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高雄市明誠中學 高一數學平時測驗 日期：98.12.22 範

圍

3-1、2 多項式四則運 算、因式餘式定理

班級 姓

座號 名 一、多重選擇題( 每題 10 分)

1. 設 f (x) = x³ − 5x² + 6x + 2 = a(x − 2)³ + b(x − 2)² + c(x − 2) + d，a，b，c，d 為常數，則下 列各選項哪些是正確的？

(A) a + b + c + d = 0 (B) f (x)的值恆不小於 2 (C) f (2 − 3 ) = 5 + 3

(D) f (2 + i) = 1 − 3i (E)以四捨五入法求 f (1.97)之近似值至小數點後第三位為 2.061

【解答】(D)(E)

【詳解】

根據綜合除法之計算得 f (x) = (x − 2)³ + (x − 2)² − 2(x − 2) + 2 (A)a + b + c + d = 1 + 1 + ( − 2) + 2 = 2

(B)f ( − 1) = − 10 < 2

(C)f (2 − 3 ) = ( − 3 )³ + ( − 3 )² − 2( − 3 ) + 2 = 5 − 3 (D)f (2 + i) = i³ + i² − 2i + 2 = 1 − 3i

(E)f (1.97) = 2 − 2( − 0.03) + ( − 0.03)² + ( − 0.03)³

= 2 + 0.06 + 0.0009 − 0.000027 = 2.060873 20.61

2. 不論 x 為任何實數值，

1 2 3 ²

2

+ +

+ +

x x

b ax

x

之值恆為一定數 k，則

(A) k =

3

1

(B) a =

3

1

(C) b =

3

2

(D) b = 3 (E) a + b = 1

【解答】(A)(E)

【解析】

1 2 3 ²

2

+ +

+ +

x x

b ax

x

= k 恆成立 ⇒ x²

+ ax + b = k (3x

²

+ 2x + 1) = 3kx

²

+ 2kx + k

比較係數得 1 = 3k，a = 2k，b = k ∴ k =

3 1

，a =

3 2

，b =

3 1

3. 設多項式 f (x)被 ax − b（a ≠ 0）除之商為 q(x)，餘式為 r，下列何者為真？

(A)以 x −

a

b

除 f (x)之餘式為 ar

(B) f (bx)被 ax − 1 除之餘式為 r (C) f (bx)被 ax − 1 除之商為 bq(x) (D) a f (x)被 x −

a

b

除之餘式為 ar

(E) x f (x)被 x −

a

b

除之餘式為

a br

【解答】(B)(D)(E)

【詳解】

由已知 f (x) = (ax − b) q(x) + r (A) f (x) = (x −

a

b

)．aq(x) + r，商為 aq(x)，餘式 r

(B) f (bx) = (abx − b)q(bx) + r = (ax − 1)．bq(bx) + r，商為 bq(bx)，餘式 r (C)商為 bq(bx)，非 bq(x)

(D) a f (x) = (ax − b) aq(x) + ar = (x −

a

b

) a²

q(x) + ar，商為 a

²

q(x)，餘式 ar

(E) x f (x) = (ax − b)．xq(x) + rx = (x −

a

b

)．axq(x) + r (x −

a b

) +

a br

= (x −

a

b

)[axq(x) + r] +

a

br

商為 ax q(x) + r，餘式

a br

4. 下列何者為 3x⁵

− x

⁴ − 6x³ + 11x² − 9x + 2 的因式？

(A) x + 1 (B) x + 2 (C) x − 2 (D) 3x − 1 (E) 3x − 2

【解答】(B)(D)

【詳解】

f (x) = 3x

⁵

− x

⁴ − 6x³ + 11x² − 9x + 2 的整係數一次因式可能為 x ± 1，x ± 2，3x ± 1，3x ± 2 利用綜合除法除之如下

3x²

− 3x + 3 沒有實係數一次因式（因判別式< 0）

故 f (x)之整係數一次因式為 x − 1，x + 2，3x − 1

5. 設 a，b ∈ R，若多項式 f (x) = (x − 6)³⁰ + ax + b 有 x − 5 與 x − 7 兩個因式，則

(A) a = 0 (B) b = −1 (C) x − 6 除 f (x)之餘式為 − 1 (D) x − 4 除 f (x)之餘式為 1027 (E) x − 8 除 f (x)之餘式為 f (4)

