位影像處理系統中是一個相當重要的步驟。雜訊濾除的步驟除了主要是為了提供使用者較好的影像品質外，對於後續的邊緣偵測(Edge detection)、邊緣增強 (Edge enhancement)以及影像壓縮(Image compression)、影像辨認(Image recognition)…等步驟都會有所幫助，可避免這些影像處理步驟受到雜訊的影響而造成誤差或產生非預期的結果。

而使用數位相機擷取影像時，光學鏡頭本身設計造成的缺陷，以及相機硬體電路造成影像當中存在的雜訊所分布的情形，類似於訊號當中的高斯雜訊分佈情形，因此，在我們的研究當中，以消除影像中的高斯雜訊為主要的課題。公式3-1 為高斯雜訊分布之機率密度函數[1]

2 2 2

1 ( )

( ) exp

2 2

x

f x x μ

πσ σ

⎧ ⎛ − ⎞ ⎫

⎪ ⎪

= ⎨ ⎜ ⎟ ⎬

⎪ ⎝ ⎠ ⎪

⎩ ⎭

，-∞< x <∞ … (公式 3-1) 這裡的 x 代表像素值，μ為像素值 x 之平均值(mean)，σ² 為 x 之變異數

(2)

(variance)，亦即σ為 x 之標準差，在此機率密度函數中可發現(見圖 3-1)，

約有 70%的分布在[(μ-σ)，(μ+σ)]的範圍內，而有 90%的分布會在[(μ-2 σ)，(μ+2σ)]的區域中，簡而言之，含雜訊值越大的雜訊點，其出現的機率會越小，而含雜訊值越小的雜訊點，其出現的機率則會越大，其分佈的情形如圖3-1 的鐘型曲線，而在不同的σ下，高斯分佈的機率密度函數之曲線亦不相同。(見圖 3-2)

圖3-1 高斯機率密度函數分布曲線

圖3-2 不同標準差下的高斯機率密度函數分布曲線

(3)

3.2 相關研究

3.2.1 雜訊濾波器相關研究

濾波器在影像處理和電腦視覺中是一種很基本的方法，它乃是信號處理系統的代稱，其功能就是選擇性的處理信號，顧名思義，在影像處理中，濾波器是把一已知位置的像素值當作輸入，經過與這個點周圍的其他鄰近點作函數計算得到處理過的像素值輸出，在影像處理技術中，為了符合即時顯示的效果，其理論實現的方式大部分都採用遮罩的格式，針對不同問題，使用不同實際實現的遮罩。

在影像處理當中常常會使用到遮罩(Mask)這個名詞，並且使用遮罩來做運算，圖3-3 為九宮格的遮罩，它是影像當中 3x3 大小的區域，在此區域內為遮罩值範圍，每個小格分別為九個點上的像素值，Z⁵為我們接下來做遮罩運算時要改變其值的對像，也就是遮罩範圍的中心點，而周圍的八個點則為遮罩值中心點周圍之鄰近點。在影像處理當中，使用遮罩範圍中運算子做計算的情況很常見，而遮罩範圍並不限制一定要為 3x3 尺寸，在不同的情形之下，可以選擇不同的遮罩範圍大小。

圖3-3 九宮格的遮罩

Z

¹

Z

²

Z

³

Z

⁴

Z

⁵

Z

⁶

Z

7

Z

8

Z

9

(4)

雜訊濾除主要的目的即是要將雜訊濾除而同時又能保持數位影像的細節以及邊緣的清晰，基於雜訊濾除在影像處理中既然為一重要、不可或缺的課題，也就不斷有相關研究的提出。常用的濾波器演算法分為線性與非線性兩種，線性濾波器在訊號處理的歷史中存在已久，且其計算簡單，主要在處理高斯雜訊(Gaussian noise)，但它會使得數位影像邊緣模糊，損失數位影像中一些重要的邊緣與細節，且沒辦法有效濾除突波雜訊(impulse noise；因為脈衝雜訊看起來像是疊加在影像上的白點跟黑點，所以又稱為胡椒鹽雜訊 (salt-and-pepper noise))，線性濾波器如：平均值濾波器(mean filter，也稱為低通濾波器(low-pass filter))，它的作法是在濾波器遮罩住的鄰近點中(即是濾波器大小範圍內中心點之外的其他點)，將濾波器遮罩內的像素值總和作平均計算來取代濾波器中心點的像素值，如此一來，會使得像素值「劇烈」變化降低，而雜訊及邊緣都有劇烈變化的特性，因此，它可以達到減少雜訊的效果，但在濾除雜訊的同時也會將影像邊緣的部份模糊掉，使得影像邊緣不再像原本那麼的銳利，影像中的細微部分也會同時被模糊掉，此為它的缺點。

約在1980 年左右，雜訊濾除(即影像平滑化(image smoothing))所使用的濾波器為高斯濾波器(Gaussian filter) ，或稱高斯低通濾波器 (Gaussian low-pass filter)，這是一種線性濾波器，它計算濾波器遮罩範圍內每個鄰近點的權重值，權重值隨著被計算的鄰近點離中心點的距離增加而減少，它主要的概念是因為在同一區塊內的像素值通常是較為相近的，兩點之間的差異並不大，因此將兩點作平均的計算並不會大幅度的影響影像呈現，而如果其中有一點是具有雜訊之點，作如此的計算同時可以將具雜訊點之值與其他不具雜訊點之值拉近，進而達到降低雜訊影響，也就是濾除雜訊之功用，但是這樣的概念在遇到當兩點屬於不同塊區域時(也就是兩點之間有邊緣存在)，效果並不佳，因為不同塊區域之點其像素值必定相差較大，而將不同塊區域的像素點之值拉近會使得兩區塊的區別變得不明顯，導致影像邊緣模糊的現

(5)

象，因此這樣的狀況下，高斯低通濾波器的概念並不能達到原先預期之效果。因為高斯低通濾波器沒有方向性(isotropic)，對於有用的資料及雜訊均一視同仁加以處理，所以，當高斯平滑化濾波器被重複使用多次後，不僅雜訊漸漸不見，有用的邊緣或細微處影像也會同時被處理得很平滑。這種不分有用資訊或雜訊的方式並非很理想，而且 Gaussian filter 在每個取樣點需要不同的權重，所以，Gaussian filter 幾乎無法適用在隨機取樣的情形，因為如果取樣點的位置會不停變化，就需要每次重新計算其權重。這對於需要即時運算的應用，其計算太過複雜，幾乎是不可能的。

因此後來非線性濾波器被廣泛使用，其中應用最廣的則為中值濾波器 (median filter)，中值濾波器一開始用在使訊號平滑化上，後來，Rabiner、

Samgur、Schmidt[4]和 Jayant[5]將中值濾波器應用在聲音訊號處理上，Pratt[6]

