拉氏轉換

電路學

第八章

拉普拉氏轉換

拉氏轉換

z 交流電路的分析基本上可分為時域分析及頻域分析兩 種。在時域分析裡，分析電路的方程式包含有時變函數 的積分、導數或微積方程式，欲求解這些方程式往往需 要經過煩雜冗長的微積分運算。要避免此一冗長運算最 簡單的方法，就是將時域的微分方程式轉換成以相量來 表示的頻域方程式，然後以簡單的代數方法來求解，再 將其結果轉換成原本的時域型態。將時域與頻域相互轉 換所使用的數學形式稱為拉普拉氏轉換，簡稱拉氏轉 換。拉氏轉換不單只能簡化正弦波的運算，其它非正弦 訊號波形也能處理，且其分析方法及流程均較時域型態 來得簡單。

拉氏轉換的定義

若某一時變函數f(t)在t>0時為分段連續，則其拉氏轉換可定義 為：

£

其中£表示拉氏轉換的運算子，s為複頻率，它可表示為：

s＝σ＋jω

F(s)表示以複頻率來表示的拉氏轉換結果。

使f(t)可進行拉氏轉換的充分條件為：

< ∞ ， σ為正實數

也就是指拉氏轉換式的積分對某一範圍的s值具有收斂性，亦 即指若f(t)e^－st在0到∞區間為絕對可積分，則f(t)的拉氏轉換必 然存在。若f(t)為無界限，亦即對某些t值或t＝∞時，f(t)趨近 於無限大，則其拉氏轉換可能存在，但也可能不存在。

) s ( F dt

e ) t ( f )]

t ( f

[ = ∫

=

dt e

) t (

f

0

σ

∞ −

∫

拉氏轉換的定義

拉氏轉換只考慮時變函數f(t)在t>0的部分，而不考慮 t<0的情形，因為t<0的部分在電路中己經以初始值來 表示。若f(t)在t＝0時不連續，則拉氏轉換的積分下限 可用t＝0

或t＝0

來替代，其拉氏轉換可定義為：

£ 或

£

將時變函數f(t)轉變為頻率函數F(s)的步驟稱為拉氏轉 換，相反的將頻率函數F(s) 轉變為時變函數f(t)的步驟 稱為反拉氏轉換，以£

表示其運算子，通常它表示 為：

f(t)＝£

[F(s)]

) s ( F dt

e ) t ( f )]

t ( f

[ = ∫

=

) s ( F dt

e ) t ( f )]

t ( f

[ = ∫

=

基本函數的拉氏轉換

單位步階函數，u(t) 單位步階函數u(t)的定義為：

u(t)的拉氏轉換為：

基本上u(t)的拉氏轉換與f(t)＝1的拉氏轉換是相同的，因為f(t)＝1與t>0時 的u(t)是完全相同。

若有一步階函數其大小不是單位值，而是某一a值(a可為正實數或負實 數)，則它的拉氏轉換為

£[au(t)]＝a£[u(t)]＝

⎩⎨

⎧

〉

= 〈

0 t 1

0 t ) 0

t ( u

s ) 1 1 0 s ( ) 1

e e

lim s(

1

s ) e

st ( d s e

dt 1 e 1 )]

t ( u [

0 s st

t

0 st

0 st 0

st

=

−

−

=

−

−

=

∫ − =−

= −

= ∫ ×

×

−

−

∞

→

− ∞

∞ −

∞ −

s a

基本函數的拉氏轉換

指數函數

指數函數的通式為e

或e

(a為正實數)，由基本定 義可知其拉氏轉換為：

£ s a

e 1 ) a s ( dt 1

e dt

e e ]

e

[

t ) a s ( 0

t ) a s ( st

0

at at

m m

m

m

=

= −

= ∫

= ∫

±

基本函數的拉氏轉換

正弦函數

求證正弦函數的方法有兩種，其中之一是利用積分公式，而 另一種是利用尤拉公式。首先探討利用積分公式的方法。

對正弦sinωt而言，依定義可知：

£ 由積分公式可知：

將此一關係代回定義可得

£[sinωt]＝

dt e

) t (sin ]

t

[sin

∫

^ω

= ω

] bt cos b bt sin a b [ a

btdt e sin

e

at

at

−

= +

∫

2 0 2

2 2

t ) s (

] s t cos t

sin ) s ) [(

s (

e

ω +

= ω ω

ω

− ω ω −

+

−

∞

−

基本函數的拉氏轉換

對餘弦cosωt而言，

£[cosωt]＝

由積分公式可知：

將此一關係代回定義可得

£[cosωt]＝

dt e

) t

0

(cos

∫

ω

] bt sin b bt

cos a

b [ a

btdt e cos

e

at

at

+

= +

∫

2 0 2

2 2

t ) s (

s ] s

t sin t

cos )