【解答】(A)(B)(C)(E)

【詳解】

(1) f (x)有 x − 5，x − 7 兩個因式 ∴ f (5) = 0，f (7) = 0

∴ 5a + b + 1 = 0，7a + b + 1 = 0 ∴ a = 0，b = − 1 (2)∴ x − 6 除 f (x)餘式為 f (6) = 6a + b = − 1

x − 4 除 f (x)餘式為 f (4) = 2

³⁰ + 4a + b = 2³⁰ − 1 ≠ 1027

x − 8 除 f (x)餘式為 f (8) = 2

³⁰ + 8a + b = 2³⁰ − 1 = f (4)

二、填充題( 每題 10 分)

1. 設 f (x) = 351x⁵ − 692x⁴ − 23x³ + 9x² − 36x + 50，則 f (2) = 。

【解答】− 10

【詳解】

由上綜合除法可知：餘式 r = f (2) = − 10

2. f (x) = x⁶ − 5x⁵ + 4x⁴

− 50x

³

+ 49x

² + 110x − 107，則 f ( f (1)) = 。

【解答】− 123

【詳解】

由綜合除法知 f (1) = 2 ∴ f ( f (1)) = f (2) = − 123 3. 已知 f (x) = (x² + 1)(x¹⁰ + 1) + x − 1，則

(1) f (x)除以 x + 1 得餘式為 。 (2) (x + 1) f (x)除以 x² + 1 得商式為 。

【解答】(1) 2 (2) x¹¹ + x¹⁰ + x + 2

【詳解】

(1)所求 = f ( − 1) = [( − 1)² + 1][( − 1)¹⁰ + 1] − 1 − 1 = 2．2 − 1 − 1 = 2 (2) (x + 1) f (x) = (x + 1)(x² + 1)(x¹⁰ + 1) + (x + 1)(x − 1)

= (x² + 1)(x + 1)(x¹⁰ + 1) + (x² + 1) − 2 = (x² + 1)[(x + 1)(x¹⁰ + 1) + 1] − 2 得商式為(x + 1)(x¹⁰ + 1) + 1 = x¹¹ + x¹⁰ + x + 2

4. 設多項式 f (x)除以 x³

− 1 之餘式為 x

²

− 1，則 f (x)除以 x

²

+ x + 1 之餘式為 。

【解答】− x − 2

【詳解】

f (x) = (x

³

− 1) q(x) + ( x

²

− 1) = (x − 1)(x

²

+ x + 1) q(x) + x

²

− 1

= (x²

+ x + 1) [(x − 1) q(x)] + (x

²

+ x + 1) − x − 2 = (x

²

+ x + 1) [(x − 1) q(x) + 1] − x − 2

⇒ 餘式− x − 2

5. 7⁵ − 6 × 7⁴ − 4 × 7³ − 26 × 7² + 33 × 7 + 21 = 。

【解答】7

【詳解】

令 f (x) = x⁵ − 6x⁴ − 4x³ − 26x² + 33x + 21，所求 = f (7)，即

f x ( ) ( ÷ − x 7)

之餘式 由綜合除法

∴ f (7) = 7

6. 設 g(x) = 16x⁴ − 8x³ − 28x² + 16x + 5 = a(2x − 1)⁴ + b(2x − 1)³ + c(2x − 1)² + d(2x − 1) + e，則 (1)序組(a，b，c，d，e) = 。

(2) g(0.499) = 。（求近似值到小數第三位，第四位四捨五入）

【解答】(1) (1，3，− 4，− 5，6) (2) 6.010

【詳解】

(1)

得序組(a，b，c，d，e) = (1，3，− 4，− 5，6)