和 Frieden[7]首先將它應用在影像處理當中，此法特別適合用在影像具有很強的脈衝式雜訊時。中值濾波器即是將濾波器遮罩內的像素大小作排序的動作，並選取排序在中間的中位數像素值，以其取代遮罩範圍中心點的像素值，如此便完成一個像素點的濾波動作，因為具雜訊點的灰階值與其鄰近像素的灰階值有很大的差異，因此如果中心點為具雜訊點，則經排序後取中間值的結果是強迫將此雜訊點變成與其鄰近的某些像素的灰階值一樣，以達到去除雜訊的效果。這樣的做法不但可以濾除影像中突起的高頻雜訊部份，也可以適當的保持影像的邊緣，不會像線性濾波器一樣將周圍的資訊模糊得那麼嚴重，其在數位影像上細節的保存明顯優於線性濾波器。但純粹的ㄧ般中值濾波器會無條件的改變數位影像一些未受雜訊影響的像素之值，它較不具彈性，有時會使得影像邊緣的部份形成條紋或是鋸齒狀的現象，而且在濾波器尺寸大的時候，仍然會有將影像細節模糊掉的情形出現，為改良這樣的現象，後續有許多以中值濾波觀念為基礎的雜訊濾波器研究產生[8]。

在1980 年代晚期，柏克萊加州大學的 Malik 及加州理工學院的 Perona

(6)

兩位教授一起提出一個具有選擇性濾波功能(Selective Image Smoothing)的技術[10]。這個方法基於物理熱力學的熱傳導方程式。他們利用熱傳導方程式的特性來判斷影像中何處較可能是有用的資料，及何處較可能是雜訊 (noise)。在可能是有用的邊緣(edge)資料附近，他們迫使平滑化的動作沿著邊緣去處理可能的雜訊。簡單地說，他們利用影像灰階值的差異(或可視為地形的高低)來做具有「方向性」的影像平滑化動作。但這個方法有以下的問題：(1)影像被數位化後，基本上是一個離散式的資料，他們兩人卻用「連續」的熱傳導方程式去處理這個本質上是「離散」的系統；(2)因為熱傳導方程式是一階的偏微分方程式且找不到封閉解(closed-form)，因此必須用數值方法去解；(3)需作多次的疊代計算以得到最後的結果。前兩個問題引入了雙重的誤差來源，因此準確度上會有一些落差，另外，用數值方法解偏微分方程式非常耗時，而還需要多次疊代計算以增加穩定度更是麻煩，且影像本身是一組離散的資料(digitized data)，沒有理由要用連續的微分方程式去描述及分析這個系統。

而到了1998 年，C. Tomasi 和 R. Manduchi 提出一個同時考慮距離以及相似度的雙邊濾波器(bilateral filter)[11]。雙邊濾波器是一種非線性的雜訊濾波器，不需要作多次的疊代計算，可減少計算量，它使用到了加權平均的觀念，可說此方法是實現在影像上的單層神經網路。此演算法主要的概念為先判斷出哪些點是相似的，哪些點並不相似，運用權重的觀念，將相似的點作平均的計算，以達到濾除雜訊同時保留邊緣的效果。

傳統常使用的濾波器為距離濾波器(domain filter)，亦即高斯低通濾波器，直覺來說，距離中心點越遠的像素點與中心點的關聯性越小，對中心點的影響應該就要越小，此濾波器所計算的權重即是隨著鄰近點與中心點之間的距離越遠，該鄰近點所具的權重值越小。而雙邊濾波器還使用到相似度濾波器(range filter)，即是將距離濾波器的概念從距離轉到色度差異上，其計算

(7)

的權重依鄰近點色度與中心點色度的差異量越大而下降，也就是說與中心點差異越大者，對中心點的影響就會越小，因為與中心點差異大的，很有可能該點與中心點是位於不同區塊的，亦即兩點之間有邊緣的存在，經由考慮到相似度，如此一來邊緣的兩邊就不會產生互相影響的情形，也就可以保留住清楚的邊緣特性。

相似度濾波器是種非線性濾波器，因為它的權重計算是依據像素點的色度或亮度值作為考量而非距離的關係，相似度濾波器最大的功用是在於保留住邊緣的清晰度。而距離濾波器亦可說是低通濾波器，它即是線性濾波器，

主要的功能為使用來濾除雜訊。以下分別說明距離濾波器與相似度濾波器的特性方程式[11]：

低通距離濾波器(low-pass domain filter)：

) , ( ) ( )

( )

( _, ¹ _, _, _i_,_j

n j

n j q

q p j

i m

i m i p d j i

d x k x f x c x x

h

∑ ∑

⁺

−

= +

−

=

− ×

= … (公式 3-2) 公式 3-2 為低通距離濾波器的特性方程式(這裡的相關性函數(closeness function)c

(

x_p_,_q

,

x_i_,_j

)

代表

x

p,q與

x

i,j兩點的幾何距離(geometric closeness)，而這裡的

x

p,q指的是濾波器遮罩的中心點座標，而

x

i,j指的則是中心點周圍的鄰近點座標，濾波器尺寸為m × n，hd代表經過低通距離濾波器濾波後輸出之影像值。)

當輸入為低通訊號之直流(dc)成份時，可得低通距離濾波器之正規化函數，即是

k

d(x)，其特性方程式為：

) , ( )

( ⁱ ^m _, _i_,_j

m i p

n j

n j q

q p

d x c x x

k

∑ ∑

⁺

−

= +

−

=

… (公式 3-3)

相似度濾波器(range filter)：

)) ( ), ( ( ) ( )

( )

( _, ¹ _, _, _i_,_j

n j

n j q

q p j

i m

i m i p r j i

r x k x f x s f x f x

h

∑ ∑

⁺

−

= +

−

=

− ×

=

… (公式 3-4)

公式 3-3 為低通相似度濾波器的特性方程式(這裡的相似度函數(similarity function)

s ( f ( x

_p_,_q

), f ( x

_i_,_j

))

代表

x

p,q與

x

i,j兩點色度的差異量，通常採用絕對

(8)

差值計算，這裡的

f(x

p,q

)指的是濾波器遮罩中心點的像素值，而 f(x

i,j

)指的則

是中心點周圍的鄰近點之像素值，濾波器尺寸為m × n，hr代表經過相似度濾波器濾波後輸出之影像值。)

相似度濾波器之正規化函數

k

r(x)之特性方程式如公式 3-5 所示：

)) ( ), ( ( )

( _, _i_,_j

m i

m i p

n j

n j q

q p

r x s f x f x

k

∑ ∑

⁺

−

= +

−

=

… (公式 3-5)

