3-2 矩陣的運算矩陣的運算矩陣的運算矩陣的運算
重點一重點一
重點一重點一 矩陣的定義矩陣的定義矩陣的定義 矩陣的定義 例題
例題 例題 例題 1
已知矩陣 A＝〔aij〕
3×3
，其中 aij＝2i－j，試求矩陣 A＝ 。（10 分）解解
解解：：：：a
11
＝2×1－1＝1，a12
＝2×1－2＝0，a13
＝2×1－3＝－1a 21＝2×2－1＝3，a22
＝2×2－1＝2，a23
＝2×2－3＝1
a 31＝2×3－1＝5，a32
＝2×3－1＝4，a33
＝2×3－3＝3
32
＝2×3－1＝4，a33
＝2×3－3＝3A＝
1 0 3
1 2 1 5 4 3
－
例題 例題 例題 例題 2
設 a，b，x，y 是實數且 A，B 是下列的矩陣，
A＝ 2 3 a
b
，B＝
2
1
4 2 1
x x
y y
＋
＋ ＋
。已知 A＝B，試求 a，b，x，y 的值。（10 分）
解 解 解
解：：：：由矩陣相等的定義得出
2
2 1
3 4
2 1 a x
x y b y
L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L
＝
＝ ＋
＝ ＋
＝ ＋
由解出 x＝1，再由解出 a＝1由解出 y＝－1，再由解出 b＝－1 故所求為 a＝1，b＝－1，x＝1，y＝－1
例題 例題 例題 例題 3 令 A＝
1 1
3 2
，B＝
0 4 7 3
，C＝
1 3 2 4
，試求：
(1) A＋B＝ 。
（4 分）(2) （A＋B）＋C 與 A＋（B＋C）是否相同？（6 分）
解 解 解
解：：：：(1) A＋B＝
1 1 3 2
＋
0 4 7 3
＝
1 5 10 5
(2) （A＋B）＋C＝ 1 1 0 4 1 5 1 3 2 8
3 2 7 3 10 5 2 4
1 3
2 4 12 9
＋ ＋ ＝ ＋ ＝
A＋（B＋C）＝ 1 1 0 4 1 1 1 7 2 8
3 2 7 3 3 2 9 7 12 9
1 3 2 4
＋ ＝ ＋ ＝
＋
∴（A＋B）＋C 與 A＋（B＋C）結果相同
重點三 重點三 重點三
重點三 矩陣的矩陣的矩陣的係數矩陣的係數係數係數乘法乘法乘法乘法 例題
例題 例題 例題 4
設 A＝
1 0 3 2 4 1
－ ，B＝
3 2 1 2 6 1
－ ，試求方程式 X＋4A＝2（X＋B）＋A 之解為 X＝ 。
（10 分）
解解
解解：：：：X＋4A＝2（X＋B）＋A X＋4A＝2X＋2B＋A
∴X＝3A－2B＝
3 0 9 6 12 3
－ －
6 4 2 4 12 2
－ ＝
3 4 7 2 24 1
－
－
例題 例題 例題 例題 5
設 A＝
2 1 6 3 7 8
－
－ ，B＝
1 3 5 4 6 9
－ －
，滿足矩陣方程組
2 3 2
X Y A X Y B
＋ ＝
＋ ＝ ，試求兩個 2×3 階矩 陣 X＝ ，Y＝ 。（10 分）
解 解 解 解：：：：
2
3 2 X Y A X Y B
L L L L L L L L L L L L L L
＋ ＝
＋ ＝
×2－得 X＝2A－B＝
4 2 12 6 14 16
－
－ －
1 3 5 4 6 9
－ －
＝
5 1 7 2 8 25
－
×2－×3 得 Y＝2B－3A
＝
2 6 10 8 12 18
－ －
－
6 3 18 9 21 24
－
－ ＝
8 3 8 1 9 42
－ － －
－ －
重點四重點四
重點四重點四 矩陣的乘法矩陣的乘法矩陣的乘法 矩陣的乘法 例題
例題 例題
