高雄市明誠中學 高三數學平時測驗 日期：100.09.29 範
圍
1-2 二項分配、
期望值 a
班級 三年 班 姓 座號 名
一、單一選擇題 (每題5分 )
( ) 1. 設隨機變數 X，定義為 X＝
3 0 2
3 1 1
機率是
， 機率是
，
，則 X 的標準差為
(Ａ) 9
1 (Ｂ) 9
2 (Ｃ) 3 1(Ｄ)
3
2 (Ｅ) 3 2。 答案：Ｄ
解析：E(X)＝1×
3 1＋0×
3 2＝
3 1
Var(X)＝E(X2)－(E(X))2＝(12× 3 1＋02×
3 2)－(
3 1)2＝
9
2 ∴σ＝
9 2 ＝
3 2
( ) 2. 投擲一均勻骰子一次，若擲出奇數點，可得 2 元，若擲出偶數點，可得 4 元，若 X 表 示投擲一次可得的錢數，則 X 的標準差為 (Ａ) 1 (Ｂ) 2 (Ｃ) 3 (Ｄ) 4 (Ｅ) 5。
答案：Ａ 解析：E(X)＝
2 2×1＋
2
4×1＝3；∴Var(X)＝(
2 22×1＋
2
42×1)－32＝1，∴σ＝ 1 ＝1
( ) 3. 已知一個不均勻的銅板，出現正面的機率為 3
2，出現反面的機率為 3
1，今丟銅板 5 次
，則恰出現 3 次正面的機率為 (Ａ) 27
8 (Ｂ) 81 15 (Ｃ)
243
32 (Ｄ) 243
51 (Ｅ) 243
80 。 答案：Ｅ
解析：C53( 3 2)3(
3 1)2＝
243 80
( ) 4. 袋中有 1，2，3 卡片各一張，任取出一張，記下號碼後放回袋中再取出一張，求此兩 張數字和的期望值為 (Ａ) 1 (Ｂ) 2 (Ｃ) 3 (Ｄ) 4 (Ｅ) 5。
答案：Ｄ
解析：E(X)＝(1＋2＋3)×
3
1＝2 ∴E(2X)＝2E(X)＝4
( ) 5. 假設 X 為一個隨機變數，若 Var(2X＋5)＝144，則 Var(5X＋7)＝
(Ａ) 360 (Ｂ) 180 (Ｃ) 354.5 (Ｄ) 900 (Ｅ) 720。
答案：Ｄ
解析：Var(2X＋5)＝22．Var(X)＝144 ⇒ Var(X)＝36
∴Var(5X＋7)＝52．Var(X)＝25×36＝900
二、多重選擇題 (每題10分 )
( ) 1. 考慮兩個隨機變數 X，Y，其取值如下
X＝
2 1 1
2 1 1
機率是
，
－
機率是
，
，Y＝
2 100 1
2 100 1
機率是
，
－
機率是
，
，則下列敘述何者正確？
(Ａ) E(X)＝E(Y) (Ｂ) E(X2)＝E(Y2) (Ｃ) Var(X)＜Var(Y) (Ｄ) E(X＋Y)＝E(X)＋E(Y) (Ｅ) Var(XY)＝Var(X)Var(Y)。
答案：ＡＣＤ 解析：(Ａ) E(X)＝
2
1×1＋(－1)×
2
1＝0，E(Y)＝
2
100×1＋(－100)×
2 1＝0
(Ｂ) E(X2)＝1×(
2
1)＋(－1)2× 2
1＝1，E(Y2)＝1002×(
2
1)＋(－100)2× 2
1＝1000 (Ｃ) ∵Y 的取值較為分散，∴Var(Y)＞Var(X)
(Ｄ)對任何隨機變數 X，Y，恆有 E(X＋Y)＝E(X)＋E(Y) (Ｅ) Var(XY) /＝Var(X)Var(Y)
( ) 2. 已知一個不均勻的銅板，出現正面的機率為 3
2，出現反面的機率為 3
1，今丟銅板 5 次
，若 X 表示出現正面的次數，則下列敘述何者正確？ (Ａ) X＝3 的機率為 243
8
(Ｂ) X＝2 的機率為 243
40 (Ｃ) X 的期望值為 3
10 (Ｄ) X 的變異數為 9 10
(Ｅ) X 的標準差為 3 10。 答案：ＢＣＤ
解析：(Ａ) 53 3 2 3 1 3
C（2）（ ）＝ 243
80
(Ｂ) 52 2 3 3 1 3
C（2）（ ）＝ 243
40
(Ｃ) E(X)＝
3 5×2＝
3 10
(Ｄ) Var(X)＝
3 1 3 5×2× ＝
9 10
(Ｅ) σ＝ Var X（ ）＝
3 10
( ) 3. 若 X 與 Y 是互為獨立的隨機變數，且 Var(X)＝5，Var(3Y)＝27，則 (Ａ) E(X＋Y)＝E(X)＋E(Y) (Ｂ) Var(X＋Y)＝Var(X)＋Var(Y) (Ｃ) Var(3X＋2)＝17 (Ｄ) Var(2X＋5Y)＝95
