2)2)(1(−−xx3×)1()2(−−xx7×2)1(−xx f (3)1×2)23)(13(−−3×)1()23(3−−7×2)13(3−192113 2-3

103 上高一 2 段練習 cjt 第 1 頁 Ch2.2~3.1

2-2 多項式的運算與應用

1.若多項式 f (x)＝2x³＋x²－3x＋4＝a(x－1)³＋b(x－1)²＋c(x－1)＋d，其中 a，b，c，d 是常數，試求：

(1)數對(a，b，c，d)＝______【(2，7，5，4)】

(2)計算 f (0.99)的近似值＝________ (至小數點後第二位，第三位四捨五入)【3.95】

解：(1)如右圖：

(2) f (x)＝2(x－1)³＋7(x－1)²＋5(x－1)＋4

f (0.99)＝2(－0.01)

³＋7(－0.01)²＋5(－0.01)＋4

≈ 0＋0.0007－0.05＋4＝3.9507≈ 3.95

2.求多項式 f (x)＝2x⁹＋x²－3x＋1 除以 x＋1 的餘式＝_____【3】

解：f (x)除以 x＋1 的餘式＝f (－1)

利用餘式定理求 f (－1)＝2(－1)⁹＋(－1)²－3(－1)＋1＝－2＋1＋3＋1＝3

3.設多項式 f (x)＝x⁵－4x⁴－72x³－56x²＋15x＋7，求 f (11)＝_____【51】

解：利用綜合除法求 f (11)，如右圖，得知 f (11)＝51

4.設多項式 f (x)除以 x－2 的餘式為 7，除以 x＋3 的餘式為－8，求 f (x)除以(x－2)(x＋3)的餘式為_____【3x＋1】

解：設 f (x)＝(x－2)Q1(x)＋7 ……(1)

f (x)＝(x＋3)Q

2(x)－8 ……(2)

令 f (x)＝(x－2)(x＋3)Q(x)＋(ax＋b) ……(3)

x＝2 代入(1)、(3)，⇒ f (2)＝7＝2a＋b

x＝－3 代入(2)、(3)，⇒ f (－3)＝－8＝－3a＋b

⇒解

−

= +

−

= +

8 3

7 2

b a

b

a

，⇒得





=

= 1

3

b

a

，⇒餘式 ax＋b＝3x＋1

5.若三次多項式 f (x)滿足 f (1)＝0，f (2)＝0，f (3)＝2，f (0)＝1，求 f (x)＝_________【

6

) 3 )(

2 )(

1

(

x

−

x

−

x

+

】 解：∵ f (1)＝0＝f (2)，∴x－1，x－2 是 f (x)的因式，且 deg f (x)＝3，⇒設 f (x)＝(x－1)(x－2)(ax＋b)

又 f (3)＝2＝2⋅1(3a＋b)，⇒3a＋b＝1

f (0)＝1＝(－1)(－2)(b)，⇒ b＝

2

1，代回 3a＋b＝1，得 a＝

6 1

⇒ f (x)＝(x－1)(x－2)(

6 1

x＋

2 1)＝

6

) 3 )(

2 )(

1

(

x

−

x

−

x

+

6.若二次多項式 f (x)滿足 f (0)＝1，f (1)＝3，f (2)＝7，則 f (3)＝_________【13】

解：利用拉格朗日插值法，f (x)＝1×

) 2 0 )(

1 0 (

) 2 )(

1 (

−

−

−

− x

x

＋3×

) 2 1 )(

0 1 (

) 2 )(

0 (

−

−

−

−

x

x

＋7×

) 1 2 )(

0 2 (

) 1 )(

0 (

−

−

−

−

x x

＝1× 2 ) 2 )(

1 (

x

−

x

−

＋3× ( 1) ) 2 (

−

−

x

x

＋7×

2 ) 1 (

x

−

x

∴f (3)＝1×

2 ) 2 3 )(

1 3

( − −

＋3× ( 1) ) 2 3 ( 3

−

− ＋7×

2 ) 1 3 ( 3 −

＝1－9＋21＝13

2-3 多項式方程式

1.試計算 i ＋

i ＋

²

i ＋……＋

³

i

¹²⁴＝_________【0】

解：124÷4＝31 餘 0

即原式＝(

i

＋

i

²＋

i

³＋

i

⁴)＋……＋(

i

¹²¹＋

i

¹²²＋

i

¹²³＋

i

¹²⁴)＝0＋0＋……＋0＝0

2＋1－3＋4 2＋3＋0＋4

＋2

＋2＋3＋0

＋2＋5 2＋5＋5 2＋7

1

a

d c b

1－4－72－56＋15＋ 7 1 ＋7 ＋5 －1＋ 4＋51

11

＋11＋77＋55－11＋44

103 上高一 2 段練習 cjt 第 2 頁 Ch2.2~3.1

2.化簡下列各式：

(1)(3－5i )(－2－7i )＝________【－41－11i】 (2)