s ) [(

s (

e

ω

= + ω

ω + ω ω −

+

−

∞

−

基本函數的拉氏轉換

尤拉公式是表示正弦函數與指數函數間的關係，它可以表示為：

e^jθ＝cosθ＋jsinθ e^－jθ＝cosθ－jsinθ 或相反的

因此，正弦函數的拉氏轉換可以表示為：

£[sinωt]＝£ ＝{£[e^jωt]－£[e^－jωt]}

對餘弦cosωt而言，它可以表示為：

£[cosωt]＝£ ＝{£[^ejωt]＋£[e^－jωt]}

2 e cos e

j jθ + − θ

=

θ 2j

e sin e

j jθ − − θ

= θ

⎥ ⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

−

j 2

e e

2 2

2

2

2 (j ) ] s

s [

j 2 j

2 ] 1 j s

1 j

s [ 1 j 2

1

ω +

= ω ω

−

= ω ω

− + ω

= −

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ^ω + ^{− ω} 2

e e^{j t j t}

2

s2

s ω

= +

基本函數的拉氏轉換

雙曲線函數

雙曲線函數與指數函數具有以下的關係

由此可知雙曲線函數的拉氏轉換為：

£[sinhωt]＝£

£[coshωt]＝£

2 e cosh e

θ

−

θ +

=

θ 2

e sinh e

θ

−

θ −

= θ

2

s

s ] 1 s

[ 1 2 1

ω

−

= ω ω

− + ω

= −

⎥⎦ ⎤

⎢⎣ ⎡

−

2

e e

⎥⎦ ⎤

⎢⎣ ⎡

+

2

e e

2

s

] s s

1 s

[ 1 2 1

ω

= − ω + +

ω

= −

基本函數的拉氏轉換

多項式函數 多項式函數[tⁿ]的拉氏轉換為：

£[tⁿ]＝

令st＝u，將s移項得t＝[u/s]，微分之得dt＝[du/ds]，將這些關係代入得：

£[tⁿ]＝

＝ 由珈瑪函數的定義：

可知多項式函數的拉氏轉換可寫為：

£[tn]＝ (其中n為正整數) dt

e ) t

0 (

st

∫^∞ n ⁻

du e s u

1 s

e du s)

(u ^{n u}

0 n 1 0

u

n ∞ −

+

∞ −

∫

∫ ⁼

du e s u

du 1 e s u

1 _u

0

1 ) 1 n ( 1

0 n

u n 1

n

∞ + − − +

∞ −

+ ∫ = ∫

dt e t )

n

( = ∫₀ ^{n 1 t} Γ ^{∞ − −}

1

sn

) 1 n (

+

+ Γ

例8-1

試求下列各函數的拉氏轉換：

(a)f(t)＝2，(b)f(t)＝e^3t，(c)f(t)＝sin2t，(d)f(t)＝cosh5t (e)f(t)＝t³

[解]：

(a)F(s)＝£[2]＝ (b)F(s)＝£[e^3t]＝

(c)F(s)＝£[sin2t]＝

(d)F(s)＝£[cosh5t]＝ (e)F(s)＝£[t³]＝

s 2

3 s

1

− 4

s 2 2

s 2

2 2

2

= +

+

25 s

s 5

s s

2 2

2 = −

−

_s ^{3 =}

^!

_s ⁶

例8-2

試求f(t)＝3+5e^-7t+2t4的拉氏轉換。

[解]：F(s)＝£[3+5e^-7t+2t4]＝£[3]＋£[5e^-7t]+£[2t4]

＝

＝

s )

! 2 4

( 7)

s 5 1 ( s)

3 1

( + × ₄₊₁

× + +

×

s5

48 7

s 5 s

3 +

+ +

例8-3

試求f(t)＝cos(3t+θ)的拉氏轉換。

[解]：F(s)＝£[cos(3t+θ)]

＝£[cos3tcosθ－sin3tsinθ]

＝cosθ£[cos3t]－sinθ£[sin3t]

＝

＝

2 2

2

2

s 3

sin 3 3

s cos s

θ + + −

θ

) sin 3 cos

s 9 ( s

1

2

θ − θ

+

例8-4

設 ，求f(t)。

[解]：f(t)＝£^－1[F(s)]＝£^－1[ ]

