從 2013 年台南市市長 盃
國民中學數學能力競賽 決賽試題分析談起
• 左太政 / 國立高雄師範大學數學系
對數學競賽的省思 :
• 蕭文強 (2012): 數學競賽 --- 是好、是壞？是 樂、是苦？數學傳播。 37 卷 4 期， pp.46- 55 。
• 作者從參與 1988 年香港舉辦數學奧林匹亞 競賽 (IMO) 擔任 coordinator 談起。
• 台南市自 95 年開始由南寧高中承辦市長盃 國中數學競賽複賽及決賽部分。
競賽與研究
• 參加數學競賽者，較著重在解可能題目未 必很明確別人出題，並能分析解題策略，
對數學學習與研究是否有幫助？
• 數學研究之精神在於探索解答，且容許改 變題目條件。
研習內容
•簡介解題策略
•決賽試題解析
•第一部分：
淺介數學解題策略
何謂數學解題
•解題係指當某人在解一個數學 問題時，這個人為獲得答案所 從事的一系列活動。
•數學解題係指在解決數學問題 過程中需要用到一些數學概念
、原理或方法等。
老師教解題技巧的二個任務
•老師是否能夠明確用名詞描述 出成功解題時所使用的解題方 法或策略為何？
•老師是否能夠將這些解題方法
或策略教導學生如何解題？
解題策略的意義
•策略是指完成任務的方法。
•解題策略是指解決數學問題所
使用的方法。
解題策略的種類
(Problem-Solving Strategies)
• 法則 (Algorithms)
• 捷思法 (Heuristics)
• 窮舉法 (Trial-and-Error)
• 頓悟法 (Insight)
解題能否成功，取決於有關知識及 技能所涉及的四個範疇
• (1) 資源 (resources): 有關數學的程 序知識與性質等。
• (2) 捷思 (heuristics) ：解題的策略 及技巧。
• (3) 掌握 (control): 能決定什麼是及 何時使用上述所提及的資源及策略。
• (4) 信念 (beliefs) ：從數學觀點如何 確定能解決問題。
常用的捷思策略
• 1. 如有可能的話可作圖或表。
• 2. 特殊化—即考慮特殊情形可由下列方式進行 ： 視 為問題的特例；
• (1) 探究可能取值的範圍；
• (2) 將整數參數從 1,2,3,… 依序探討起，尋找其規律性
• 3. 利用「對稱性」或「為不失一般性」嘗試簡化題目
• 4. 倒推法
• 5. 將問題化成一系列小問題解題
• 6. 分幾種情形討論
• 7. 反證法
• 8. 一般化
• 9. 引用新的符號 ( 代數題 ) 或作補助線 ( 幾何題 )
解題歷程
（一） 瞭解問題 -
• 什麼是題目要求的或要證明的？
• 已知條件有哪些？
• 必要時可作圖行或表格幫助瞭解題
意。
（二） 擬定計畫 ( 即提出解題構想 )- 能分析問題
，是否曾做過或解過類似題，以尋求解題途徑
，亦可考慮依下列方式進行：
1. 儘可能畫出圖形或表格；
2. 檢查特例如令問題中的整數取等特殊值代入 , 看看是否可歸納出規律來；
3. 嘗試簡化問題如利用對稱性、採用『不妨假 設 』 而不失問題的一般討論方式。
4. 如無法立即解決問題，需保留任何解題的記 錄 , 以便先做別題後再回頭解本題時參考使用
。
•
解題歷程
（三） 實行計畫 -
選擇策略及綜合運用知識去進行推 理、計算，以解決問題。
（四） 回顧解答 -
驗證答案是否合理及思考結果或方
法能否用於解其他問題， 甚至於自
己修改原問題或推廣其結論 , ，形成
另一個問題 , ，亦可考慮作為專題研
究之題目。
• 簡言之 , 通常解題活動先從題目 待答或待證明的地方著手
(Request), 適時引進題目的已知
條件及潛在的性質 (Response),
最後導出結果 (Result). 這是所
謂的「 3 R 」策略。
•第二部份：
數學競賽決賽試題 解析
•一、填充題
( 共 10 題，每題 6 分 )
• 1. 已知 p 和 q 都是質數且 ，如果 和
也都是質數， 則 之值為 __________ 。
• Ans: 23
p q
p
2 q
p q
【參考解答】
(1) 因為 p 和 q 都是質數，且 p+q 和 p-q 也都是質數，故 q=2 。
(2) 又 p+2 也是質數，且 p-2, p, p+2 三數中必只有一數是 3 的倍數。故
