從數學家角度看高中數學課程 *
區國強
香港中文大學數學系
前言
最初，大會請我討論新高中數學課程，我很快就答應了，因為我實在 對課程有些意見。後來我想深一層，發現我的意見不是單單對應「新」的 課程，於是就把「新」字從題目中除掉了。但是，我也明白在座很多朋友 的心中始終忘不了那新課程（尤其黃毅英），所以總不能辜負各位的期望。
此外，我也在數學角度中加了個「家」字，強化個人意見的色彩。數學家 的角度不一定是最全面的，只是一個沒有接納數學家觀點的課程，也一定 有嚴重問題。
舉凡討論新課程，批評比建議來得容易，下面我也不例外，所以一定 要先「申報利益」。我是數學課程發展科目委員會的成員之一，有份參與訂 立新的數學課程，這個課程的缺失，我亦要承擔責任。另外，年多以來，
許多委員花了很多個晚上去反覆探討研究可行的課程內容，他們的心血遠 比我付出的多。我不希望給大家一個錯覺，以為我要在這裡責難他們。事 實上，在大環境的侷限下，他們無論如何努力，都只能在一些內容支末上 改動，把課題從這裡移到那裡，在課程的邊緣搬進搬出。這群關心數學教 育的朋友，其實沒有得到社會充分的支持，去好好發展一個數學課程。
理念、目標與方向
任何課程版本，開頭總有一些理念與目標的陳述，這些章節大都是大 家耳熟能詳的東西，不需要過分斟酌。可是，這個新的高中數學課程，在 這個特定的時間產生，除了甚麼邏輯、創意、批判、優美等以外，還有甚 麼特別的視野呢？新課程在這方面沒有交代，而且，從內容和課題的安排 可見，新課程確實欠缺獨特的時空觀點。
* 編者按： 2006 年 11 月 24 日，香港中文大學課程與教學學系舉辦「數學專科專教？—
數學與教學知識的匯通」研討會，並邀請了區國強教授為該研討會的講者 之一。本文為區教授當天的發言稿。
新課程除了要迎接 3-3-4 學制的特殊意義外，我個人覺得跟回歸也是分 不開的。香港與中國的融合，令香港在經濟、科研和文化都產生了蛻變。
高中數學課程與這三方面都有關，方向應該有遠見和前瞻，前線的老師才 能順應地於日常教學中貢獻。香港早已受著全球化的衝擊，回歸以後，這 種壓力更來自貼近的地區，我們的社會需要高水平數學能力的人才，方能 面對這個新挑戰。我們的數學課程，打算要培養怎樣的人才呢？當語文教 育不斷提升來迎接新環境時，數學是否因一些學生力有不逮而不敢提高要 求呢？因此，除了放諸四海皆準的目標外，新課程其實可以更直率的點出 香港必須走的路。
例如課程建議書對中學畢業生前路的描述，就典型地劃分學生為打算 升學、職訓、就業三個方向。誰都知道在家長、學生或教師心目中，升學 才算是真正的前途。設計高中數學課程時，實在不必執著就業的準備。雖 然細心一看，就知道內容並不完全遵照這個三分的平衡。可是，這個定位 仍處處拖著課程的後腳。可見這個所謂平衡的枷鎖，不單是言文的問題，
而實在令課程不能邁步向前。其實，在目前香港的社會情況下，課程目標 大可不避諱的重升學而輕就業；舉進深而抑平凡。
課程的設計也強調另一個平衡，就是理論與應用的重點。究竟「應用」
對大家的意思是甚麼呢？相信銀行家和數學家一定有很不同的想法。建議 書中也沒有詳細的解釋，我們只能從 “solve problems in daily life” 或
“real-life situations” 等字眼來猜測它的意思。無論怎樣去理解，「理論實踐 並重」並非神聖不可侵犯的定律。任何曾受相當教育的人都知道，日常生 活所需的數學，大部分在小學範圍內，絕少超出初中程度。越高層次和越 深遠的應用，就要更抽象的數學理論。過分強調實踐，只會使我們停步不 前。我們談的是高中課程，不是小學或初中或大學課程，對應香港的環境，
我覺得「為學生培養紮實的數學理論根基，輔以適量的應用練習，讓他們 在將來的學科或事業上，能掌握較深入的數理分析，建立更深遠的應用」
的定位，更為實際和適切。
當然，上述兩個目標並不是唯一的，尤其考慮到部分學生對數學的興 趣不大或能力有限，不能接受太艱深的數學訓練。為了這類學生，課程也 要有另一些目標。但要注意一個事實，許多這些學生都不是將來進入職訓 或就業的同學，他們只是升讀了文科等數理要求不高的學科。對他們來說，
那些看似與生活有關的數學，也不見得很有趣；他們也不會擅長於處理所 謂就業所需的數學方法。因此，課程裏的實用數學方法，根本不能提升他 們的學習興趣，也不會給他們充實的培養。（這樣把學生學習數學的成效等 同他們出路類別的錯誤，也令課程其他部分出毛病，下面再談。）新高中 數學課程分為必修和延伸兩部分，這是數學科獨有的安排，是數學界努力 的良好結果。因此，課程更應利用這空間去發揮兩極不同的效用。這兩條 大相逕庭的路實在可以大膽直接的說明，不用藏頭畏尾，好讓課程更能兩 全其美。
