重點歸納一：有理數與實數

1

重點歸納一：有理數與實數

1. 有理數：能成為型如q

p（ ,p q∈Z, p≠0）的數稱為有理數；否則, 稱為無理數. 而全體的有 理數, 以符號 Q 表之.

例如：2 3 2 3 4 31

, , 2 , 3 , 0.8 , 0.31

3 5 1 1 5 99

= − =− = = 等皆為有理數.

而 3 , ³2, π , 0.37130728…（無窮不循環小數）等皆為無理數.

2. 實數：有理數與無理數合稱為實數, 而全體實數以符號 R 表之.

3. 各數系之間的關聯：

4. 同次方根：開方次數相同的方根稱為同次方根.

例如：(1) 8 2,− 2, 3, 5為同次方根（均為二次方根）.

(2)³5, 7 6,³ −2 9³ 為同次方根（均為三次方根）.

5. 同次方根的乘除法：方根的乘除必須同次方根才能計算.

(1) a⋅ b = ab（a≥0, b≥ ）；0 ³a⋅³ b= ³ab（a, b 為任意實數）

(2) a a

b = b （a≥0, b> ）；0 ^{3 3}

3

a a

b = b （b≠0）

---

《方根的乘除運算》

範例 1

(1) 2 10 3 15× . (2)³12÷³ 6.

(3)3 5 ⁷ 6 ¹⁵

12 8

× ÷ .

(4)2^{3 5} 3^{3 6}

9 15

− × − .

解：(1)原式 6 10 15= × =6 25 6× =30 6

(2)原式 ^{312 3}2

= 6 =

(3)原式 3 5 ^{7 1 8 1} 5 ^{7 8 1 14 14}

12 6 15 2 12 15 2 9 6

= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = =

(4)原式 6 (^{3 5})( ⁶) 6^{3 6 63} 6 2 6³

9 15 27 3

= − − = = =

演練 1

(1) ( 10−2 15)× 5. (2) 75× 18÷ 12. (3)³ − ×60 ³18÷³5. (4)( 2+ 6)².

解：(1)原式= 50−2 75 = 25 2× −2 25 3× =5 2 10 3−

(2)原式 ^{75 18 75 6 225 2 15 2}

12 4 4 2

× × ×

= = = =

(3)原式 ^{3 60 18 3} 216 6 5

= − × = − = −

(4)原式=( 2)²+ ⋅2 2⋅ 6+( 6)² = +2 2 12+ = +6 8 4 3

3

重點歸納二：方根的加減法

1. 同類方根：兩個或兩個以上方根經化簡後, 它們的被開方數相同且開方次數亦相同, 此種方根稱 為同類方根.

例如： 3 2, 4 2, −5 2是同類方根 7 4, 9 4,^{3 3} −18 4³ 是同類方根

而 2 7 與 5 , −5 6³ 與 6 均不是同類方根

2. 方根的加減：必須將各根式化簡, 再將同類的方根作加減.

例如：(1) 5 2+ 2−3 2 = + −(5 1 3) 2=3 2. (2)7 4³ −9 4 18 4³ − ³ =(7 9 18) 4− − ³ = −20 4³ .

---

《方根的加減》

範例 2

化簡下列各式：

(1) 7 8− −2 45+4 20+5 18. (2)5 81 2³ + ³ −24−5 12−3³ − . 3

解：(1)原式= −14 2−6 5 8 5 15 2+ + = − +( 14 15) 2+ − +( 6 8) 5 = 2+2 5

(2)原式=15 3³ −4 3 10 3 3 3³ − + ³ =(15 4 3) 3 10 3− + ³ − =14 3 10 3³ −

演練 2

化簡下列各式：

(1)10 12+2 27− 75. (2)3 5³ − −³ 135−2 40³ .

解：(1)原式 20 3 6 3 5 3= + − =(20 6 5) 3+ − =21 3 (2)原式=3 5³ +3 5³ −4 5³ = + −(3 3 4) 5³ =2 5³

重點歸納三：有理化分母

1. 有理化分母：將帶有方根的分母化成有理數的分母, 此過程稱為有理化分母.