因為相似度濾波器並沒有考慮到像素值的差異性，這樣的結果會使得邊緣部份經處理過後容易呈現模糊的狀況。而相似度濾波器則沒有考慮到距離的影響，理論上來說，離濾波器遮罩中心點越遠的像素點，與中心點的關聯性較小，因此它對中心點的影響應該是越小的，且相似度濾波器只考慮到像素之間的相似度關係，其濾波效果較小，舉例來說，當一幅白色畫面當中參加了幾點黑色的雜訊點之時，如果此時濾波器的中心點正位於黑色的雜訊點之上，而按照相似度濾波器考慮到相似度的概念，白色鄰近點對於具雜訊的中心點之影響必定很小，反而是黑色雜訊為鄰近點時，其權重值較大，如此一來只是雜訊點互相做計算，反而將雜訊點突顯而沒有達到濾除雜訊的效果。因此較適當的解決方法便是結合距離濾波器跟相似度濾波器，也就是同時考慮到幾何距離關係與亮度差異性的關係。於是，便出現了雙邊濾波器 (bilateral filter)的想法。

雙邊濾波器同時使用到了距離濾波器和相似度濾波器的概念，因此它集合了距離濾波器用來濾除雜訊的特性以及相似度濾波器可以保留住邊緣的特性，如此一來，經過處理的影像就可以在濾除雜訊的同時也保留住影像細節與邊緣的部分。在雙邊濾波器當中，鄰近點所具的權重值同時依鄰近點與中心點之距離，以及鄰近點像素值與中心點像素值的差距來計算，距離中心點越遠，或像素值差異越大，權重就越小，亦即此鄰近點對於中心點的影響較小，因為理論上來說，距離中心點越遠的像素，對於中心點的影響應該就越小，該點的權重值越小，而像素值差異較大也代表兩個像素之間可能有邊

(9)

緣存在，為了不將位在邊緣兩邊而屬於不同塊區域的像素點互相做了平均化計算而造成邊緣模糊的現象，因此像素值差異大的鄰近點，其權重值相對會比較小，也就較不會對中心點造成影響。雙邊濾波器的特性方程式如下[11]：

雙邊濾波器(bilateral filter)：

)) ( ), ( ( ) , ( ) ( )

( )

(

_, ¹ ^j ⁿ _, _, _i_,_j _p_,_q _i_,_j

n j q

q p j

i m

i m i p b

j i

b x k x f x c x x s f x f x

h

= × ∑ ∑

⁺

× ×

−

= +

−

=

−

… (公式 3-6) 公式 3-6 為雙邊濾波器的特性方程式 ( 這裡的相關性函數 (closeness function)c

(

x_p_,_q

,

x_i_,_j

)

代表

x

p,q與

x

i,j兩點的幾何距離(geometric closeness)，而相

似度函數(similarity function)

s ( f ( x

_p_,_q

), f ( x

_i_,_j

))

_代表

_x

_p,q_與

_x

_i,j_{兩點色度的差} 異量，通常為兩數值的相差取絕對值，這裡的

x

p,q指的是濾波器遮罩的中心點座標，而

x

i,j指的則是中心點周圍的鄰近點座標，而這裡的

f(x

p,q)指的是濾波器遮罩中心點的像素值，而

f(x

i,j)指的則是中心點周圍的鄰近點之像素值，

濾波器尺寸為m × n，hb代表經過雙邊濾波器濾波後輸出之影像值) 雙邊濾波器的正規化函數之特性方程式如公式3-7 所示：

) , ( )) ( ), ( ( )

(

ⁱ ^m _, _, _, _i_,_j

m i p

n j

n j q

q p j

i q p

b x s f x f x c x x

k

∑ ∑

⁺

−

= +

−

=

×

=

… (公式 3-7)

在雙邊濾波器中，可使用各種具有對稱性與平滑衰減特色，且不會出現負值的函數當作其核心，例如cosine 函數、Andrew’s wave 函數、Flat 函數…

等等[14]，而高斯函數(Gaussian function)來做為核心是最為廣用的，以下說明使用高斯函數為核心的相關性函數c 跟相似度函數 s，此時的相關性函數 (closeness function) c(ε, x )為放射狀對稱(見公式 3-8)，而這裡的 d(ε, x )則為 鄰近點ε 與中心點 x 的幾何距離(見公式 3-9)。

)2

) , ( ( 2

1

) ,

(

^d

x d

e x

c

^σ

ε

−

=

… (公式 3-8)

(10)

x x

d ( ε , ) = ε −

_…_{(公式 3-9)}

相似度函數s 與相關性函數 c 的特性方程式有點類似，只是相似度函數 s 不是使用兩像素點的距離作計算，而是使用兩點像素值的差異(見公式 3-10)，

這裡的δ 即是計算兩輸入值作相差值計算的函式(見公式 3-11)，通常使用取絕對差值的計算方式，f(x)代表中心點的像素值，f(ε)代表濾波器遮罩中的鄰近點像素值。

)2

)) ( ), ( ( ( 2

1

) ,

(

^r

x f f

e x

s

^σ

ε δ

ε

−

=

… (公式 3-10)

) ( ) ( ))

( ), (

( f ε f x = f ε − f x

δ

… (公式 3-11)

在平滑區域中(亦即沒有邊緣需要考量的區域中)，相鄰的像素點之值是相近的，因此，相似度濾波器的正規化函數

k

r(x)趨近於一，此時的雙邊濾波器作用效果與傳統的距離濾波器(亦即高斯低通濾波器)類似，它可將具雜訊點之像素值與周圍像素值平均掉，以得到雜訊濾除之效果。而當遇到邊緣之時，雙邊濾波器所做的功用我們以下面這個例子來說明：

在圖3-4 中所見的是一個具高斯雜訊且雜訊係數為 10 之影像像素值分佈圖(histogram)，可以見到的是在這個雜訊影像當中有邊緣橫跨在影像當中，

影像分成像素值較高的一邊(亦即較明亮的一邊)與像素值較低的另外一邊 (較暗的一邊)，當我們以較明亮一端(亦即較為突起的一邊)的中間某一點為雙邊濾波器遮罩之中心點時，在明亮區域的像素值跟中心點的像素值差異較小，亦即它們是較為相似的，因此以這個區域的像素點為濾波器遮罩中的鄰近點時，所得的相似度函數s 之值接近於一，以較暗區域的像素點為鄰近點時，因為它跟中心點的差異較大，所得相似度函數s 之值趨近於零。以明亮處其中一點為濾波器中心點，同時考量距離與相似度後，計算所得之權重分佈如圖3-5 所示。而如果以較暗區域為濾波器遮罩區域中心點時，相對的，

明亮處的相似度函數s 之值就會接近於零，而較暗處的相似度函數 s 之值則

(11)

接近於一。當整張照片經過完整的雙邊濾波器濾波過後的結果則如圖3-6 所示，可以見到經濾除過程後的影像明顯變得較為平滑，而邊緣的部份仍可看出有明顯的差距，與原圖的邊緣差異不大，表示最後的結果有達到濾除雜訊而保留邊緣資訊的效果，這裡濾除雜訊的功能主要是因為有距離濾波器的功能，能保留邊緣則是因為相似度濾波器發揮了它的特性。

