拼拼湊湊-數字解密

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科 別：數學科 組 別：國小組

作品名稱：拼拼湊湊-數字解密

關 鍵 詞：四則運算、交換律、結合律 （最多 3 個）

編 號：

1

☆拼拼湊湊-數字解密★

《目錄》

摘要 ……… 2

壹、研究動機 ……… 2

貳、研究目的 ……… 3

參、研究設備及器材 ……… 3

肆、研究過程或方法 ……… 4

伍、研究結果 ……… 21

陸、研究討論 ……… 22

柒、結論 ……… 23

捌、參考資料及其他 ……… 23

2

作品名稱：拼拼湊湊-數字解密

摘要

本研究主要先操作法老密碼遊戲，觀察採用何種四則運算較容易得到牌卡，在哪些牌卡 及擲出什麼骰子的情況下會無解，利用紙筆紀錄下來，接著運用電腦軟體 excel 大量分析數 據來探討牌卡數字上聖甲蟲分等級的標準，並針對不同數量聖甲蟲應採取哪種四則運算能較 快得到牌，。

壹、 研究動機

從五年級開始，老師就陸續讓我們玩數學相關的桌遊，記得之前有玩過 7ate9、誰是牛 頭王，拉密等等遊戲，之後，老師又讓我們玩了新的桌遊，有法老密碼，搜捕農場動物，幕 後交易等遊戲，其中我們幾個人最喜歡玩的遊戲便是法老密碼，每次一玩下來，總是無法自 拔沉迷於其中，需要老師提醒我們休息才能從那遊戲中脫離，與同學玩的過程中，我們發現 有些人取牌的速度超級快，當我想到算式要拿牌時，哎呀！牌又被別人搶走了，真得是太可

惡了，俗語說「輸人不輸陣、輸陣歹看面」，我一定要想辦法贏過他們。而當老師找我們做

科展，在思考研究的主題，我便想說以法老密碼作為研究主題，嘗試破解同學迅速取牌的秘 密。

貳、 研究目的

一、分析牌卡組成情形？

二、探討牌卡數字上聖甲蟲分等級的標準？

三、探究不同數量聖甲蟲應採取哪種四則運算能較快得到牌?

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參、 研究設備及器材

紙 筆 電腦

Microsoft Excel 軟體 法老密碼(遊戲配件)

1. 3 顆骰子 (八、十、十二面) 2. 沙漏(計時 30 秒)

3. 遊戲版圖(金字塔) 4. 說明書

5. 48 張寶藏牌(邊緣的四種顏 色代表不同等級)

肆、 研究過程或方法

一、研究流程

二、分析牌卡組成情形

(一) 說明法老密碼遊戲規則 1. 遊戲準備

文獻探討 提出探討問題 研究設計 得到結論

4

(1)把遊戲版圖放在桌子中間。

(2)寶藏牌的正面有不同顏色，把各種顏色的寶藏牌分開、洗均勻、各自疊好，

把這四疊牌放置在遊戲版圖的旁邊，數字的一面朝上。

寶藏牌(正面) 寶藏牌(背面)

邊緣的四種顏色代表不同等級，由左到右分 別為黃、藍、紅、黑色。

聖甲蟲的數量代表分數，為 1~7 分。

(3)把適當數量的寶藏牌放在遊戲版圖的橫排上。

數字的一面朝上(1 張黑色、2 張紅色、3 張藍色及 4 張黃色)。

(4)把沙漏放在遊戲版圖旁邊。

2. 進行遊戲

(1)玩家的回合開始時，他/她擲三顆骰。

(2)擲骰後，所有玩家應嘗試以三顆骰子顯示的數字用四則運算(加減乘除)計算出 遊戲版圖上任何一張寶藏牌的目標數字，一顆骰子只能用一次。玩家計算好後 ，應馬上叫出該寶藏牌的數字並取去該寶藏。