2. 常見有理化分母方法：

(1) 1 a

a ↔ a , 例如： 1 3 3 3 = 3 3 = 3

⋅

(2)利用平方差公式：(a b a b+ )( − =) a²− b²

例如： 1 1 2 1 2 1_{2 2} 2 1 2 1 2 1 ( 2) 1 2 1

− −

= ⋅ = = −

+ + − −

※註：設 n, m 為相異正整數則 n+ m與 n− m互稱為有理化因子.

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《有理化分母》

範例 3

化簡下列各式：

(1) ^{2 3 1} 3 + 2 − 6

(2) 1 2

3 2−1 3

+ −

(3) 3 2 3 2

− +

解：(1)原式 6 6 6 1 1 1 2

( ) 6 6

3 2 6 3 2 6 3

= + − = + − =

(2)原式 3 2 2(1 3)

3 2 1 3 2 3 2 1

3 2 1 3

− +

= − = − + + = − +

− −

(3)原式

( 3 2)2

3 2 6 2 5 2 6 3 2

= − = − + = −

−

演練 3

化簡下列各式：

(1) ^{7 5} 5 − 7

(2)2 5 2 5

+

−

(3) 1 1

5 1+ 5 1

+ −

解：(1)原式 35 35 1 1 2 35

( ) 35

5 7 5 7 35

= − = − =

(2)原式

(2 5)2

(4 4 5 5) 9 4 5 4 5

= + = − + + = − −

−

(3)原式 5 1 5 1 2 5 5

5 1 5 1 4 2

− +

= + = =

− −

重點歸納四：無理數的相等

1. 若 ,a b∈Q , k 為無理數, 且a b k+ = , 則0 a=0, b= . 0

2. 若 ,a b c d, , ∈Q , k 為無理數, 且 a b k c d k+ = + , 則a=c b, = . d

---

《無理數相等》

範例 4

(1)設 ,a b∈Q , 且 (3a− +6) (5b+8) 2= , 求 a, b 之值. 0 (2)設 ,a b∈Q , 且 (2a b− +) 4 3= + −1 (a 2 ) 3b , 求a, b 之值.

解：(1) 3 6 0 8

5 8 0 2, 5

a a b

b

⎧ − =

⇒ = = −

⎨ + =

⎩

(2) 2 1 2 7

2 4 3, 3

a b a b

a b

⎧ − =

⇒ = − = −

⎨ − =

⎩

演練 4

設 ,x y∈Q , 若 (2+ 5)x+ −(1 5)y= −8 2 5, 求x+ =y ？ 解：原式⇒ (2x+y) (+ −x y) 5= −8 2 5

∴ 2 8

2, 4 2

x y

x y

x y

⎧ + =

⇒ = =

⎨ − = −

⎩

故x+ = y 6

7 重點歸納五：絕對值

1. 絕對值：數線上一點 ( )P x 到原點的距離, 以符號| |x 表之, 而| |x 稱為 x 的絕對值.

例如：| 5 | 5, | 3 | 3= − = .

2. 相異二點的距離：設A x( ),₁ B x( ₂)為數線上相異二點, 則AB=|x₁−x₂|. 3. 絕對值性質：

(1) , 0

| | , 0

a a a

a a

⎧ ≥

= ⎨⎩− <

(2) | |

| | | | | | , | | , 0

| | a a

ab a b b

b b

= = ≠

(3)| | | |a ≥ b ⇔ a² ≥ b²

(4)| |x ≤k ⇔ − ≤ ≤k x k k, ≥ 0 (5)| |x ≥k k, > ⇔0 x≥ 或k x≤ −k

---

《絕對值》

範例 5

(1)若| 2x+ = , 則5 | 6 x= .