＝£^－1[

7 s

) 6 s (

F

= +

7 s

6

2

+

t 7 7 sin

] 6 ] ) 7 ( s

[

7 7

6

2

2

=

× +

例8-5

設 ，求f(t)。

[解]：f(t)＝£^－1[F(s)]＝£^－1[ ]－£^－1[ ]

＝6£^－1[ ]－3£^－1[ ]

＝6e^-2t－3cos t

15 s

s 3 2

s ) 6 s (

F

− +

= +

2 s

6

+ ^{s 15}

s 3

2

+

2 s

1

+ s

( 15 )

s

+

15

例8-6

設 ，求f(t)。

[解]：f(t)＝£－1[F(s)]＝£－1[ ]

＝

s

) 5 s (

F =

s

5

2 2

1 3

2 t t 5

! 2

5 )

3 (

5 t = =

× Γ

拉氏轉換的基本性質

拉氏轉換的基本性質有線性組合、移位、微分及積分等四類。

線性定理：

設f₁(t)及f₂(t)為時變函數，並均存在有拉氏轉換F₁(s)及F₂(s)，

若k₁及k₂為任意常數，則

£[k₁f₁(t)±k₂f₂(t)]＝k₁£[f₁(t)]±k₂£[f₂(t)]＝k₁F₁(s)±k₂F₂(s) 若k₁＝k₂＝1，則它可寫為：

£[f₁(t)±f₂(t)]＝£[f₁(t)]±£[f₂(t)]＝F₁(s)±F₂(s)

為拉氏轉換的重疊性，也就是指時變函數之和的拉氏轉換等於 各函數之拉氏轉換的和。

若k₂＝0，則：£[k₁f₁(t)]＝k₁£[f₁(t)]

為拉氏轉換的齊次性，也就是指某一常數與時變函數之乘積的 拉氏轉換，等於該常數與時變函數之拉氏轉換相乘

拉氏轉換的基本性質

坐標移位分為s軸上之移位也就是頻率位移及t軸上之移位也就 是時間位移兩種。首先考慮s軸上之移位。設£[f(t)]＝F(s)，且

£[f(t)]_s→s－a＝F(s－a)，則

£[e^atf(t)]＝£[f(t)]_s→s－a＝F(s－a) 其中a為常數。

所表示的是當函數f(t)乘上e^at後，其拉氏轉換F(s－a)比原來f(t) 的拉氏轉換F(s)在s坐標上向右平移了a距離，如圖8-1所示。或 是指某函數f(t)乘以指數函數e^at後，其拉氏轉換等於直接對f(t) 取拉氏轉換再以s－a來替代s。

同理可得

£[e^－atf(t)]＝£[f(t)]_s→s+a＝F(s＋a)

反之，若£^－1[F(s)]＝f(t)，則£^－1[F(s±a)]＝f(t)

拉氏轉換的基本性質

圖8-1 s軸上之平移

例8-7

試求f(t)＝e^－2tcos6t的拉氏轉換。

[解]：

因£[cos6t]＝

故£[e^－2tcos6t]＝

36 s

s 6

s s

2 2

2

= +

+

36 )

2 s (

2 s

2

+ +

+

例8-8

設 ，求f(t)。

[解]：

f(t)＝£^－1[F(s)]＝2e^-2tcos3t＋(5/3)e^-2tsin3t

＝e^-2t[2cos3t＋(5/3)sin3t]

13 s

4 s

9 s ) 2

s (

F

+ +

= +

⎥ ⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

+ + +

⎥ ⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

+ +

= +

+ +

+

= + +

+

= +

3 2

2 2

2 2

2

3 )

2 s (

3 3

5 3

) 2 s (

2 2 s

3 )

2 s (

5 ) 2 s ( 2 13

s 4 s

9 s ) 2

s

(

F

例8-9

試求f(t)＝e^－attⁿ的拉氏轉換。

[解]：

已知£[tⁿ]＝

£[e^－attⁿ]＝£[tⁿ]_s→s－a＝

1

s

) 1 n (

+

+ Γ

1 a n

s 1 s

n

( s a )

) 1 n ( s

) 1 n (

− +

+ →

−

+

= Γ +

Γ

拉氏轉換的基本性質

除了s軸移位以外，時間軸t也會產生移位。若某一函數f(t) 以t－a(a>0)來替代t時，則f(t－a)表示f(t)訊號向右平移a單位 之距離，如圖8-2所示。

圖8-2 t軸上之平移

拉氏轉換的基本性質

設£[f(t)]＝F(s)，則

£[f(t－a)u(t－a)]＝e^－as£[f(t)]＝e^－asF(s) 及 £[f(t)u(t－a)]＝e^－as£[f(t+a)]

