5.1 線性組合

第五章 線性組合與向量空間

最後更新日期：2009 年 2 月 10 日

本章介紹線性組合（linear combination），探討幾個基本向量可以組合成什麼 樣的向量集合，倒過來，某個特定向量集合需要幾個基本向量來表示。這裡 提到，組合結果之向量集合的正式名稱是向量空間（vector space），而這些基 本向量集合的名稱為基底（basis），我們比較熟悉的基底是座標系統（coordinate system）。我們希望某特定基底能組合的向量空間越大越好，所以要討論拓展

（span）的概念；相反的，對某特定向量空間，其基底的元素數目越少越好，

因此有必要瞭解線性獨立（linear independence）的觀念。最後，一個向量空 間的座標系統（基底）不是只有唯一的一個，座標變換（change of coordinate）

討論不同基底轉換間衍生的現象。本章的內容安排如下：

5.1 線性組合 5.2 拓展與線性獨立 5.3 向量空間、基底與維度 5.4 矩陣的秩

5.5 座標系統與座標變換

5.1 線性組合

我們先從線性系統來看線性組合（linear combination）的作用。考慮以下線性系統

2 3 7

4 1 , 9

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= =⎢ ⎥ =⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Ax b 其中 A b

令x=

[

]

1

1 2

2

2 3 7 2 3 7

4 1 9 4 1 9

x x x

x

⎡ ⎤

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= ⇒ ⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⇒ ⎢ ⎥ +⎢ ⎥ =⎢ ⎥

⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Ax b

其中 A 的兩個行向量

[

]

[

]

線性系統的意義是，決定權重x 、₁ x ，好讓這兩個元素的權重和等於右手邊值₂

[

]

這裡的『權重和』就是線性組合。

定義 （線性組合）

令v v₁, ₂,…,v_k∈Rⁿ，若存在c c₁, ₂,…,c_k∈R，使

1 1 2 2

n k k

c c c R

= + + + ∈

v v v v (5-1)

則稱 v 為v v₁, ₂,…,v_k之線性組合（linear combination）。 █

題外話 以上(5-1)線性組合的定義中涉及的集合不是 n 階行向量M_n×1，而是 n 階實數 空間R ，正式的定義會指定為一般向量空間（vector space）ⁿ 。事實上，M_n×1、R 都ⁿ 是向量空間。還沒正式定義向量空間之前，把它想像為一個集合就是了。例如本章 中我們大部分的例子都說v∈Rⁿ，但把它想像為v∈M_n×1也通。 █

題外話 (5-1)的定義涉及兩個運算：向量和與純量積；這兩個運算在我們熟悉的實數 空間所相對的是加法+ 與乘法× 。如果我們將應用範圍擴展到一般的向量空間，則 這兩個運算符號會是⊕ 與 。底下作簡單整理

+ × +

⊕ 一般向量空間

實數

行向量 純量積

這就是數學的作法：將簡單具體的東西抽象化，希望能涵蓋更廣泛的應用範圍。雖 然，再怎麼抽象化，還是不能違反原來的東西。不要被自己唬了，記得回來對應我 們已經知道的簡單內容，這樣偶而會發現數學的抽象也是有美感的。 █

例題

考慮以下兩向量：

2 3 4 , 1

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(1)若權重分別為c₁= 、1 c₂ = ，其線性組合為何？ 2 (2)需要什麼權重，其線性組合才會是

[

]

【解答】

線性組合為

1 2

2 3 2 3 8

4 1 4 2 1 6 c ⎡ ⎤ c ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

+ = + =

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

第二部分為求以下線性系統的解

1 1

1 2

2 2

2 3 7 2 3 7 2

4 1 9 4 1 9 1

c c

c c

c c

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

+ = ⇒ ⎢ ⎥= ⇒ ⎢ ⎥=

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

█

例題

考慮以下兩向量：

1 2 1 , 3 2 1

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

若權重可以為任意值，c c₁, ₂∈ ，其線性組合的結果為何？ R

【解答】

假設線性組合的結果為

[

]