(2)若| 2x− ≤ , 則 x 範圍為何？並在數線上標示 x 的範圍. 3 | 9 (3)若|x− >3 | |x− , 則 x 的範圍為何？ 5 |

解：(1) 2x+ =5 6或 1

6 x 2

− ⇒ = 或 11 2

−

(2) 9 2− ≤ x− ≤ ⇒ − ≤3 9 6 2x≤12 ⇒ − ≤ ≤ 3 x 6

(3) ∵|x− >3 | |x− 5 | ∴(x−3)² >(x−5)²

⇒ x²−6x+ >9 x²−10x+25 ⇒ 4x>16 ⇒ x> 4

演練 5

(1)若| 3x− = , 則1| 11 x= .

(2)若| 3x− ≥ , 則 x 範圍為何？並在數線上標示 x 的範圍. 5 | 7 (3)若|x+ ≤8 | |x− , 則 x 的範圍為何？ 2 |

解：(1)3x− =1 11或 11− ⇒ x= 或4 10 3

−

(2)3x− ≥5 7或3x− ≤ −5 7⇒ x≥ 或4 2 x≤ − 3

(3) ∵|x+ ≤8 | |x− 2 | ∴(x+8)² ≤(x−2)²

⇒ x²+16x+64≤x²−4x+ 4 ⇒ 20x≤ −60 ⇒ ≤ − x 3

重點歸納六：數線上的分點公式

設 P 點在 ( ),A a B b 之間, 且( ) AP BP: =m n: , 則P 點坐標為an bm m n

+ + . 證明：當b>a時 ∵ m ( )

AP b a

= m n −

+ ∴P 點坐標 m ( ) an bm

a b a

m n m n

= + − = +

+ +

同理, b<a時亦成立

---

9

《分點公式》

範例 6

(1)設 (5),A B( 4)− , P 在 A, B 之間, 且AP BP: =1: 2, 則P 點坐標為何？

(2)設 (6),A B( 4)− , 若AP BP: =1: 4, 則P 坐標為何？

解：(1) 1 2 4 10 2 1 3 2

B A

x ⋅ + ⋅ − +

= = =

+

(2) 若 A 在 B 與 P 之間

∵AP BP: =1: 4 ⇒ AB AP: =3 :1

∴ 1 3 4 3 28

3 1 6 4 3

B P x

A= ⋅ + ⋅ ⇒ = − + ⇒ x= +

若 P 在 A, B 之間 1 ( 4) 4 6 20

4 1 5 4 x= ⋅ − + ⋅ = =

+

故 P 之坐標為28 3 或 4 演練 6

設數線上兩點 ( 3),A − B(7), (1)求AB 之長.

(2)求AB 的中點坐標.

(2)若AP BP: =5 : 2, 求P 點坐標.

解：(1)AB= − − =7 ( 3) 10 (2) 3 7

2 2

− + =

(3) 若 P 在 AB 上 ∵ 5 50

7 10 7 AP= × =

∴ 50 29 3 7 7 x= − + =

若 B 在 AP 上 ∵AB BP: =3 : 2 ∴ 2 20

3 10 3 BP= × = ∴ 20 41

7 3 3 x= + =

故 P 之坐標為29 7 或41

3

題型一〈整數的離散性〉

範例 7

若 x, y, z 為整數, 且 3 |x+ +1| 4 |y− + − = , 則數組 ( , , )1| |z 2 | 2 x y z 有幾組解？

解：∵|x+1| , |y−1| , |z− 皆為非負整數 2 |

∴

| 1| 0

| 1| 0 1, 1, 0

| 2 | 2 x

y x y z

z

⎧ + =

⎪ − = ⇒ = − = =

⎨⎪ − =

⎩

或 4

∴ ( ,x y z, )= −( 1, 1, 0)或 ( 1, 1, 4)− 共 2 組

11

類題

(1)設 ,a b c, ∈ Z , 若|a− +2 | 2 |b− +3 | 3 |c+ = , 求6 | 1 a b c+ + 之值 = 0或−2 . (2)設 ,x y∈ Z , 且(x−1)²+|y+ = , 則數對 ( , )3 | 3 x y 有 6 組解.

