第六章 科技大學學生電子工程問題的數學解題能力 模式之建構

第六章 科技大學學生電子工程問題的數學解題能力 模式之建構

壹、模式建構之架構

本章旨在將所建構完成之理論模式，結合數學能力專家、參與第一線 實際教學之數學與電子學教師、第一次專家諮詢等專家意見進行分析與比 較，來檢視與修正科技大學學生電子工程問題的數學解題能力模式之可行 性。再經由預試的過程與第二次專家諮詢結果進行第二次修正，最後以施 測的實徵結果實施可行性的評估，即以理論面進行研究假設，並取理論面 與實徵面的驗證結果，建構出「科技大學學生電子工程問題的數學解題能 力模式」。

本模式在學生學前能力分析、高中職數學與微積分之重要程度分析、

科技大學學生電子工程問題的數學解題能力的敘述，預(施)測試題等相關 文件中，以能力與實務為導向之專家們所提的看法與意見中抽離、比較與 分析後修正。模式修正的部份概括：模式主體構面架構之修正、程序之修 正、機制之修正、科技大學學生電子工程問題的數學解題能力項目之修 正，最後完成本模式之架構。

貳、理論模式之修正

本研究以文獻探討中所獲得數學建模之理論模式為基礎，從工程專

業、工程解題之核心能力、多元的命題型式等三層面之觀點，透過一系列

之專家訪談與專家諮詢所提供之看法與修正後，更能顯示表 5-60 之科技

大學學生電子工程問題的數學解題能力項目及其模式適用於科技大學電

子工程系，茲簡述如下：

圖 6-1 科技大學學生電子工程問題的數學解題能力模式建構之架構圖

(一)從工程專業方面探討

因科技大學學生電子工程問題的數學解題能力與數學建模所 建立之能力最大的不同在於科技大學學生電子工程問題的數學解 題能力所強調的是跨數學與工程專業兩大領域，係將工程問題以數 學方式運算後所得之結果，應用於解決工程專業問題上所顯示之科 技大學學生電子工程問題的數學解題能力。因此，將數學建模所建 立之理論模式，以工程專業的觀點修正如表 6-1、表 6-2 所示：

1.科技大學學生電子工程問題的數學解題能力理論模式的轉銜、程 序與機制之修正

(1)轉銜項目之修正

將偏重數學建模之「數學化」轉銜能力修正為誇數學與 工程專業兩大領域之「轉化」轉銜能力。

(2)程序項目之修正

學生學前能力 分析

高中職數學與 微積分重要程

度分析

一般數學解題 能力的敘述與

範例

主體構面架構之修正

程序之修正

機制的修正

工程問題的數學解題能力項目 之修正

電子工程問題 的數學解題能

力的敘述

預(施)測引導 式答題等相

關文件

預(施)測學生 的看法

科技大學學生電子工程問題的數學解題能力模式之建立

A.將偏重數學建模之「詮釋問題」經兩次專家們修正改為「解 讀審題」 ，其中的解讀包含了帶有專業成份的理解題意與理 解術語兩個程序。

B.將偏重數學建模之「提出目標」修正為「轉譯列式」 ，其中 的轉譯即有將專業所分析的問題轉譯為數學式子或目標函 數。

(3)機制項目的修正

A.將理論模式之排序方式改採關鍵能力項目連結的方式，並以 機制項目的編號為能力序列的排法，如表6-1所示。

B.增加了「4.1觀察、臆測、驗證」機制，專家們認為在實驗 中常常會給予一些數據，從觀察中列式，並以不等式、數 列、目標函數等方式顯現，而必須做觀察、臆測、驗證等 動作。但並非每個題目都需要此機制。

C.增加了「6.2 判斷解答的合理性」機制，專家們認為在計算 過程中難免會有計算錯誤，為避免影響後續答題造成結果 的轉述與詮釋之誤差或誤解，希望能再求出解答後對數值 先做判斷解答合理性的動作。