其結果如圖8-3所示。它指出若一拉氏轉換式中含有e^－as項時，則可將它 視為時變函數的位移運算子。

圖8-3 t軸平移的結果

例8-10

試求圖8-4所示移位後正弦波的拉氏轉換。

圖8-4 例8-10的圖

例8-10(續)

[解]：由圖8-10得知

或f(t)＝sin(t－π)u(t－π) 因此

£[f(t)]＝e^－πs£[sint]＝

⎩ ⎨

⎧

π

〈

π

〉 π

= −

t 0

t )

t ) sin(

t ( f

1 s

e 1

s

e 1

s

2 s

= + +

π

− π

−

例8-11

試求圖8-5所示脈波的拉氏轉換。

圖8-5 例8-11的圖 [解]：圖8-5的波形基本上可分解如圖8-6所示。

圖8-6 圖8-5的波形分解

例8-11(續)

由圖8-6的結果可知：f(t)＝u(t－a)－u(t－b) 因此

£[f(t)]＝e^－as£[1]－e^－bs£[1]＝

若a→0及b→a，則可得到如圖8-7所示的正規脈波，此時所對應的拉氏轉 換為

£[f(t)]＝

圖8-7 正規脈波

) e e

s( ) 1 s e 1

( s)

e 1

( ^−as × − ^−bs × = ^−as − ^−bs

) e 1 s(

1 − −as

拉氏轉換的基本性質

前述為坐標位移的情形，若坐標沒有位移，而只 是標度改變，則其拉氏轉換為：

設£[f(t)]＝F(s)，則

£[f(at)]＝ ⁾ (s>0) a

( s

a F

1

例8-12

已知£[f(t)]＝ ，求£[f(2t)]？

[解]

£[f(2t)]＝

) s 2 . 0 1

( s

1 +

) s 1 . 0 1

( s

1 a )]

( s 2 . 0 1

2 )[

( s

1 2

1

= + +

×

拉氏轉換的基本性質

時變函數可作拉氏轉換，相同的其微分及積分也可以作拉氏轉換處理。

若某一時變函數f(t)，其拉氏轉換為£[f(t)]＝F(s)，它在t＝0時的初始值f(0) 為有限值時，則它的微分之拉氏轉換可以表示為：

£[f’(t)]＝sF(s)－f(0)

所示為f(t)的一次微分或一階導數的拉氏轉換。對於其二階、三階或更高 階的導數，其拉氏轉換可重覆利用上式來求得之。例如f(t)二階導數的拉 氏轉換為：

£[f’’(t)]＝s£[f’(t)]－f’(0) 將一階導數的拉氏轉換式的關係代入可得：

£[f’’(t)]＝s[sF(s)－f(0)]－f’(0)＝s²F(s)－sf(0)－f’(0) 同理，f(t)三階導數的拉氏轉換可求得為：

£[f’’’(t)]＝s³F(s)－s²f(0)－sf’(0)－f’’(0) 依此類推，f(t)n階導數的拉氏轉換可表示為：

£[fⁿ(t)]＝sⁿF(s)－s^n－1f(0)－s^n－2f’(0)－s^n－3f’’(0)－⋅⋅⋅⋅⋅⋅

－s²f^(n－3)(0)－sf^(n－2)(0)－f^(n－1)(0)

其中f^(n－1)(0)表示f(t)之(n－1)階導數的初始值。

拉氏轉換的基本性質

在上式中假設f(t)之導數在t＝0時的初始值必須存 在。若某一導數其初始值不連續，則在上式中的 初始值f(0)必須以f(0

)或f(0

)的初始值來取代 之，也就是指宅必須改寫為：

£[f

(t)]＝s

F(s)－s

f(0

)－s

f’(0

)－s

f’’(0

)

－⋅⋅⋅⋅⋅⋅－s

f

(0

)－sf

(0

)－f

(0

) 或

£[f

(t)]＝s

F(s)－s

f(0

)－s

f’(0

)－s

f’’(0

)

－⋅⋅⋅⋅⋅⋅－s

f

(0

)－sf

(0

)－f

(0

)

例8-13

設f(t)＝tsinωt，並設f(0)＝0，f’(0)＝0，求其拉氏轉換。

[解]：f(t)＝tsinωt ， f’(t)＝sinωt＋ωtcosωt，

f’’(t)＝2ωcosωt－ω2tsinωt ，f(0)＝0，f’(0)＝0 將上述各式代入£[f’’(t)]＝s²F(s)－sf(0)－f’(0)，得

£[2ωcosωt－ω²tsinωt]＝s²£[tsinωt]－s×0－0 2ω× £[tsinωt]＝s²£[tsinωt]