解：(1)依題意得

| 2 | 1

| 3 | 0

| 6 | 0 a

b c

− =

⎧⎪ − =

⎨⎪ + =

⎩

3

⇒ a= 或 1, b=3, c= − 6 ⇒ + + = 或 2a b c 0 −

(2)

( 1)2 0

| 3 | 3 x

y

⎧ − =

⎨ + =

⎩ 或

( 1)2 1

| 3 | 2 x

y

⎧ − =

⎨ + =

⎩

1

0 6

x y

⎧ =

⇒ ⎨⎩ = 或 − 或 0 2

1 5

x y

⎧ =

⎨ = − −

⎩

或 或

( ,⇒ x y)=(1, 0), (1, −6), (0, −1), (0, −5), (2, − 及 (2, 5)1) − 共 6 組

題型二〈反證法〉

先假設欲證的結論是否定的, 再推得與題目所給的條件互相矛盾, 則可證明出結論是正確的, 此種證法稱為反證法.

範例 8

(1)試證：設n 為整數, 且n 為 3 的倍數, 則 n 亦為 3 的倍數. ² (2)利用(1)的結果證明 3 為無理數.

解：(1) 設 n 不是 3 的倍數

則n=3k+1或3k+2（k∈ Z ）

則n² =(3k+1)² =9k²+6k+ =1 3(3k²+2 ) 1k + 不為 3 的倍數

或n² =(3k+2)² =9k²+12k+ =4 3(3k²+4k+ + 亦不為 3 的倍數 1) 1 此與題意相矛盾, 故 n 為 3 的倍數

(2) 設 3 為有理數, 令 3 q, 0

p p

= ≠ , 其中 ,p q∈ Z , 且 ( , ) 1p q = ∵ 3 q 3 ² 3 ² 3 | ² 3 |

q p q p q q

= p ⇒ = ⇒ = ⇒ ⇒ ""1

令q=3 ,k k∈ Z , 則9k² =3p² ⇒ 3k² = p² ⇒ 3 | p² ⇒ 3 |p""2 由c, d知 p 與 q 不互質, 矛盾, 故 3 為無理數

類題

(1)設n 為正整數, 試證：若n 為 2 的倍數, 則 n 必為 2 的倍數. ² (2)利用(1)的結果證明 2是無理數.

(3)利用(2)的結果證明³5+ 2是無理數.

解：(1)若 n 是奇數, 令n=2k+1, k∈ Z ,

則n² =(2k+1)² =2(2k²+2 ) 1k + 是奇數, 此與n 是偶數不合, 故 n 是偶數 ² (2)若 2是有理數, 則存在二個互質的整數 m 與 n, 使得 2 n , 0

m m

= ≠ , 所以n² =2m²""1

故n 是偶數, 由(1)得 n 是偶數 ² 令n=2 ,k k∈ Z , 代入c得m² =2k²

所以m 是偶數² ⇒ m 是偶數, 故得 m 與 n 均為偶數 此與 m, n 互質不合, 故 2是無理數

(3)若³5+ 2是有理數

令³ 5+ 2= , 則a (a− 2)³ =( 5)^{3 3}, 即a³−3 2a²+6a−2 2 =5 故

3 2

6 5

2 3 2

a a a + −

= + 是有理數（因 a 是有理數）

此與 2是無理數不合, 故³ 5+ 2是無理數

題型三〈雙重根號的化簡〉

1. a b+ +2 ab = ( a+ b)² = a+ b（a≥0, b≥ ）. 0 2. a b+ −2 ab = ( a− b)² = a− b（a≥ ≥b 0）.