圖3-4 具高斯雜訊係數σ=10 的灰階影像直方圖

圖3-5 以明亮處某一點為濾波器中心點所得之權重分佈

圖3-6 整張圖片經雙邊濾波器濾波過後的結果

(12)

用另一個表示法來說明的話，我們可以將雙邊濾波器的特性方程式改寫如公式3-12 所示(這裡以一維來說明，但在二維時，其特色是相同的)[17]：

∑

−

=

_N

N N

N

n k W

n k Y n k W k

X

] , [

] [ ] , [ ]

ˆ [

… (公式 3-12)

我們將未受雜訊污染的原始影像設為X，高斯雜訊訊號設為V，受到雜訊污染的影像為Y，可以得到，Y=X+V，使用雜訊濾波器的目標即是將Y影像盡量還原成位受雜訊干擾的原始X影像，而X

ˆ k [ ]

為經過濾波處理過後所得之影像結果，W[k,n]為考量過距離與相似度權重之後的結果，亦即W[k,n]=

Wd[k,n]×Wr[k,n]，這裡的k為濾波器遮罩之中心點，而n則為濾波器遮罩範圍的中心點周圍之鄰近點，Wd[k,n]即為距離濾波器(domain filter)之權重(見公式3-13)，Wr[k,n]為相似度濾波器(range filter)之權重(見公式3-14)，其公式如下：

{ }

2 2

d 2 2

d [ ],[ ]

W [k,n]=exp - exp

2

_d

2

_d

k k n n

σ σ

⎧ − ⎫ ⎧ ⎫

⎪ ⎪ = −

⎨ ⎬ ⎨ ⎬

⎪ ⎪ ⎩ ⎭

⎩ ⎭

… (公式3-13)

{ } { }

²

2

r 2 2

d [ ], [ ] [ ] [ ]

W [k,n]=exp - exp -

2

_r

2

_r

Y k Y k n Y k Y k n

σ σ

⎧ ⎫

⎧ − ⎫ − −

⎪ ⎪ = ⎪ ⎪

⎨ ⎬ ⎨ ⎬

⎪ ⎪

⎩ ⎭ ⎪ ⎩ ⎪ ⎭

… (公式3-14) 這裡的濾波器核心具有幾項特色：

1. 由於經過正規化處理，濾波器之權重總合為一。

2. 濾波器中心點之權重值為最大，大小則是正規化後的結果而定。

3. 在符合以上兩點的情況下，核心函數除了使用Gaussian函數之外，也可採用其他形式的函數為核心。

在雙邊濾波器當中，我們可以控制的參數有三個，即是濾波器的遮罩尺寸大小、核心函數中距離濾波器的高斯係數σd與相似度濾波器的高斯係數 σr。因為濾波器的遮罩尺寸越大，遮罩中所涵蓋的像素點便會越多，因此，

(13)

當我們使用大尺寸遮罩的濾波器時，所考量到的像素之間距離關係會越大，

如此一來雖可作整體的考量，但就要注意會不會因此而考量到較不相關的地方，使得處理後的影像變得較為模糊，且因為雙邊濾波器的計算主要是考量到遮罩值中心點與遮罩範圍中的鄰近點之關係，因此，濾波器的尺寸越大，

每一中心點要與鄰近點做計算的次數會變多，其計算量將會變得相當可觀，

在Bilateral mesh noising這篇文章當中也說到，小尺寸的濾波器做多次的疊代結果與用大尺寸的濾波器所作之濾波效果相似，且其計算量較小 [15]。

而在高斯係數方面，係數值控制了權重的分佈，越大的高斯係數值會使得濾波器對於鄰近點與中心值的差異性越敏感，隨著差異量增加而減小的權重曲線其衰退的速率則會變大，也就是說，從鄰近點所取得的值與中心點所得之值只要有些微的差異時，該鄰近點所得之權重值就會變得很小。當相似度濾波器的高斯係數σr之值趨近於無限大時，相似度濾波器會因為高斯係數的關係而作用不大，因此整個雙邊濾波器的作用主要為距離濾波器所作用，

此時該濾波器的功能即類似於傳統的高斯濾波器(Gaussian filter)，而當距離濾波器的高斯係數σd與相似度濾波器的高斯係數σr都趨近於無限大時，這個濾波器的作用則會與平均值濾波器作用相似，因此在係數值設定越大時，濾波效果會越強烈，濾過之後的影像會較為乾淨，但同時影像也會因此而模糊掉(blurred)。

3.2.2 邊緣偵測相關研究

直覺上，邊緣是存在於兩區域間邊界的連接像素集合，對於一張暗色背景下有亮條紋的影像，由水平掃描線的灰階剖面圖及其一階導數圖可發現一個邊緣，因為在一個區塊中，邊緣通常與其周圍點的灰階值有很明顯的變化，通常是灰階值或是其一階導數不連續。邊緣偵測就是在影像中找尋這些不論是在灰階值或是一階導數有明顯變化的點，這就是邊緣偵測的基本理

(14)

論，而計算梯度值(gradient)就是一種衡量灰階值變化的方式，但在影像中有許多點的梯度值不是零，而這些點並不一定就是邊緣，所以我們就必須使用某種特定的演算法來找出邊緣點；而使用二階導數中偵測過零點(zero crossing)位置判斷方法者，也因為過零點事實上並不能完全表現實際的邊界，這個方法也未必準確。影像邊緣偵測方法可分為一階導數運算式與二階導數運算式[13]，一階導數運算式的方法有Sobel edge detection與Canny edge detection ，而二階導數運算式的方法則有 Laplacian of Gaussian edge detection(LOG)。

3.3 所提出的演算法

目前的雜訊濾波器中，都有著一些缺點，如線性濾波器會使得邊緣模糊，且對於較大雜訊值的雜訊點沒辦法有效濾除；中值濾波器主要用來處理脈衝雜訊，而我們所要處理的雜訊主要是截取影像時會造成的高斯雜訊；非等向性擴散、最小平方法與穩健估計法則是需要作多次的疊代計算，以得到最後的結果，需要花費時間跟計算量，因此在這裡我們要使用到雙邊濾波器，同時利用多級的影像處理流程來改進雙邊濾波器在大係數時會造成的影像模糊現象，以利用雙邊濾波器在大係數時較佳的濾波效果。

為了解決雜訊濾波器在濾波之時常常需要在強烈去除雜訊與保留影像邊緣與影像微小細節之間取得平衡，而要改善模糊現象以得到一個清晰的影像又必須要使用到影像增強的步驟，兩者之間最大的關聯性便是需要針對邊緣的部分做小心的處理，這就需要一個具準確性的邊緣偵測方法，三個影像處理的步驟相互依賴、需要彼此考量，因此我們將雜訊濾除、影像增強與邊緣偵測的部分串接在一起，利用各部分的特點與關聯性以達到最佳的影像處理效果。