(s²＋ω²)£[tsinωt]＝ £[tsinωt]＝

2 2

s

s − ω ω

+

2

s2

s 2

ω +

ω

2 2

2 )

s (

s 2

ω +

ω

例8-14

單位脈衝函數δ(t)為單位步階函數u(t)的導數，試求£[δ(t)]。

[解]：由單位脈衝函數δ(t)的定義可知：

因u(t)在t＝0時不連續，故必須以u(t)在t＝0^＋或t＝0^－時的初 始值來計算δ(t)的拉氏轉換。若考慮t＝0^＋的初始值，則

£[δ(t)]＝£ =s£[u(t)]－u(0^＋)＝s －1＝0

)]

t ( u dt [ ) d

t ( = δ

)]

t ( dt u

[ d

)

s

( 1

例8-14(續)

若考慮t＝0^－的初始值，則

£[δ(t)]＝£ ＝s£[u(t)]－u(0^－)＝s －0＝1

對電路分析而言，因電感器的電流或電容器的電壓在t＝0

－的初始值大多為零，而在t＝0^＋的初始值不一定為零。但 為了能以拉氏轉換式來表示單位脈衝函數，因此以t＝0^－ 的情況來考量。所以對單位脈衝函數而言，拉氏轉換一般 令其為：

£[δ(t)]＝1 )]

t ( dt u

[ d

₎

s

( 1

拉氏轉換的基本性質

除了導數可進行拉氏轉換外，時變函數的積分也可進行拉氏轉換。設f(t) 為能符合拉氏轉換所需條件之時變函數，則

£

由此可知時變函數f(t)之積分的拉氏轉換等於原函數f(t)的拉氏轉換除以s。

換言之，在拉氏轉換過程中積分運算子可視為相當於(1/s)。在上式的積分 下限為0，若此一下限不等於0時，即需修正為：

£ ＝£ ＋£

除了一次積分以外也可推廣至n重積分，

£

∫₀^t τ τ = s

) s ( ] F d ) ( f [

∫_a^tf(τ)dτ]

[ [_∫a⁰f(τ)dτ] [∫₀^tf(τ)dτ]

) s ( s F ] 1 dud d

d ) ( f [ ₀^t

0 0 n

∫ ∫^τ⋅ ⋅⋅ ⋅⋅∫^λ α α λ⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ τ =

例8-15

設 ，試求£[f(t)]。

[解]：因積分下限不為零，所以：

£[ ]＝ £[cosωt]＋

∫ ωτ τ

= _π^t_/ωcos d )

t ( f

∫_π^t_/ωcosωτdτ

s

1 [∫_π⁰_/ωcosωτdτ] s

1

2 2

2 2

0 2 /

2

s ) 1 0 0 s( 1 s

1

] ) t 1 sin

s( [1 s ]

s s

[1

ω

= +

− ω +

= +

ω ω ω +

× +

= _{π ω}

例8-16

設f(t)＝1＋3e^－3t，試求£[ ]。

[解]：因積分下限不為零，因此：

£[ ]＝£ ]

＝£[1＋3e^－3t]＋[

＝{£[1]＋£[3e^－3t]}＋

∫_a^tf(τ)dτ

∫_a^tf(τ)dτ [∫_a^t(1+3e^−3τ)dτ

] ) e 3 1 ( s[ 1 0

a

∫ + ⁻3^τ τ

0

a 3 ] 3e

[ 3 s

1 − τ

+ − τ

) a 1 e

s ( 1 ) 3 s ( s

3 s 4

] e a 1 s[ ] 1 ) 3 s ( s

s 3 ) 3 s [( s 1

)]

e a ( 1 s[ ] 1 3 s

3 s

[1 s 1

a 3 2

a 3 a 3

−

− + +

= +

+

−

− + +

+

= +

−

−

− + +

+

=

−

−

−

例8-17

可知單位斜坡函數r(t)＝tu(t)，試求此一單位斜坡函數的拉氏 轉換。

[解]：由單位斜坡函數的定義可知它實際上是單位步階函數 的積分，即：

因 故

£[r(t)]＝£[ ]＝ £[u(t)]＝

∫ τ τ

=

u ( ) d )

t ( r

0 d

) (

0

u =

∫

τ τ

∫₀^t u(τ)dτ

s 1

s

1

拉氏轉換的基本性質

除了時變函數可微分及積分外，頻率函數也可進行微分及 積分處理。當某一時變函數f(t)乘上t後，其拉氏轉換與f(t) 之拉氏轉換成微分關係，即

£[tf(t)]＝ £[f(t)]＝

此一關係可推導至n階導數，即 F⁽ⁿ⁾(s)＝(－1)ⁿ£[tnf(t)]