範例 9

設 11− 72 之整數部分為 x, 小數部分為 y, 則 1

x y+ =y

− ？

解：∵ 11− 72 = 11 2 18− = ( 9− 2)² = 9− 2 = −3 2= −3 1.414"=1.5"

13

顯然x=1 ∴y= −(3 2) 1− = −2 2

故 1 1 1 2 1

(2 2) 2 2 2 2 3

1 (2 2) 2 1 2 1 x y y

+ = + − = + − = + + − =

− − − − −

類題

設 11 6 2+ = + , 其中a b a∈ N , 0≤ <b 1, 則 1 1 2 a b+ b =

+ −

6 7 . 解： 11 6 2+ = 11 2 18+ = ( 9+ 2)² = +3 2 =4.414"

∴a=4, b= +(3 2) 4− = 2 1−

故所求 1 1 1 1 3 2 3 2 6

9 2 7

4 ( 2 1) 2 ( 2 1) 3 2 3 2

− + +

= + = + = =

+ − − − + − −

一､ | | 2 2 a b a b

b ≤ ≤ ⇔ x a x − + ≤ − ； | | 2 2 a b a b x ≥ a 或 x ≤ ⇔ b x − + ≥ −

研究一

(1)設|x−

α

|≤ 的解為

β

b≤ ≤x a, 求證： ,

2 2

a b a b

α

= ⁺

β

= ⁻ .

(2)設a≥b, 若|x−

α

|≥ 之解為 x a

β

≥ 或x≤b, 求證： ,

2 2

a b a b

α

= ⁺

β

= ⁻ . (3)設 ,a b∈ R , 若|ax+ ≤ 之解為1| b − ≤ ≤2 x 6, 求 a, b 之值.

(4)若|ax+ ≥ 之解為5 | b x≥6或x≤0, 求 a, b 之值.

解：(1)|x−

α

|≤

β

⇔ − ≤ − ≤

β

x

α β

⇔

α β

− ≤ ≤ + x

α β

∴ ,

2 2

b a b a b

a

α β α β

α β

⎧ − = ⇒ = + = −

⎨ + =

⎩

(2)|x−

α

|≥

β

⇔ − ≥ 或 xx

α β

− ≤ −

α β

⇔ x≥ + 或 x

α β

≤ −

α β

∴ ,

2 2

a a b a b

b

α β α β

α β

⎧ + = ⇒ = + = −

⎨ − =

⎩

(3) 6 ( 2) 6 ( 2)

2 6 | | | 2 | 4

2 2

x x + − − − x

− ≤ ≤ ⇔ − ≤ ⇔ − ≤

1 1

| 2( 1) | 4 | 1| 2

2 x 2x

⇔ − − + ≤ ⇔ − + ≤

∴ 1

, 2

a= −2 b=

(4)x≥6或 6 0 6 0

0 | |

2 2

x≤ ⇔ x− + ≥ −

3 5

| 3 | 3 | ( 5) | 3 5 3

x − − x

⇔ − ≥ ⇔ + ≥

5

| 5 | 5 3x

⇔ − + ≥ ∴ 5

, 5 a= −3 b=

15

二､重要絕對值性質：| | | | | a + b ≥ ± a b |

研究二

(1)設 ,a b∈ R , 求證：| | | | |a + b ≥ a b+ , 等號成立之條件為何？ | (2)求證：| |a +| | |b ≥ a b− , 此時等號成立之條件為何？ |

(3)求|x+ +1| |x− 之最小值（3 | x∈ R）, 此時 x 範圍為何？

(4)若方程式 |x+ +1| |x− = （3 | k x∈ R）無實數解, 則 k 之範圍為何？

解：(1)∵(| |a +| | )b ²−|a b+ |²

=| |a ²+2 |ab|+| |b ²− +(a b)² =a²+2 |ab|+b²−a²−2ab b− ² 2(|ab| ab) 0

= − ≥

∴(| |a +| | )b ² ≥|a b+ |², 故| |a +| | |b ≥ a b+ |

而等號成立時 ⇔ |ab|−ab= ⇔0 |ab|=ab ⇔ ab≥ （即 a, b 同號） 0 (2)∵(| |a +| | )b ²−|a b− |²

2 2 2 2 2 2 2

| |a 2 |ab| | |b (a b) a 2 |ab| b a 2ab b

= + + − − = + + − + −

2(|ab| ab) 0

= + ≥

∴(| |a +| | )b ² ≥|a b− |², 故| | | | |a + b ≥ a b− |

而等號成立時 ⇔ |ab|+ab= ⇔0 |ab|= −ab ⇔ ab≤ （即 a, b 異號） 0 (3) ∵|x+ +1| |x− =3 | |x+ + − ≥1| | 3 x| | (x+ + −1) (3 x) |= 4