矩陣：

1 2

1 2 1 2

1 3 1 3

2 1 2 1

x x

c c y y

z z

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥+ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⇒ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

以三種列運算轉換該增廣矩陣

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 1 1 2 2

3 2 1 3 3 2

1 2 1 2 1 0 3 2

1 3 0 1 0 1

2 1 0 3 2 0 0 3 5

x x x y

y y x y x

z z x z y x

− −

− +

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ − ⎤

⎢ ⎥ ⎯⎯⎯⎯→ ⎢ − ⎥ ⎯⎯⎯⎯→ ⎢ − ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ − − ⎥ ⎢ + − ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

此線性系統有解的條件為

3 5 0 z+ y− x=

亦即，線性組合的結果為三維空間的平面：

[ ]

{

}

█

例題

考慮以下兩向量：

2 3 4 , 6

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

需要什麼權重，其線性組合才會是

[

]

【解答】

假設權重分別為c 、₁ c ，則線性組合可以寫成以下線性系統以及其增廣矩陣： ₂

1 2

2 3 0 2 3 0

4 6 0 4 6 0

c ⎡ ⎤ c ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

+ = ⇒

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

以三種列運算轉換該增廣矩陣

( ) ( ) ( )

1

21 3 2 4 1 3

2 2

2 3 0 1 0 1 0

4 6 0 4 6 0 0 0 0

⎡ ⎤ − ⎡ ⎤

⎡ ⎤

⎯⎯⎯→ ⎢ ⎥ ⎯⎯⎯⎯→ ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

該線性系統的解為

1 3 2

2 0

c + c =

即滿足本齊次系統的權重為二維空間的直線：

[ ]

{

}

█

題外話 例題 5-2 與例題 5-3 是處理線性組合的兩個典型題目。前者給定權重（一般 都是任意實數）下找所有可能的線性組合的集合，該動作與該結果，一個動詞一個 名詞，都稱為拓展（span）；後者則指定線性組合的目標，然後找所有可能的各組 權重，這些權重集合稱為解空間（solution space）。一般我們指定組合目標是原點，

也就是說，我們需求解齊次系統（homogenous system），這個特殊的（齊次系統）

解空間稱為零空間（null space）。搞清楚以上幾個術語在線性系統的角色當然重要，

然而，不要忘了練習例題 5-2 與例題 5-3 的求解技巧。 █

5.2 拓展與線性獨立

本節介紹拓展（span）與線性獨立（linear independence）的概念。兩者都涉及一組向量

{

}

S= v v … v ，v v₁, ₂,…,v_k∈Rⁿ，以及線性組合的操作。拓展討論經由對 S 集合內 之向量的線性組合，所能產生之最大向量集合（向量空間）。線性獨立討論 S 內之向量 能否由其它向量以線性組合的方式表示。

定義 （拓展）

令S = v v

{

}

{

}

spanS = v=cv +c v + +c_kv_k v_i∈S c, _i∈R i, =1,…,n (5-2)

稱 span S 為 S 的拓展（span）。 █

驗證拓展的程序 當S= v v

{

}

我們稱 S 拓展V （ S spans V ）。驗證一個向量集合 S 是否拓展某向量空間V 是我 們常常碰到的工作，其程序如下：

(1)寫出V 的任意向量 v ； (2)測試以下線性系統

[

]

若有解，則 S 可拓展V ，反之則否。 █

例題

驗證以下 S 是否拓展V 。

1 2

1 , 3 , 3 5 0, , , 2 1

x

S V y z y x x y z R

z

⎧ ⎫

⎧⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎫ ⎡ ⎤

⎪ ⎪

⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎪ ⎢ ⎥

=⎨⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎬ =⎨⎢ ⎥ + − = ∈ ⎬

⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎪

⎩ ⎭ ⎩ ⎭

【解答】

令^v=

[

]