(2)由(1)，g(x) = (2x − 1)⁴ + 3(2x − 1)³ − 4(2x − 1)² − 5(2x − 1) + 6

則 g(0.499) = 6 − 5 × ( − 0.002) − 4( − 0.002)² + … = 6.009984… 6.010

7. 設 x⁴ = (x + k)(x − 1)(x + 2)(x − 2) + a(x − 1)(x + 2) + b(x − 1) + c，則 a + b + c + k = 。

【解答】2

【詳解】

令 x = 1 ⇒ 1 = c；

x = − 2 ⇒ 16 = − 3b + 1 ∴ b = − 5

x = 2 ⇒ 16 = 4a − 5 + 1 ∴ a = 5；

x = 0 ⇒ 0 = 4k − 10 + 5 + 1 ∴ k = 1 則 a + b + c + k = 2

8. 設 f (x) = ( − x³ + x + 2)⁹

(1) f (x)的常數項為 。 (2) f (x)的各項係數和為 。

【解答】(1) 512 (2) 512

【詳解】

(1) f (x)的常數項為

f

(0)= − + +( 0 0 2)⁹ =512 (2) f (x)的各項係數和為

f

(1)= − + +( 1 1 2)⁹ =512

9. 設二多項式 f (x)，g (x)其次數均大於 2，已知 f (x)與 g (x)除以 x²

− x −1 之餘式分別為

2x + 1 與 x − 3，則

(1) f (x) + g (x)除以 x²

− x −1 之餘式為 。

(2) 2f (x) − 3g (x)除以 x²

− x −1 之餘式為 。

(3) f (x)．g (x)除以 x²

− x −1 之餘式為 。

【解答】(1) 3x − 2 (2) x + 11 (3) − 3x − 1

【詳解】

由除法定理，令 f (x) = (x²

− x −1) q

1(x) + 2x + 1，g (x) = (x²

− x −1) q

2(x) + x − 3 (1) f (x) + g (x) = (x²

− x −1)[ q

1(x) + q2(x)] + (2x + 1) +( x − 3)

= (x²

− x −1)[ q

1(x) + q2(x)] + 3x − 2 ∴ f (x) + g (x)除以 x²

− x −1 的餘式為 3x − 2

(2) 2f (x) − 3g (x) = [ 2(x²

− x −1) q

1(x) + 4x + 2] − [ 3(x²

− x −1) q

2(x) + 3x − 9]

= (x²

− x −1) [ 2q

1(x) − 3q2(x) ] + x + 11 ∴ 2f (x) − 3g (x)除以 x²

− x −1 的餘式為 x + 11

(3) f (x) g (x) = [(x²

− x −1) q

1(x) + 2x + 1] [(x²

− x −1) q

2(x) + x − 3]

= (x²

− x −1)

² q1(x) q2(x) + (x²

− x −1)(x − 3) q

1(x) + (x²

− x −1)(2x + 1) q

2(x) + (2x + 1)(x − 3)

= (x²

− x −1) Q(x) + (2x + 1)(x − 3) = (x

²

− x −1) Q(x) + 2(x

²

− x −1) − 3x − 1

= (x²

− x −1) [Q(x) + 2 ] − 3x − 1

∴ f (x) g (x)除以 x²

− x −1 的餘式為− 3x − 1

10. 設 deg f (x) = 3，f (2) = f (−1) = f (4) = 3，f (1) = − 9，則 f (0) = 。

【解答】− 13

【詳解】

deg f (x) = 3，f (2) = f (−1) = f (4) = 3

則 f (x) − 3 = a (x − 2)(x + 1)(x − 4)，即 f (x) = a (x − 2)(x + 1)(x − 4) + 3

x = 1 代入 ⇒ f (1) = a × (−1) × 2 × (− 3) + 3 = − 9 ⇒ a = − 2

得 f (x) = − 2(x + 2)(x + 1)(x − 4) + 3，故 f (0) = − 2 × (− 2) × 1 × (− 4) + 3 = − 13 11. 設 f (x)為實係數多項式，以 x − 1 除之，餘式為 9；以 x − 2 除之，餘式為 16，求

f (x)除以(x − 1)(x − 2)的餘式為 。

【解答】7x + 2

【詳解】

已知 f (1) = 9，f (2) = 16，設 f (x) = (x − 1)(x − 2)Q (x) + (ax + b)