5

(3)當有第一名玩家拿了一張寶藏牌後，需把沙漏翻轉計時，

其他玩家現有 30 秒想出其他算式，每人(包括第一名拿 了寶藏牌的玩家)每回合只能拿一張牌

(4)當時間到，這回合結束，每位拿了寶藏牌的玩家解釋他的算式。

(5)算式正確的話，該名玩家就能保留該寶藏牌，

並把有數字的一面朝上，牌背的聖甲蟲 將於遊戲結束時作為分數計算。

(6)算式錯誤的話，該名玩家需要保留該寶藏牌，

但把牌背朝上，牌背的聖甲蟲 將於遊戲結束時作為罰分計算，

於玩家的總分內扣減。

(7)把新的寶藏牌按顏色填補到遊戲版圖 適當的空位上，然後，回合結束，

順時針方向的下一位玩家開始他/她的回合

，並拿取三顆骰子。

3. 遊戲結束

當某顏色的寶藏牌用光，不足夠填滿遊戲版圖的對應空位時，遊戲即告結 束，玩家們計算所持有的寶藏之價值，並減去因嘗試失敗而得的罰分，總得分最

6

高的玩家勝出，若有兩個或以上的玩家同分，有較多寶藏牌(包括失敗的罰分牌) 的玩家勝出，若還是平手，他們當中持有最大數字寶藏牌的玩家勝出。

(二) 分析牌卡組成情形 1. 牌卡組成情形

(1) 用紙、筆紀錄每一張牌卡所對應的數字、顏色及包含的聖甲蟲數量

表格 1 牌卡數字對應聖甲蟲數量、顏色紀錄表

數字 聖甲蟲 顏色 數字 聖甲蟲 顏色 數字 聖甲蟲 顏色

3 1 隻 黃 19 3 隻 藍 42 3 隻 藍

4 1 隻 黃 20 1 隻 黃 44 6 隻 紅

5 1 隻 黃 21 2 隻 黃 45 4 隻 藍

6 1 隻 黃 22 3 隻 藍 48 3 隻 藍

7 1 隻 黃 23 5 隻 紅 49 7 隻 黑

8 1 隻 黃 24 1 隻 黃 50 5 隻 紅

9 1 隻 黃 25 4 隻 藍 54 5 隻 紅

10 1 隻 黃 26 5 隻 紅 56 3 隻 藍

11 1 隻 黃 27 3 隻 藍 60 3 隻 藍

12 1 隻 黃 28 3 隻 藍 63 6 隻 紅

7

13 1 隻 黃 30 2 隻 黃 64 7 隻 黑

14 1 隻 黃 32 3 隻 藍 70 5 隻 紅

15 1 隻 黃 33 5 隻 紅 72 3 隻 藍

16 1 隻 黃 35 3 隻 藍 80 5 隻 紅

17 2 隻 黃 36 2 隻 黃 84 7 隻 黑

18 1 隻 黃 40 2 隻 黃 90 7 隻 黑

(2) 用紙、筆紀錄牌卡的總數量、各種聖甲蟲的牌卡張數

表格 2 各聖甲蟲牌卡張數紀錄表 聖甲蟲

數量

數字 級距

對應的數字 各組

數量

合計 數量

1 隻

0~9 3、4、5、6、7、8、9 7 個

17 個 10~19 10、11、12、13、14、15、16、18 8 個

21~29 20、24 2 個

2 隻

10~19 17 1 個

20~29 21 1 個 5 個

30~39 30、36 2 個

40~49 40 1 個

3 隻

10~19 19 1 個

11 個

20~29 22、27、28 3 個

30~39 32、35 2 個

40~49 42、48 2 個

50~59 56 1 個

60~69 60 1 個

8

70~79 72 1 個

4 隻 20~29 25 1 個 2 個

40~49 45 1 個

5 隻

20~29 23、26 2 個

7 個

30~39 33 1 個

50~59 50、54 2 個

70~79 70 1 個

80~89 80 1 個

6 隻 40~49 44 1 個 2 個

60~69 63 1 個

7 隻

40~49 49 1 個

60~69 64 1 個 4 個

80~89 84 1 個

90~99 90 1 個

合計 48 個

由上面的表格中我們可以得知黃色牌共有 22 張，藍色牌共有 13 張，紅色牌共 有 9 張，黑色牌共有 4 張，我們猜想分數高的牌較難得到，分數低的牌較容易拿到。