D.其餘的機制修正都是以專業的角度考量，其修正如表6-1所 示。

2.科技大學學生電子工程問題的數學解題能力理論模式的能力項 目之修正

從表 6-2 可知：本研究以文獻中所探討之數學建模為基礎，

藉由數學能力專家、在電子工程系任教之四類不同背景之第一線 專家、兩次專家諮詢等修正後，再經施測模擬修正，得出表 6-2。

由表 6-2 即可很明顯看出原理論模式之能力項目與新建立的模式

修正比較，其最後修正之結果如表 5-59 所示。

表 6-1 科技大學學生電子工程問題的數學解題能力理論模式與新建立模 式修正比較表

項目 原理論模式項目內容 修正(增加)項目內容

轉銜 數學化 轉化

1.詮釋問題 1.審題詮釋 1.審題詮釋 1.解讀審題 程序

3.提出目標 3.轉譯列式

(2)理解題意 1.1 理解題意與舊經驗結合 (6)數學與專業符號與形式化 2.2 數學與專業符號與形式化

4.1 觀察、臆測、驗證 (5)選擇數學方法、運算法則

與公式

5.1 選擇數學方法、運算法則與 公式

6.2 判斷解答的合理性 (9)數學語言轉述結果 7.1 解讀數學語言 (10)解讀與詮釋數學語言 7.2 轉述數學結果

(11)給予工程問題的解答 8.1 詮釋工程問題的解答 (13)檢驗數字的正確性 9.1 驗證數值的正確性 (14)檢驗波形的正確性 9.2 驗證波形的正確性 (15)驗證結果解決問題 10.1 驗證結果評估問題 機制

(16)判斷與修正 10.2 修正與改良

表 6-2 科技大學學生電子工程問題的數學解題能力項目理論模式與新建立的模式 修正比較表

轉銜科技大學學生電子工程問 題的數學解題能力機制

原理論模式能力項目內 容

修正(增加)能力項目內容

1.閱讀理解能力 1.1-1 閱讀理解與觀察能力 1.1 理解題意與舊經驗結

合 2.數學表徵能力 1.1-2 符號使用能力 1.專業能力 1.2-1 概念連結能力 1.2 理解術語

2.數學與專業符號使用 能力

1.2-2 工程符號使用能力

3.符號與形式化能力 刪除 4.數學表徵能力 刪除 2.1 找出問題已知與未知

關係

2.1-2 專業建模能力 轉

化

3.1 擬定解決問題的數學 語言

3.1-2 轉譯列式能力

4.1 觀察、臆測、驗證 4.1-3 圖形與圖表應用能力 1.數學記憶能力 刪除

5.1 選擇數學方法、運算

法則與公式 5.1-1 數學推理能力

5.2 運用適當的運算工具 1.運用計算器能力 5.2-1 運用計算器與圖表能力 6.2-1 符號運算能力

求

解 6.2 判斷解答的合理性

6.2-2 數學與專業判斷能力

2.符號與形式化能力 刪除 7.1 解讀數學語言

7.1-1 數學語言轉換能力 3.數學語言轉換能力 刪除

詮

釋 ^{7.2 轉述數學結果} 7.2-2 轉譯列式能力

1.解題能力 刪除

2.運用電腦軟體能力 刪除

9.1-1 轉譯與演算能力 9.1 驗證數值的正確性

9.1-2 驗算能力

1.解題能力 刪除

2.運用電腦軟體能力 刪除 9.2 驗證波形的正確性

9.2-1 運算工具能力 驗

證

10.1 驗證結果評估問題 10.2-1 專業判斷與設計能力

(二)從電子工程問題的數學解題之核心能力方面探討

本研究工程解題之核心能力分類成四部份：一為專業能力；

二為數學與專業連結能力；三為數學能力；四為數學與專業之共同

核心能力，如表 6-3 所示。在結構上配合科技大學學生電子工程問 題的數學解題能力的四種轉銜而設計。

1.在「轉化能力」之轉銜上

所謂「轉化能力」係將實際工程問題轉換形成數學問題。

從表 6-3 可看出除了數學與專業之共同核心能力外，含蓋了專業 能力、數學與專業連結能力等兩種能力，顯示出在轉化能力上必 須重視與加強此兩方面的能力。

2.在「求解能力」之轉銜上

所謂「求解能力」係將所形成數學問題，透過數學之解題 策略與數學方法，經一系列的運算或推理，而求出數學問題的解 答。從表 6-3 可看出除了數學與專業之共同核心能力外，含蓋了 數學與專業連結能力、數學能力等兩種能力，顯示出在求解能力 上不僅僅只重視數學的運算與推導能力尚必須重視與加強此兩 方面的能力。