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 1 1 2 2

3 2 1 3 3 2

1 2 1 2 1 0 3

1 3 0 1 0 1

2 1 5 3 0 3 3 3 0 0 0

r r r s

s s r s r

r s r s

− −

− +

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ − ⎤

⎢ ⎥ ⎯⎯⎯⎯→ ⎢ − ⎥ ⎯⎯⎯⎯→ ⎢ − ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ − ⎥ ⎢ − − ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

此系統有解，因此 S 可以拓展V 。 █

例題

驗證以下 S 是否拓展R 。 ³

1 3 1 2 , 2 , 4 4 8 6 S

⎧⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎫

⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪

= ⎨⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎬

⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎪

⎩ ⎭

【解答】

令^v=

[

]

5 1 3

2 2 4

1 1 1

2 4 2

1 3 1 1 3 1 1 0

2 2 4 0 4 2 2 0 1

4 8 6 0 4 2 4 0 0 0 2

x x x y

y y x y x

z z x z y x

⎡ + ⎤

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥ → ⎢ − − ⎥ → ⎢ − − + ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ − − ⎥ − −

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

此系統無解，因此 S 無法拓展R 。 ³ █

當一組向量S= v v

{

}

1 1 2 2 _{k k}, 1, , _k

c c c c c R

= + + + ∈

v v v v …

也就是說，我們可以用

(

)

(

)

在可以拓展向量空間V 的條件下，我們可不可以縮減 S 的元素數目？線性獨立（linear independence）的概念就是討論以上問題的結論。

定義 （線性獨立）

令S = v v

{

}

i 0

c ≠ ，使

1 1 2 2 k k

cv +c v + +c v =0 (5-3)

則稱 S 或v v₁, ₂,…,v_k為線性相依（linear dependent）。若 S 不是線性相依，則稱其 為線性獨立（linear independent）。也就是說，若 S 為線性獨立，則(5-3)成立的唯一 條件為c₁=c₂ = =c_k = ；反之亦然。 0 █

驗證線性獨立的程序 當S= v v

{

}

1 1 2 2 k k

cv +c v + +c v =0

的唯一解為c₁=c₂= =c_k = 。驗證一個向量集合 S 是否線性獨立，主要在測試以0 下線性系統

[

]

若只有瑣碎解，則 S 為線性獨立，反之（有多重解）則為線性相依。 █

例題

驗證以下 S 是否線性獨立。

1 3 1 2 , 2 , 4 4 8 6 S

⎧⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎫

⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪

= ⎨⎪⎩⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎬⎪⎭

【解答】

測試以下線性系統

5 2 1 2

1 3 1 0 1 3 1 0 1 0 0

2 2 4 0 0 4 2 0 0 1 0

4 8 6 0 0 4 2 0 0 0 0 0

⎡ ⎤

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥ → ⎢ − ⎥ → ⎢ − ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ − ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

此系統有多重解（第三行沒有帶頭一），因此 S 為線性相依。 █

題外話 例題 5-6 中因為第三行沒有帶頭一，因此 S 不是線性獨立，這時，我們知道 這 S 中的第三個向量可以表示成其它向量的線性組合

1 2

1 3 1

2 2 4

4 8 6

c c

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥+ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

驗證這個線性組合是否成立的線性系統如下

5 2 1 2

1 3 1 1 3 1 1 0

2 2 4 0 4 2 0 1

4 8 6 0 4 2 0 0 0

⎡ ⎤

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥ → ⎢ − ⎥ → ⎢ − ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ − ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

得到c₁= ⁵₂,c₂ = − 。怎麼驗證過程與例題 5-6 的一模一樣？本來就是！ ¹₂ █

例題

驗證以下 S 是否線性獨立。

2 3 5 1 , 6 , 4 3 9 2 S

⎧⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎫

⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪

= ⎨⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎬

⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎪

⎩ ⎭

【解答】

測試以下線性系統

3 5 3 5

2 2 2 2

9 3 1

2 2 3

9 11

2 2

2 3 5 0 1 0 1 0

1 6 4 0 0 0 0 1 0

3 9 2 0 0 0 0 0 7 0

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ → ⎢ ⎥ → ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ − −

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

此系統有唯一解（三個變數都有帶頭一），因此 S 為線性獨立。 █

5.3 向量空間、基底與維度

本節正式定義向量空間（real vector space），我們熟悉的R 就是一個向量空間。這裡討ⁿ 論的是R 的一般性質，所以呢，當對向量空間的抽樣意義感到糊塗的時候，將『向量ⁿ 空間』換成R 來想就對了。基底（basis）用我們熟悉的語言來說，就是座標軸的集合。ⁿ 亦即，基底是向量空間的部分集合，向量空間內的任意元素都可以用唯一的方式表示

（represent）成基底元素的線性組合。

向量空間是一個集合，伴隨著這個集合有兩個運算：⊕ 、 （就是實數的 + 、× ， 或向量的加法、純量積），這兩個運算必須滿足洋洋灑灑的 10 個特性。不要慌，這些特 性都是我們耳熟能詳的舊古董：（加法）封閉性、交換率、結合率、單位元素、反元素，

（乘法）封閉性、結合率、分配率、單位元素等。

定義 （向量空間）

對於一個集合V ，以及有關該集合元素的兩個運算，⊕ 與 ，若這兩個運算滿足 以下性質：（ , ,u v w∈V ， ,c d∈ ） R

( )

( )

( )

(

) (

)

( )

( )

( )

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

) ( )

( )

則V 與⊕ 、 形成一個向量空間（real vector space）。 █

按照定義，實數集 R 與＋、× 形成向量空間，但我們常省略兩個運算，直接稱 R 是 一個向量空間。另外，我們會碰到必須證明某個集合是否為向量空間的情況，證明過成 分成兩個步驟：

(1)好好寫清楚該集合，以及兩個運算的定義；

(2)驗證

( )

( )

( )

( )

例題

令^V =

{ (

)

}

(

) (

) (

) (

) (

)

c x y z = cx y z 請證明V 為一向量空間。

【證明】

由

(

)

(

)

( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

, , , , , ,

, , , , , ,

x y z x y z x x y y z z

x x y y z z x y z x y z

′ ′ ′ ′ ′ ′

⊕ = + + +

′ ′ ′ ′ ′ ′

= + + + = ⊕

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 1 1 2 3 2 3 2 3

1 2 3 1 2 3 1 2 3

1 2 1 2 1 2 3 3 3

1 1 1 2 2 2 3 3 3

, , , , , , , , , ,

, ,

, , , ,

, , , , , ,

x y z x y z x y z x y z x x y y z z x x x y y y z z z x x y y z z x y z

x y z x y z x y z

⎡ ⎤

⊕⎣ ⊕ ⎦= ⊕ + + +

= + + + + + +

= + + + ⊕

⎡ ⎤

=⎣ ⊕ ⎦⊕

得知

( )

( )

(

)

(

) (

)

則

( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

, , , , , ,

, , , , , ,

, , , , c x y z x y z c x x y y z z

cx cx y y z z cx y z cx y z c x y z c x y z

′ ′ ′ ′ ′ ′

⎡ ⊕ ⎤= + + +

⎣ ⎦

′ ′ ′

= + + +

′ ′ ′

= ⊕

′ ′ ′

= ⊕

故

( )

( ) ( ) ( ( ) ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

, , , , , ,

, , , , , , , , , 2 , 2

, , , , , ,

c d x y z c d x y z cx dx y z

c x y z d x y z cx y z dx y z cx dx y z c d x y z c x y z d x y z

⎧ + = + = +

⎪⎨

⊕ = ⊕ = +

⎪⎩

⇒ + ≠ ⊕

故

( )

從定義來證明一個集合是否向量空間，需要一一檢驗十個性質，非常麻煩。但是如

果存在另一個相近、已知是向量空間的集合，那麼只要檢驗兩個封閉性性質是否成立，

就可以證明該新集合是否為向量空間。以上是我們討論次空間（subspace）的用意。

定義 （次空間）

令集合V ，以及兩個運算，⊕ 與 ，為一向量空間。若V 之子集W ，W ⊆V W, ≠ ∅，

與運算⊕ 、 也是向量空間，則稱W 為V 的次空間（subspace）。 █

定理

令集合V ，以及兩個運算，⊕ 與 ，為一向量空間，又令W 為V 之子集，W V⊆ ， 且W ≠ ∅ ，若以下兩性質成立

( )