我們提出一個串接的影像處理流程(見圖 3-7)，以虛線括起來的 color

(15)

correction 的部份並非此論文的重點，我們略過不說。這裡的流程主要會分成兩個分支，一個分支是偵測出影像的邊緣圖，以便在後面的步驟可以對影像邊緣做正確的處理，另一個分支會依照偵測出來的影像邊緣圖，對影像及其邊緣做適當的雜訊濾除處理，最後，經過雜訊濾除的影像，則會利用前面所得的邊緣偵測圖進行影像邊緣增強的處理，最後得到乾淨且清晰的影像。

在這個影像處理的流程當中，使用了兩個步驟的雜訊濾除、兩個步驟的邊緣偵測判斷、與一個步驟的邊緣增強，輸入影像是未經處理的含雜訊影像，我們所要做的便是濾除影像中的雜訊，以還原未受雜訊污染的原始影像。在此我們先對影像做雜訊濾除前處理的動作(Noise filtering 1)，先過濾掉影像的雜訊部份，但此時要注意的是，經過前處理的影像是要用來提供下個步驟的邊緣偵測所使用，因此不可以將影像做了過份的雜訊濾除而讓邊緣偵測變得困難。接下來對經過前處理的影像做邊緣偵測的動作(Edge detection 1)，並且取得邊緣位置圖 Edge map A，這裡的 Edge map A 為原始的輸入影像做雜訊濾除處理(Noise filtering 2)時之重要邊緣資訊。接下來的步驟便是要做影像邊緣增強的影像處理動作，此時我們所需要的邊緣位置圖是要相當準確的，因此為確保上個階段所得到的邊緣位置圖Edge map A 之邊緣資訊的正確，我們讓 Edge map A 的資訊經過第二步的邊緣偵測動作 (Edge detection 2)，以得到更為準確的邊緣位置圖 Edge map B。此時我們可得到邊緣加強所需要的邊緣資訊 Edge map B，與經過雜訊濾除處理動作 (Noise filtering 2)的影像，綜合兩者的資訊，我們謹慎的對影像做邊緣增強的影像處理動作。而除了影像邊緣增強的動作是在CIELAB domain 對 L 做計算之外，其他的計算部分我們都在RGB domain 做計算。雖然說，許多的影像理論指出，人眼對於不同亮度下的雜訊敏感度大於在不同的色度下，但其實許多的雜訊是出現在 RGB 色彩空間上，且色彩空間轉換公式往往會放大雜訊的影響，因此我們在 RGB 色彩空間上做雜訊濾除比較能有效的濾除

(16)

雜訊。而在邊緣偵測來說，有許多的邊緣是出現在不同的色彩空間上，但具有相似的亮度值，因此我們如果只在 CIELAB 中的 L 亮度空間上去找尋邊緣的位置會難以察覺所有邊緣的位置，而在 A 與 B 的影像色彩空間尋找邊緣位置則相當容易發生將雜訊誤判為邊緣的情形發生，而在CIELAB 上尋找邊緣的誤判情形在影像中出現深色影像的位置(如影像中的陰影處)最為嚴重，而在邊緣偵測與雜訊濾除步驟都在 RGB 色彩空間做除了結果較好，且如此一來，我們也不需做多次的影像色彩空間轉換計算，可減少計算量與做色彩轉換時難以避免的計算誤差發生。

RGB

Input Image

Noise filtering 1 (Range filter) Noise filtering 1

(Range filter)

Edge detection 1 (Sobel operator) Edge detection 1

(Sobel operator)

Noise filtering 2 (Bilateral filter) Noise filtering 2

(Bilateral filter)

Edge detection 2 (False edge filter )

Edge enhancement

Output Image

Edge map A

Edge map B

RGB

RGB RGB

L*

Input Image

(Range filter)

Output Image

Edge map A

Edge map B

RGB

L*

Color correction

RGB

sRGB to CIELAB

RGB

Input Image

(Range filter)

Output Image

Edge map A

Edge map B

RGB

RGB RGB

L*

Input Image

(Range filter)

Output Image

Edge map A

Edge map B

RGB

L*

RGB

sRGB to CIELAB Input Image

(Range filter)

Output Image

Edge map A

Edge map B

RGB

RGB RGB

L*

Input Image

(Range filter)

Output Image

Edge map A

Edge map B

RGB

L*

RGB

sRGB to CIELAB

圖3-7 多級影像演算法流程圖

(17)

為何在傳統的雜訊濾波器，如線性濾波器、高斯低通濾波器當中，會出現經過影像處理之後會將影像邊緣模糊的情形，其原因就是它們沒有對邊緣做適當的處理。直覺來說，同一區域內的點，它們所具的像素值不會有劇烈的變化，即使有變化也是輕微且漸層的，只有具雜訊值之點會與其周圍的鄰近點有大差異，因此將中心點與同一區域內的鄰近點做平均計算之時，可以將具雜訊點之值壓抑下來，使其與鄰近點較為相似，從而達到濾除雜訊的效果。但可以想像的是，當鄰近點與中心點位於不同區域時，兩點之間的差異性是必然存在的，而將中心點與鄰近點同化的結果是把本來應該有明顯差異的兩個部分變得較為相近，如此一來反而會使得影像中出現模糊的現象 (blurred)，而這就會影響到影像給人眼帶來的清晰度效果。在進行雜訊濾除處理時，對於邊緣的處理方式與之後會造成的影像模糊現象有很大的關聯性，在邊緣的部分與在同區域的部分，其濾波的方式必然不相同。因此，預先正確偵測邊緣的位置在這裡佔了一個非常重要的位置。也就是說在進行雜訊濾除步驟之時，我們就必須要知道邊緣的位置，並給予適當的處理。

而在偵測邊緣當中，最重要的一件事便是要從影像中排除雜訊的干擾，

雜訊總是會使得邊緣偵測時誤判，導致邊緣圖出現奇怪的線條，或出現密密麻麻的雜訊分布，影響到後續所做的影像處理流程，使其變得更加的困難。

因此在這裡，我們對要進行邊緣偵測的影像先做一個雜訊濾除前處理的步驟，但要先考慮到的是，如果為了偵測出完全無誤的邊緣，而採取相當強烈的雜訊濾除步驟的話，很有可能出現的副作用即是在雜訊濾除的同時，也將我們希望完整偵測到的邊緣部份做了過分模糊的處理，而使得在做邊緣偵測處理時有些重要的邊緣資訊難以偵測出來，因此，一個適當取捨的雜訊前處理方法是相當重要的。

為了使影像有較佳的銳利度，我們在最後增加了影像增強的步驟，這個步驟是為了要使得影像的輪廓與影像中細微的部分更加的清晰，同時可以將

(18)