∴最小值為 4, 此時 (x+1)(3−x)≥ ⇔0 (x+1)(x− ≤ ⇔ − ≤ ≤ 3) 0 1 x 3 (4) ∵|x+ +1| |x− 之最小值為 4 3 |

∴當|x+ +1| |x− < 時, x 不存在 3 | 4 即k<4時方程式無解

一､基本題

1. 下列何者為有理數？

(1) 3 (2) 25 (3)π (4)0.35 (5)6

解：(2)∵ 5

25 5

= = 1 (4)∵ 35

0.35=99 (5)∵ 6

6= 1

2. 設 a, b 為有理數, c, d 為無理數, 且a≠0, 判斷下列何者為正確？

(1) a c+ 為無理數 (2)c+d為無理數 (3)ac為無理數 (4)cd為無理數 (5)b

a為有理數

解：(2)錯. 當c= 2, d = − 2時, c+ =d 0為有理數 (4)錯. 當c= 2, d = 2時, cd=2為有理數

3. a, b 均為實數, 下列敘述何者正確？

(1)若a b a b+ , − 均為有理數, 則 a, b 均為有理數 (2)若a b a b× , ÷ 均為有理數, 則 a, b 均為有理數

(3)若 a, b 為無理數, 則a b a b+ , − 至少有一個為無理數 (4)若a 與³ a 都是有理數, 則 a 必為有理數 ⁹

(5)若a b+ 2 =0, 則a= =b 0

解：(2)錯. a= 2, b= 2, 則a b a b× , ÷ 均為有理數, 但 a, b 均為無理數 (4)錯. a= ³ 2, 則a³ =2, a⁹ = 為有理數, 但 a 為無理數 8

(5)錯. 當a= − 2, b= 時, 1 a b+ 2亦為 0

4. 設 ,a b c d, , ∈ R , 若a<b c, < , 則下列敘述何者正確？ d

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(1)a c− < −b d

(2)ac<bd (3)bd <ac (4)ad <bc (5)a+ < +c b d

解：(1)若a= −1, b=0, c= −3, d = − , 2 則a<b c, < d

a c− = − − − = , 1 ( 3) 2 b d− = − − = 0 ( 2) 2 ∴a− < −c b d不成立

(2)同(1). ac= − ⋅ − =( 1) ( 3) 3, bd = ⋅ − = 0 ( 2) 0 ∴ac<bd不成立

(3)若a= −1, b=0, c=1, d = , 2 則a<b c, < d

bd = ⋅ =0 2 0, ac= − ⋅ = − ( 1) 1 1 ∴bd<ac不成立

(4)同(1). ad = − ⋅ − =( 1) ( 2) 2, bc= ⋅ − = 0 ( 3) 0 ∴ad <bc不成立

(5)若a<b c, < , 則d a+ < +c b d恆成立

5. 比較a= 6+ 3, b= 7+ 2, c= 5+ 4之大小關係為 c> >a b . 解：∵a² = +9 2 18, b² = +9 2 14, c² = +9 2 20

∴c² >a² >b² ⇒ > > c a b （∵a, b, c 均為正數）

6. 設 ,a b∈ R , 若|x− ≤ 之解為1| b − ≤ ≤1 x 3, 則b= 2 . 解：|x− ≤ ⇒ − + ≤ ≤ + 1| b b 1 x b 1

