單元

單元 _38: 分部積分與現值

( 課本 x 6.2)

一_. 第二個技巧_: 分部積分 (integration by parts) 適用於被積函數含有代數函數與指數函數的乘積或代數函 數與對數函數的乘積時_, 如

Z (x_| ²_{z+ 1)_} 代數函數

_|{z}e^x 指數函數

dx

或 Z x

|{z}2 代數函數

ln x_|{z}

對數函數 dx

分部積分的原理乃根據微分的乘積法則_, 如下述_. 令 _u 與 v 為 _x 的可微函數_. 首先根據乘積法則_,

d

dx(uv) = udv

dx + vdu dx

接著_, 將上式兩邊對 _x 積分_, 並根據積分的和差法則_, 得 uv = ^Z d

dx(uv)dx

= ^{Z }udv

dx + vdu dc



dx

= ^Z udv

dxdx + ^Z vdu dxdx

最後_, 以微分差型式 (dierential form), 亦即_, dv = dv

dxdx; du = du dxdx 表示_, 得

uv = ^Z udv + ^Z vdu

因此_, 由上式得

Z udv = uv ^Z vdu

此乃分部積分的公式_.

重點 _.

執行的步驟為

(1) 將原被積函數分成 _u 與 _dv 的乘積_, 其中取 _u 為微 分後可得更簡單形式的部份 ₍或易微分的部份_), 取 dv 為符合適當公式且易積分的部份_.

(2) 求 _du 與 _v.

(3) 將 ₍₁₎ 與 ₍₂₎ 中的式子代入公式

Z udv = uv ^Z vdu

後_, 繼續求 ^R _vdu.

例 _1.

(a) ^Z xe^xdx

(b) ^Z x³ ln xdx

(c) ^Z ln xdx

(d) ^Z (x² + 1)e^xdx

<解_{> (a)} 若原被積函數內沒有 _x, 則為一指數函數的積 分_, 有積分公式可用_, 易積分_, 亦即_{, x} 造成積分的困難_. 一個處理的方式為_, 令 _u 為造成積分困難的部份 _x, 且經

由微分將 _x 移去_, 並令其餘的部份為 _dv, 而這也是容易 積分的_. 這樣的選取_, 以目前來看似乎是正確的_. 故_, 根 據分部積分的步驟以及上述的構思_, 可取

u = x; dv = e^xdx 則

du = dx 以及

v = ^Z dv = ^Z e^xdx = e^x

因此_, 根據分部積分的步驟 ₍₃₎ 代入後_, 得 原式 ₌

Z udv

= uv ^Z vdu

= xe^{x Z} e^xdx

= xe^x e^x + C

(b) 明顯地_, 造成積分困難的部份為 _{ln x,} 而此部份容易 微分_, 另剩餘的部份也容易積分_, 故一個合理的嘗試為選 取

u = ln x; dv = x³dx

則

du = (ln x)⁰dx = 1 xdx 且

v = ^Z dv = ^Z x³dx = 1 4x⁴ 因此_,

原式 ₌

Z udv

= uv ^Z vdu

= 1

4x⁴ ln x ^Z 1

4x⁴
1 xdx

= 1

4x⁴ ln x 1 4

Z x³dx

= 1

4x⁴ ln x 1

16x⁴ + C

(c) 直接積分是不可能的_, 因為至目前為止並未提到對數 函數的積分公式_. 另外也無法以代入法積分_, 因為缺少所 需的 ¹

x. 故需考慮第二個積分技巧_: 分部積分_, 並在重新 改寫原式下_, 可清楚地選出適當的 _u 與 _dv, 再根據分部 積分的公式求出積分_, 亦即_, 在

Z ln xdx = ^Z 1
ln xdx

的辨識下_, 同 _(b), 令

u = ln x; dv = 1dx = dx 則可得

du = (ln x)⁰dx = 1 xdx 且

v = ^Z dv = ^Z dx = x

因此_,

原式 ₌

Z udv

= uv ^Z vdu

= x ln x ^Z x
1 xdx

= x ln x ^Z dx

= x ln x x + C

(d) 同 _(a), 造成積分困難的部份為 _x² _{+ 1,} 而此部份 容易微分_, 且剩餘的部份亦容易積分_, 故根據分部積分的 步驟_, 一個合理的嘗試為選取

u = x² + 1; dv = e^xdx

則

du = (x² + 1)⁰dx = 2xdx 且

v = ^Z dv = ^Z e^xdx = e^x

因此_, 根據分部積分的公式_, 原式 ₌

Z udv

= uv ^Z vdu

= (x² + 1)e^{x Z} e^x(2x)dx (1)