( )

則W 為V 之次空間（subspace），反之亦然。 █

例題

令^W=

{ (

)

}

【證明】

我們用向量空間R 來輔助證明。 ³

首先，很容易看出^{W =}

{ (

)

}

其次，令

(

) (

)

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 2 2

, , , , , ,

3 5 3 5 3 5 0 0 0

, , , ,

x y z x y z x x y y z z

z z y y x x z y x z y x

x y z x y z W

′ ′ ′

+ = + + +

′ ′ ′ ′ ′ ′

+ + + − + = + − + + − = + =

′ ′ ′

⇒ + ∈

故加法封閉性成立。又

( ) ( )

( )

( )

, , , ,

3 5 3 5 0 0

, ,

c x y z cx cy cz

cz cy cx c z y x c c x y z W

=

+ − = + − = × =

⇒ ∈

故純量積封閉性也成立。因為W⊆R³，且加法封閉性與純量積封閉性都成立，故W

為R 之次空間；亦即，W 也是向量空間。 ³ █

已經定義向量空間，接下來處理如何描述一個向量空間。我們先選出一組基本

定義 （基底）

令V 為一個向量空間，S=

{

}

( )

( )

則稱 S 為向量空間V 的一個基底（basis）。 █

例題

令S = v v v ，其中

{

}

(

)

(

)

(

)

【證明】

(1)證明 S 拓展R 。令³ R 的任意元素為⁴

(

)

1 2

1 2

1 1 0 1 1 0 1 1 0

0 2 2 0 2 2 0 1 1

1 2 2 0 1 2 0 0 1

x x x

y y y

z z x z x y

⎡ ⎤

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥ → ⎢ ⎥ → ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ − ⎥ − −

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

該系統有解，故 S 拓展R 。 ³

(2)證明 S 為線性獨立。測試以下線性系統

1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 1 1 0 1 2 2 0 0 1 2 0 0 0 1 0

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥ → ⎢ ⎥ → ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

該系統有唯一的瑣碎解，故 S 為線性獨立。

綜合(1) S 拓展R 、(2) S 為線性獨立，故知 S 為³ R 的一個基底。 ³ █

定理

令S = v v

{

}

【證明】

因為 S 拓展V ，故對任意v∈V ，存在c c₁, ₂,…,c_n∈R，使得

1 1 2 2 n n

c c c

= + + +

v v v v

假設有另外一個表示方式

1 1 2 2 n n

d d d

= + + +

v v v v

其中d d₁, ₂,…,d_n∈R。將以上兩式將減，結果如下

(

)

(

)

(

)

− = = − + − + + −

v v 0 v v v

因 S 為線性獨立，故c_i−d_i =0, 1≤ ≤ ，即i n c_i=d_i, 1≤ ≤ ，也就是說 v 只有唯一的i n

一種表示方式。 █

定理

令S = v v

{

}

分集合 S′ ⊆ 為W 的一個基底。 S █

題外話 雖然沒有定理 5-3 的證明，以下我們提供由S =

{

}

W = S 基底的程序，由該程序可以想像如何證明定理 5-3。

為了驗證 S 是否線性獨立，我們檢測以下線性系統

[

]

以三種基本列運算，盡量找出每一列的帶頭一後，若有某變數行沒有帶頭一，表示 該系統有多重解，亦即 S 不是線性獨立。現在，刪除 S 中相對於沒有帶頭一之各行 位置的元素向量，假設剩下的集合為 S′ ，則 S′ 為W=sapnS的一個基底。（我們可