5
223
p p q
• 2. 已知 皆為整數，則
共有 ___________ 組數對 滿足條件
。
• Ans: 3 組
, a b
( , ) a b
2 2
5( a ab b ) 7 a 14 b
• 【參考解答】
代入 分別求 值：
(1) 當 時， ( 不合 ) ； (2) 當 時， ( 不合 ) ，
；
(3) 當 時， ( 不合 )
；
• 故解為 。
2 2 2 2
2 2
1,2
5( ) 7 14 5 (5 14) (5 7 ) 0 (5 14) (5 14) 4 5 (5 7 )
2 5
a ab b a b b a b a a
a a a a
b
2 2 2 2
2
(5 14) 20(5 7 ) 0 25 140 196 100 140 0 14 3 14 3
75 196 1.6 1,0,1
15 15
a a a a a a a
a a a
1 2
3, 4
b b 5
0
a
b1 145b
2 0 1
a
1 2, 2 1b b 5
( , ) ( 1,3),(0,0),(1, 2)a b
1 a
1,2
b b b
1,
2• 3. 將
2
， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8 ， 9 ， 10 ， 11 這 十個數填入右圖中的 10 個空格子裡，
• 每個格子只能填一個數。又此圖形中共有 三個田字形，每個田字形都是由四個空格組成
。如果每個田字形的四個空格內所填的數字之 和都等於 A ，則 A 的最大值為 ________ 。
Ans: 28
• 【參考解答】
• 設對角線位置的中間二個空格分別 填入 ，又三個田字型的四個格子
中所填的數 之和為 A ，
因 ，
若 A=28 ，可考慮取
最上面的田字型其餘三數為 4,7,8 ；中間的田字型其 餘二數為 3, 6 ；
• 最下面的田字型其餘三數為 2,5,11 。
• 註 : 本題填法有多種方式， A 的最小值為 24 。
2 3 4 11 65 65 3 A 65 x y 65 10 11 86 22 A 28
2 3 4 11 65 65 3 A 65 x y 65 10 11 86 22 A 28
• 4. 在所有三位數的正整數 中，能使 的末三位數字是
168 的最大三位數 為
__________ 。
• Ans: 982
n n
n
3• 【參考解答】
• (1) 因 n3的末位數字是 8 ，所以 n 的末位數字是 2 。
• (2) 設 n =10k+2 ，其中 kZ ，
• n3 = (10k+2)3 = 1000k3+600k2+120k+8 ，
• 因為 n3的十位數字是 6 ，所以 k 的個位數字為 3 或 8 。
• 為了簡化計算，我們可以假設 k = 5m+3 ，其中 mZ ， n3 = (10(5m+3)+2)3 = (50m+32)3
=125000m3+240000m2+153600m+32768 ，
• 因為 n3的百位數字為 1 ，故 m 的個位數字為 4 或 9
。
• 當 m = 4 ，我們得到 k = 23 和 n = 232 ，
• 當 m = 9 ，我們得到 k = 48 和 n = 482 ，
• 當 m = 14 ，我們得到 k = 73 和 n = 732
，
• 當 m = 19 ，我們得到 k = 98 和 n = 982 ，
• 當 m = 24 ，我們得到 k =123 和 n = 1232
，……。
• 所以最大三位數 n 為 982
• 5. 長方形 ABCD 中， E 為 中
點，
F
為 中點。如果 為直角，則 的比
值為 _________ 。
( 答案需化為最簡式，否則不予計分 )
• Ans: F
E C
A D
B
2 2
AB
AD
BC
CD
AEF AB
AD
• 【參考解答】
• 令
AB 2 , a AD 2 b
F
E C
A D
B
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
4 , , 4
4 ( ) (4 ) 5 2
2 2
2
AE a b EF a b AF a b
a b a b a b a b
b a a
b