課程結構
在整個 3-3-4 課程的規劃架構下，數學科能發展出一個必修與延伸部分 的模式，是十分聰明的安排。這個安排容許數學科既可廣博又可進深，解 決了普羅大眾所需要的基本訓練和思想修養，又保持社會在高等學問的競 爭力。上面雖然提到兩部分的目標未夠明確，但從內容來看，兩部分也實 在努力地為社會提供兩種截然不同的數學訓練。此外，我覺得兩部分的時 間比也拿捏得很好。這也許是各主要科目中最有效的設計。（後記，黃顯華 告訴我中文課程也很靈活，但中文課程架構似乎長於多元，數學的精於共 賞。）
課程在延伸部分的「子結構」則極有商榷的必要。延伸部分劃分為 Module 1 與 Module 2 兩個單元，學生只可二者選其一。兩個單元分別名為
“Calculus and Statistics” 及 “Algebra and Calculus”。由於是不能兩全的選 擇，這個設計令人感到 Calculus 是不可不學的，有些人只需要 Statistics 而 不用 Algebra；相反，有些人則只需要 Algebra 而不用 Statistics。各位曾接 受一定數學訓練的朋友，你認為這個理念對嗎？這樣的安排，能為學生升 學打好根基嗎？答案不問可知！只因這一點，我已經被不少關心香港教育 的數學家責難過多次。
為何會出現這樣明顯的失誤呢？這又回到理念上了。我的感覺是積重 難返。「重」包括兩方面，一方面是整個課程設計就好像一個複雜的機器，
無論課程大框架與緊密的過程，都不是科目委員可以逆轉的。科目委員會 只能在機器的帶動下，匆忙的運作（更不用說他們本身還有自己全職的工 作），因而難於修正錯誤。「重」的另一面，是原有數學課程存在缺點，有 些盲點一直不知不覺地潛藏在人心中。委員會一來需要敏銳的觸覺才能擺
脫舊有的困厄，二來需要很大的動力和時間來找到新的共識，以致帶來改 進。可是，所要的心力和時間是機器沒有給予的。
我這裏不打算詳談課程設計機器的問題，寧願集中討論課程的學理。
多年來，數學教育界有一個不成文的想法，就是最難的數學是讓數學、物 理、工程的學生唸的；稍容易的是讓商科或少數社會科學的學生唸的；最 皮毛的就留給文科生罷！如果在三十年前的學制背境下，這種想法確有一 點原因和支持。時移勢易，想不到現在它仍然主導著新課程的設計。課程 把延伸部分看成為升讀「自然科學、電算、技術與工程」等類的預備，兩 個單元的分別在於一個重方法；一個重理論。至於升讀社會科學或商科的 學生，或文、史、哲的，就好像只需要必修部分，與將來晉身職訓或就業 的分別不大。再加上錯誤地以為實用的需要，主要是統計及一些微積分的 方法，就把它們合成了 Module 1 的潛藏中心，因而忽略了整全的數學訓練。
理論味道重一點的內容，就放到 Module 2 裏，在教學時間等限制下，併湊 起來剛好 Calculus 和 Algebra 的東西較多，這個單元的主題因而誕生了。在 出路主導和簡化思維的帶動下，催生了兩個妄顧學理的教學單元。
可是，香港實際上的情況時怎樣的呢？在大範圍經濟和廣域科技的要 求下，香港的大學都興起精算、計量財務或金融、風險管理、財經工程等 學科，這些科目都有一定的數學要求，目前取錄的對象是修讀 AL Pure Mathematics 的學生。事實上，經濟、心理、地球資源等社會學科，甚至一 些對數學要求不高的學科，也招收不少理科生。相反的，某些「不那麼吃 香」的大學的工程系，卻錄取沒有唸 AL Mathematics 的中學生。可見學生 修讀較高深的數學，無論基於興趣或需要的考慮，均非單單指向數、理、
工程等科目。與此同時，「具備高中數學訓練的學生」已出現供不應求的情 形。要回應這種現象，數學課程的定位和內容，必須拋棄假想他人出路的 桎梏，以學理為重，讓能者、愛者讀之。政策的計劃者常常以為自己可以 預見未來，依據自己眼中的 outcome 來設計。這種做法，無論在經濟上或 教育上，都嚴重失敗過。可是，它總是屢敗屢戰，換個樣式又再來。前線 的教師，勞勞碌碌，被這些政策驅動而浪費精力。
我認為比較理想的高中課程結構，該是疊瓦式的，讓較廣的一層承拖 著更高的一層。學生只要有能力和興趣，就可踏上更高的階段。有些人在 中學已經爬得高一點，其他的也可以遲些學會後追上去。卻不該為學生分