而 ₍₁₎ 式中的積分與 _(a) 有相同的困難_, 並不像前述的 各小題_, 可直接根據積分公式求積分_, 故根據處理 _(a) 的 經驗_, 需再做一次分部積分_, 處理此式中的積分_, 亦即_, 令

u = 2x; dv = e^xdx 則

du = 2dx 且

v = e^x

並由 ₍₁₎ 式_, 得

原式 _{= (x}² _{+ 1)e}^x

Z udv

= (x² + 1)e^{x }uv ^Z vdu^

= (x² + 1)e^{x }2xe^{x Z} e^x
2dx^

= (x² + 1)e^x 2xe^x + 2^Z e^xdx

= (x² + 1)e^x 2xe^x + 2e^x + C

= (x² 2x + 3)e^x + C

技巧摘要 _:

(1) 處理

Z xⁿe^xdx 或

Z (多項式_)e^x_dx

時_, 取

u = xⁿ 或多項式_{; dv = e}^x_dx

(2) 處理

Z xⁿ ln xdx 或

Z (多項式_{) ln xdx}

時_, 取

u = ln x; dv = xⁿdx 或 ₍多項式_)dx

例 _2.

(a) ^Z x ln xdx

(b) ^Z ln x x dx

(c) ^Z 1

x ln xdx

只因組成被積函數的因式的位子的不同_, 而需用不同的公 式與技巧_. 故積分是一種辨識問題_, 需要有能力辨識出何 種技巧或公式可快速且正確地求解_.

<解_{> (a)} 因為被積函數為一多項式與對數函數的乘積_, 故根據前述的經驗或技巧摘要需採用分部積分_. 首先_, 令

u = ln x; dv = xdx

則

du = (ln x)⁰dx = 1 xdx 且

v = ^Z dv = ^Z xdx = 1 2x² 因此_, 根據分部積分的公式並將上式代入_, 得

原式 ₌

Z udv

= uv ^Z vdu

= 1

2x² ln x ^Z 1

2x²
1 xdx

= 1

2x² ln x 1 2

Z xdx

= 1

2x² ln x 1

4x² + C (b) 因為被積函數中含有 _{ln x} 與 ¹

x, 故根據過去的經驗_, 可嘗試使用代入法_, 亦即_, 令

u = ln x 則

du = (ln x)⁰dx = 1 xdx

故_, 將上式代入並根據積分的冪次法則_, 得 原式 ₌

Z udu

= 1

2u² + C

= 1

2(ln x)² + C

(c) 稍微深入地辨識_, 可看出被積函數中亦含有 _{ln x} 與

1x, 故同 _(b), 一個直接的嘗試為代入法_. 首先_, 令 u = ln x

則

du = (ln x)⁰dx = 1 xdx 因此_, 將上式代入並根據對數法則_, 得

原式 ₌

Z 1

ln x
1 xdx

= ^Z 1 udu

= ln juj + C

= ln j ln xj + C

二_. 未來給付的現值 (present value)

欲得未來的值_, 而現在必須儲存的金額稱為現值_.

問 _.

答 _.

實際總收入 ₌

Z _t1

0 c(t)dt 且

現值 ₌

Z _t1

0 c(t)e ^rtdt

例 _3.

$50,000, 共 ₂₀ 年_. 若年通貨膨脹率為 _6%, 試問此 中獎金額的現值為何_?

<解_> 根據題意_, 年給付額

c(t) = 50; 000 且年通貨膨脹率

r = 0:06

並經過 ₂₀ 年_, 故 實際收入 ₌

Z ₂₀

0 c(t)dt

= ^{Z 20}

0 50; 000dt

= 50; 000t²⁰₀ = $1; 000; 000 就是中獎金額一百萬_.

然而_,

現值 ₌

Z ₂₀

0 c(t)e ^rtdt

= ^{Z 20}

0 50; 000e ^0:06tdt

= 50; 000

0:06 e ^0:06t20

0

= 50; 000 0:06

1 e ^1:2

 $582; 338 僅約為中獎金額的五成八_.