(Ｅ)若 E(X)＝4，則 E(X2)＝16。
答案：ＡＢＤ
解析：(Ａ)對任意的隨機變數 X，Y，恆有 E(X＋Y)＝E(X)＋E(Y)
(Ｂ)∵X，Y 是互為獨立的隨機變數 ∴Var(X＋Y)＝Var(X)＋Var(Y)
(Ｃ) Var(3X＋2)＝32．Var（X）＝9×5＝45 (Ｄ)∵Var(3Y)＝32．Var(Y)＝27 ⇒ Var(Y)＝3
∴Var(2X＋5Y)＝Var(2X)＋Var(5Y)＝4×5＋25×3＝95 (Ｅ) Var(X)＝E(X2)－(E(X))2⇒ 5＝E(X2)－16 ⇒ E(X2)＝21 三、填充題 (每題 10 分 )
1. 調查顯示有40％的大學生曾有打工經驗，現抽取5位大學生，則至少有3位曾有打工經驗的機 率為______________。
答案：3125 992
解析：此為n＝5，p＝40％＝
5
2的二項分配
因此至少有3位曾有打工經驗的機率為 53 3 2 5 3 5
C（2）（ ）＋ （ ）（ ） 5 3 5
C54 2 4 ＋ 55 5 5 C（2）
＝3125 720 ＋
3125 240 ＋
3125 32 ＝
3125 992
2. 一袋中有寫著20，30，50，80的卡片各一張。自袋中隨機取卡片兩次，一次一張，取後放回
，以隨機變數X表示兩次的號碼和，則：
(1)X的期望值為______________。 (2)X的標準差為______________。
答案：(1)90；(２)5 42
解析：以X1表示第一次取到的號碼；以X2表示第二次取到的號碼 則E(X1)＝E(X2)＝
4
80 50 30 20＋ ＋ ＋
＝45
(1)X的期望值E(X)＝E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)＝45＋45＝90 (2)Var(X1)＝Var(X2)＝
4
1(202＋302＋502＋802)－452＝2550－2025＝525 故X的變異數Var(X)＝Var(X1＋X2)＝Var(X1)＋Var(X2)＝525＋525＝1050
⇒X的標準差為 1050 ＝5 42
3. 若 E(3X＋1)＝10，且 E[(X＋2)2]＝100，試求：(1) E(X)＝______。(2) Var(3X＋2)＝______。
答案：(1) 3；(2) 675
解析： (1) E(3X＋1)＝3E(X)＋1＝10 ∴E(X)＝3 (2) E[(X＋2)2]＝E(X2＋4X＋4)＝100 ∴E(X2)＋4×3＋4＝100 ∴E(X2)＝84 ∴Var(X)＝E(X2)－[E(X)]2＝84－9＝75 ∴Var(3X＋2)＝32．Var(X)＝9×75＝675
4. (1)設X是一隨機變數且Var(4X－6)＝144，則X的標準差為______________。
(2)設X是一隨機變數滿足E(5X2)＝200，且E(X)＝6，則X的標準差為______________。
答案：(1)3；(2)2
解析：(1)∵Var(4X－6)＝Var(4X)＝16Var(X)＝144，Var(X)＝9，故X的標準差為 9 ＝3
(2)E(5X2)＝5E(X2)＝200⇒E(X2)＝40
∴Var(X)＝E(X2)－(E(X))2＝40－36＝4，故X的標準差σ(X)＝ Var X( )＝ 4 ＝2
5. 連續投擲一公正骰子4次，以隨機變數X表示出現點數為5的次數，則：
(1)X的期望值為__________。(2)X的變異數為__________。(3)X的標準差為__________。
答案：(1) 3 2；(2)
9 5；(3)
3 5
解析：此為參數( 4，
6
1 )的二項分配
(1)X 的期望值E(X)＝
6 4×1＝
3 2
(2)X 的變異數Var(X)＝
6 5 6 4×1× ＝
36 20＝
9 5
(3)X 的標準差σ＝
9 5＝
3 5
6. 假設人的某一特徵(如眼睛的顏色或左撇子)是根據一對基因來分類的，且假設 D 代表顯性因 子，而 r 代表隱性因子，則某人有 DD 是純顯性的，有 rr 基因是純隱性的，有 Dr 則是混合性 的，而 DD，Dr 均會具有顯性外觀，若孩子從父母各得一個因子，則對某一特徵而言，若兩位 都是混合性的父母有 4 個小孩，則 4 個小孩中有 3 個具有顯性基因外觀的機率_________。