派了出路，當他們將來的路和我們預期的不一樣時，他們沒有足夠的基礎 去發展。課程也像均衡的養份，吸收快的人比較強壯；吸收慢的雖然稍瘦 小，也能生存。課程裏不應設置不必要的分支，弄出幾類人物，卻這個沒 左手；那個沒右手。
均衡的內容
既然課程設計應以學理為重心，課程的討論也應以內容為主。可惜，
時間上不容許我在這裡說太多。事實上，仔細的內容也要各個崗位的人才 的貢獻，不能單靠數學家（尤其只是其中一個）說了就算，這裡我將會就 重要的準則說說我的看法。
首先，要保持香港在週邊城市間的競爭力，我們的數學課程一定要能 培訓出優秀的數理人才。因此，數學課程的頂點要夠高，讓最有能力的學 生可學習得深入一點。目前的高中課程，在考試主導之下，頂點訂得太低 了，致使不少優良的學生錯過學習的機會。更可惜的，長期面對應付裕如 的課程，令一些學生忽視了努力的重要。我所指的不是最資優的學生，而 是約佔高中學生 30 % 的一大群，這些學生都有能力去學習難一點的數學。
試想多年前只有很少人升讀中學的日子（例如蕭教授唸中學時），所有學生 還不是學挺難的數學嗎？難道今天前頭 30 % 的學生的能力比不上當日的 學生嗎？無論過去或將來，數學課程都被老師和學生看成學習的上限，沒 有寫下的課題就不能考，因此也不用學。在這種文化下，香港數學課程的 內容頂點必須大幅提高，預期 30 % 的學生有機會學過 Module 1 及 Module 2 的內容。
頂點的提高並不等於整個課程都要弄得艱深，這正是上述疊瓦式的重 要之處，也是均衡內容要照顧的地方。下面談到幾個主要課題時，大家就 會了解我的意思。
我對必修部分的內容沒有多大意見，畢竟我沒有花上足夠的時間在這 部分。可能因為它的目標還不夠「灑脫」，仍然附帶著為職訓或就業服務的 心態，內容仍然稍多強調數學技巧的訓練。這種內容其實不適合興趣傾向 文、史、哲的學生，對他們來說仍然是難以應付的挑戰。當然，要有一個 適切的內容，也許需要較長的時間去發展，單單老師所需的培訓與適應就 可能要花上幾年。只要熱心數學教育的人士，意識到這個需要，朝著它發
展就可以了。
高中數學的課題籠統地可分以下四類：
1. Analysis
它主要探討數量之間的關係、變量等，並歸結於微積分。初中的數學 比較靜態，少遇上這課題，在高中佔的比重較大。
2. Algebra
它包括符號運算和推演，解各種方程，其中牽涉矩陣等概念。
3. Geometry
它以平面幾何為綱，延拓到立體幾何與三角學。
4. Data and Models
處理數據以統計為主，也包含數或圖形的規律。現在的課程很少 modeling 的訓練，也許可以多利用文字題來幫助。
受過數學訓練的人都一定知道上面的分類是人為的，每個課題都與另 外三個有密切聯繫和邏輯因果。它們就像潛水艇的浮箱，注水時一定要均 等，否則頭重尾輕。四個課題本來有自然相通的地方，課程設計要注意保 持這種連通，課程就自然有均衡的內容。這個均衡應該在必修部分和延伸 部分都小心處理，學生就會得到合適的培育，大致達到整全的數學訓練。
當然，有些學生的水平高一點，但無論高低，還可維持「水平」。
新高中課程的延伸部分卻明顯違反這均衡，無論 Module 1 或 Module 2 兩個單元都欠缺幾何，學生有足夠能力去了解微積分的函數變化或方程有 沒有解的情況嗎？統計本是四分之一的主角，在 Module 1 佔了近乎一半；
卻在 Module 2 不見蹤影！微積分雖然重要，但在六年的課程裏，是否可以 更重視直觀呢？如果應用是那麼重要的話，是否要引進 modeling，而不是 甚麼 real-life situations。
要認真地談課程的內容，實在需要更多時間和空間，也要更長的篇幅。
（後記，雖然編者引誘我將來再寫，我可不會那麼不自量力。）課程發展 並不是一個人或一撮人的功夫可就的，要整體的努力。策劃者以大原則為 綱，留下空間讓老師去嘗試，好的課題自然會被吸納而模造出理想的內容。
讓我總結一下較為重要的原則來結束吧：
該以學問主導，不應強加 outcome 來考慮課程內容
高中數學課程不妨以理論為中心，輔以應用練習
內容的最高點和最廣面可拉開，讓能者學多點、學快點；並可容納不同 興趣的學生
應重整結構，減少分支，切忌把學科分割派給學生
主要內容必須均衡發展，務使學生融會貫通，達致「水平」
謝謝大家！
作者電郵：thomasau@cuhk.edu.hk
