Ch 3.3 貝氏定理 二年____班 座號：____ 姓名：
重點 1：條件機率的乘法法則
1.意義：假設 A，B 是同一樣本空間 S 中的兩事件，且 P(A)＞0，則 P(A∩B)＝P(A)P(BA) 註 1：由條件機率的定義 P(BA)＝ ( )
( ) P A B
P A
I ，移項得知 P(A∩B)＝P(A)P(BA)
註 2：兩事件 A 與 B 同時發生的機率 P(A∩B)等於「A 發生的機率」乘上「在 A 發生的條件下，B 發生的機率」
2.三個事件的乘法法則：
P(A1∩A2∩A3)＝P((A1∩A2)∩A3)＝P(A1∩A2)P(A3A1∩A2)＝P(A1)P(A2A1)P(A3A1∩A2) 即 P(A1∩A2∩A3)＝P(A1)P(A2A1)P(A3A1∩A2)
◎乘法法則
例 1.1：摸彩箱內有 10 顆球，其中有 3 顆金球，箱內每顆球被取出的機會相同。甲、乙兩人先後各取 1 球，取後不放回，
試求：(1)兩人都取到金球的機率為何？ (2)乙取到金球的機率為何？
Ex1.1：摸彩箱內有 10 顆球，其中有 3 顆金球，箱內每顆球被取出的機會相同。甲、乙兩人先後各取 1 球，取後不放回，
試求：(1)兩人都未取到金球的機率為何？ (2)只有乙取到金球的機率為何？
◎利用樹狀圖求機率
例 1.2：已知籤筒內的 10 支籤中有 3 支中獎籤，且每支籤被抽出的機會相同。今甲，乙，丙三人依序抽籤，
每人一次抽一支籤且抽出後不放回，試問甲，乙，丙三人均中獎的機率為何？
Ex1.2：袋中有 3 顆紅球與 2 顆白球，且每顆球被取出的機會相同。今從袋中取球，每次取一球連取三次，取後不放回。
試求第一次取出紅球，第二次也取出紅球，而第三次取出白球的機率為何？
例 1.3：班上有 40 位同學，試問這 40 位同學的生日都不相同的機率為何？(四捨五入至小數點後第四位)
Ex1.3：若在路上隨機訪問 6 名學生，則在這 6 名學生中，有人生肖相同的機率為何？(四捨五入至小數點後第三位)
重點 2：貝氏定理(條件機率的加法法則)
1.分割：令 S 為樣本空間，如右圖，若 n 個非空事件 A1，A2，…，An滿足下列條件：
(1)若 i j，則 Ai∩Aj＝∅ (事件兩兩不相交或互斥) (2)A1∪A2∪…∪An＝S (聯集為全事件)
則稱{A1，A2，…，An}為樣本空 S 的一個分割分割分割 分割
2.加法法則：
若{A1，A2，…，An}為樣本空 S 的一個分割，B 為一個事件，如右圖 得知 B＝(B∩A1)∪(B∩A2)∪……∪(B∩An)
則 P(B)＝P(B∩A1)＋P(B∩A2)＋……＋P(B∩An)
＝P(A1)P(BA1)＋P(A2)P(BA2)＋……＋P(An)P(BAn) 3.貝氏定理：
設{A1，A2，…，An}為樣本空 S 的一個分割，且 P(Ak)＞0，k＝1，2，…，n，B 為任意事件
則在 B 條件下 Ak成立的機率為 P(AkB)＝
1 1 2 2
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
k k
n n
P A P B A
P A P B A +P A P B A + +L P A P B A ，k＝1，2，…，n
註：貝氏定理是在十八世紀英國牧師貝斯(R. T. Bayes，1702~1761)的遺作中發現的 說明：設 A1，A2為樣本空間 S 的兩個事件，且滿足 P(A1)＞0，足 P(A2)＞0，則：
(1)分割：當 A1，A2為互斥事件，且 A1∪A2＝S，稱{ A1，A2}為樣本空間 S 的一組分割分割分割分割 (2)若事件 B 為 S 的一個事件，則事件 B 被分割成 A1∩B，A2∩B 互斥的兩個事件
⇒P(B)＝P(A1∩B)＋P(A2∩B) (3) P(A1B)＝
) (
) (
1B P
B A P ∩
＝ ( ) ( ) ) (
2 1
1
B A P B A P
B A P
∩ +
∩
∩ ＝
同理
例 2.1：某工廠有甲、乙兩臺機器，其產量分別占總產量的 60%與 40%。根據過去經驗知道甲機器產品中的 4%，乙機器 產品中的 3%為劣品。今任取一產品，且每個產品被取出的機會相同，則取出的產品為劣品的機率為何？
Ex2.1：甲外出工作，委託鄰居乙照顧一盆花。根據過去經驗知道如果不澆水，花死去的機率是 0.8；若澆水，花死去的機 率是 0.1。如果甲有九成的把握乙會記得澆水，試問甲回家後，這盆花還活著的機率為何？
例 2.2：保險公司將一地區的民眾分為兩類，一類是高風險者，另一類是一般民眾。根據以往資料，高風險者一年內發生 事故的機率為 0.4；一般民眾的機率則減為 0.2。假設高風險者約占該地區人口數的 30%，今該地區有一民眾參加 投保，則：
(1)該地區民眾一年內發生事故的機率為何？
(2)若已知該地區某一民眾發生事故，則他是屬於高風險者的機率為何？(四捨五入至小數點後第三位)
Ex2.2：若一公司產品來自 A、B 兩家工廠，兩家工廠的產量各占總量的 30%、70%，根據以往經驗，A、B 兩家工廠產品 的不合格率分別為 2%、4%，試求：
(1)公司產品的不合格率為何？
(2)若取到一個不合格品，則它是由 B 工廠所生產的機率為何？(四捨五入至小數點後第三位)
例 2.3：展示櫃內有甲，乙，丙三廠牌的智慧型手機，其中甲占總量 20%，乙占 30%，丙占 50%。而甲、乙、丙三廠牌的 待機時間超過 100 個小時的機率分別為 0.7、0.4、0.3。試問：
(1)若隨手挑一支手機，這支手機的待機時間超過 100 個小時的機率為何？
(2)若挑選的手機其待機時間超過 100 個小時，則此手機為甲廠牌的機率為何？
Ex2.3：某公司的產品分別由甲、乙、丙三家工廠所生產，其中甲廠占 60％，乙廠占 20％，丙廠占 20％。而三家工廠所 生產的產品中分別有 4％、7％、6％的瑕疵品。若在該公司的產品中發現一個瑕疵品，則此瑕疵品為甲廠所生產 的機率為何？
例 2.4：已知某種快篩試劑對某病毒的檢驗，其「偽陰率」為 20% (即帶原者做檢驗有 20%的機會呈陰性反應，其他呈陽 性反應 )，而「偽陽率」亦為 20% (即未帶原者做檢驗有 20%的機會呈陽性反應，其他呈陰性反應)。現推估有 2%
的民眾為此病毒帶原者。若小芬以此試劑檢驗結果呈陽性反應，試求她確實帶原的機率為何？
Ex2.4：已知某種快篩試劑對某病毒的檢驗，其「偽陰率」為 20% (即帶原者做檢驗有 20%的機會呈陰性反應，其他呈陽 性反應)，而「偽陽率」亦為 20% (即未帶原者做檢驗有 20%的機會呈陽性反應，其他呈陰性反應)。現推估有 2%
的民眾為此病毒帶原者。若小菡以此試劑檢驗結果呈陽性反應，試求她確實未帶原的機率為何？