3.在「詮釋能力」之轉銜上

所謂「詮釋能力」係將所求出之數學問題的解答，透過解 讀、轉述、詮釋，而解決工程問題。從表 6-3 可看出除了數學與 專業之共同核心能力外，含蓋了專業能力、數學與專業連結能 力、數學能力等三種能力，顯示出在詮釋能力上必須重視與加強 此三方面的能力。

4.在「驗證能力」之轉銜上

所謂「驗證能力」係將所解決之工程問題，透過解讀、轉

述、詮釋，進行工程問題的修正與改良。從表 6-3 可看出除了數

學與專業之共同核心能力外，含蓋了專業能力、數學與專業連結

能力等兩種能力，顯示出在驗證能力上必須重視與加強此兩方面

的能力。

表 6-3 科技大學學生電子工程問題的數學解題能力分類項目表 轉銜 專業能力 數學與專業

連結能力

數學能力 數學與專業共 同核心能力 閱讀理解與觀察

能力

綜合應用能力 概念連結能力

專業符號使用能 力

抽象概括能力 圖形應用能力

專業建模能力 連結使用具有 模式能力

轉譯列式能力

專業表徵能力 邏輯思維能力

轉 化 能 力

表達能力 運用計算器與

圖表能力

選擇策略能力 概念連結能力

運用電腦軟體 能力

圖形與數形連 結能力

圖形應用能力

數學與專業判 斷能力

數學推理能力 轉譯列式能力

數學運算能力 邏輯思維能力 數學表達能力 表達能力 數學表徵能力

求 解 能 力

符號運算能力 連結使用具有模

式能力

數學與專業表 徵能力

符號運算能力 概念連結能力

數學語言轉換 能力

圖形應用能力

轉譯列式能力 邏輯思維能力 詮

釋 能 力

表達能力

轉譯與演算能力 驗算能力 概念連結能力

運用工具能力 圖形應用能力

專業建模能力 轉譯列式能力

專業判斷與設計 能力

邏輯思維能力 驗

證 能 力

表達能力

(三)從多元的命題型式探討

依命題型式的不同，其能力項目之分佈與加權也不同。本研

究擬定了五種以引導式問題為主軸的命題型式，其評量功能之限制

與加權，如表 6-4 所示可知：第一種一般式為平時教學所採用的方

式，第三種建模式最難；第二種詮釋式、第四種運用工具式、第五

種合作學習式是未來發展提昇電子工程問題的數學解題能力的重 要評量方式。

表 6-4 引導式回答題之五種不同之命題型式及其功能比較表

命 題 型 式 轉銜

能力

程序 機制

一般式 詮釋式 建模式 運作工具式 合作學習式 1.1 理解題意與舊經

解讀 驗結合

審題 _{1.2 理解術語}

2.1 找出問題已知與

分析 未知關係

問題 2.2 數學與專業符號 與形式化

轉 化 能 力

轉譯 列式

3.1 擬定解決問題的 數學語言

解題 策略

4.1 觀察、臆測、驗

證 限制 限制 重點

加權 限制 彈性 加權

5.1 選擇適當的數學 方法、運算法則與 公式

運算 限制

處理 5.2 運用適當的運算

工具 限制 加權

6.1 數學語言的解答

求 解 能 力

求出

解答 6.2 判斷解答的合理

性 加權 加權

7.1 解讀數學語言 加權 轉述

解答 ^{7.2 轉述數學結果} 加權

8.1 詮釋工程問題的

解答 加權 加權

詮 釋 能 力

詮釋

結果 8.2 工程問題的最佳

解 加權 加權

9.1 驗證數值的正確

性 限制 限制 加權

驗證

結果 9.2 驗證波形的正確

性 限制 限制 加權

110.1 驗證結果評估問

題 加權 加權

驗 證 能

力 應用

評估 _{10.2 修正與改良} 加權 加權

說明：1.表中所指的「限制」，係指該命題型式所提之機制，較不易命題且不易發揮評量的功能。

2.表中所指的「加權」，係指該命題型式所提之機制，較重要且在命題時強調發揮次此評量的 功能。

3.表中所指的「彈性加權」，係指該命題型式所提之機制，依命題的需求彈性的選擇是否需要 在此機制上做加權。

綜合上述(一)(二)(三)可知：本模式從工程專業的角度修正理論模式，

並從工程解題的四種轉銜能力，分析工程解題之四種核心能力權重位置，

最後從多元的命題型式去評估科技大學學生電子工程問題的數學解題能 力項目之分佈與加權。更能顯示本模式所提的學生工程解題之多元性，其 能力項目適用於科技大學電子工程系。

參、理論模式之建立

本模式在學生學前能力分析、高中職數學與微積分之重要程度分析、

科技大學學生電子工程問題的數學解題能力的敘述，預(施)測試題等相關 文件之架構下，經過理論模式的修正，建立「科技大學學生電子工程問題 的數學解題能力模式」及「科技大學學生電子工程問題的數學解題能力及 其能力的敘述」。茲簡述如下：

一、科技大學學生電子工程問題的數學解題能力模式

本模式以實際工程解題、形成數學問題、解答數學問題、解決工 程問題為主體架構，透過四種轉銜能力的運用，形成圖 6-2 之八邊形。

每一種轉銜能力之運作，分別都有其程序，圖中之第 1~3 項屬轉化能 力的程序；第 4~6 項屬求解能力的程序；第 7~8 項屬詮釋能力的程序；

第 9~10 項屬驗證能力的程序。

在圖中八邊形的內部與菱形之間夾著每一項程序的機制，形成了 工程解題的四種轉銜能力、十項程序、十八個機制等之解題流程。為 了更顯示「轉化能力」與「詮釋能力」所含蓋之跨數學與工程兩領域 的範疇，將下圖的菱形畫了兩條虛線，分割成四部份，菱形左上方之

