(31) 對數

(31) 對數

假設我們有一個一傳二的傳染病，這個傳染病傳出去的情況如下；

第一次 一人染病 第二次 二人染病 第三次 四人染病

我們如果需要問幾次幾人染病，我們就可以用以下的式子來表示 2^x=1求 x

對數就是根據這種想法決定出來，對數的定義如下:

若

a> 0 ,a ≠ 1 , b>0, a

^x=b ,則 x=loga

b

以a 為底時 b 的對數，a 是底數，b 為真數 1. 2²=4, log₂4=2

2. 2⁴=16, log₂16=4 3. 3³=17, log₃27=3 4. 3⁴=81, log₃81=4 5. 5²=25, log₅25=2 6. 5³=125, log₅125=3 7. 10²=100, log₁₀100=2 8. 10³=1000, log₁₀1000=3 9. 12²=144, log₁₂144=2 10. 13²=169, log₁₃169=2 11. 2⁻¹=1

2

, log

₂1 2=−1 12. 4

1

2=2 , log₄2=1 2 13. 3⁻²=1

9

, log

₃1 9=−2 14. a⁰=1 , log_a1=0 15. (1

2)

2

=1 4

, log

₁

2

1 4=2 16. (1

2)

−2

=4 , log₁

2

4=−2

17. 3⁻²=1

9

, log

₃1 9=−2 18. 5⁻¹=1

5

, log

₅1 5=−1 19. 3⁰=1 , log₃1=0 20. 1012⁰=1 , log₁₀₁₂1=0 21. 2

1

2=^❑

√

^{2 , log}2❑

√

²⁼¹₂

22. 4

1

2=2 , log₄2=1 2

我們看到了這些關於對數的例子，現在我們要談一下如何求對數。

對數定律一； ^loga

^a=1

這個定律很容易理解的，因為 a¹=

a , 所以

^loga

^a=1

對數定律二； ^loga1=0 這個定律很容易理解的，因為 a⁰=1, 所以 ^loga1=0

對數定律三； ^loga

^rs=log

^a

^{r + log}

^a

^s

我們現在來證明這個定理

a

^{x 1}=r , log_a

r=x 1 a

^{x 2}=s , log_a

s=x 2 rs= ( a

^{x 1}

) ( a

^x2

)

=a^{x 1+x 2}

log_a

rs=x 1+x 2=log

_a

r+log

_a

s

我們現在舉幾個例子

1. log₂8=log₂(4∗2)=log₂4+log₂2=2+1=3(2³=8) 2. log₂32=log₂(8∗4 )=log₂8+log₂4=3+2=5 (2⁵=32)

3. log₁₀1000=log₁₀(100∗10 )=log₁₀100+log₁₀10=2+1=3 (10³=1000) 4. log₃27=log₃(9∗3 )=log₃9+log₃3=2+1=3 (3³=27)

5. log₃81=log₃(9∗9 )=log₃9+log₃9=2+2=4 ( 3⁴=81

¿

6. log₄64=log₄(16∗4 )=log₄16+log₄4=2+1=3 (4³=64 )

對數定律四； ^loga

r

^t=t log_a

r

這個定律是根據定律三的，根據對數定律三

r= ¿t log

_a

r

log_a

r

^t=log_a

r . r .. r . r .. r .=log

_a

r +… … . log

_a

¿

1. log₂8=log₂2³=3 log₂2=3 (2³=8) 2. log₂32=log₂2⁵=5 log₂2=5 (2⁵=32) 3. log₄64=log₄4³=3 log₄4=3 (4³=64 ) 4. log₃81=log₃3²=2 log₃3=4 ( 3⁴=81

¿

5. log₃9=log₃3²=2 log₃3=2 ( 3²=9¿

6. log₃27=log₃3³=3 log₃3=3 (3³=27) 7. log₅25=log₅5²=2 log₅5=2 (5²=2 5)

8. log₁₀10000=log₁₀10⁴=4 log₁₀10=4 (10⁴=1000 0) 9. log₆36=log₆6²=2 log₆6=2 (6²=36)

10. log749=log₇7²=2 log₇7=2 (7²=49)

11. log11121=log₁₁11²=2 log₁₁11=2 (11²=121) 12. log12144=log₁₂12²=2 log₁₂12=2 (12²=144) 13. log16256=log₁₆16²=2 log₁₆16=2 (16²=25 6) 14. log13169=log₁₃13²=2 log₁₃13=2 (13²=169)