以證明 spanS′ =spanS。） █

例題

就以下集合 S ，請找出一個 span S 的基底。

1 3 1 2 , 2 , 4 4 8 6 S

⎧⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎫

⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪

= ⎨⎪⎩⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎬⎪⎭

【解答】

測試以下線性系統

5 2 1 2

1 3 1 0 1 3 1 0 1 0 0

2 2 4 0 0 4 2 0 0 1 0

4 8 6 0 0 4 2 0 0 0 0 0

⎡ ⎤

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥ → ⎢ − ⎥ → ⎢ − ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ − ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

第三行沒有帶頭一，刪除 S 之第三個元素後之集合

1 3 2 , 2 4 8 S

⎧⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎫

⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎪

′ = ⎨⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎬

⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎪

⎩ ⎭

為 span S 的一個基底。 █

本節已經介紹向量空間與基底，最後，我們來探討基底的元素數目。我們已經知道 一個向量空間可以有一個以上的基底，然而，這些不同基底的元素數目是否相同呢？答 案是肯定的，這個相同的數目就是我們熟知的維度（dimension）。

定理

令S = v v

{

}

{

}

【證明】

因 S 是基底， T 中元素w_i∈T,1≤ ≤i m可以表示成

1 1 2 2

i =ci +ci + +cni n

w v v v

考慮以下線性系統

1 1 2 2 m m

dw +d w + +d w =0 將w 代入替換 _i

1 1 2 2

1 1 1

n n n

i i i i m im i

i i i

d c d c d c

= = =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⇒ ⎜ ⎟+ ⎜ ⎟+ + ⎜ ⎟=

⎝

∑

∑

∑

1 1 2 2

1 1 1

m m m

j j j j j nj n

j j j

d c d c d c

= = =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⇒ ⎜⎜ ⎟⎟ +⎜⎜ ⎟⎟ + +⎜⎜ ⎟⎟ =

⎝

∑

∑

∑

{

}

1 2

1 1 1

0

m m m

j j j j j nj

j j j

d c d c d c

= = =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= = = =

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝

∑

∑

∑

1 1 2 2 m m

d d d

⇒ c + c + + c =0 (5-4)

其中，^cj=

(

)

此得證 m n≤ 。 █

定理

令S = v v

{

}

{

}

【證明】

利用定理 5-4，若 S 為基底、T 為線性獨立，則 m n≤ ；若T 為基底、S 為線性獨立，

則 n m≤ 。現在兩者同時成立，故 m n= 。 █

定義 （維度）

一個向量空間V 的維度（dimension）為其基底之元素數目，標示為 dimV 。若

{ }

V = 0 ，則其維度為零，亦即^dim

{ }

例題

就以下集合 S ，若W =spanS，請計算向量空間W 之維度 dimW 。

1 3 1 2 , 2 , 4 4 8 6 S

⎧⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎫

⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪

= ⎨⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎬

⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎪

⎩ ⎭

【解答】

測試以下線性系統

5 2 1 2

1 3 1 0 1 3 1 0 1 0 0

2 2 4 0 0 4 2 0 0 1 0

4 8 6 0 0 4 2 0 0 0 0 0

⎡ ⎤

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥ → ⎢ − ⎥ → ⎢ − ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ − ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

第三行沒有帶頭一，刪除 S 之第三個元素後之集合

1 3 2 , 2 4 8 S

⎧⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎫

⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎪

′ = ⎨⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎬

⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎪

⎩ ⎭

為 span S 的一個基底。故 dimW = 。 2 █

5.4 矩陣的秩

本節我們將焦點轉回到我們一直關心的線性系統：

1 1

, _{m n×} , _n×, _m×

= ∈ ∈ ∈

Ax b A M x M b M (5-5)

當然，我們是用向量空間的觀點來看(5-5)。與(5-5)之係數矩陣 A 有關的向量空間有三 個：列空間（row space）、行空間（column space）、與零空間（null space）。我們對這些 空間的維度有興趣。

