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doi: 10.6278/tjme.20160323.002

## 運用幾何軟體 Cabri 3D 與實體積木教具教學 對國小二年級學童學習空間旋轉概念之影響

1桃園大業國民小學

2國立台北教育大學數學暨資訊教育學系

(2)

Corresponding author：Kaung-Hsung Chen，e-mail：kachen@tea.ntue.edu.tw Received：25 May 2015;

Accepted：23 March 2016.

Wang, Y. J., & Chen, K. H. (2016).

Based on Cabri 3D and physical manipulatives to study the effect of learning on the spatial rotation concept for second graders.

Taiwan Journal of Mathematics Education, 3(1), 19-54.

doi: 10.6278/tjme.20160323.002

## Based on Cabri 3D and Physical Manipulatives to Study the Effect of Learning on the Spatial Rotation Concept for Second

Yu-Jie Wang 1 Kaung-Hsung Chen 2

1Dayes Elementary School, Ta Yuan City

2Department of Mathematics and Information Education, National Taipei University of Education

For teaching spatial rotation concepts, this study investigated the learning effectiveness, problem-solving strategies, and error types produced by different teaching methods that used physical manipulatives with and without Cabri 3D geometry software. The study adopted a quasiexperimental, nonequivalent group design, and 61 second graders participated. The experimental group comprised 31 students who used physical manipulatives with Cabri 3D geometry software. The control group comprised 30 students who used only physical manipulatives without the software. The research revealed the following findings: Both the experimental and the control group exhibited considerable improvement following the posttest and showed that these methods of teaching spatial rotation concepts were effective for second graders; however, there was no significant difference in learning effectiveness between the groups. In addition, qualitative analysis was performed on interviews conducted after a relay test. The results indicated the following problem-solving strategies and error types: Most students first used intuition to make spatial judgements, before finding overall similarities between objects, checking for possible alternatives, and confirming their spatial judgement by using mental rotation strategies that employed all or part of the objects.

After using their intuition, some students directly chose without rotating the objects; these second graders were apt to make an error involving a mirror misconception. Finally, some suggestions for future research and teacher development are offered as a reference to researchers and teachers, respectively.

Keywords: Cabri 3D, spatial ability, spatial rotation concept

(3)

### 壹、緒論

（2010）曾說虛擬教具確實能提升學生的學習興趣。Baki、Kosa 與 Guven（2011）利用 Cabri 3D 軟體和實物教具針對職前數學教師空間視覺化技能的比較研究中，其結果發現使用Cabri 3D 動 態軟體能輔助學習者在空間視覺能力的提升。又現今有關「空間旋轉能力」的研究，鮮少針對 國小低年級的研究。陳毓梅（2011）針對不同教具教學環境對國小一年級學生學習立方體積木 堆疊計數的影響研究中，發現學生對於幾何形體凹處造成錯視、以積木與其他積木接觸面為隱 藏積木、2D 紙上幾何形體方位錯視認知等都是學童無法正確計數立方體積木數，造成學習困難 的主要原因。鄭美玲與陳光勳（2015）研究也發現國小高年級學生對於二維紙上的幾何形體辨 別不容易掌握；幾何形體隱藏處也容易造成錯視，因此對於低年級學生在幾何形體辨別不容易 掌握之下，以資訊科技融入空間旋轉能力的教學，藉由滑鼠操控旋轉立方塊，來辨識被隱藏的 立方塊，並以不同視角觀察立方塊，促使學生發展將三維的立體圖形辨識成二維平面圖像之能

(4)

（一）探討以不同教學模式的教學活動後，國小二年級學童在學習空間旋轉能力之成效。

（二）探討二年級學童在空間旋轉測驗的解題策略以及錯誤類型。

（一）立即教學成效

（二）保留成效

（三）延宕教學成效

(5)

### 貳、文獻探討

（一）空間能力的定義與分類

（二）空間能力與數學學習

Cheng 與 Mix（2014）針對在 6 至 8 歲的孩子進行有關是否心理旋轉的培訓能提高學童的

(6)