在前段的雜訊濾除中被模糊掉的影像邊緣與細微處強化回來，而如果本身的影像因為影像對焦、鏡頭瑕疵…等等而造成了影像模糊，我們也可以經由這個步驟還原影像的清晰度。雖然影像邊緣增強對於影像的清晰度有很大的幫助，但也有可能在增強影像的邊緣之時，由於對於邊緣的錯誤判斷，而造成了將影像中的具雜訊點也同時作增強的動作，如此一來，便會使得影像中的雜訊變得明顯，反而會造成影像受到雜訊的干擾，使得影像的品質下降，為了避免這樣的情形發生，我們需要非常準確的偵測出邊緣位置，因此在這個部分，我們還增加了多一道的邊緣偵測判斷步驟，亦即

『

edge detection 2(false edge filter)

』

，此步驟用來確定在edge detection 1 所得的邊緣資訊確實為邊緣資訊，而非將雜訊點誤判為邊緣。另外，為了避免影像邊緣增強的步驟影響到雜訊濾除的效果，並且用此步驟來解決雜訊濾除後所會造成的模糊現象，因此將影像邊緣增強的步驟放在我們提出的串接影像處理流程的最後，

也就是做完雜訊濾除之後的影像，才用來做影像邊緣增強。

在這個影像處理的前端步驟，我們採用的是一個較為保守的影像雜訊濾除前處理方法，這裡濾除雜訊的需求僅僅是為了儘量減少在下一步驟的邊緣偵測中，因為雜訊的存在而影響到邊緣偵測的結果，進而發生偵測出錯誤邊緣的機會，但因為經過邊緣偵測步驟的邊緣圖要供給下一步的雜訊濾波器使用，我們希望可以盡量偵測出影像中大部分有可能為邊緣的邊緣資訊，因此需要一個濾波效果不需要過強，而不要把邊緣即細微處有用資訊模糊掉的濾波器，這裡我們使用到相似度濾波器(range filter)，這個部分所使用的濾波器遮罩尺寸為3×3，因為這裡主要是考慮像素點之間的相似性而沒有使用到距離的計算，不需要大的濾波遮罩範圍，而使用小範圍的濾波遮罩計算亦可以減少計算量，且要遇到中心點為受雜訊污染點，同時小範圍中的附近鄰近點也具高雜訊的機會並不大，因此可以達到濾除雜訊的效果而不會將雜訊增強。相似度濾波器它所使用到的觀念，是考慮位於濾波器遮罩範圍中，影像

(19)

中心點與鄰近點之相似度關係，因此雖然濾除雜訊的效果不大，但相同區域中的影像做互相的加權平均動作，仍可得到一定的濾波效果，這裡我們將相似度濾波器使用在 R、G、B 空間上，經由對每個色域空間都作過濾波，可以確保濾除雜訊的品質，而不會有所遺漏。而在此步驟所處理過的影像完全只是用來在邊緣偵測時減少雜訊的影響，所得的結果並沒有影響到最後的輸出影像。這裡的相似度濾波器之特性方程式如公式3-15 所示[11]：

)) ( ), ( ( ) ( )

( )

( _, ¹ _, _, _i_,_j

n j

n j q

q p j

i m

i m i p r j i

r

x k x f x s f x f x

h ∑ ∑

⁺

−

= +

−

=

− ×

=

… (公式 3-15)

接下來，經過雜訊濾除前處理的影像，所含的雜訊成分降低，我們把它用來偵測影像中的邊緣位置，這裡我們使用一個常見且簡單計算的邊緣偵測方法，即是Sobel 邊緣偵測法的概念，這個方法容易實行，運算出的線段清楚明顯，而且計算速度上也非常的快。Sobel Filter 算是一種高通濾波器，對於激烈的影像變化有強烈的反應，而邊緣就是像素值激烈變化的地方，因此它可以敏感的偵測出邊緣的位置，且因為Sobel 使用遮罩的計算，孤立單點的雜訊比較不會被誤認為是邊緣所在位置。

此方法主要的想法就是找到劇烈變化的方向來確定邊緣所處的位置，其做法是將每一點的梯度算出來，並設定一個二值化臨界值參數(Thresholding value)，再對算出的梯度大小與臨界值相比較並做二值化的動作，亦即大於臨界值的像素設為1（代表邊緣），反之為 0（代表背景），如公式 3-16 到公式3-19 所示，並對照圖 3-8 之遮罩位置。

(20)

2 2

y

x

s

M = +

… (公式 3-16)

) (

)

( Z

₁

cZ

₂

Z

₃

Z

₇

cZ

₈

Z

₉

s

_x

= + + − + +

… (公式 3-17)

) (

)

( Z

₁

cZ

₄

Z

₇

Z

₃

cZ

₆

Z

₉

s

_Y

= + + − + +

… (公式 3-18)

= 2

c

… (公式 3-19)

圖3-8 3×3 遮罩圖

這裡的M 指的是影像的梯度值大小，對影像中所有計算而得之 M 值，

進行二值化的動作，當梯度值大於二值化臨界值參數時，判定為影像的邊緣，否則判定為背景，亦即非邊緣的部分

。

這裡我們所使用的 Sobel 概念如圖 3-9 所示，在圖 3-9 中的運算子排列分別是用來計算水平、垂直、左下-右上、左上-右下四個方向的邊緣位置，

經運算子計算後取絕對值可得四個運算結果，分別是水平梯度值△H、垂直梯度值△V、左下-右上梯度值△Ld_Ru、左上-右下梯度值△Rd_Lu，並從四個運算結果當中找出最大變化的那一項，如果該值大於臨界值參數，則中心點為邊緣點，該方向為邊緣之方向。而因為在遮罩範圍中，因為每個遮罩值中權重計算的總合皆為零，所以如果一個點其相鄰的八個點都是相同值，表示沒有邊緣變化，其加權計算後的總合之值也會是零。我們所使用的演算法如下所示：

Z

¹

Z

²

Z

³

Z

⁴

Z

⁵

Z

⁶

Z

⁷

Z

⁸

Z

⁹

(21)

(a) (b) (c) (d) (a) (b) (c) (d)

圖3-9 Sobel 運算子表示圖

(a)找水平方向邊緣 (b)找垂直方向邊緣

(c)找左下-右上方向邊緣 (d)找左上-右下方向邊緣舉水平邊緣為例：

if((△H > △V) && (△H > △Ld_Ru) && (△H > △Rd_Lu))

//如果水平梯度值大於其他三個方向的梯度值

{

Mag = △H +( △V / 8) ;

//用來判斷是否為水平邊緣的數值 Mag

}

if(Mag >= Threshold) X(i , j) = edge;

//當 Mag 大於二值化臨界值參數時，

判斷該點為邊緣

(這裡的臨界值參數(Threshold value)我們設為 150)

(22)