定義 （列空間、行空間）

令A=⎡ ⎤⎣ ⎦a_ij ∈M_{m n×} ，v v₁, ₂,…,v_m為 A 之列向量，w w₁, ₂,…,w_n為 A 之行向量，則

{

}

span v v, ,…,v_m ⊆Rⁿ稱為 A 之列空間（row space），而span

{

}

稱為 A 之行空間（column space）。 █

定義 （解空間、零空間）

令A=⎡ ⎤⎣ ⎦a_ij ∈M_{m n×} 、x∈M_n×1、b∈M_m×1，則線性系統Ax=b 之解^{V =}

{

}

為Ax=b 之解空間（solution space），而齊次系統Ax=b 之解^{W =}

{

}

之零空間（null space）。 █

定義 （秩、零度）

令A=⎡ ⎤⎣ ⎦a_ij ∈M_{m n×} ，V 、W 、 N 分別為 A 之列空間、行空間、與零空間，則前兩 者的維度 dimV 、 dimW 分別稱為 A 之列秩（row rank）、行秩（column rank），統 稱為 A 之秩（rank），記為 rank A ；後者的維度 dim N 稱為 A 之零度（nullity），記

為 nullity A 。 █

定理

令A=⎡ ⎤⎣ ⎦a_ij ∈M_{m n×} ，則 A 的列秩與行秩相等。

【證明】

尋找 A 列空間之基底的過程，為以三種基本列運算，轉換下列增廣矩陣

[

]

至約化列梯形矩陣（事實上，盡量找出每列的帶頭一即可）。 A 中有帶頭一的各列 即形成 A 列空間之基底。而尋找 A 行空間之基底的過程也是轉換(5-6)，這次，A 中 有帶頭一的各行即形成 A 行空間之基底。我們發現，列空間的基底與行空間的基

底都是來自相同的帶頭一，因此這兩個空間有相同的維度。 █

例題

就以下矩陣 A ，請寫出列空間基底、行空間基底、列秩、與行秩。

1 3 1 2 2 4 4 8 6

⎡ ⎤

⎢ ⎥

= ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

A

【解答】

以三種基本列運算，轉換以下增廣矩陣

5 2 1 2

1 3 1 0 1 3 1 0 1 0 0

2 2 4 0 0 4 2 0 0 1 0

4 8 6 0 0 4 2 0 0 0 0 0

⎡ ⎤

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥ → ⎢ − ⎥ → ⎢ − ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ − ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

有帶頭一者為第一、二列，或第一、二行，故其列空間與行空間分別為

[ ] [ ]

{ }

span 1 3 1 , 2 2 4 , span 2 , 2 4 8

⎧⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎫

⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪

⎨⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎬

⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎪

⎩ ⎭

其秩為rankA=2。 █

例題

就以下矩陣 A ，請寫出其零空間與零度。

1 3 1 2 2 4 4 8 6

⎡ ⎤

⎢ ⎥

= ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

A

【解答】

以三種基本列運算，轉換以下增廣矩陣

5 2 1 2

1 3 1 0 1 3 1 0 1 0 0

2 2 4 0 0 4 2 0 0 1 0

4 8 6 0 0 4 2 0 0 0 0 0

⎡ ⎤

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥ → ⎢ − ⎥ → ⎢ − ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ − ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

其解為

1

3 1 2 2

3

5 2

5 1 1

2 2 2

5

, , , 1 ,

1 2

x

x t x t x t x t t R s s R

x

⎡− ⎤ −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

= = − = ⇒ =⎢ ⎥=⎢ ⎥ ∈ ⇒ =⎢ ⎥ ∈

⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

x x

故零空間為

5 span 1

2

⎧⎡ ⎤− ⎫

⎪⎢ ⎥⎪

⎨⎢ ⎥⎬

⎪⎢ ⎥⎣ ⎦⎪

⎩ ⎭

其零度為nullityA=1。 █

定理

令A=⎡ ⎤⎣ ⎦a_ij ∈M_{m n×} ，則 rankA+nullityA=n。

【證明】

我們檢視增廣矩陣

[

]