• 6. 已知二數 滿足
則 _______ 。
• Ans: 4
b a,
2 2
(2 a b ) ( a 2 ) b 170 50 a 58 b
b
a
• 【分析】
– 如果利用乘法公式將其展開後整理，過程可能 複雜些。
– 如果利用十字交乘法：令 因此原方程式可寫成
，似乎也不行通。
– 若利用配方法：欲寫成
– ， – 其中 。
2
,
2
A a b B a b
2 2 170 0
A AB B
A m
2 B n
2 A2 B2 2Am 2Bn m 2 n22 2
2 Am 2 Bn 50 a 58 , b m n 170
• 【參考解答】
• 根據以上討論可知
• 設原式 =
2 2
[(2 a b ) m ] [( a 2 ) b n ] 0
7, 11
2 7 0, 2 11 0 1, 5 | | 4
m n
a b a b
a b a b
2 22 2 a b m 2 a 2 b n 50 a 58 , b m n 170
• 7. 令 為正整數，在坐標平面上，直線
，分別交 x 軸與 y 軸於 二點
O 為原點。 若直角三角形 AOB 的面積為
，則
= _________ 。 Ans:
n
11 1
y n x
n n
A B ,
S
n1 2 2013
S S S
2013 4028
• 【參考解答】
• 因為 A,B 點之座標 之
面積為
。
1 1
( , 0), (0, )
A B 1 AOB
n n
1 1 1 1 1 1 1
( )
2 n n 1 2 ( n n 1) 2 n n 1
2013
1 2 2013
1
1 1 1 1 1 2013
( ) (1 )
2 1 2 2014 4028
n
S S S
n n
• 8. 計算
=______
。
• ( 需化至最簡式，否則不計分。 )
• Ans:
2 1 3 2 4 3 100 99
2 6 12 9900
9
10
• 【參考解答】
2 1 3 2 4 3 100 99
2 6 12 9900
1 1 1 1 1
(1 ) ( ) ( )
2 2 3 99 100
1 9 1 10 10
• 9. 設某數列的第 n 項為
• ，其中 n 為正整數。若此數列的前 2013 項 之和為 L ，且
，其中 是某正整數，則 的
值為 _________ 。
• Ans: 2013
3 ) 1 ( )
2 (
1 )
1 (
1 1 2 2
n n
n
n
1
L
• 【參考解答】
• 設
其中 n 為正整數。
• 首先觀察對任意的正整數 k ，
3 ) 1 (
) 2 (
1 )
1 (
1 1 2 2
n n n
x
n n
2 2 2 2
2 2 2 2
4 3 2 2 2
2 2 2 2
2
1 1 ( 1) ( 1)
1 ( 1) ( 1)
2 3 2 1 ( 1)
( 1) ( 1)
1 1 1 1
1 1
( 1) ( 1) 1
k k k k
k k k k
k k k k k k
k k k k
k k
k k k k k k
• 所以對任意的自然數 n ，我們可求得
• 因為
• 由＊知，
• 所以
3 ) 1 ( 2
1 1
1 1
n n n
x
n n
1 2 2013
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1
2 3 4 3 4 5 4 5 6
1 1 1 1 1 1
1 1
5 6 7 2014 2015 2016
1 1 1 1 1 1 1 1 1
2013 (*)
2 2015 4 5 6 7 2014 2015 2016 L x x x
2014 2013 L
2013
• 10. 已知 為正整數且
，則滿足條件
的 值為 ________ 。• Ans:
,
a b a b
1683 a b
( , )a b( , ) (748,187)
a b
• 【參考解答】
• 因 為正整數，所以 必為正整數，且 ，所以 ，其中 k 為正整數。
• 但 ，
• 因為 ，所以 。
•
1683 a b b ( 1683 a)2 1683 a 2 1683a
,
a b 1683a
1683 3 11 17
2a
11 17k
211 17
21683 1, 2 a k k