ds

− d F ( s )

ds

− d

例8-18

試求f(t)＝tsinωt之拉氏轉換？

[解]：

£[tsinωt]＝ £[sinωt]

ds

− d

2 2 2

2 2

2 2 2

1 2 2

2 2

) s

(

s )] 2

s ds ( ) d

s ( [

] ) s

ds [(

] d [ s

ds d

ω +

= ω ω

+

× ω

+

− ω

−

=

ω + ω

− ω =

+

− ω

=

−

−

例8-19

設n為正整數，試求f(t)＝tⁿe^at及f(t)＝tⁿ之拉氏轉換？

[解]：今以數學歸納法來求f(t)＝tⁿe^at的拉氏轉換，當n＝1時

£[te^at]＝ £[e^at]＝

當n＝2時

£[t²e^at]＝ £[te^at]＝

當n＝3時

£[t³e^at]＝ £[t²e^at]＝

依此類推，當n＝n時

£[tⁿe^at]＝

若令a＝0，即tⁿe^at＝tⁿ，因此

£[tⁿ]＝

ds

− d

)2

a s ( ] 1 ) a s ( [ 1 ds

d

= −

− − ds

− d

3

2 (s a)

] 2 ) a s ( [ 1 ds

d

= −

− − ds

− d _{3 4}

) a s ( ] 6 ) a s ( [ 2 ds

d

= −

− −

1

)n

a s (

! n

− + (s a)^{n 1}

! n

− + 1

sn

! n

+

拉氏轉換的基本性質

若£[f(t)]＝F(s)，且存在，則

£ 或

＝£^－1 或

£ £[f(t)]ds

∫ λ λ

=

F ( ) d t ]

) t ( [ f

t ) t (

f

∫

=

t ]

)

t

(

[ f

例8-20

試求£ 。

[解]：£ £[sinωλ]dλ＝

t ] t [ sin ω

∫

ω = ]

t t

[ sin ∫

_λ

₊ ^ω _ω

^{d λ}

= ω

− ω

= π ω

= λ

∞

−

s

s cot 2 tan

tan

s 1

拉氏轉換的基本性質

比較拉氏轉換的頻率積分和時間積分性質，發現兩 者具有相對關係。在頻率積分裡若時變函數內含有 (1/t)因子，則在拉氏轉換後，此因子變為運算子。

相對的，在時間積分若拉氏轉換式有(1/s)因子，則 可將之視為由時變函數的積分運算子而來。

同理，比較拉氏轉換的頻率微分和時間微分性質，

可發現兩者也俱有相對關係。在頻率微分裡若時變

函數內含有t因子，則在拉氏轉換後，此因子變為

(－d/ds)運算子。相對的，在時間微分裡若拉氏轉換

式有s因子，則可將之視為由時變函數的微分(d/dt)

運算子而來。

週期函數的拉氏轉換

週期函數常出現在電路分析 裡，如交流電路所用的正弦 波就是典型的週期函數。所 謂週期函數，是指它能滿足

f(t)＝f(t＋nT) 的條件，其中T為週期，n為 任意正整數(n＝1,2,3,⋅⋅⋅⋅)。

亦即指週期函數是每隔一週 期會重覆出現相同波形的函 數。

圖8-8 週期函數

週期函數的拉氏轉換

當f(t)是一個週期函數時，則它的拉氏轉換可以表 示為：

£[f(t)]＝

＝ £[f

(t)] (s>0)

其中f

(t)為f(t)在0至T之函數波形，亦即週期函數 的基本波形。

− ∫

−

−

T 0

st Ts

f ( t ) e dt e

1 1

e

1 1

−

例8-21

試求圖8-9方波的拉氏轉換。

圖8-9 例8-21的圖

例8-21(續)

[解]：由圖8-9可知此一方波的週期為2T，它的基本波形為 f₁(t)＝u(t)－2u(t－T)＋u(t－2T)