例題 6（（（乘法交換律不成立（乘法交換律不成立乘法交換律不成立）乘法交換律不成立）））
已知 A＝
2 3 1 1 6 2
－
－ ，B＝
1 1 1 1 1 1
－
－
－
，試求：
(1) AB，BA。
（6 分）(2) AB，BA 是否相同？（4 分）
解解
解解：：：：(1) AB＝
2 1 3 1 1 1 2 1 3 1 1 1
1 1 6 1 2 1 1 1 6 1 2 1
× × × × × ×
× × × × × ×
＋ ＋（－） （－）＋ （－）＋（－）（－）
＋ ＋（－ ） （－）＋ （－）＋（－ ）（－）＝
4 4 5 5
－
－
BA＝
1 2 1 1 1 3 1 6 1 1 1 2
1 2 1 1 1 3 1 6 1 1 1 2
1 2 1 1 1 3 1 6 1 1 1 2
× × × × × ×
× × × × × ×
× × × × × ×
＋（－） ＋（－） （－）＋（－）（－ ）
＋（－） ＋（－） （－）＋（－）（－ ）
＋（－） ＋（－） （－）＋（－）（－ ）
＝
1 3 1 1 3 1 1 3 1
－
－
－
(2) 由(1)的結果得知 AB≠BA
若 A，B，C 是 m×n 階矩陣，r，s 為實數，則下列敘述哪些正確？（10 分）
(A)A＋B＝B＋A (B)（A＋B）＋C＝A＋（B＋C）
(C)若 A＋B＝C，則 A＝C－B (D)（A＋B）
（A－B）＝A2
－B2 (E)r（A＋B）＝rA＋rB
解解
解解：：：：(A)○：加法交換律
(B)○：加法結合律
(C)○：A＋B＝C
A＋B－B＝C－B A＝C－B(D)×：當 AB≠BA 時，
（A＋B）（A－B）＝A2
－AB＋BA－B2
≠A2
－B2 (E)○：矩陣乘法左分配律
故選(A)(B)(C)(E)
例題 例題 例題
例題 8（（（乘法消去律不成立（乘法消去律不成立乘法消去律不成立）乘法消去律不成立））） 設 A＝
1 2
4 8
，B＝
4 2 2 1
－
－ ，C＝
10 4
5 2
－
－ ，試問：
(1) AB＝ ；AC＝ 。
（6 分）(2) 若 AB＝AC，則 B＝C 是否正確？（4 分）
解 解 解
解：：：：(1) AB＝
1 2 4 8
4 2
2 1
－
－ ＝
0 0 0 0
AC＝
1 2 4 8
10 4
5 2
－
－ ＝
0 0 0 0
(2) 由
、知 AB＝AC，但 B≠C例題 例題 例題 例題 9
設 A，B，C 皆為 3×3 階矩陣，則下列敘述哪些正確？（10 分）
(A)AB＝BA 恆成立 (B)（AB）C＝A（BC）恆成立
(C)若 AB＝O，則 A＝O 或 B＝O (D)若 AB＝AC，則 B＝C (E)（A＋B） 2＝A2
＋2AB＋B2
恆成立
解解
解解：：：：(A)×：矩陣乘法交換律不成立
(B)○：矩陣乘法結合律成立 (C)×：矩陣乘法消去律不成立 (D)×：矩陣乘法消去律不成立
(E)×：
（A＋B）2
＝A2
＋AB＋BA＋B2
，矩陣乘法交換律不成立 故選(B)例題 例題 例題 例題 10
甲、乙兩個股民買進四種股票 X，Y，Z，W，買進數量與每股價格分別為
1 2 3 4 4 3 2 1 X Y Z W
甲 乙
（單位：千股），
10 30 20 10
X Y Z W
（單位：元）
則這兩位股民買進股票的總成本各為多少元？（10 分）
解 解 解
解：：：：
1 2 3 4 4 3 2 1
10 30 20 10
＝
170 180
甲
乙（千元）
所以甲的成本 17 萬元，乙的成本 18 萬元