a b ( , ) (748,187) a b
由上述解的過程得知
• 如果我們將 1683 改為 2013 或 2014 ，其結 果為何？
•二、計算及證明題
( 共 4 題，每題 10 分 )
• 1. 設 為質數，如果 的正因數之個數少於 11 個，試 求滿足這樣條件的所有質數 。
p p
2 11
p
• 解題策略：
將 p 值從最小值 p=2,3,5,… 代 入檢驗是
否符合題意。
【參考解答】 Ans:
• 若 ，則 有 4 個正因數 1, 3, 5, 15 。
• 若 ，則 有 6 個正因數 1, 2, 4, 5, 10, 20
• 若 ，則 有 9 個正因數 1, 2, 3, 4, , 9, 12, 18, 36
• 若 ，則 有 12 個正因數（不合）
2,3,5 p
2
p p
2 11 15 3 5 3
p p
2 11 20 2
2 5 5
p 7 p
2
11 36 2
23
2p
2
11 60 2
23 5
p
• 欲證當 時， 的正因數之個數 必多於 11 個。首先證明 為 12 的倍數。
• 因為 ，則 必為 4 的倍數加 1 ， 必 為 4 的倍數。
• 又 為 3 的倍數加 1 ，因此 亦為 3 的倍數加 1
，所以 為 3 的倍數。
• 故可令 ，其中 為正整數
• 因此當 ，則 。
• 若 ，則 有 12 個正因數 1, 2, 3, 4, 6, 11, 12, 22, 33,44,66,132 （不合）。
• 若 ，則 有 12 個正因數 （不合）。
•
11
p p
2 11
2 11
p
3
p p
2 11
2
11
p p
p
22
11
p
11 a
p p
2 11 132 a
1111 a
11
a p
2 11 2
2 3 a
1, 2,3, 4,6,12, , 2 ,3 , 4 , 6 ,12 a a a a a a
p
22 11 22 3
p a
評分標準
• 2 、 3 、 5 找出一個得 1 分，共 3 分
例： 1 、 2 、 3 、 5 多寫一個得 2 分
例： 2 、 3 、 5 、 7 、 11 多寫二個得 0 分
例： 2 、 3 、 7 少一多一得 0 分
• 猜出 必為 12 倍數 得 1 分
• 證 為 4 的倍數 得 1 分
• 證 為 3 的倍數 得 1 分
• 說明 時， 因數個數小於 11 個的 值只有 2 、 3 、 5 得 4 分
2
11
p
2 11
p
2
11 p
k
p2 11 22 3
p
2 11
p
2. 已知 為正整數，且 ， 如
果 能被 整除，試求 之值。•
, , a b c
1 a b c ( ab 1)( a b c , , bc 1)( ca 1) abc
【參考解答】 Ans:
(1)
能被 整除，所以 。
(2) 又 不能被 與 整除， 不能
被 與 整除， 不能被 與 整除，由能被 整除
，可知
。
2, 3, 5 a b c
2 2 2 2 2 2
(ab 1)(bc 1)(ca 1) a b c a bc ab c abc ab bc ca 1
abc abc ab bc ca | 1
1ab
a b bc 1 b
c ca 1 c a
( ab 1)( bc 1)( ca 1) abc
| 1, | 1, | 1
c ab a bc b ca
(3) 令 ，其中 為某一正整數，因此
能被 整除，即
。 因此令 ，其中 為正整數。
(4) 又
1
ab ck k
1 ( )
ab bc ca ck bc ca c a b k abc
| | |
ab a b k b a b k b a k
a k bm m
1 ( )
2 1
2
ab ck ab ck b a k b c bm a k b m
a k b a b k b
| | 2 2, 2 1
3, 1 5
ab a b k ab b a k a k b a k c ab
另解
1 1
1 1 1 1 1
1 1 1 1 3 3
( 1 ) 3
2 2, 1
abc ab bc ca k abc ab bc ca ab bc ca
k abc abc abc a b c abc
k a ak
a b c abc a
a k
2 2 2 1
2 2 1 0