對數定律五； log^a

r

s

=log_a

r−log

_a

s

證明方法如下

a

^{x 1}=r , log_a

r=x 1 a

^{x 2}=s , log_a

s=x 2

r s

=

a

^{x 1}

a

^{x 2}=a^{x1− x 2}，loga

r

s

=x 1−x 2=log_a

r −log

_a

s

1. log₂1

4=log₂1−log₂4=0−2=−2 (2⁻²=1 4) 2. log₃1

3=log₃1−log₃3=0−1=−1 (3⁻¹=1 3) 3. log₃1

9=log₃1−log₃9=0−2=−2 (3⁻²=1 9) 4. log₅ 1

25=log₅1−log₅25=0−2=−2 (5⁻²= 1 25) 5. log₆ 1

36=log₆1−log₆36=0−2=−2 (6⁻²= 1 36)

對數定律六；

a

^logab=b

這個定律是根據對數的定義來的，如果 a^x=b ,則x=loga

b

，a^logab=b 1. ^{3log39=9 (log}39=2,3²=9)

2. 2^log216=16

(

^log216=4 , 2⁴=16

)

3. ^{5log525=25(log}225=2,5²=25) 4. ^{4log416=16(log}416=2, 4²=16) 5. ^{2log232=32(log}232=5,2⁵=32)

各位同學應該很容易如何求對數了，比方說以下這個例子 1. log₂4 (log₂4=2)

2. log₃9(log₃9=2) 3. log₂8(log₂8=3) 4. log₃27(log₃27=3) 5. log₅25(log₅25=2) 6. log₄16 (log₄16=2) 7. log₁₀100(log₁₀100=2) 8. log₁₀1000(log₁₀1000=3)

但是同學們一定不知道如何求 ^log26 ，如果

^x=log

^{26， 則} 2^x=6 。我 們發現

2²=4<6，但是 2³=8 >6，所以 x=2+a，2^x=2^{2 +a}=2²∗2^a=4∗2^a=6， 2^a=6

4=1.5，2^a=1.5 所以我們知道 0<a<1 ，以下我們可以猜一個 a，假設 a=0.5，2+a=2.5，

我們要求 2^2.5 這不容易，同學們如果自己要求 2^2.5 可以回頭去看有關指數 的講義，我們可以利用電腦的小算盤，因此知道 2^2.5=5.65 ，5.65 已經很靠 近6 了，所以我們可以說 ^log26=2.5 ，這知道是一個近似值不夠精確的，但 是作為一個中學生這已經很不錯了。

假設我們要求 ^log311 ，我們發現 3²=9<11，但3³=27>11 我們令 log³11=2+b，3^{2 +b}=3² * 3^b=9∗3^b=11，3^b=11

9=1.2， 0<b <1

我們先令 b=0.5

3^{2+ b}=3^{2+ 0.5}=3^2.5=15，太大 了

令 b=0.2

3^{2+ b}=3^2.2=12，仍然太大 了

令 b=0.1

3^{2+ b}=3^2.1=10.64，太小 了

令 b=0.15

3^{2+ b}=3^{2+ 0.15}=3^2.15=10.6 ,，很接近 了

我們結論是 log³11=2.15(近似值)

我們要求 ^log10150， 10²=100<15 0， 10³=1000>15 0

我們令 log¹⁰150=2+b，10^2+b=10²∗10^b=100∗10^b=15 0 ， 10^b=15 0 100=1.5

0<b<1 先令 b=0.1

10^2+b=10^2.1=125，可以再大一 點

令b=0.15

10^2+b=10^2.15=141，已經很靠近 15了

所以 ^{log10150=2.15,} 這是我們求得近似值，如果仍用小算盤 log₁₀150=2.17

可見得用我們的方法，也可以求得不錯的近似值。

我們求 ^log10300 令 ^log10300=2+b 先令 b=0.3

10^2+b=10^2+0.3=10^2.3=199，太小 了

令 b=0.4

10^2+b=10^2+0.4=10^2.4=2.51，已靠 近

令 b=0.43

10^2+b=10^2+0.43=10^2.43=281，已十分靠 近

我們結論

log₁₀300 =2.45

如果仍用小算盤可以得到 log₁₀300 =2.47

我們實在不錯了