三、探討牌卡數字上聖甲蟲分等級的標準

(一) 牌卡中各數字的因數多寡是否為分級依據

將各數字的因數列出來，觀察的紀錄的結果如下表

表格 3 各牌卡因數數量紀錄表

數字 因數 個數 數字 因數 個數

3 1、3 2 個 27 1、3、9、27 4 個

4 1、2、4 3 個 28 1、2、4、7、14、28 6 個

9

5 1、5 2 個 30 1、2、3、5、6、10、15、30 8 個

6 1、2、3、6 4 個 32 1、2、4、8、16、32 6 個

7 1、7 2 個 33 1、3、11、33 4 個

8 1、2、4、8 4 個 35 1、5、7、35 4 個

9 1、3、9 3 個 36 1、2、3、4、6、9、12、18、

36

9 個

10 1、2、5、10 4 個 40 1、2、4、5、8、10、20、40 8 個 11 1、11 2 個 42 1、2、3、6、7、14、21、42 8 個 12 1、2、3、4、6、12 6 個 44 1、2、4、11、22、44 6 個

13 1、13 2 個 45 1、3、5、9、15、45 6 個

14 1、2、7、14 4 個 48 1、2、3、4、6、8、12、16、

24、48

10 個

15 1、3、5、15 4 個 49 1、7、49 3 個

16 1、2、4、8、16 5 個 50 1、2、5、10、25、50 6 個 17 1、17 2 個 54 1、2、3、6、9、18、27、54 8 個 18 1、2、3、6、9、18 6 個 56 1、2、4、7、8、14、28、56 8 個 19 1、19 2 個 60 1、2、3、4、6、10、15、20、

30、60

10 個

20 1、2、4、5、10、20 6 個 63 1、3、7、9、21、63 6 個 21 1、3、7、21 4 個 64 1、2、4、8、16、32、64 7 個 22 1、2、11、22 4 個 70 1、2、5、7、10、14、35、70 8 個

23 1、23 2 個 72 1、2、3、4、8、9、18、24、

36、72

10 個

24 1、2、3、4、6、8、12、24 8 個 80 1、2、4、8、10、20、40、80 8 個 25 1、5、25 3 個 84 1、2、3、7、12、28、42、84 8 個

10

26 1、2、13、26 4 個 90 1、2、3、5、6、9、10、15、

18、30、45、90

12 個

從上面的紀錄，我們可以得到以下幾點

1. 有兩個因數的數字：3、5、7、11、13、17、19、23，共 8 個 2. 有三個因數的數字：4、9、25、49，共 4 個

3. 有四個因數的數字：6、8、10、14、15、21、22、26、27、33、35，共 11 個 4. 有五個因數的數字：16，共 1 個

5. 有六個因數的數字：12、18、20、28、32、44、45、50、63，共 9 個 6. 有七個因數的數字：64，共 1 個

7. 有八個因數的數字：24、30、40、42、54、56、70、80、84，共 9 個 8. 有九個因數的數字：36，共 1 個

9. 有十個因數的數字：48、60、72，共 3 個 10. 有十二個因數的數字：90，共 1 個

聖甲蟲包含的因數數量：一隻聖甲蟲有 2、3、4、5、6、8 個因數，二隻 聖甲蟲有 2、4、8、9 個因數，三隻聖甲蟲有 2、4、6、8、10 個因數，四隻聖 甲蟲有 3、6 個因數，五隻聖甲蟲有 2、4、6、8 個因數，六隻聖甲蟲有 6 個因 數，七隻聖甲蟲有 3、7、8、12 個因數，因為聖甲蟲包含的因數數量沒有呈現

遞增或遞減的情況，所以我們推論，牌卡數字上的聖甲蟲數量分級跟因數數量 沒有明顯的關係。

(二) 探討骰子所排成的所有可能結果

因為遊戲獲得牌卡的方式是擲骰後，運用三顆骰子所擲出的數字，做四則運 算(加減乘除)計算出數字，當數字跟遊戲版圖上的數字一樣，就可以得到牌卡。

因此，我們便探討了八面骰、十面骰、十二面骰三顆骰子擲出的所有可能結果，

由於，骰子的面數、及顆數太多，我們先探討六面骰擲兩顆所有的可能結果，結 果如下

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表格 4 擲兩顆六面骰所形成結果紀錄表

編號 ( 骰子 1，骰子 2 ) 編號 ( 骰子 1，骰子 2 ) 編號 ( 骰子 1，骰子 2 )

1 ( 1，1 ) 12 ( 3，1 ) 25 ( 5，1 )

2 ( 1，2 ) 14 ( 3，2 ) 26 ( 5，2 )