∴b+ = ⇒ = 1 3 b 2

7. 設a= 41 12 5− , b 為 a 的純小數部分, 則 1 4 a

+ 之值為b 9 4 . 解：a= 41 12 5− = 41 2 180− = (6− 5)² = −6 5≒3.7…

∴b= −(6 5) 3− = −3 5

故 1 6 5 1 6 5 3 5 9

4 4 3 5 4 4 4

a b

− − +

+ = + = + =

−

8. 設 ,x y∈ R 且 1− ≤ ≤x 2, 2≤ ≤ , 若y 3 x

y 之最大值 M, 最小值 m, 則數對 (M, m)= 1 (1, )

−2 . 解：當x=2, y= 時, 2 2

2 1

M = = ； 當x= −1, y= 時, 2 1

m= − 2

∴ 1

( , ) (1, ) M m = −2

二､挑戰題

9. 設a∈ Z, 則滿足 2< −| 3 2 |a <50的 a 有 48 個.

解：原式

5 1

| 3 2 | 2 3 2 2 3 2 2 2 2

| 3 2 | 50 50 3 2 50 47 53

2 2

a a

a a a

a a

a

⎧ > <

− > − > − < − ⎪

⎧ ⎧ ⎪

⇒ ⎨⎩ − < ⇒ ⎨⎩− < − < ⇒ ⎨⎪− < <

⎪⎩

或 或

5 53 47 1

2 a 2 2 a 2

⇒ < < 或− < <

又a∈ Z

∴a=3, 4, 5, ", 26或a= −23, −22, ", 0 ∴共有 48 個

10. 設正實數 a 的小數部分為 b, 已知a²+b² =38, 則 a 之整數部分為 6 , a 之值為 3+ 10 . 解：∵0≤ <b 1 ∴0≤b²< 1

即0≤38−a² < ⇒1 37<a² ≤38 ⇒ 37 < ≤a 38 ∴a 的整數部分為 6

19

∴a= +6 b, 而a²+b² =38

∴b= − ±3 10, 取b= − +3 10（∵0≤ <b 1） ∴a= +3 10

1. 若實數 a, b, c 滿足abc>0, ab bc ca+ + <0, a b c+ + >0, a> > , 則下列選項何者為真？ b c (1)a>0 (2)b>0 (3)c>0 (4)| | | |a > b (5)a² > c² 【91 學測】

解：abc> ⇔ a, b, c 為三正數或一正數二負數 0

ca>0, b>0, c> ⇒0 ab>0, bc>0, ca> ⇒0 ab bc ca+ + > 不合 0 da> > ⇒b c a>0, b<0, c< 0

由 | | | | ^{2 2}

0 | | | |

| | | | a b

a b c a b c a c

a c

⎧ >

+ + > ⇒ > + ⇒ ⎨⎩ > ⇒ >

故選(1)(4)(5)

2. 設實數 a, b 滿足 0< <a 1, 0< < , 則下列選項哪些必定為真？ b 1 (1)0< + <a b 2 (2)0<ab<1 (3)− < − <1 b a 0 (4) 0 a 1

< < (5)|b a b− < 【91 學測補考】 | 1 解： 0< <a 1, 0< < b 1

(3)錯. ∵ 1− < − < ⇒ − < − < a 0 1 b a 1 (4)錯. ∵ 1

1 0 a

b b

< ⇒ < （不一定 1< ）

3. 在職棒比賽中 ERA 值是了解一個投手表現的重要統計數值. 其計算方式如下：

若此投手共主投 n 局, 其總責任失分為

Ｅ

, 則其 ERA 值為E 9

n× . 有一位投手在之前的比賽中 共主投了 90 局, 且這 90 局中他的 ERA 值為 3.2. 在最新的一場比賽中此投手主投 6 局無責任 失分, 則打完這一場比賽後, 此投手的 ERA 值成為

(1)2.9 (2)3.0 (3)3.1 (4)3.2 (5)3.3 【97 學測】

解：∵ 9 2 32

90

E × = ⇒ E=

∴所求 32

9 3

=96× = , 故選(2)