i

i

2 1

3 4

+ +

− ＝________【

5 11 2+

i

】 解：(1)(3－5i )(－2－7i )＝－6－21i＋10i＋35

i

²＝－6－11i－35＝－41－11i

(2)

i i

2 1

3 4

+ +

− ＝

) 2 1 )(

2 1 (

) 2 1 )(

3 4 (

i i

i i

− +

− +

− ＝

5 6 3 8

4+

i

+

i

−

i

²

− ＝

5 11 2+

i

3.設 x，y 為實數，若(2x＋yi ) i－2＋4i＝(x－3yi )(1＋i )，則 x＝______，y＝______【x＝－10，y＝2】

解：左式＝2x i＋y

i

²－2＋4i＝(－y－2)＋(2x＋4)i 右式＝x＋x i－3yi－3y

i

²＝(x＋3y)＋(x－3y)i

⇒

−

= +

+

=

−

−

y x x

y x y

3 4

2 :

3 2

: 虛部

實部 ，⇒





−

= +

−

= +

4 3

2 4

y x

y

x

，得知





=

−

= 2

10

y x

4.解下列各方程式：

(1) 2x²－5x－4＝0，得 x＝________【

4 57 5±

】 (2) 2x²－3x＋2＝0，得 x＝________【

4 7 3±

i

】 解：(1)判別式＝(－5)²－4(2)(－4)＝25＋32＝57，利用公式法，得知 x＝

4 57 5±

(2)判別式＝(－3)²－4(2)(2)＝9－16＝－7，利用公式法，得知 x＝

4 7 3± −

＝ 4 7 3±

i

5.設 k 為實數，若方程式 x²＋2x＋4k－5＝0 有實根，則 k 之解為__________【k ≤ 2 3】 解：有實根的條件為判別式 D ≥ 0

D＝2²－4(4k－5)＝24－16k ≥ 0，⇒ k ≤ 16 24＝

2 3

6.設α，β為方程式 x²－3x＋4＝0 的兩根，則：(1) α²＋β²＝______【1】 (2) α³＋β³＝______【－9】

解：根據題意，∴





=

= +

4 3

αβ

β α

兩根積 兩根和

(1) α²＋β²＝(α＋β)²－2αβ＝3²－2(4)＝1

(2) α³＋β³＝(α＋β)³－3αβ(α＋β)＝3³－3(3)(4)＝－9

7.設 a，b 為實數，且 1＋2i 為 x³＋ax²＋bx＋10＝0 之一根，則 a＝_____，b＝_____【a＝0，b＝1】

解：1.∵設 f (x)＝x³＋ax²＋bx＋10 為實係數多項式，且 x＝1＋2i 為 f (x)＝0 之一根，⇒x＝1－2i 也為 f (x)＝0 之一根 2.以 x＝1＋2i，x＝1－2i 為兩根之方程式為[x－(1＋2i)][ x－(1－2i)]＝x²－2x＋5

即 x³＋ax²＋bx＋10 可被 x²－2x＋5 整除，如右圖

⇒

=

−

= 0 1

0

b

a

，⇒





=

= 1

0

b a

8.已知 2－3i 為 x²－4x＋k＝0 之一根，則：

(1)此方程式的另一根為_______【2＋3i】 (2) k 值＝______【13】

解：(1)設另一根為α，∴(2－3i)＋α＝4，得知α＝2＋3i (2)∵兩根乘積＝k＝(2－3i)( 2＋3i)＝13

9.三次方程式 x³＋x²－2x－1＝0 在哪些連續整數之間有實根？【－2 與－1 之間，－1 與 0 之間，1 與 2 之間】

解：設 f (x)＝x³＋x²－2x－1，如右圖

∵f (－2)⋅f (－1)＜0 f (－1)⋅f (0)＜0 f (1)⋅f (2)＜0

∴在(－2，－1)，(－1，0)，(1，2)等區間，f (x)＝0 都有實根

1－2＋5 1＋ a＋ b＋10 1＋2

1－ 2＋ 5

(a＋2)＋(b－5)＋10 2 － 4＋10

a＋(b－1)＋0

－2 －1 0 1 2 3

－1 1 －1 －1 7 29

f (x)

x

103 上高一 2 段練習 cjt 第 3 頁 Ch2.2~3.1

10.設 f (x)＝3x⁴＋ax³＋bx²＋cx－6 為整係數多項式，則下列哪些選項一定不是 f (x)的一次因式？(多選)【DE】

(A) x＋2 (B)

x－3 (C)