3 ( 1，3 ) 15 ( 3，3 ) 27 ( 5，3 )

4 ( 1，4 ) 16 ( 3，4 ) 28 ( 5，4 )

5 ( 1，5 ) 17 ( 3，5 ) 29 ( 5，5 )

6 ( 1，6 ) 18 ( 3，6 ) 30 ( 5，6 )

7 ( 2，1 ) 19 ( 4，1 ) 31 ( 6，1 )

8 ( 2，2 ) 20 ( 4，2 ) 32 ( 6，2 )

9 ( 2，3 ) 21 ( 4，3 ) 33 ( 6，3 )

10 ( 2，4 ) 22 ( 4，4 ) 34 ( 6，4 ) 11 ( 2，5 ) 23 ( 4，5 ) 35 ( 6，5 ) 12 ( 2，6 ) 24 ( 4，6 ) 36 ( 6，6 )

我們利用列舉的方式，一個一個列出來，發現總共有 36 種結果，接著我們嘗試 利用列舉的方式列出八面骰、十面骰、十二面骰三顆骰子擲出的所有可能結果，發 現如果隨意列容易遺漏，我們便按照規律的方式列出，一次只改變一顆骰子的數 字，其他兩顆骰子不改變數字，其規律如下：

表格 5 八、十、十二面所有可能性規律表

編號 ( 八面骰，十面骰，十二面骰 ) 編號 ( 八面骰，十面骰，十二面骰 )

1 ( 1，1，1 ) 5 ( 1，1，5 )

2 ( 1，1，2 ) 6 ( 1，1，6 )

3 ( 1，1，3 ) 7 ( 1，1，7 )

4 ( 1，1，4 ) 8 ( 1，1，8 )

由於列舉出來的結果太多，一開始先用紙本進行，後來發現 excel 軟體既省時又 方便，便將所有結果列在軟體裡，共有 960 種，另外，我們發現如果要知道所有的

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可能結果的數量，不一樣要用列舉的方式，有更快速的方法，舉例來說：每一顆六 面骰可以擲出六種結果 ( 1 點、2 點、3 點、4 點、5 點、6 點 )，擲兩顆六面骰的所 有可能結果就可以看成，「 6 ( 六面骰 1 的六種結果 ) × 6 ( 六面骰 2 的六種結果) = 36 」，共 36 種結果，以此方式推論八面骰、十面骰、十二面骰三顆骰子擲出的所有 可能結果為 8 (八面骰的八種結果 )× 10 (十面骰的十種結果) × 12 (十二面骰的十二 種結果) = 960，共 960 種結果。

(三) 探討一組數字共有幾種算式

舉例：(1，2，3)來看，我們發現有三種情況需要去討論 1. 運算符號(＋、－、×、÷)的所有可能結果

每 3 個數字之間可以放置 2 個運算符號，我們按照規律將所有可能列出，發 現有 16 種。

表格 6 運算符號表

運算情形 運算情形 運算情形 運算情形

A＋B＋C A－B＋C A×B＋C A÷B＋C

A＋B－C A－B－C A×B－C A÷B－C

A＋B×C A－B×C A×B×C A÷B×C

A＋B÷C A－B÷C A×B÷C A÷B÷C

2. 括號位置的所有結果

所有的結果如下，共有 3 種 表格 7 運算符號表

沒有括號 括號內有兩個數字

A B C ( A B ) C

A ( B C )

3. (1，2，3)有幾種可能的組合

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3 種不同的數字我們發現有 6 種不同位置的組合，我們把它按照規律列出 表格 8 一組數字不同組合表

組合 1 組合 2 組合 3 組合 4 組合 5 組合 6 ( 1，2，3 ) ( 1，3，2 ) ( 2，1，3 ) ( 2，3，1 ) ( 3，1，2 ) ( 3，2，1 )

4. 相同意義的算式

每組數字最多有 6 種，運算符號的結果有 16 種，括號的位置有 3 種，

所以全部有 6×16×3=288 種，雖然總共有 288 種結果，但我們仔細去分析一 下可以發現算式裡面有許多算式的意義是相同的，我們以結合律、交換律運 算特性來做篩選，例如：