2 2 3 1 3 bc b bc c
bc b c
b c
2 1 3
2 3 5
b b
c c
評分標準
• 答案對，但缺乏合理說明過程 得 1 分
• 有推導出 得 2 分
• 寫出 或 為 的倍 數，或以類似表示解法 得 2 分
• 直接任意代入數字，不給過程分數
• 其餘討論，過程合理正確， 再得 5 分
| 1, | 1, | 1 c ab a bc b ca
| 1
abc ab bc ca ab bc ca 1
abc
• 3. 設
，試求出所有可能的整數 ，使得 n 是某個質數的平方，並求出所有 合乎條件 的 n 值。
5 14
24
2
x x
n
x
參考解答
• 設 ，其 中 p 是質數，
則 ，
中可設 ，
為整數。因此，觀察得到
又因為 ，所以考慮下列可能情形 如下：
2
2 14 5
24
x x p n
ab x
x
p
2 ( 4 1 )( 6 5 )
4 1, 6 5 a x b x
,
a b 3 a b 2 13
ab
p |
2(1) 當 時，則 ， 無解 (2) 當 時，則 ，所以 ，因此 。
(3) 當 時，則 ，無解。
(4) 當 時，則 ，無解。
(5) 當 時，則 ， 即 與 p 是質數矛盾，因此無解。
(6) 當 時，則 ，無解。
綜合以上討論可知合乎所求僅有 ，此時 1
2,
p b
a 3
p
2 2 13 p
2 5p b
p
a ,
3 p p 2 13
13
b p
a 3
41
a x
, 2
1 b p
a
3 p 2
2 13
1
2,
p b
a p3 2 2 13
p b
p
a
, 3p 2p 13 p 13 0, 2
1 b p
a 3 2p2 13
169 n
3
x
評分標準
• 直接猜答案 得 3 分
• 透過因式分解
令 得 5 分
• 完整分類討論，每討論一項加 1 分 得 5 分
) 5 6
)(
1 4
( 5
14
24 2
x x x x
n
4x 1 6x 5 x 3 n 169
• 4. 設 表示一個三角形
之三邊長，試證：
, , a b c
2 2 2
ab bc ca a b c ab bc ca
參考解答
• (1) 首先證明：
ab bc ca a b c
2 2
2
0 ( ) 2 ,
0 ( ) 2 ,
0 ( ) 2
, ,
2 2 2
a b a b ab
b c b c bc
c a c a ca
a b b c a b
ab bc ab
ab bc ca a b c
給分原則
•如果直接提及：
利用算幾不等式，基本上國中階
段並無此公式，原則上需證明。
(2) 先證明 ，
。
同理可證 。其次，再將此三個不等式兩邊分別乘以 後相加，得 ，
故得證。
, ,
a b c b c a c a b
2 ( )2
c a b c a ab b a b c a b
,
a b c b c a
, ,
a b c
2 2 2
a b c ab bc ca
評分標準
• 二個部分不等式，各完成一個，
得 5 分
• 令 ，或只討論特殊三角形來 說明不等式成立，
得 1 分
• 用數字代入說不等式成立，
不給分
• 其餘依據討論及策略的完整性，視情況加分
c b
a
•複賽填充題解析
• 8. 有一個大掛鐘矗立在公園中，上午 點被校 正為正確時間，但此掛鐘每走一分鐘，它會較 正確時間慢 秒鐘，若當天下午此掛鐘的鐘面 指針是兩點整，則此時正確的時間應是幾點幾 分？
• (A) 2 點 40 分 (B) 2 點 50 分 (C) 3 點 整 (D)3 點 10 分
• Ans: (C)
• 【參考解答】
• 設正確時間為下午 2 點 分，
• 由於該鐘每一分會慢了 10 秒鐘，所以得方 程式：
•
x
(300 x ) 10 x 60 x 60
另解
• 考慮利用比例關係
• 正確時鐘每走 1 分鐘，此時鐘只走 50 秒
• 二者行走速度比值為 ，
• 因此當此時鐘為兩點整，共走 5 小時，因 此正確時鐘需走 6 小時。
6 5
• 12. 已知 且滿足
，則
•
• (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
• Ans: (A)
a b
a2 4a 1 0, b2 4b 1 01 1
21 1 ?