答案：64 27
解析：
D r D DD Dr
r Dr rr
故每個孩子具有顯性基因的機率為 4
3，其餘為 4
1，∴P＝ （ ）（ ） 4 1 4
C43 3 3 ＝ 64 27
7. 在同時擲 2 個骰子的試驗中，把至少有一個出現 6 點的情形叫做成功，則同時擲 2 個骰子 30 次的試驗中，成功次數的期望值為______________。
答案： 6 55
解析：p＝ 2
6 1－（5）＝
36
11；E(X)＝np＝
36 30×11＝
6 55
8. 同時投擲兩粒公正的骰子，以 X 表示出現的點數乘積，則 X 的期望值為______________。
答案： 4 49
解析：以 X1，X2 分別表示兩顆骰子的點數則 E(X1)＝E(X2)＝
6
6 5 4 3 2
1＋＋＋＋＋
＝2 7
∵X1，X2 為獨立的隨機變數 ，E(X1X2)＝E(X1)．E(X2)＝
2 7×
2 7＝
4 49
9. 若 X 與 Y 為獨立隨機變數，取值都是 1，2，3 且機率分配分別為 2 1，
3 1，
6
1，求：
(1) E(X．Y)＝______________。(2) Var(3X－2Y)＝______________。
答案：(1) 9 25；(2)
9 65
解析：E(X)＝E(Y)＝
2 1×1＋
3 2×1＋
6 3×1＝
3 5；
Var(X)＝Var(Y)＝(
2 12×1＋
3 22×1＋
6 32×1)－(
3 5)2＝
9 5
(1) E(X．Y)＝E(X)．E(Y)＝
9 25
(2)∵X，Y 獨立 ∴3X，－2Y 亦互相獨立
故 Var(3X－2Y)＝Var(3X)＋Var(－2Y)＝32Var(X)＋(－2)2Var(Y)＝
9 9×5＋
9 4×5＝
9 65 10.有 6 題五選一的單選題，不經思考任意亂猜，若 X 表示猜對的題數，則 X 的期望值為________
，標準差為__________。
答案：5 6；
5 6 2
解析：每一題猜對的機率為 P＝
5
1 ∴E(X)＝
5 6×1＝
5 6
Var(X)＝
5 4 5 6×1× ＝
25
24 ∴σ＝ Var X ＝( ) 25 24 ＝
5 6 2
11.袋中有寫著 10，20，30，40 卡片各兩張，自袋中隨機取卡片兩次，一次一張，取後放回，以 隨機變數 X 表示兩次號碼和，則 X 的期望值為______________。
答案：50
解析：E(X)＝E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)＝(
4 10×1＋
4 20×1＋
4 30×1＋
4
40×1)×2＝50
12.一袋中有兩紅球、一白球，隨機抽取 2 球，做 4 次實驗，每次抽兩球，求抽到兩球都是紅球 的次數期望值為______________次。
答案：3 4
解析：抽到 2 紅之機率為
2 2 3 2
C C ＝
3 1
試驗 1 次之期望值 E(X)＝
3 1×1＋
3 0×2＝
3
1，故 E(X＋X＋X＋X)＝4E(X)＝
3 4
13.袋中有 1 元硬幣兩個、5 元硬幣三個，今由袋中取出兩個(假設每個硬幣被取出的機會相等)，
則：(1)兩個硬幣錢數和的期望值為______________。
(2)兩個硬幣錢數和的變異數為______________。
答案：(1) 5 34；(2)
25 144
解析：(1)以 X1 表示第一個硬幣的錢數，X2 表示第二個硬幣的錢數，X 表示兩個硬幣的錢數和 E(X1)＝E(X2)＝
5 1×2＋
5 5×3＝
5
17，∴E(X)＝E(X1)＋E(X2)＝
5 2×17＝
5 34
(2)∵X1，X2 不為獨立的隨機變數 ∴Var(X) /＝Var(X1)＋Var(X2) 和 2 6 10
P
2 2 5 2
C C
2 3 1 1 5 2
C C C
3 2 5 2
C C
∴Var(X)＝(
10 4× 1 ＋
10 36× 6 ＋
10 100× 3 )－(
5 34)2＝
25 52－1156＝
25 144
14.設 X 是參數為(6，