（2014）整理過去的許多相關研究（例：Battista, 1990; Battist, Wheatley, & Talsma, 1982; Casey, Nuttall, & Pezaris, 1997; Casey, Nuttall, Pezaris, & Benbow, 1995; Delgado & Prieto, 2004; McGee, 1979），一致認為心理旋轉已經常常被視為成功解決問題表現之重要因素，尤其是在數學學習的 幾何方面，心理旋轉的能力關係著其數學的解題能力。

（一）空間旋轉能力的教學

Baki（2011）針對大學生一年級職前數學教師，以動態幾何軟體融入於與旋轉能力有關的空間 視覺化教學研究中，研究結果表明了不論是使用動態軟體或是實體教具的操作，都比傳統教學 更有效的培養學生的空間視覺化技能。也就是空間視覺能力是可以經由培訓、適當的教導而加 以改善的。對於空間旋轉能力透過教學活動、適當的訓練多數是能協助學童提升其空間旋轉能 力的表現。因此，需要更多的研究來探討空間旋轉能力的學習問題，不論是以融入電腦軟體的 教學，或是透過積木方塊的操作，如何以最適當教學策略、教學方式來進行空間能力的教與學，

（二）空間旋轉能力的測驗

(7)

Plath 與 Ruwisch（2012）在研究有關兒童在空間能力任務的解決策略中，對四年級學童所 進行的心理旋轉任務這一項目，所使用的任務型態如圖 2：給定兩個立方連塊圖像，問學童這 兩個圖是否是相同的。

(8)

（三）空間旋轉測驗錯誤類型

（National Council of Teacher s of Mathematics, NCTM）在 2000 年提出的「學校數學的原則與標 準」四個幾何學習目標中的兩項即為空間課程。而在幼稚園至二年級這階段，其課程中涵蓋有

「使用空間記憶和空間視覺化，創建幾何形狀的心理圖像」、「識別並應用平移、旋轉和翻轉」

(9)

GeoGebra、Cabri 等軟體的教學融入。

（全任重，2005）。在繪圖製作三維空間的幾何圖形，動態幾何系統Cabri 3D 是一個具有強大動 態功能的軟體，在近幾年的數學教育領域中逐漸受歡迎。Baki（2011）認為 Cabri 3D 是專門用 來探索3D 幾何體，並說明這個軟體被認為是 3D 幾何圖形進行視覺化和推理的革命性電腦輔助 產品，它不但可以容易地做出立體圖形，而且只要按住滑鼠右鍵，就可以隨意地使圖形做三度 空間的旋轉，也就是說，可隨意地改變視角（林倉億，2011）。讓學生可以從不同的角度觀察空 間幾何圖形，了解其性質，使得更容易理解數學空間幾何的概念。

(10)

### 參、研究方法

O2：表示控制組班級「空間旋轉能力測驗」前測分數 X1：表示實驗組班級「空間旋轉能力補充課程」教學 X2：表示控制組班級「空間旋轉能力補充課程」教學 O3：表示實驗組班級「空間旋轉能力測驗」後測分數 O4：表示控制組班級「空間旋轉能力測驗」後測分數 O5：表示實驗組班級「空間旋轉能力測驗」延後測分數 O6：表示控制組班級「空間旋轉能力測驗」延後測分數

(11)

（一）空間旋轉能力測驗 1.試題編製

6.

9.

5.

7.

10.

21.

1.

4.

2.

8.

3.

23. 12 題 凸出

18.

20.

15.

16.

13.

24.

14.

17.

11.

12.

19.

22. 12 題

2.空間旋轉能力測驗試題範例

(12)

(1) (2) (3)

3. 預試後試題分析與修正

4.信度與效度

（二）空間旋轉課程教案

(13)