「轉化能力」區塊與右下方之「詮釋能力」區塊皆是跨數學與工程兩

領域之科技大學學生電子工程問題的數學解題能力。

數學表徵能力：有如數學的面貌，外表的型態，是屬於數學本身的型態。

茲以數列為例：(1)a

=1/n (2)a

=1；a

=3；a

=a

+a

為 遞迴數列 (3)敘述方式：將自然數中的質數由小而大所形

成的數列，如：2, 3, 5, 7, 11, 13, ……( 4) 圖形表示。

數學表達能力：係指將數學或專業的式子，用表徵的方式表達出來。

圖 6-2 科技大學學生電子工程問題的數學解題能力模式之建立圖 二、科技大學學生電子工程問題的數學解題能力及其能力的敘述」

科技大學學生電子工程問題的數學解題能力以表 5-59 所示為基 礎，配合文獻探討中之各專家學者所提的數學能力之間的從屬關係及 驗

證 化 轉

求 解

詮 釋

形成數學問題

解決工程問題

實 際 工 程 問 題 解 答 數 學 問 題

3.轉譯列式

2.分析問題 1.解讀審題

4.解題策略 5.運算處理

6.求出解答

10.應用評估

9.驗證結果

7.轉述解答

8.詮釋結果 擬定解決問題之

數學語言 數學與專業符號 形式化 找出問題 已知與未知關係 理解術語 理解題意 與舊經驗 結合

抽象 概括能力

綜合應用能力 符號使用能力 閱讀理解與觀察能力

觀察、臆測、驗證 選擇數學方法、

運算法則與公式

運算工具

數學語言的解答 選擇

策略能力

判斷解答的 合理性 數學建模能力

數學推理與運算能力

符號運算能力

修正與改良

驗證結果 解決問題

波形的正確性 專業判斷與

設計能力

專業建模能力 運用工具能力

解讀數學語言 轉述數學結果

詮釋工程問題 的解答 工程問題的最佳解

數學語言轉換 能力

數學與工程表徵能力

連結使用具有 模式能力 專業表徵能力

專業建模能力

專 數

業 學

核 核

心 心

能 能

力 力

概念連結能力 圖形應用能力 轉譯列式能力 邏輯思維能力 表達能力

圖形與圖表 連結能力

運用軟體與 工具能力

數字的正確性 驗算能力

轉譯與 演算 能力 連結使用具 有模式能力

數學與專業判斷能力 數學表徵能力

其能力之綜合描述，並考量電子工程專業的前提下，由本研究之專家 群討論修正後，如表 6-5~表 6-8 所示。

表 6-5 科技大學學生電子工程問題的數學解題能力的敘述---轉化能力 程

序

解題能力機制 科技大學學生電子工 程問題的數學解題能

力

科技大學學生電子工程問題的數學解題 能力的敘述

1.1-1.閱讀理解與觀察 的能力

1.運用個人先前的專業經驗、知識、技巧，

了解問題的專業實際背景。