a b
• 【參考解答】
利用根與係數，因為 分別為方程式 的二解，因此
, a b
2
4 1 0
x x
4, 1
1 1 2 6
1 1 1 6 1
a b ab
a b
a b ab a b
• 19. 小明開車從甲地開往乙地，每小時的車速 維持固定。如果他把車速每小時提高 20% ，可 以比原來預定到達的時間提早 1 小時；如果他 先以原來的速度行駛 120 公里後，再將車速每 小時提高 25% ，則可提前 40 分鐘到達，請問 甲乙兩地相距多少公里？
• (A) 240 (B) 270 (C) 300 (D) 360
• Ans: (B)
• 【參考解答】
• 設甲乙兩地相距 公里，且小明每小時的車速為 公理，由題意知，
• 又
• ，
• 故 。
v x
1 6
1.2
x x x x
t v v v v
120 120 2 120 4 96 16
1.25 3 5 3 45
x x x
v v v v v v v
45 6 270
x
• 20. 有一個 位數 A ，具備以下兩個性質：
• (1) A 中每一位數的數字都是 1 或 2 ，
• (2) A 中至少有相鄰的二個數字都是 1 ，
例如 : ， A=112 、 211 及 111 都滿足此二性質。
• 又另一個 位數 B ，具備以下兩個性質：
• (3) B 中每一位數都是 0 或 1 ，
• (4) B 中至少有相鄰的二個數字都是 0 ， 例如 : ， B=100 滿足此二性質。
若 表示 n 位數 A 的個數， 表示 位數 B 的 個數，則 之值為多少？
• (A) 10 (B) 11 (C) 12 (D) 13 Ans: (B)
3 n
3 m
a
nb
m m4
4
b
a
• 【參考解答】四位數的
A=1122,2112,2211,1112,2111,1121,1211
及1111
共 8 種四位數的 B=1100,1001 及 1000 ，共 3 種 所以 8+3=11
• 21. 設有兩相異數 和 b 滿足 和 ，則 之值為何？
•
• (A) (B) (C) (D)
• Ans: (D)
a a
2 5 4 a
b b
2 5 4
b a a b
5 8
5 6
25
8
5
26
• 【參考解答】因為 為方程式 的二根，所以
因此 。
,
a b x
2 4 x 5 0 1, 5
x
1 26 5 5 5 b a
a b
22.
設
，令 且
，若以 p和 q 為兩根的方程式
為
，則?