3x＋2 (D) 2x－1 (E) 5x＋3

解：根據牛頓定理，設 ax－b 為

f (x)的一次因式，⇒ a 為 3 的因式，b 為 6 的因式

(D)中，2 不為 3 的因式；(E)中，5 不為 3 的因式

2-4 多項式函數的圖形與多項式不等式 1.解下列各不等式：

(1) 4(x－1) ≥ 2x＋

3 +1

x

，得 x 之解為__________【x ≥ 5 13】 (2) 0 ≤－2x＋1＜3x＋11，得 x 之解為__________【－2＜x ≤

2 1】

解：(1)同乘 3，12x－12 ≥ 6x＋x＋1，⇒ 5x ≥13，∴x ≥ 5 13

(2)

+

<

+

−

+

−

≤

11 3 1 2

1 2 0

x x

x

，⇒



 



−

>

≤ 2 2 1 x

x

，∴－2＜x ≤ 2 1

2.解下列各不等式：

(1) 2x²＋3x＋1≥ 0，得 x 之解為__________【x ≥－

2

1，或 x ≤－1】

(2) x²－2x－1＜0，得 x 之解為__________【x ≥ 5 13】 解：(1)設 2x²＋3x＋1＝0，⇒(2x＋1)(x＋1)＝0，得 x＝－

2

1，或 x＝－1

⇒ 2x²＋3x＋1≥ 0，如右圖，得 x ≥－

2

1，或 x ≤－1 (2)設 x²－2x－1＝0，得 x＝1＋

2

，或 x＝1－

2

⇒ x²－2x－1＜0，如右圖，得 1－

2

＜x＜1＋

2

3.解聯立不等式：







≥

−

<

+

−

0 3 2

0 2 3

2 2

x x

x

x

的解為__________【

23 ≤ x＜2】

解：解下列各不等式：







≥

−

<

+

−

0 3 2

0 2 3

2 2

x x

x

x

，⇒





≥

−

<

−

−

0 ) 3 2 (

0 ) 2 )(

1 (

x x

x

x

，⇒



 



≥

≤

<

<

2 , 3 0

2 1

x x

x

，∴23 ≤ x＜2

4.解下列各不等式：

(1) x²－3x＋1＞x－5，得 x 之解為__________【x 為任意數】

(2) x²＋2x＋5＜0，得 x 之解為__________【x 為無解】

解：(1) x²－3x＋1＞x－5，⇒ x²－4x＋6＞0

∵拋物線圖形開口向上，且判別式 D＝(－4)²－4(1)(6)＝－8＜0，表示 x²－4x＋6 恆正，

∴對任意實數 x，皆使得 x²－4x＋6＞0 成立

(2) x²＋2x＋5＜0 中，判別式 D＝2²－4(1)(5)＝－16＜0，表示 x²＋2x＋5 恆正，∴x²＋2x＋5＜0 為無解 5.設二次不等式 ax²＋bx＋3≥ 0 的解為－