(1) (A＋B)÷C (2) (B＋A)÷C

因為 ×、＋有交換律、結合律的性質，我們發現總共有 18 個算式可以 歸納成「A＋B＋C」，「A×B×C」也有 18 個算式，以下我們將所有歸納出來 的算式列出，結果如下：

表格 9 四則運算歸納表

組 算式歸納 數量 組 算式歸納 數量 組 算式歸納 數量 1 (A＋B)÷C 2 個 27 A×C－B 4 個 53 B÷(A－C) 1 個 2 (A＋C)÷B 2 個 28 (A－B)×C 2 個 54 B÷(C－A) 1 個 3 (A－B)÷C 1 個 29 A÷(B＋C) 2 個 55 B÷A＋C 2 個 4 (A－C)÷B 1 個 30 A÷(B×C) 6 個 56 B÷A－C 2 個 5 (B＋C)÷A 2 個 31 A÷(B－C) 1 個 57 B÷C＋A 2 個 6 (B－A)÷C 1 個 32 A÷(C－B) 1 個 58 B÷C－A 2 個 7 (B－C)÷A 1 個 33 A÷B＋C 2 個 59 B－A×C 4 個 8 (C÷A)×B 6 個 34 A÷B×C 6 個 60 B－A÷C 2 個 9 (C－A)÷B 1 個 35 A÷B－C 2 個 61 B－A－C 6 個

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10 (C－B)÷A 1 個 36 A÷C＋B 2 個 62 B－C÷A 2 個 11 A＋B＋C 18 個 37 A÷C×B 6 個 63 C＋A×B 8 個 12 A＋B×C 8 個 38 A÷C－B 2 個 64 C＋A÷B 2 個 13 A＋B÷C 2 個 39 A－B×C 4 個 65 C＋B÷A 2 個 14 A＋B－C 12 個 40 A－B÷C 2 個 66 C÷(A＋B) 2 個 15 A＋C÷B 2 個 41 A－B－C 6 個 67 C÷(A×B) 6 個 16 A＋C－B 12 個 42 A－C÷B 2 個 68 C÷(A－B) 1 個 17 (B＋C)×A 4 個 43 B＋A×C 8 個 69 C÷(B－A) 1 個 18 (A＋C)×B 4 個 44 B＋A÷C 2 個 70 C÷A＋B 2 個 19 A×B×C 18 個 45 B＋C÷A 2 個 71 C÷A－B 2 個 20 A×B÷C 6 個 46 B＋C－A 12 個 72 C÷B＋A 2 個 21 (B－C)×A 2 個 47 B×C÷A 6 個 73 C÷B－A 2 個 22 (A－C)×B 2 個 48 B×C－A 4 個 74 C－A×B 4 個 23 A×B－C 4 個 49 (C－A)×B 2 個 75 C－A÷B 2 個 24 (A＋B)×C 4 個 50 (B－A)×C 2 個 76 C－A－B 6 個 25 A×C÷B 6 個 51 B÷(A＋C) 2 個 77 C－B÷A 2 個 26 (C－B)×A 2 個 52 B÷(A×C) 6 個

由上面的表格我們可以知道，288 個算式經過歸納後，總共有 77 種運算式 子。

(四) 利用 excel 來分析

從第二點的探討我們可以得知三顆骰子總共可以形成 960 組數字，第三點 的探討我們可以得知一組數字有 77 種運算，將 960 組數字搭配 77 種運算，總 共可以形成「 960 × 77 = 73920 」種結果，由於用紙本計算這麼多種結果實在 太龐大了，我們運用 excel 設定公式，來幫助我們分析數據

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圖 1 四則運算算式 1-3 圖 1 四則運算算式 75-77

圖 3 統計結果 圖 4 統計結果

以下的表格是我們用 excel 分析出來的結果，從表格中我們可以知道牌 卡 3 出現了 1342 次，百分率：1342(3 出現次數)÷73920（所有可能）=1.82%，