• (A) 28 (B) 32 (C) 36 (D) 40
•
•Ans: (A)
5, 3, 4, cd 2 a b ab c d
bd ac
p q ad bc
2
mx n 0
x
6m 2 n • 【參考解答】
( )( ) 5 4 20 p q ac bd ad bc a b c d
2 2 2 2
( )( ) ( ) ( ) 74
20, 74 6 2 6 20 2 74 28 pq ac bd ad bc a b cd ab c d
m n m n
• 23. 在四邊形 ABCD 中，
， 且 。如果四邊形的周長為 16 ，則 = ？
• (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5
• Ans: (B)
60 , 150
ABC BAD
4
AB BC
AD
B
A
D
C
• 【參考解答】作 ，因為
• 所以 為正三角形，且
• ，且
• 令 ，由題意知，
B
A
D
C
AC
ABC 60
ABC 90
DAB
DAB 90AD x
2 2 2 2 2
16 8 8, 16 (8 ) 3
x CD CD x AC x x x
複賽第 24 題
• 已知實數 滿足 ，則
之值 為多少？
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
, ,
a b c
b c c a a ba b c 1
2 2 2
a b c
b c c a a b
• 【參考解答】
將上式分別乘以 後相加，得
a b c , ,
a b c 1
b c c a a b
2 2 2
0
a b c
b c c a a b
ab bc ac bc ab ac a b c
b c c a a b
• 25. 某一學年度創創在學校總共考了 n 次數 學測驗，已知他在該學年度最後第二次數學 測驗考了 98 分，他算出到此次測驗為止，
他的數學測驗平均分數就會比前面
n-2 次的平均分數增加
1 分；又他在該學年度最後一次測驗考了 70 分，那麼他在該學年度 全部數學測驗的平均分數就會比前面
n-1次測驗的平均分數減少 2 分；則 n= ？
• (A) 7 (B) 8 (C) 9 (D) 10
• Ans: (D)
• 【參考解答】
• 設創創在該年前面 n-2 次數學測驗的平均 分數為
m 分，由題意知，
• 又
• 解之得 n=10 。
( n 2) m 98 ( m 1)( n 1) m 99 n
(n 2) m 98 70 ( m 1 2)n 2m 168 n
範例解說
問題 1.
•已知 為介於 0 和 1 之間 的正實數，試證：
, , , a b c d
(1 a )(1 b )(1 c )(1 d ) 1 a b c d
能否描述本題的解題策略？
• 利用類比 (Analogy)Fewer variables 方法，先從二個變數著手
，即先作
• 其次，不等式的兩邊再分別乘以
及 去說明三個變數及原式的結果。
(1 a )(1 b ) 1 a b
(1 c ) (1 d )
問題 2.
•試求：
之值。
1 2 3
2! 3! 4! ( 1)!
n
n
•如何教導同學解題策略？
•通分？還是……
參考解法一
• 將原式引進 sigma 符號來化簡，
即
1 1
1 1
( 1)! ! ( 1)!
n n
k k
k
k k k
參考解法二
• 考慮 ，再尋找 規律性。
1, 2,3,
n
類題
• 計算
1 1 1 1
1 1 1 1
1 3 2 4 3 5 n ( n 2)
問題 3 .
• 給定二條相交於一點的直線，在其 中一條上取一點 ，如圖所示。試 利用尺規作圖作一圓相切於此二直 線，使得此圓與其中一條直線相切 於點 。
P
P
P
問題 4.
• 在 中，試證可利用尺規作圖作 一直線，平行於底邊 ，且將此三角 形平分成二個面積相等的圖形。
A
B C
ABC
BC
單元 : 一題多解
• 有利於加強同學的思維訓練
• 有利於培養同學的數學能力 例如 :(1) 數與形的結合
(2) 轉化解題方法的培養 (3) 歸納能力
從一道數學題目談起
• 如圖，試求 的 度數。
參考解答一 ( 利用三角函數 )
1 1
tan , tan
2 3
1 1 tan tan 2 3
tan( ) 1
1 tan tan 1 1 1. 2 3
4
90
參考解答二 : 使用國中所習方法
圖解法 (Proof Without Words)
首先 ， 構造 ,
類題：
試求下圖中的九個角的度數和。
提示：
4
1 2 3
7 8
5 6
9
A
45 3 90 3 405
• 【參考解答】
• 【參考解答】