2.能閱讀問題情境，辨別題目的種類，涉及 那些相關的知識領域，分清楚題目的條件 和其目的。

3.善於從實際工作所提供的資訊中抓住其工 程本質，或從特殊值中測試去觀察。

1.1 理解題意 與舊經驗結 合

1.1-2 符號使用的能力 1.能從題意中的語言轉換成以工程符號表 示。

2.能解讀及辨識工程術語、現象、情境的各 類表徵。

1.2-1 概念連結的能力 理解專業術語名稱的概念與定義。

1.

解 讀 審 題

1.2 理解術語 1.2-2 工程符號使用的 能力

1.了解抽象概念的工程符號。

2.工程術語與符號語言間的轉換。

2.1-1 綜合應用的能力 2.1 找出問題

之已知與

未知關係 2.1-2 專業建模的能力

1.從觀察與歸納中，找出問題及電路圖的通 則，提出一般敘述之抽象化。

2.將數學和其他學科知識，透過文字及圖形 的分析，化簡為問題情境，找出已知量與 未知量關係。

3.分析尋找適當的專業定理、定律與公式。

2.2-1 邏輯思維的能力 辨識各類數學或工程敍述（條件、定義、定 理、假設、臆測、數量值的敍述、案例）與 經驗。

2.2-2 專業表徵的能力 1.瞭解數學或工程語言的語意及語法。

2.將不同領域的知識進行數學或工程轉換。

2.2-3 表達的能力 能夠針對實際工程問題之具體的已知量與未 知量關係，用比較合理、有效的方法，概括 抽象轉化爲可以運算的數學模型。

2.

分 析 問

題 2.2 數學與專 業 符 號 形 式化

2.2-4 連結的能力 把數學與工程領域作橫向的連結

3.1-1 抽象概括的能力

3.1-2 轉譯列式的能力

通過抽象符號---方程式、不等式、數列來表 示，也可用函數、圖表、圖形等關係來表述。

即把工程應用題中的工程語言轉換成數學語 言，使工程應用問題轉化成數學問題。

3.

轉 譯 列 式

3.1. 擬 定 解 決 問題的數

學語言 3.1-3 概念連結的能力 能利用精確的語言及符號來表示所求目標或

目標函數的概念。

表 6-6 科技大學學生電子工程問題的數學解題能力的敘述---求解能力 程

序

能力機制 科技大學學生電子 工程問題的數學解

題能力

科技大學學生電子工程問題的數學解題能力 的敘述

4.1-1 選擇策略的能 力

能從觀察中形成、表徵及解決工程問題思考方向。

4.1-2 數學知識連結 的能力

採用不同類型的基本方法解之。

如果情境許可，能以不同型式或工具輔助解題。

4-1-3 圖形與數形連 結的能力

能觀察工程與數學問題中的因素，如：方程式求 解、工程問題的函數變化(微積分)、計算的演算法、

隨機現象等，要求能夠對工程與數學的本質有所理 解。

4.1-4 邏輯思維的能 力

要培養學生正確的掌握定義、公理、定理、性質和 法則，並能正確運用的能力。

4.