其他數字以此類推

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表格 10 各種顏色牌卡次數及百分率統計表

顏色 聖甲蟲 牌卡數字 次數 百分率 牌卡數字 次數 百分率

黃色

1 隻

3 1342 次 1.82% 12 883 次 1.19%

4 1337 次 1.81% 13 503 次 0.68%

5 1158 次 1.57% 14 577 次 0.78%

6 1254 次 1.70% 15 518 次 0.70%

7 1019 次 1.38% 16 527 次 0.71%

8 1118 次 1.51% 18 470 次 0.64%

9 952 次 1.29% 20 410 次 0.55%

10 938 次 1.27% 24 400 次 0.54%

11 686 次 0.93%

合計 14092 次 19.06% 平均 828.94 次 1.12%

2 隻

17 288 次 0.39% 36 258 次 0.35%

21 283 次 0.38% 40 239 次 0.32%

30 285 次 0.39%

合計 1353 次 1.83% 平均 270.6 次 0.37%

黃色 合計 15445 次 20.89% 平均 702 次 0.95%

藍色

3 隻

19 217 次 0.29% 42 181 次 0.24%

22 213 次 0.29% 48 213 次 0.29%

27 177 次 0.24% 56 150 次 0.20%

28 229 次 0.31% 60 177 次 0.24%

32 201 次 0.27% 72 151 次 0.20%

35 166 次 0.22%

合計 2075 次 2.81% 平均 188.6 次 0.26%

4 隻 25 170 次 0.23% 45 142 次 0.19%

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合計 312 次 0.42% 平均 156 次 0.21%

藍色 合計 2387 次 3.23% 平均 183.6 次 0.25%

紅色

5 隻

23 131 次 0.18% 54 124 次 0.17%

26 131 次 0.18% 70 112 次 0.15%

33 124 次 0.17% 80 108 次 0.15%

50 116 次 0.16%

合計 846 次 1.14% 平均 120.8 次 0.16%

6 隻 44 107 次 0.14% 63 99 次 0.13%

合計 206 次 0.28% 平均 103 次 0.14%

紅色 合計 1052 次 1.42% 平均 116.8 次 0.16%

黑色 7 隻

49 88 次 0.12% 84 88 次 0.12%

64 95 次 0.13% 90 91 次 0.12%

合計 362 次 0.49% 平均 90.5 次 0.12%

圖 5 各種數字出現次數長條圖及百分率折線圖

四、探究不同數量聖甲蟲應採取哪種四則運算能較快得到牌?

(一) 各種聖甲蟲數量對應算式數量的情況

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利用 Excel 統計，八面骰為 A，十面骰為 B，十二面骰為 C 表格 11 各種聖甲蟲數量對應算式數量統計表