我們分別在R、G、B 三個色域做邊緣偵測的動作，並將在每個色域中所得的邊緣資訊作或(or)的動作，也就是說，只要在一個色域中我們判斷某一點為邊緣資訊，不論該點在其他的色域上是否也被歸類為邊緣點，我們都將其判斷為邊緣點，在邊緣位置圖(Edge map A)中會出現，以這樣的判斷方法求得最多的邊緣細節以利下一步驟的雜訊濾除所用，同時，由於我們在前一步驟中已經有做過雜訊濾除的前處理，因此，這裡較不用擔心雜訊會去影響到邊緣判斷的結果。

經由Sobel 邊緣偵測方法所得到的邊緣位置圖(Edge map A)，我們會分別供給在流程圖當中左邊路線的Noise filtering 做雜訊濾除用，以及向下做進一步的邊緣確定(Edge detection 2)步驟時作為來源資料，我們以 ,

A

e

i j _等於₀

或等於1 來表示經過第一步的邊緣偵測演算法(Edge detection 1)判斷後，位於影像中位置(i, j)上的點是否被判斷為邊緣點，若該點為邊緣點，則設定 ,

A

e

i j

的值為1，若該點非邊緣點，則設定 , A

e

i j _的值等於_0。

接下來，我們會應用邊緣偵測時所得的邊緣位置圖(Edge map A)來做雜訊濾除，這裡的雜訊濾除方法，我們採用雙邊濾波器(Bilateral filter)，如前面所提到的，雙邊濾波器考慮了距離與相似度的關係，同時使用了距離濾波器(domain filter)與相似度濾波器(range filter)，來求得在濾波器遮罩範圍當中，鄰近點對於中心點的權重影響。距離中心點越近的，使用距離濾波器所求得之權重值越大，隨著鄰近點與中心點的距離增加，以距離作為考量的權重值以指數方式衰減；相同的，與中心點的相似度越大的，使用相似度濾波器所得之權重值越大，隨著鄰近點與中心點的差距越大，以相似度作為考量的權重值以指數衰減。但雙邊濾波器在大係數時，處理過的影像雖然較為乾淨，但也有影像邊緣以及影像細微處模糊掉的現象，因此，在這裡我們做一個判斷，如公式3-20 所示：

(23)

0 1 )

( ) ) (

(

, , ,

,

, =

=

⎩⎨

=⎧ _A

j i

A j i j

i j i b j

i

if e

e if x

f x x h

h

… (公式 3-20)

這裡的輸入影像為 f x

(

_{i j}_,

)

，當位於座標位置(i, j)上的點在第一步的邊緣偵測演算法(Edge detection 1)中被判斷為邊緣時

(

e_{i j}^A_, =1)，該點的輸出影像為原輸入影像f x

(

_{i j}_,

)

，若該點並未在第一步的邊緣偵測演算法中被判斷為邊緣點 (e_{i j}^A_, =0

)

，該點的輸出影像h x

(

_{i j}_,

)

為經過雙邊濾波器處理的結果，即為

(

,

)

b i j

h x ，演算法如下所示：

也就是說，如果位於雙邊濾波器遮罩範圍之中心點在前一步的邊緣偵測 (Edge detection 1)當中，被判斷為邊緣點，我們就不對它做雜訊濾波的動作，

而不為邊緣點者，我們就對它做雜訊濾波處理，這樣一來，就不會產生將不應該模糊的邊緣在經過雜訊濾除步驟後模糊掉的情形了，在雙邊濾波器演算法中，因為這裡需要以距離作為考量，我們不能用過小的濾波器範圍，如果使用的是3×3 的濾波器尺寸大小，則在遮罩中每個鄰近點與中心點的距離是

if (

f x

(

_{i j}_,

) != edge)

//如果輸入點在 sobel 偵測邊緣中沒有被判斷為邊緣

output_pixel = bil_filter(

f x

(

_{i j}_,

) )；

//該點輸出值為：以該點為雙邊濾波器的中心點，做雙邊濾波的結果

else

output_ pixel =

f x

(

_{i j}_,

)

；

//如果輸入點在 sobel 偵測邊緣中被判斷為邊緣，則不對該點做雙邊濾波

(24)

相等的，無法作距離計算，而過大的濾波器遮罩尺寸則會使得計算速率下降，且在大的高斯係數下，雙邊濾波器的功用趨近於平均值濾波器，如此的情況下再使用大的遮罩範圍會使得影像模糊化的情形加劇，且在Bilateral mesh noising 這篇文章當中也說到，小尺寸的濾波器做多次的疊代結果與用大尺寸的濾波器所作之濾波效果相似，而計算量會較小 [15]。因此經過各種考量以及實驗後，我們所採用的雙邊雜訊濾波器遮罩尺寸為5×5 大小。且將雙邊濾波器分別在輸入影像的R、G、B 影像空間各做過一次濾波，以確定在每個色彩空間所出現的雜訊都確實有經雜訊濾波器濾除乾淨。

做完雜訊濾波的影像接下來我們要對它做邊緣增強的步驟，但如前面所述，做邊緣增強之時，我們必須要小心謹慎的處理邊緣的部分以避免造成將雜訊增強的副作用，雖然在第一步的邊緣偵測(Edge detection 1)前我們已經有使用相似度濾波器(range filter)做過雜訊濾除(Noise filtering 1)，但在 Sobel 邊緣偵測的部分我們所求的是盡量大部分的偵測出可能的邊緣位置，具有大振福的雜訊在此時有可能會被誤認為是邊緣而被偵測出來，因此這裡我們就需要進一步的邊緣判斷步驟Edge detection 2 來進一步確認邊緣的位置，以避免發生將雜訊誤判為邊緣的情形，這個步驟我們也叫做 false edge filtering。主要的概念為雜訊通常是單獨出現的，而邊緣則是串接的，因此如果是邊緣點，在一定的範圍之內，一定會有其他的邊緣點存在。基於這樣的觀念，當位於

( , )

i j 位置上的像素點f x

(

_{i j}_,

)

在Edge detection 1 的步驟中被判斷為邊緣時(e_{i j}^A_,

= ) 1

，我們以該點為中心，取一個 a × b 的遮罩範圍，如果在這個遮罩範圍中，曾在第一步的邊緣偵測(Edge detection 1)被判斷為邊緣點的數目(wi, j)大於我們所設的臨界值μ(threshold value)時(μ≦(a × b))，我們才確定中心點的確為邊緣點 n 所在(e_{i j}^B_, =1

)

，否則的話，中心點就列為是雜訊點被誤判(e_{i j}^B_, =0

)

，不列入最後邊緣增強所要使用的邊緣圖Edge map B

(25)

當中。如公式3-21 所示：

μ ω

<

≥

⎩ ⎨

= ⎧

j i

j B i

j

i

if

e if

, ,

,

0

1 ， ∑ ∑

⁺

−

=

+

−

=

ⁱ ^a

a i p

b j

b j q

A q p j

i_,

e

_,

ω

… (公式 3-21)