解 題 策 略

4.1 觀察、

臆 測 、 驗證

4.1-5 數學建模的能 力

分析既有數學模式的性質與屬性，並評估該模式適 用的範疇及其效度。

5.1-1 數學推理的能力 進行推導、直覺想象和推理的關係。

5.1-2 數學運算能力 1.數學型式、數學結構或數學邏輯基模的演算及公 式的選擇。

2.基本技能的運算：即數、式、符號間之運算。

5.1-3 數學表達的能 力

1.將數學問題與其他科學問題，用比較合理有效的 方法加以表達。

2.表達相同工程術語與數學術語之不同表徵間的關 係，並掌握不同表徵的特性與限制。

5.1 選擇適 當 的 數 學 方 法、運算 法 則 與

公式 5.1-4 概念連結的能 力

理解數學語言間之概念、運算及關係。

5.2-1 運用計算器與 圖 表 使 用 的 能 力

能靈活運用工程型之計算機或採用圖表、查表方式 獲得。

5.

運 算 處 理

5.2 運用適 當 的 運

算工具 5.2-2 運用電腦軟體 的能力

知道目前坊間已有的電腦套裝軟體工具或輔具的 性質，並清楚其功能、限制與用法。

6.1 數學語 言 的 解 答

6.1-1 數學表徴的能力 1.瞭解數學語言的語意及語法。

2.數學表徴有如數學的面貌，外表的型態，是屬於 數學本身的型態。

6.2-1 符號運算的能力 以數值代入檢驗或以過去累積之經驗直觀等方 式，作概略的判斷解答有無運算錯誤或正確性。

6.

求 出 解 答

6.2 判斷解 答 的 合

理性 6-2-2 數學與專業判斷 的能力

從專業的各種角度，配合題意與限制的範圍，判斷

答案的合理性。

表 6-7 科技大學學生電子工程問題的數學解題能力的敘述---詮釋能力 程

序

解題能力機制 科技大學學生電 子工程問題的數

學解題能力

科技大學學生電子工程問題的數學解題能力 的敘述

7.1-1 數學語言轉 換的能力

1.如何用數學的概念、符號等準確將數學語言的工 程術語、符號的描述及其關係。

2.以精確的數學語言轉化成工程問題的內在特性。

7.1 解讀數學

語言 7.1-2 數學與專業 表徵的能力

1.能解讀、詮釋及辨識數學與工程術語、現象、情 境的各類表徵，並瞭解他們與工程術語的關係。

2.可以在表徵之間進行選擇與轉化。

7.2-1 連結的能力 能將解答與策略詮釋(連結)到新的情境。

7.

轉 述 解

答 7.2 轉述數學

結果 7.2-2 轉譯列式的 能力

1.能詮釋或解讀既有數學式在工程問題中的意義。

2.能指出工程術語與數學語言、符號間的列式關係

8.1-1 表達的能力 能使用圖表、數值、代數和口語的數學模式或表 徵，探究問題及描述結果。

將數學知識的解答表達於不同工程領域。

8.1 詮釋工程 問 題 的 解

答 8.1-2 邏輯思維的 能力

對於給定的結果，能清楚掌握其適用範疇。

8.2-1 表達的能力 將數學問題與其他科學問題，用比較合理有效的最 佳解加以表達。

8.

詮 釋 結

果 8.2 工程問題

的最佳解 8.2-2 連結使用具 有 模 式 的 能 力

統整數學與工程模式的概念連結，並能判斷其最佳 解

表6-8 科技大學學生電子工程問題的數學解題能力的敘述---驗證能力 程

序

解題能力機制 科技大學學生電 子工程問題的數

學解題能力

科技大學學生電子工程問題的數學解題能力 的敘述

9.1-1 轉譯與演算 的能力

能解讀與詮釋符號的形式數學語言，並將驗證結果 確認其正確性與合理性。

9.1 數值的正

確性 9.1-2 驗算的能力 能將所得的結果，一一代入數值或採用其他檢驗的 方式來驗證其正確性。

9.

驗 證 結

果 9.2 波形的正 確性

9.2-1 運用工具的 能力

能以電腦輔助軟體、示波器或邏輯分析儀等電子儀 表、以特性曲線自繪得出波形方式，判斷波形的正 確性與合理性。

110.1 驗證結果 解決問題

10.1-1 專業建模 的能力

能從經驗中驗證相關專業的問題，並能辨識何種答 案爲問題中所要的解答。

10.

應 用 評 估

10.2 修正與改 良

10.2-1 專業判斷 與 設 計 的 能力

能配合題目與材料的需求，依實務經驗作適當的修

正、調整與改良。