因此它的拉氏轉換為：

£[f(t)]＝ _2Ts £[f₁(t)]＝ £[u(t)－2u(t－T)＋u(t－2T)]

e 1

1

− − 1 e ^2Ts

1

− −

2 tanh Ts s

1 ) e 1 ( s

) e 1 ( ) e 1 )(

e 1 ( s

) e 1 (

) e 1 ( s

) e 1 ( s

e 1 s e 2 s 1 e

1 1

Ts Ts

Ts Ts

2 Ts

Ts 2

2 Ts Ts

2 Ts

Ts 2

+ =

= −

− +

= −

−

= −

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ − +

= −

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

例8-22

試求圖8-10全波整流f(t)＝的拉氏轉換。

圖8-10 例8-22的圖

[解]：由圖8-10可知此一全波整流的週期為(π/ω)，它的基本波形為 )]

t ( u ) t ( u [ t sin )

t ( f₁

ω

− π

− ω

=

例8-22(續)

因此它的拉氏轉換為：

£[f(t)]＝ £[f₁(t)]＝ £

－£

－£ [－sinωt]}

e s

1 1

ω

−π

− 1 e ^s

1

ω

−π

−

)]}

t ( u ) t ( u [ t

{sin ω

− π

− ω

s 2

s 2

s e { e

1

1

ω

−π

−

ω +

ω

−

=

ω + π ω

s 2

s 2

s e { e

1

1 ⁻_ω^π

ω

−π −

ω +

ω

−

=

s ) ( e

1 e ) 1

e s ( s

e 1

1

2 s 2

s

2 2

s 2

s 2

+ ω

ω

−

= + ω

+ + ω

ω +

ω

−

=

ω

−π ω

−π ω

−π

ω

−π

例8-23

試求圖8-11脈衝列的拉氏轉換。

圖8-11 例8-23的圖 [解]：由圖8-11可知脈衝列可表示為：

f(t)＝δ(t)＋δ(t－T)＋δ(t－2T)＋···

例8-23(續)

因此它的拉氏轉換為：

£[f(t)]＝1＋e^－Ts＋e^－2Ts＋···＝

若將它視為週期＝T的週期函數，可得

£[f(t)]＝ £[f₁(t)]＝ £[δ(t)]＝

e

1 1

−

e

1 1

−

1 e

1

−

1 e

1

−

部分分式法

拉氏轉換可將時變函數的微分方程電路問題，轉換成以頻率來作為變數 的代數方程式，然後以代數方法來求得其解，最後利用反拉氏轉換將它 轉換回時變型態的電路問題之解，整個流程如圖8-12所示。

圖8-12 以拉氏轉換求解電路問題的流程

部分分式法

基本上拉氏轉換F(s)能以有理函數來表示為：

多項式P(s)的根為F(s)的零點，因為當s等於這些根時F(s)＝0。而Q(s)的根 為F(s)的極點，因為當s等於這些根時F(s)＝∞。

如果F(s)為s的有理函數，則n>m，此時F(s)稱為真分式。若n<m，F(s)稱為 假分式。對假分式而言，F(s)可分解成為一多項式及一真分式之和，即

其中[P₁(s)/Q(s)]為真分式。當F(s)具有上式的型態時，其解含有兩部分，

其一為一多項[c_m－ns_m－n＋···＋c₂s₂＋c₁s＋c₀]的解，另一為真分式的解。對 多項式部分而言，其反拉氏轉換可以表示為：

£^－1[F(s)]＝a₀δ(t)＋a₁δ’(t)＋a₂δ’’(t)＋···＋a_nδ(n)(t)

0 1

1 n 1 n n

n

0 1

1 m 1 m m

m

b s b s

b s

b

a s a s

a s

a ) s ( Q

) s ( ) P

s (

F + + ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅+ + + +

⋅⋅

⋅⋅

⋅⋅

+

= +

=

−

−

−

−

) s ( Q

) s ( c P

s c s

c s

c ) s (

F = _m−n ^m−n +⋅⋅⋅+ ₂ ² + ₁ + _o + ¹

部分分式法

對真分式部分而言，其解依Q(s)的型態來定，一般Q(s)有四 種型態，分別為：

(1)Q(s)含有不重覆之因式(s－a)，也就是單根形式，此時Q(s) 可以表示為：

Q(s)＝(s－a)(s－b)(s－c) ···

(2)Q(s)含有重覆之因式(s－a)，也就是重根形式，此時Q(s) 可以表示為：

Q(s)＝(s－a)ⁿ(s－b)(s－c) ···

(3)Q(s)含有不重覆之複數因式[s－(a＋jb)][s－(a－jb)]，也就 是含有二次因式[(s－a)²＋b²]，此時Q(s)可以表示為：

Q(s)＝[(s－a)²＋b²](s－c)(s－d)···

(4)Q(s)含有重覆之二次因式，此時Q(s)可以表示為：

Q(s)＝[(s－a)²＋b²]ⁿ(s－c)(s－d)···

部分分式法

首先考慮Q(s)不含有重覆因式(s－a)的情形，設

其中M(s)表示去掉(s－a)後剩餘的部分，將上式等號兩邊乘 以(s－a)得

再令s＝a

) s ( a M

s A c

s C b

s B a

s A

) c s

)(

b s

)(

a s

(

) s ( P )