31 ≤ x ≤ 2

3，求 a＝_____，b＝_____ 【a＝－6，b＝7】

解：由解－

3 1≤ x ≤

2

3，⇒(3x＋1)(2x－3)≤ 0，⇒ 6x²－7x－3≤ 0

與 ax²＋bx＋3≥ 0 比較，將 6x²－7x－3≤ 0 同乘(－1)，得－6x²＋7x＋3≥ 0，∴得知 a＝－6，b＝7

6.對任意實數 x，f (x)＝x²－2mx＋m＋2 恆為正，則實數 x 之解為_________ 【－1＜m＜2】

解：f (x)＝x²－2mx＋m＋2 恆為正，其條件為開口向上，且判別式 D＜0

∴D＝(－2m)²－4(1)(m＋2)＜0，⇒ m²－m－2＜0，⇒(m－2)(m＋1)＜0，得知－1＜m＜2

－1 －1/2

－ ＋

＋

1－

2

－ ＋

＋

1＋

2

103 上高一 2 段練習 cjt 第 4 頁 Ch2.2~3.1

7.解下列各不等式：

(1) (x＋1)(x－2)(x－4)＜0，得 x 之解為__________【x＜－1 或 2＜x＜4】

(2) (x²＋2x＋3)(x－1)(x＋1)＜0，得 x 之解為__________【－1＜x＜1】

解：(1) (x＋1)(x－2)(x－4)＜0，如右圖，得 x＜－1 或 2＜x＜4 (2) (x²＋2x＋3)(x－1)(x＋1)＜0 中，∵x²＋2x＋3 恆正

∴原式⇒ (x－1)(x＋1)＜0，得－1＜x＜1

8.解下列各不等式：

(1) 3 1

− +

x

x

＜0，得 x 之解為__________【－1＜x＜3】

(2)(2 5)( 3) 1

− +

−

x x

x

≥ 0，得 x 之解為__________ 【－

2

5＜x ≤ 1，或 x＞3－

2

5＜x ≤ 1，或 x＞3】

解：(1) 3 1

− +

x

x

＜0，⇒(x＋1)(x－3)＜0 且 x－3 ≠ 0，⇒－1＜x＜3

(2)(2 5)( 3) 1

− +

−

x x

x

≥ 0，⇒ (x－1)(2x＋5)(x－3)≥ 0，且 2x＋5 ≠ 0，x－3 ≠ 0，⇒－

2

5＜x ≤ 1，或 x＞3，如下圖

3-1 指數

1.求(2⁻²)³＋2⁻⁴×2⁻²＋2 ＋^{0 2 2}

1

) 2

( ⁻ ＝_____【

32 49】

解：原式＝ )³ 4 (1 ＋

16 1 ×

4

1＋1＋ )² 2 ( 1 ＝

64 1 ＋

64 1 ＋1＋

2 1＝

32 49

2.(1)( 7+3)³×( 7−3)³＝_____【－8】 (2) )² 27] ² 3

(1

[ × ⁻ ×9²＝_____【9】

解：(1) ( 7+3)³×( 7−3)³＝[( 7+3)×( 7−3)]³＝(－2)³＝－8 (2) )² 27] ²

3 (1

[ × ⁻ ×9²＝ 27] ² 9

[1× ⁻ ×9²＝(3)⁻²×9²＝ 9

1×81＝9

3.化簡( 3)⁻²× ²

1 3] ) 3 (

[ ⁻ × ²

11

) 3

( ＝_______ 【3】

解：原式＝( 3)⁻²× ²

3

) 3

( ⁻ × ²

11

) 3

( ＝ ²

11 2 2 3

) 3

( ^{− − +} ＝( 3)²＝3 4.設 a 是不為 0 得實數，且 a＋

a ＝4，試求下列各式的值：

⁻¹

(1)

a ＋

²

a

⁻²＝_______【14】 (2)

a ＋

³

a ＝_______【52】

⁻³ 解：(1)

a

²＋

a

⁻²＝(a＋

a

⁻¹)²－2＝4²－2＝14

(2)

a

³＋

a

⁻³＝(a＋

a

⁻¹)³－3a⋅

a

⁻¹( a＋

a

⁻¹)＝4³－3×4＝52

5.試求 ) ^0.25 16

(81 ⁻ ＋(0.25)^−2.5＝_______【

3 98】

解： ) ^0.25 16

(81 ⁻ ＋(0.25)^−2.5＝ )⁴] ^0.25 2

(3

[ ⁻ ＋(2⁻²)^−2.5＝ ) ¹ 2

(3 ⁻ ＋2⁵＝ 3

2＋32＝

3 98

6.已知2 ＝5，求下列各式的值： ^x

(1)4^x+1＝_______【100】 (2) 5×8^{− x−1}＝_______【

200 1 】 解：(1)4^x+1＝4^x×4＝4(2^2x )＝4(2^x)²＝4×5²＝100

(2) 5×8^{− x−1}＝5×(8^−x×8⁻¹)＝5×(2^−3x× 8 1)＝

8

5×(2^x)⁻³＝ 8

5×5⁻³＝ 8 5×

125 1 ＝

200 1

2

－ － ＋

－1 4

＋

1

＋ ＋

－1

－

1

－ － ＋

－5/2 3

＋