基底，由沒有帶頭一之行來決定零空間的基底。因此，行空間的維度加上零空間的 維度應等於 A 之行數，亦即， rankA+nullityA=n。 █

例題

就以下矩陣 A ，請寫出其零空間與零度。

1 3 1 2 2 2 4 5 4 8 6 9

⎡ ⎤

⎢ ⎥

= ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

A

【解答】

以三種基本列運算，轉換以下增廣矩陣

5 11

2 4

1 1

2 4

1 3 1 2 0 1 3 1 2 0 1 0 0

2 2 4 5 0 0 4 2 1 0 0 1 0

4 8 6 9 0 0 4 2 1 0 0 0 0 0 0

⎡ ⎤

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥ → ⎢ − ⎥ → ⎢ − − ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ − ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

其解為

1

2

3

4

5 11

2 4

1 1

2 4

5 11

1 1

, , , ,

2 0

1 0

0 4

0 1

x

x s t s t R u v u v R

x x

− −

⎡− ⎤ ⎡− ⎤

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

=⎢ ⎥=⎢ ⎥ +⎢ ⎥ ∈ ⇒ =⎢ ⎥ +⎢ ⎥ ∈

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

x x

故零空間為

5 11 1 1 span ,

2 0 0 4

⎧⎡ ⎤ ⎡− − ⎤⎫

⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪

⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪

⎨⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎬

⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪

⎪⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎪

⎩ ⎭

其零度為nullityA=2。 █

題外話（解空間的維度） 一般線性系統（非齊次系統）

= , ≠ Ax b b 0

可能會有多重解、唯一解、或無解。判斷這些狀況的依據為以下兩矩陣的秩

錯誤! 物件無法用編輯功能變數代碼來建立。

以及錯誤! 物件無法用編輯功能變數代碼來建立。之行數 n 間的互相關係：

( )

( )

( )

1 2 3

r r

r r n

r r n

>

= =

= <

A b A A A b A b A

：無解

：唯一解

：多重解

當然，我們由定義知道

( )

( )

例題

請驗證下列線性系統無解。

1 3 1 2 2 2 4 5 4 8 6 8

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

【解答】

以三種基本列運算，轉換以下增廣矩陣

5 11

2 4

1 1

2 4

1 3 1 2 1 3 1 2 1 0 2 2 4 5 0 4 2 1 0 1

4 8 6 8 0 4 2 0 0 0 0 1

⎡ ⎤

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥ → ⎢ − ⎥ → ⎢ − − ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ − ⎥ −

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

即r_{[ ]A b} = >3 r_A =2，故此系統無解。 █

例題

請寫出下列線性系統的一般解。

1 3 1 2 2 2 4 5 4 8 6 9

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

【解答】

以三種基本列運算，轉換以下增廣矩陣

5 11

2 4

1 1

2 4

1 3 1 2 1 3 1 2 1 0 2 2 4 5 0 4 2 1 0 1

4 8 6 9 0 4 2 1 0 0 0 0

⎡ ⎤

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥ → ⎢ − ⎥ → ⎢ − − ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ − ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

齊次系統的解為

1

2

3

5 1 , 2

h

x

x s s R

x

⎡ ⎤ ⎡ ⎤−

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

=⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ∈

⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦

⎣ ⎦ x

我們也可以驗證

11 4

1 4

0

p

⎡ ⎤

⎢ ⎥

= ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

− x

是線性系統的一個解。我們稱x 為齊次解（homogeneous solution）_h ，x 為特殊解_p

（particular solution）。一個線性系統若有解，其一般解可以寫成齊次解加上特殊 解，如下所示

11 4

1 4

5 1 ,

0 2

p h s s R

⎡ ⎤ ⎡ ⎤−

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

= + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ ∈

⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦

⎣ ⎦

− x x x

以上特殊解、齊次解都不是唯一的，各任取一個就可以了。列如

3 5

2 2

1 2 1 2

0 ,

1

p h t t R

⎡ ⎤ ⎡− ⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

= + =⎢ ⎥ ⎢+ ⎥ ∈

⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦

⎣ ⎦ x x x

請驗證⎡⎣³₂ 0 ¹₂⎤⎦ 也是一個特殊解。 ^T █