s ( Q

) s ( ) P

s ( F

− +

=

⋅⋅

⋅

⋅

− +

− +

− +

=

⋅

⋅

⋅

⋅

−

−

= −

=

) a s )(

s ( M A

) a s ) (

s ( Q

) s (

P × − = + −

0 ) A

a s /(

) s ( Q

) s ( P

a s

+

−

=

部分分式法

故 同理

由此可知相對應的反拉氏轉換為：

£^－1[F(s)]＝Ae^at＋Be^bt＋Ce^ct＋···

a

)

a s /(

) s ( Q

) s ( A P

−

=

b

)

b s /(

) s ( Q

) s ( B P

−

=

c

)

c s /(

) s ( Q

) s ( C P

−

=

⋅

⋅

⋅

− +

− +

=

=

bt at

a s

) e b s

/(

) s ( Q

) s ( e P

) a s /(

) s ( Q

) s ( P

例8-24

設 ，試求£^－1[F(s)]。

[解]：首先將F(s)分解成部分分式，可得：

由此可得：

£^－1

s 2 s

3 s

4 ) s

s (

F _{3 2}

2

+ +

= +

) 2 s (

C )

1 s (

B s

A )

2 s )(

1 s ( s

4 s

s 2 s

3 s

4 ) s

s ( F

2 2

3 2

+ + + +

+ = +

= + +

+

= +

t 2 t

t 2

2 s 2

t

1 s 2

t 0

0 s 2

e e

5 2

) e 1 s ( s

4 e s

) 2 s ( s

4 e s

) 2 s )(

1 s (

4 )] s

s ( F [

−

−

−

−

=

−

−

=

=

+

−

=

+ + +

+ + +

+ +

= +

部分分式法

若有一函數其分母Q(s)存在有重覆的因式(s－a)ⁿ，則它可以表示為：

將等號兩邊乘以(s－a)ⁿ得

) s ( ) M

a s (

A )

a s (

A a

s A

c s

C b

s B )

a s (

A )

a s (

A a

s A

) c s )(

b s ( ) a s (

) s ( P )

s ( Q

) s ( ) P

s ( F

n n 2

2 1

n n 2

2 1

n

− + +

⋅⋅

⋅

− +

− +

=

⋅⋅

⋅

− +

− +

− + +

⋅⋅

⋅

− +

− +

=

⋅⋅

⋅⋅

−

−

= −

=

n n

1 n

2 n 2

n 1

n

) a s )(

s ( M A

) a s ( A

) a s ( A )

a s ( A )

a s ) ( s ( Q

) s ( P

− +

+

− +

⋅⋅

⋅ +

− +

−

=

−

×

−

−

部分分式法

令

將s＝a代入可得：H(a)＝A_n，即 對H(s)取微分可得：

將s＝a代入可得：H’(a)＝A_n－1，即

n n

1 n

2 n 2

n n 1

) a s )(

s ( M A

) a s ( A

) a s ( A )

a s ( ) A

a s /(

) s ( Q

) s ( P

− +

+

− +

⋅⋅

⋅ +

− +

−

− =

−

−

) s ( ) H

a s /(

) s ( Q

) s ( P

n =

−

! 0

) a ( A_n = H

] ) a s )(

s ( M ds[ A d

) a s ( A 2

) a s )(

2 n ( A )

a s )(

1 n ( A ) s ( ' H

n 1

n 2

n

3 n 2

2 n 1

− +

+

− +

⋅⋅

⋅ +

−

− +

−

−

=

−

−

−

−

! 1

) a ( ' A_n−1 = H

部分分式法

相似的對H’(s)取微分可得：

將s＝a代入可得： H’’(a)＝2A_n－2，即

依此方式繼續進行，可得

：

同理可得 H_(n－1)(a)＝(n－1)(n－2)····(3)(2)A1 即

] ) a s )(

s ( M ds [

A d 2

) a s )(

3 n )(

2 n ( A )

a s )(

2 n )(

1 n ( A )

s ( ' ' H

n 2

2 2

n

4 n 2

3 n 1

− +

+

⋅⋅

⋅ +

−

−

− +

−

−

−

=

−

−

−

! 2

) a ( ' ' A

= H

! 3

) a ( ' ' ' A

= H

)!

1 n (

) a ( A H

) 1 n (

1

=

−