編號 算法列式 黃色牌 藍色牌 紅色牌 黑色牌

一隻 二隻 三隻 四隻 五隻 六隻 七隻

1 (A＋B)÷C 148 2 0 0 0 0 0

2 (A＋C)÷B 182 4 2 0 0 0 0

3 (A－B)÷C 17 0 0 0 0 0 0

4 (A－C)÷B 17 0 0 0 0 0 0

5 (B＋C)÷A 233 8 5 0 0 0 0

6 (B－A)÷C 35 0 0 0 0 0 0

7 (B－C)÷A 35 0 0 0 0 0 0

8 (C÷A)×B 309 32 40 8 13 4 5

9 (C－A)÷B 59 0 0 0 0 0 0

10 (C－B)÷A 60 0 0 0 0 0 0

11 A＋B＋C 636 124 125 21 51 0 0 12 A＋B×C 282 66 124 23 67 16 21

13 A＋B÷C 204 2 0 0 0 0 0

14 A＋B－C 550 1 0 0 0 0 0

15 A＋C÷B 248 4 2 0 0 0 0

16 A＋C－B 678 6 1 0 0 0 0

17 (B＋C)×A 214 93 194 20 79 21 54 18 (A＋C)×B 196 87 178 22 86 22 58 19 A×B×C 137 60 128 10 47 10 41

20 A×B÷C 239 16 20 3 4 1 2

21 (B－C)×A 245 31 45 6 1 1 5

19

22 (A－C)×B 191 29 26 6 6 1 1

23 A×B－C 346 55 89 19 48 11 7 24 (A＋B)×C 184 81 171 20 79 25 55

25 A×C÷B 276 20 31 3 6 3 3

26 (C－B)×A 326 51 76 10 10 4 9 27 A×C－B 325 56 98 18 58 12 11 28 (A－B)×C 211 34 41 6 11 5 2

29 A÷(B＋C) 2 0 0 0 0 0 0

30 A÷(B×C) 10 0 0 0 0 0 0

31 A÷(B－C) 70 0 0 0 0 0 0

32 A÷(C－B) 80 0 0 0 0 0 0

33 A÷B＋C 226 4 2 0 0 0 0

34 A÷B×C 276 20 31 3 6 3 3

35 A÷B－C 16 0 0 0 0 0 0

36 A÷C＋B 190 2 0 0 0 0 0

37 A÷C×B 239 16 20 3 4 1 2

38 A÷C－B 16 0 0 0 0 0 0

39 A－B×C 27 0 0 0 0 0 0

40 A－B÷C 85 0 0 0 0 0 0

41 A－B－C 20 0 0 0 0 0 0

42 A－C÷B 94 0 0 0 0 0 0

43 B＋A×C 309 80 129 30 75 16 22

44 B＋A÷C 190 2 0 0 0 0 0

45 B＋C÷A 289 8 5 0 0 0 0

46 B＋C－A 774 16 6 0 0 0 0

20

47 B×C÷A 309 32 40 8 13 4 5

48 B×C－A 298 52 104 17 53 12 17 49 (C－A)×B 325 74 94 17 32 9 14 50 (B－A)×C 295 57 81 11 22 10 9

51 B÷(A＋C) 5 0 0 0 0 0 0

52 B÷(A×C) 16 0 0 0 0 0 0

53 B÷(A－C) 79 0 0 0 0 0 0

54 B÷(C－A) 96 0 0 0 0 0 0

55 B÷A＋C 278 9 5 0 0 0 0

56 B÷A－C 31 0 0 0 0 0 0

57 B÷C＋A 204 2 0 0 0 0 0

58 B÷C－A 31 0 0 0 0 0 0

59 B－A×C 57 0 0 0 0 0 0

60 B－A÷C 104 0 0 0 0 0 0

61 B－A－C 56 0 0 0 0 0 0

62 B－C÷A 135 0 0 0 0 0 0

63 C＋A×B 329 92 148 28 75 15 16

64 C＋A÷B 226 4 2 0 0 0 0

65 C＋B÷A 278 9 5 0 0 0 0

66 C÷(A＋B) 11 0 0 0 0 0 0

67 C÷(A×B) 25 0 0 0 0 0 0

68 C÷(A－B) 108 0 0 0 0 0 0

69 C÷(B－A) 132 0 0 0 0 0 0

70 C÷A＋B 289 8 5 0 0 0 0

71 C÷A－B 52 0 0 0 0 0 0

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72 C÷B＋A 248 4 2 0 0 0 0

73 C÷B－A 51 0 0 0 0 0 0

74 C－A×B 99 0 0 0 0 0 0

75 C－A÷B 144 0 0 0 0 0 0

76 C－A－B 120 0 0 0 0 0 0

77 C－B÷A 165 0 0 0 0 0 0

根據上面的表格我們可以知道各數量聖甲蟲應採取哪種四則運算能較快得到牌?

1. 一隻聖甲蟲：採取的四則運算為 B＋C－A，共 774 個 2. 二隻聖甲蟲：採取的四則運算為 A＋B＋C，共 124 個 3. 三隻聖甲蟲：採取的四則運算為(B＋C)×A，共 194 個 4. 四隻聖甲蟲：採取的四則運算為 B＋A×C，共 30 個 5. 五隻聖甲蟲：採取的四則運算為(A＋C)×B，共 86 個 6. 六隻聖甲蟲：採取的四則運算為(A＋B)×C，共 25 個 7. 七隻聖甲蟲：採取的四則運算為(A＋C)×B，共 58 個

伍、研究結果

一、法老密碼牌卡的組成情形

(一)黃色牌：包含 1、2 隻聖甲蟲，共 22 張牌，級距 0~9 有 7 個，級距 10~19 有 9 個，級距 20~29 有 3 個，級距 30~39 有 2 個，級距 40~49 有 1 個。

(二)藍色牌：包含 3、4 隻聖甲蟲，共 13 張牌，級距 20~19 有 1 個，級距 20~29 有 4 個，級距 30~39 有 2 個，級距 40~49 有 3 個，級距 50~59 有 1 個，級距 60~69 有 1 個，級距 70~79 有 1 個。

(三)紅色牌：包含 5、6 隻聖甲蟲，共 9 張牌，級距 20~29 有 2 個，級距 30~39 有 1 個，級距 40~49 有 1 個，級距 50~59 有 2 個，級距 60~69 有 1 個，