1.開啟檔案，如圖

(1) 請 學生 將 在 學 習單第 2 題 上 的 立方 塊

(2)請學生塗色後，再以滑鼠操控旋轉功能旋 轉圖1，使圖 1 與學習單的立方塊擺放的角 度相同，確認所塗的顏色對不對？

(3)學生利用實體積木動手拼出如學習單第 2 題之立方連塊，並旋轉實體積木與旋轉螢幕 虛擬方塊做比對。

(4)統整：教師控制螢幕，旋轉積木呈現如學 習單的角度，學生再次確認螢幕畫面、學習 單以及實體積木的立方塊是否相同？

1.教師佈題海報如下圖 1 於黑板

(1) 請 學 生 將 在 學 習 單 第 2 題 上 的 立 方 塊

(2)學生塗色後，請學生以實體積木拼出如黑 板海報上的立方連塊。並旋轉積木，確認所 塗的顏色對不對？

(3)請學生發表要如何旋轉此積木，以確認所 塗顏色是否正確？（學生上台示範旋轉大型 積木）

(4)統整：教師旋轉大型積木呈現如學習單的 角度，學生再次確認黑板海報、學習單以及 實體積木的立方塊是否相同？

(14)

（一）量的部份

（二）質的部份

### 肆、研究發現

(15)

（一）實驗組與控制組學生學習成效的差異

1.立即教學成效

(16)

2.保留成效

3.延宕教學成效

（二）實驗組學生的學習成效 1.立即教學成效

2.保留成效

(17)

（三）控制組學生的學習成效 1.立即教學成效

2.保留成效

(18)

6.( 3 )

(1) (2) (3)

8.( 3 )

(1) (2) (3)

(19)

10.( 2 )

(1) (2) (3)

11.( 3 )

(1) (2) (3)

14.( 2 )

(1) (2) (3)

20.( 1 )

(1) (2) (3)

10 空間旋轉測驗訪談試題第 20 題

(20)

6 3.3 55.7 41.0

8 19.7 6.6 73.8

10 39.3 55.7 3.3

11 70.5 13.1 16.4

14 49.2 27.9 23.0

20 75.4 23.0 1.6

（一）解題策略 1.心像旋轉

SE20 回答第 20 題：（正確）

T：那 20 題呢？

SE20：第 1 個 T：你怎麼確定的？

SE20：因為這兩個很像（選項 1 和 3），這個（選項1）轉了之後（逆時針轉）這個（圈 起處）是會跑到這裡（圖11(A)，指與題目相同位置），但是這個（選項 3 圈起 處）轉過來（逆時針轉）是跑到這裡來（圖11(B)，指與題目不同方向位置）。

T：所以你覺得 1 和 3 很像，就轉這兩個，轉了之後發現只有第 1 個選項的這一顆（圖 11(C)）跟題目角度一樣？

SE20：對。

(21)

(A) (B) (C) 圖 11 SE20 於試題 20 的解題記錄

SE10 回答第 14 題：（正確答案是 2，學生選了錯誤答案 1。）

SE10：第 1 個 T：為什麼？

SE10：它（選項 1）跟它（題目原圖）題型一模一樣，把它（選項 1）轉成跟它（題 目原圖）同方向就好了。

T：你說你覺得他們長得一模一樣？

SE10：對！把它（選項 1）轉成它（題目原圖）這一面它就一模一樣。

T：那你怎麼轉的？你用說的或手比，都可以。

SE10：就把它拿到另外一邊（手勢動作—順時針轉選項 1）

T：把它轉過來就會一樣？

SE10：對，這個頭放到這邊（圖 12(A)），對好然後就 ok 了。

T：轉過來之後這個（頭）是（題目原圖）這顆（圖 12(B)）？

SE10：嗯！

T：那老師編號 2 的這顆呢？

SE10：這顆（圖 12(C)）。

T：那寫 3 的這顆，是哪一顆？

SE10：這顆（圖 12(D)）。

(22)

(A) (B)

(C) (D)

2.切割立方塊，分析形體特徵

SC16 回答第 6 題：（正確）

T：我們先看這張考卷第 6 題。想一想，你會選哪一個答案？

SC16：第 3 個

T：為什麼你會選第 3 個？

SC16：（手指著積木圖案比畫）這邊一橫這邊也一橫，這邊也這樣彎過去…

T：所以你是把它分成：

SC16：嗯。

(23)