2
1)之二項分配的成功次數，若 μ 為 X 的期望值，σ 為 X 的標準差，則 P(｛μ－σ ≦ X ≦ μ＋σ｝)＝______________。( 6 ≈ 2.45)
答案：32 25
解析：μ＝
2
6×1＝3，σ＝
2 1 2
6×1× ＝ 2
6 ≈ 1.225
∴在一個標準差的範圍內 3－1.225≦X≦3＋1.225
⇒ 1.775≦ X ≦4.225 (X∈Z) ∴X＝2，3，4
∴P(｛X＝2，3，4｝)＝ 26( 1)6 36( 1)6 46( 1)6
2 2 2
C ＋＋C C ＝
64 15 20 15＋ ＋
＝64 50＝
32 25
15.設 X 表示丟一均勻骰子所出現點數的結果，試求 X 的期望值為_______，變異數為_______，
標準差為_____________。
答案：2 7；
12 35；
12 35
解析：E(X)＝
6 1×1＋
6 2×1＋
6 3×1＋
6 4×1＋
6 5×1＋
6 6×1＝
2 7
Var(X)＝(12＋22＋32＋42＋52＋62)×
6 1－(
2 7)2＝
12
35，∴σ＝ Var X ＝( ) 12 35
16.全校同學每人擲骰子 36 次。設 X 是每人擲出點數是 6 的次數，則 X 的標準差為_________。
答案： 5
解析：n＝36，p＝
6
1；∴σ＝ np（ －） ＝1 p
6 5 6
36×1× ＝ 5
17.袋中有紅球4個，黑球6個，球大小一致且被取出的機會均等，連續自袋中取球3次，每次取一 球，取出後放回，則：(1)取得紅球次數的期望值為____。(2)取得紅球次數的標準差為____。
答案：(1) 5 6；(2)
5 2 3
解析：此為 n＝3，p＝
5
2的二項分配
(1)取得紅球次數的期望值E(X)＝
5 3×2＝
5 6
(2)取得紅球次數的變異數Var(X)＝
5 3 5 3×2× ＝
25
18 ，故標準差為 25 18 ＝
5 2 3
18.袋中有 5 個紅球、4 個白球，今由其中任取兩球，則取得紅球個數的期望值為___________，
標準差為______________。
答案： 9 10；
9 5 5 解析：
紅球
個數 1 2 P
5 4
1 1 9 2
C C C
5 2 9 2
C C
∴E(X)＝
36 1×20＋
36 2×10＝
9
10，∴σ＝ Var X（ ）＝ 2 2 2 9 10 36
2 20 36
1 20＋ ）－（ ）
（ × × ＝
9 5 5
19.設隨機變數 X 取值為 xi＝i（i＝1，2，3），機率分別為 pi＝4 6
xi
－ ，試求 X 的期望值為_________
，標準差為__________。
答案：3 5；
3 5
解析：(1)X＝
1
2
3
4 1 1
1 6 2
4 2 1
2 6 3
4 3 1
3 6 6
p
p
p
， ＝＝－
， ＝＝－
， ＝＝－
，∴E(X)＝
2 1×1＋
3 2×1＋
6 3×1＝
3 5
(2) σ＝ Var X ＝( ) 2
3 5 6
9 1 3 4 1 2
1 1＋ ＋ ）－（ ）
（ × × × ＝
9 5＝
3 5
20. 某人打靶﹐平均每四發擊中一發﹐今射擊六發﹐問剛好擊中兩發的機率為____________。
答案 1215 4096
解析 62( ) ( )1 2 3 4 1215 4 4 4096
C =
21. 投擲一均勻硬幣六次﹐則在最後一次恰好擲出第二次正面的機率為____________。
答案 5 64
解析 前五次中﹐恰好出現一次正面﹐且第六次為正面 ∴ 所求機率 = [C (15 2 1)(
2 1)4]．
2 1=
64 5
22. 投擲一均勻的骰子 5 次﹐在第 4 次出現 2 點的情況下﹐共出現 3 次 2 點的機率為____________。
答案 25 216
解析 設A=五次中第四次出現 2 點的事件 B=五次中共出現 3 次 2 點的事件 則A即( □﹐□﹐□﹐2﹐□ ) ∴ ( ) 1
P A =6(只考慮第 4 次即可)
A∩B即( □﹐□﹐□﹐2﹐□ )──其中□□□□恰有二次 2 點﹐另二個為非 2 點﹐
其機率為 42( )1 2 ( )5 2
6 6
C ⋅