以 3×3 濾波器遮罩尺寸為例，演算法如下所示 ( 見圖 3-10) ：

if( f x (

_{i j},

) _{= edge)}

//如果輸入點在 sobel 邊緣偵測中被判斷為邊緣才往下繼續判斷

{

for( p = -a ; p < (a + 1) ; p ++) for( q= -b; q < (b + 1); q ++)

//取一個 a × b 的遮罩尺寸大小

{

if( f x (

_{i p j q}₊ , ₊

) = edge) times++;

//以該點為中心點，在其附近的 a × b 的遮罩範圍內，尋找在sobel 邊緣偵測中被判斷為邊緣數目有多少

} }

if (times > threshold_value)

(

_{i p j q},

)

f x

₊ ₊

= real_edge;

//如果在九宮格之內被判斷為邊緣點的數目大於我們所設定的臨界值，則中心點該點的確為邊緣點

else

(

_{i p j q},

)

f x

₊ ₊

!= real_edge;

//如果在九宮格之內被判斷為邊緣點的數目小於我們所設定的臨界值，則中心點是雜訊點被誤判為邊緣點，不列入最後的邊緣考量中 }

(26)

圖3-10 false edge filter 示意圖

由於影像邊緣增強的步驟需要很小心的對真正的邊緣作處理，我們需要非常確定邊緣的位置。為了確定影像邊緣增強的品質，我們依據邊緣點不會單獨出現的原理，作edge detection2 的判斷，當在 false edge filter 中再度被判斷為邊緣點者，我們才相信該點是真正的邊緣點，而非在edge detection2 步驟中因受未被前處理濾除乾淨的雜訊點影響，而將應該是具雜訊點的像素位置被誤判為邊緣點位置。邊緣增強可以將原本不模糊的邊緣，經過影像增強之後，使得邊緣特徵變得更加的明顯清晰(見圖 3-11(a))，而原本模糊的邊緣，經過邊緣增強處理之後，可以還原回原本較為清晰的邊緣( 見圖 3-11(b))。在圖 3-11 中黑色的部分為原本的影像像素值大小，紅色的部分則是影像經過影像邊緣增強處理後的預期效果，可以發現的是，我們在影像邊緣的位置增加了φ 強度的像素值大小，而在圖 3-11(a)中，是將影像增強使用在原本就清晰的邊緣上，以增加邊緣的銳利效果，在邊緣該點增加強度之後，隨著邊緣位置離邊緣點的距離越大，影像所增強的強度會遞減，因為邊緣增強如果只單獨增強邊緣線部份的話，處理過的影像邊緣可能會顯得較為

center neighbor pixel

center pixel neighbor

pixel

(27)

突兀，因此在邊緣周圍做邊緣增強遞減的方法可以使被增強的影像邊緣較為自然，而在圖 3-11(b)中，我們則是希望將原本模糊的邊緣能增強到清晰的影像邊緣效果。

我們將邊緣增強處理使用在調整CIELAB 影像空間中的 L 頻域，因為如果我們對R 或 G 或 B 做邊緣增強的動作，勢必會影響到影像的色彩，而同時對R 與 G 與 B 做邊緣增強的計算，也有可能出現無法預期的色彩，而由於 CIELAB 色彩空間有亮度與彩度分離的特性，針對 L 頻域作影像增強的處理時，只會改變到影像的亮度值，不會影響到影像的彩度值，也就不會出現錯誤色彩的情形。

我們的做法是當某一點在false edge filter 中仍然被判斷為邊緣資訊時，

將該點當作邊緣增強遮罩的中心點，該點的亮度值為

Ｌ

(xi, j)，基於計算考量且影像亮度調整就理論上來說只需考量邊緣鄰近位置的亮度大小，因此將影像邊緣增強步驟的遮罩尺寸設定為3×3 大小，並且預先設定整張圖片所要增強或減弱的影像強度百分比，此百分比乘以該點原本的亮度值

Ｌ

(xi, j)即可得到該點應該增加或減去的亮度值φ 。當中心點的亮度比遮罩範圍內的平均亮度θ_i,j 大時，我們將中心點的亮度值加上φ 值；反之，當中心點的亮度比遮罩範圍內的平均亮度θi,j 小時，我們將中心點的亮度值減掉φ 值，最後得到影像

Ｌ

^E(xi, j)。如此一來，可以使在影像中原本較暗的邊緣更暗，使原本較亮的邊緣更加的明亮，以用來突顯邊緣，達到邊緣增強的目的。如公式 3-22 到公式3-23 所示：

(28)

j i j

i B

j i

j i j

i B

j i

j i j

i B

j i

j i j i

j i j

i E

x L e

if

x L e

if

x L e

if x

L x L

x L x

L

, ,

,

, ,

,

, ,

,

, , ,

,

) ( 0

) ( 1

) (

) ( )

(

θ θ θ φ

φ

=

∨

=

<

∧

=

>

∧

=

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧

− +

=

… (公式 3-22)

) 9 (

1

¹

1 1

1 ,

,

∑ ∑

⁺

−

= +

−

=

ⁱ

i p

j j q

q p j

i

L x

θ

_…_{(公式 3-23)}

The enhanced edge profile

The original edge profile The enhanced

edge profile

φ φ

edge profile

φ φ

edge profile

φ φ

(a) (b)

圖3-11 影像增強使用在(a)未模糊的邊緣(b)模糊的邊緣

3.4 實驗結果

以下我們舉Barbara 的圖為例，圖 3-12 Barbara 的影像原圖。圖 3-13 為圖3-12 加上高斯係數 σ 等於 15 的高斯雜訊之 Barbara 影像。圖 3-14 為使用不同係數的雙邊濾波器針對圖3-13 濾除雜訊的結果，所採用的係數為(a) (σd,

σ

r)=(1,30), (b) (σd, σr)=(1,90), (c) (σd, σr)=(10,30), and (d) (σd, σr)=(10,90)。圖 3-15 為使用我們所提出的影像處理流程處理圖 3-13 之結果，所採用的係數為

(a) (σ

d

, σ

r

)=(1,30), (b) (σ

d

, σ

r

)=(1,90), (c) (σ

d

, σ

r

)=(10,30), and (d) (σ

d

, σ

r

)=(10,90)。

(29)

圖3-12 Barbara 的影像原圖

圖3-13 加上高斯係數σ等於 15 的高斯雜訊之 Barbara 影像

(30)

(a) (b)

(c) (d)

圖3-14 使用雙邊濾波器濾除雜訊的結果

(a) (σ

d

, σ

r

)=(1,30), (b) (σ

d

, σ

r

)=(1,90),

(c) (σ

d

, σ

r

)=(10,30), and (d) (σ

d

, σ

r

)=(10,90).

第三章 雙邊雜訊濾波器演算法設計