(A) (B) (C) 圖 13 SC16 於試題 6 的解題記錄

3.整體外觀特徵

SE26 回答第 8 題：（正確答案是 3，學生選了錯誤答案 1。）

T：再來看第 8 題，你會選哪一個答案？。

SE26：第 1 個。

T：為什麼？

SE26：因為這裡（第 1 個）這樣轉過來，這裡跟這個的形狀都一樣。

T：「這裡」是指…上面嗎？還是整個？

SE26：整個。

T：那你覺得黑點的位置對嗎？

SE26：對。這裡是 L 型（圖 14(A)），這裡也是 L 型（圖 14(B)）。

(A) (B)

(24)

4.選擇容易翻轉旋轉的立方連塊

SC31 回答第 10 題：（正確）

T：第 10 題你怎麼做？

SC31：應該 2 是一樣的，然後….因為它（選項 2，圖 15(A)）這個只要稍微轉過來再 放平就好了。這個（選項1，圖 15(B)）也是一樣要再翻還要再轉。

T：那如果把它翻、再轉，會不會跟第 10 題上面這個圖（圖 15(C)）一樣？

SC31：（點頭）

T：也是一樣？那 2 也一樣 1 也一樣你是覺得兩個答案都對？

SC31：嗯…就覺得一個比較好用，一個比較麻煩。

T：喔，所以你選了一個比較好用，很快就可以轉好的？

SC31：嗯。

(A) (B) (C)

5.轉動試卷

SC01 回答第 8 題：（正確）

SC01：2 號（選項 2）也有可能在這裡，這兩個（選項 2 和 3）可能性比較高。

T：哪這兩個怎麼選擇，哪個才是對的？

SC01：…那我們…就來…我們就來反轉（翻轉）看看它們。

T：所以你要轉紙？

(25)

SC01：對。我先翻轉 2 號（選項 2）的。（轉動試題紙張…）沒有辦法翻轉成這樣的

（題目原圖），所以2 號不可能。

T：2 號（選項 2）的你轉了紙之後，把紙轉過來之後，沒有辦法轉成像上面一樣的，

SC01：對。

T：那你有沒有辦法轉 3 號呢？

SC01：有啊！（開始轉紙…）這樣（紙張向左轉）。

T：所以這樣就跟上面的圖一樣了。

SC01：對，轉紙比較簡單。

（二）錯誤類型 1.鏡射形體混淆

SE30 回答第 14 題：（正確答案是 2，學生選了錯誤答案 1。）

T：第 14 題。

SE30：1。

T：你怎麼確定是第 1 個？

SE30：它這邊跟這邊也有一塊（圖 16(A)），然後這邊很像一個Z 的東西（圖 16(B)）。

(A) (B)

(26)

SC20 回答第 6 題：（正確答案是 3，學生選了錯誤答案 2。）

T：好，你剛剛有看第 6 題，那你知道第 6 題的答案是什麼嗎？

SC20：第 2 個。

T：第 2 個，好，你怎麼找出它來的？

SC20：因為它轉過來這個點跟它（選項 2）一樣的方向，它上面也是一個 L 狀。

T：上面這裡有一個 L 狀？

SC20：嗯。

T：L 狀？在這裡是不是？（圖 17(A)）

SC20：嗯。

T：然後你說「點」的位置（選項 2 和題目原圖）也一樣。然後這裡（選項 2，圖 17(B)）

SC20：嗯。

(A) (B) (C)

（圖 17(C)）。

2.只旋轉 90 度，忽略可轉到 180 度

SC17 回答第 14 題：（正確答案是 2，學生選了錯誤答案 1。）

T：第 14 題，你會選哪一個答案？

SC17：第一個。

T：為什麼選第一個？

. . .

(27)

T：那第 2 個答案對不對？

SC17：不對。

T：為什麼？你有沒有試著轉或翻？

SC17：（題目原圖）怎麼翻都跟它（選項2）不一樣。如果把它倒下來，這個會頂住 這 不會頂住

T：往哪邊倒？

SC17：（手勢動作-題目原圖往後倒 90 度）

T：所以你的意思是題目往後倒，會有 2 顆停在桌上（圖 18(A)），但是選項 2 有 4 顆 停在桌上（圖 18(B)）？

SC17：對。

(A) (B)