∴ ( ) 1 42 ( )1 2 ( )5 2 254
6 6 6 6
P A∩B = ⋅C ⋅ ⋅ =
故所求 4
25
( ) 6 25
( | )
( ) 1 216
6 P A B P B A
P A
= = ∩ = =
23. 甲﹑乙兩人猜拳﹐各出剪刀﹑石頭﹑布三者中之一﹐求猜拳四次﹐不分勝負的機率為________。
答案 19 81
解析 (四次平手)或(二次平手且各一勝一負)或(各二勝二負) ( )1 4 42( )1 2 12( )1 2 42( ) ( )1 2 1 2 19
3 +C 3 C 3 +C 3 3 =81
24. 甲乙兩人打網球比賽﹐甲平均在三局中獲勝二局﹐言明五局中勝三局者勝﹐則甲勝的機率為 _____。
答案 64 81
解析 甲獲勝的情形有﹕
(1)賽 3 局﹐甲連勝 3 局﹕機率為( )2 3 8 3 = 27
(2)賽 4 局﹐第 4 局甲勝﹐前 3 局甲勝 2 局﹐機率為 32( )2 2 ( )1 2 2 8
3 3 3 27
C × × =
(3)賽 5 局﹐第 5 局甲勝﹐前 4 局甲勝 2 局﹕ 42( ) ( )2 2 1 2 2 16 3 3 3 81
C × =
故甲勝的機率為 8 8 16 64 27+27+81=81
25. 同時擲三粒公正的骰子﹐則恰有兩粒點數相同之機率為____________。
答案 5 12 解析
6
C1 32 1 2 5 5 ( ) ( )
6 6 12
×C =
選相同的點數﹐1～6 其中之一 26. 設有一不公正的骰子﹐其出現k點的機率為k
n﹐n∈ N﹐k =1﹐2﹐3﹐…﹐6﹐則 (1)投此骰子 3 次﹐則恰有 2 次出現 6 點的機率為____________。(必須化為最簡分數)
(2)每投 1 次﹐若出現k點﹐則可得(100−k)元﹐今連投 2 次﹐試問所得的期望值為_______元。
(不足 1 元者﹐捨去不計) 答案 (1) 60
343;(2)191 解析 (1)1 2 6 1
n+ +n + =n ﹐n=21﹐∴ 6 2
21=7﹐1 2 5 7 7
− =
∴ 恰有二次 6 的機率為 32 ( )2 2 ( )5 60
7 7 343
C ⋅ ⋅ =
(2) 1 (100 1) 2 (100 2) 3 (100 3) 6 (100 6)
21 − +21 − +21 − ++21 − 1
[99 196 564]
=21 + ++ ≒95.67 95.67 2 191.3× = ≒191（元）
27. 某一投手平時每投 3 球中有 2 好球﹐今一打擊者站在打擊區域內始終不揮棒﹐準備等 4 壞球 保送﹐則此打擊者被三振出局之機率(即 4 壞球前有 3 好球之機率)為____________。
答案 656 729
解析 被三振出局有下列四種情形﹕○﹕好球﹐╳﹕壞球 (1)○○○﹕ 33( )2 3 8
3 27
C =
(2)□□□( 3 球中恰有 2 個好球) ○○╳﹕ 32( )2 2 1 2 8 3 3 3 27
C ⋅ ⋅ =
(3)□□□□( 4 球中恰有 2 個好球) ○○╳╳﹕ 42( ) ( )2 2 1 2 2 16 3 3 3 81
C ⋅ =
(4)□□□□□( 5 球中恰有 2 個好球) ○○╳╳╳﹕ 52( ) ( )2 2 1 3 2 80 3 3 3 729
C ⋅ =
故所求為 8 8 16 80 656 27+27+81+729=729
28. 袋中有紅球﹐白球﹐藍球各 4 個（共 12 個）﹐今從袋中任取一球﹐取出後放回﹐(設各球被 取機會均等)﹐連取 4 次﹐令A表所取 4 球恰有 2 色之事件﹐B表所取 4 球恰有 2 白球之事件﹐
則條件機率P A B( | )=____________。
答案 1 2 解析
4 2 2 4 2 2
2 2
4 2 2
2
4 4 4 4
( ) ( ) ( ) ( )
( ) 12 12 12 12
( | )
4 8
( ) ( ) ( )
12 12
C C
P A B P A B
P B C
⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
= ∩ =
⋅ ⋅
1
=2