= +

=

= +

=

16 2

) 2 (

9 )

1 (

b a f

b a

f

⇒





=

= 2 7

b

a

∴ 餘式 = 7x + 2 12.用 x − 1 除(x − 2)²⁰⁰⁹ + 2009 所得的餘式為 。

【解答】2008

【詳解】

令 f (x) = (x − 2)²⁰⁰⁹ + 2009 由餘式定理 ⇒ 餘式 r = f (1) = (1 − 2)²⁰⁰⁹ + 2009 = 2008 13.設多項式 f (x)除以 x − 1，x²

− 2x + 3 之餘式依次為 2，4x + 6，則

f (x)除以(x − 1)(x

²

− 2x + 3)的餘式為 。

【解答】− 4x²

+ 12x − 6

【詳解】

f (x) = (x − 1)(x

²

− 2x + 3) h(x) + a(x

²

− 2x + 3) + 4x + 6

f (1) = 2a + 10 = 2 ⇒ a = − 4，∴ 餘式為 − 4x

²

+ 12x − 6

14.設多項式 f (x) = (a − 2)x²

+ (b + 3)x + c 且 f (−1) = f ( 2 ) = f ( 3 ) = 1，則 a + b + c 之值

為 。

【解答】0

【詳解】

∵ f (−1) = f ( 2 ) = f ( 3 ) = 1，且 deg f (x) ≤ 2，∴f (x) = 1

⇒ a − 2 = 0，b + 3 = 0，c = 1 ⇒ a = 2，b = − 3，c = 1 ⇒ a + b + c = 0

15.多項式 f (x)被 x − 2 除之餘式為 5，商 Q (x)被 x + 3 除之餘式為 3，則 f (x)被 x + 3 除的餘 式為 。

【解答】− 10

【詳解】

f (x) = (x − 2) Q (x) + 5 被 x + 3 除的餘式為 f (− 3) = (− 3 − 2) Q (− 3) + 5 = (− 5)(3) + 5 = − 10

16.a，b 為常數，若 2x − 3 與 3x + 1 均為 ax³

+ bx

² − 47x − 15 的因式，則數對(a，b) = 。

【解答】(24，2)

【詳解】

令 f (x) = ax³

+ bx

² − 47x − 15 2x − 3 | f (x) ⇒ f (

2

3

) = 0 ⇒

8 27 a +

4 9 b −

2

141

− 15 = 0 ⇒ 3a + 2b = 76……

3x + 1 | f (x) ⇒ f (

3

− 1

) = 0 ⇒ −

27

1 a + 9 1 b +

3

47

− 15 = 0 ⇒ − a + 3b = −18……

 +  × 3 11b = 76 − 54 = 22 ∴ b = 2 代入得 a = 24

17.多項式 f (x) = x²⁰⁰⁰ + 3x⁹⁰ − 5x¹⁸ + 7 除以 x³

− 1 之餘式為 。

【解答】x²

+ 5

【詳解】

設 f (x) = Q (x)(x³

− 1) + r (x)，令 x

³

− 1 = 0，即令 x

³

= 1，可由 f (x)求得餘式 r (x)

∵ f (x) = (x³) ⁶⁶⁶ x²

+ 3(x

³) ³⁰ − 5(x³) ⁶ + 7

∴ f (x)除以 x³

− 1 之餘式為 1

⁶⁶⁶ x²

+ 3(1)

³⁰ − 5(1) ⁶ + 7 = x²

+ 5

18.設 f (x) = x⁴

+ 3x

² − 2x − 1 且 g (x) = f (2x − 3)，則以 2x − 1 除 g (x)所得之餘式為 。

【解答】31

【詳解】

f (x) = x

⁴

+ 3x

² − 2x − 1，g (x) = f (2x − 3)，以 2x − 1 除 g (x)所得之餘式為

g ( 2

1

) = f (2 ×

2

1

− 3) = f (− 2) = (− 2)⁴ + 3(− 2)² − 2(− 2) − 1 = 31