級距 70~79 有 1 個，級距 80~89 有 1 個。

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(四)黑色牌：包含 7 隻聖甲蟲，共 4 張牌，級距 40~49 有 1 個，級距 60~69 有 1 個，級距 80~89 有 1 個，級距 90~99 有 1 個。

二、牌卡數字上的聖甲蟲如何分等級

(一) 牌卡上的聖甲蟲數量與牌卡出現次數的多寡有關，牌卡出現次數越多，代表 越容易記算出答案，因此聖甲蟲數量越少，分數越低。

聖甲蟲數量 出現次數 百分率 平均 百分率

一隻 14092 次 19.06% 828.94 次 1.12%

二隻 1353 次 1.83% 270.6 次 0.37%

三隻 2075 次 2.81% 188.6 次 0.26%

四隻 312 次 0.42% 156 次 0.21%

五隻 846 次 1.14% 120.8 次 0.16%

六隻 206 次 0.28% 103 次 0.14%

七隻 362 次 0.49% 90.5 次 0.12%

(二) 牌卡出現的數字出現次數越多，佔的百分率越高，代表出現的機率越高，越 容易擲骰後獲得該牌卡；反之，牌卡出現的數字出現次數越少，佔的百分率 越低，代表出現的機率越低，越困難擲骰後獲得該牌卡。

(三) 聖甲蟲包含的因數數量：一隻聖甲蟲有 2、3、4、5、6、8 個因數，二隻 聖甲蟲有 2、4、8、9 個因數，三隻聖甲蟲有 2、4、6、8、10 個因數，四隻聖 甲蟲有 3、6 個因數，五隻聖甲蟲有 2、4、6、8 個因數，六隻聖甲蟲有 6 個因 數，七隻聖甲蟲有 3、7、8、12 個因數，因為聖甲蟲包含的因數數量沒有呈現 遞增或遞減的情況，找不到規律性，所以我們推論，牌卡數字上的聖甲蟲數量 分級跟包含的因數數量沒有明顯的關係。

三、各聖甲蟲數量採用的四則運算：

(一) 一隻聖甲蟲採取的四則運算為 B＋C－A，

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(二) 二隻聖甲蟲：採取的四則運算為 A＋B＋C (三) 三隻聖甲蟲：採取的四則運算為(B＋C)×A (四) 四隻聖甲蟲：採取的四則運算為 B＋A×C

(五) 五隻聖甲蟲：採取的四則運算為(A＋C)×B (六) 六隻聖甲蟲：採取的四則運算為(A＋B)×C (七) 七隻聖甲蟲：採取的四則運算為(A＋C)×B

陸、研究討論

在進行紙本推演及 excel 運算前，我們就先討論過牌卡數字上的聖甲蟲如何分 等級的可能原因，我們那時候是猜想聖甲蟲多的比較難得到，聖甲蟲少的比較容易 得到，後來經過一連串的研究，運用 excel 大量運算後，得到詳細的數據去驗證我 們的猜想，此外，法老密碼仍然有一些問題可以探討，但礙於時間的關係，我們沒 有進行探討，以下幾點建議可以進行探討：

一、可以怎麼改變遊戲規則，那麼聖甲蟲的得分會不會改變呢？

二、為何 1－100 中，有些數字沒有？

柒、結論

這一次的研究，我們大家都覺得收穫良多，雖然過程十分的艱辛，好在我有一 群好夥伴一同集思廣益，彼此將想法拋出來並討論可行性，當我們遇到困難時，即 便絞盡腦汁仍無想法時，老師總能適時給大家指導及建議，有了關鍵的提醒，瞬間 有種茅塞頓開的喜悅感，思緒如任督二脈被打通般源源不斷，這次研究也讓大家體 會到原來要做研究是件這麼費心、不簡單的事情，研究的態度需要很嚴謹、操作的 過程需要很精準，如果下次還有機會的會，我們定會再度挑戰一次看看。

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捌、參考資料及其他

1. 康軒文教事業股份有限公司。國小數學第七、九、十一冊。新北市：康軒出 版社。

2. 第五十屆全國國小組數學科展。「拼拼湊湊 24」。

3 第五十六屆金門縣國小組數學科展。「法老王的密碼─想出辦法，心裡有數」。