3.與桌面接觸的數量相同時，直接利用其他立方塊的特徵分析

SE19 回答第 14 題：（此題學生選了正確答案 2，但是在訪談過程中，學生回答她排除 答案1 時的錯誤現象。）

T：再來看 14 題。

SE19：第 2 個。

T：為什麼覺得是第 2 個？

SE19：這個把它翻正…翻正（手勢動作—向左翻），不要倒下來，就是凸凸的朝下面。

T：凸凸的是哪一塊？

SE19：（手指出圈起處，如圖 19(A)）

T：那老師編的 1 號是題目的哪一塊？

SE19：（手指出，如圖 19(B)）

T：2 號呢？

(28)

SE19：（手指出，如圖 19(B)）

T：那答案 1 有沒有可能是對的？

SE19：不對。

T：你有沒有發現哪裡不對？

SE19：這個（選項 1）是朝這邊（圖 19(C)），這個（題目原圖）是朝這邊（圖19(D)）。

(A) (B) (C) (D)

4.只進行部分形體的旋轉

SC16 回答第 11 題：（正確答案是 3，學生選了錯誤答案 1。）

T：第 11 題呢？

SC16：這裡有 2 個 1 個，1 個 2 個（圖 20(A)），所以就像 3…嗯…第 1 個。

T：題目可以怎麼轉，會跟第 1 個答案一樣？

SC16：這個（題目原圖）轉過來（手勢-順時針轉）再倒過來（立起來）就一樣（圖 20(B)），3 顆在底下，中間就 1 個，上面就 2 顆。

(A) (B)

5.只注意到部份的特徵

(29)

SC17 回答第 11 題：（正確答案是 3，學生選了錯誤答案 2。）

T：第 11 題呢？

SC17：第 2 個。

T：為什麼？

SC17：因為它（題目原圖，如圖 21(A)）立起來這邊有一個（圈起來的那一顆），如果 它（選項2，如圖 21(B)）這樣立起來這邊也有一塊。

T：所以看到了那一塊立起來會一樣。

SC17：對。

(A) (B)

1.鏡射形體混淆。當學生以｢心像旋轉策略」或直觀的以｢整體外觀特徵」進行解題時，對 於鏡射的問題類型難以掌握，而造成鏡射形體混淆的錯誤類型。

2.只旋轉 90 度，忽略可轉到 180 度。當學生以｢心像旋轉策略」或｢選擇容易翻轉旋轉的立 方連塊」解題時，因未能正確掌握超過90 度的旋轉，故產生錯誤選擇。

3.與桌面接觸的數量相同時，直接利用其他立方塊的特徵分析。當學生以｢心像旋轉策略」

4.只進行部分形體的旋轉。當學生在｢心像旋轉」時，未充分掌握整個立方塊，僅針對部分 方塊的旋轉。

5.只注意到部份的特徵等類型。當學生以｢切割立方塊，分析形體特徵」進行解題時，忽略 其他立方塊的關係而形成錯誤。

(30)

Just, 1986；Schulz, 1991；引自 Plath & Ruwisch, 2012）。在綜合整理學童的解題策略後，又可以 將這些策略歸納分析如下：當學生使用｢切割立方塊，分析形體特徵」、｢整體外觀特徵」時，歸 類屬於關鍵特徵策略。當學生使用｢心像旋轉策略」、｢選擇容易翻轉旋轉的立方連塊」或｢轉動 試卷」時，歸類屬於移動物件策略。

### 伍、結論與建議

（一）二年級學童在空間旋轉能力的學習成效

1. 運用幾何軟體 Cabri 3D 並搭配實體教具立體方塊操的教學能有效幫增進學生空間概念 的學習。

2. 兩種空間概念的教學皆能提升學生的空間能力。

（二）二年級學童在空間旋轉能力的解題策略與錯誤類型

1. 解題策略

(31)

(32)

2. 錯誤類型

（一）就教學上而言

(33)

（二）就課程編製而言

（三）就未來研究而言

### 參考文獻

【Tso, Tai-Yi (2012). The conceptual tool in dynamic geometry system. Secondary Education, 63(4), 6-15. doi: 10.6249/SE.2012.63.4.01 (in Chinese)】

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