射影平面六講

射影平面六講 _— 第六講

王九逵

本講不再講射影幾何, 而講 Riemann 的非歐幾何。

在歐氏的≪幾何原本≫書中, 第五公設

— 即後來所稱的平行公理, 敘述為:

若一直線和另二直線相交, 其一側 之二內角和小於二直角時, 將該二 直線不斷延長, 終將在內角和小於 二直角之一側相交。

這公理後來被 Playfair 改述如下:

在平面上過線外一點, 可作且僅 可作一條直線, 和所與之直線不相 交。

原形式的平行公理不和書的開端的前四個公 設並列, 而出現在 28 個命題之後, 這使世 人懷疑歐氏本人原來也想證明這公理, 但在 證明不出又不得不列入的情況下, 迫於無奈, 才產生了這出場較遲, 敘述較繁的第五公設。

文藝復興以後, 大家又恢復了研究幾何 的興趣, 於是很多人試圖著證明平行公理。 證 法之一便是歸謬法: 假定平行公理不成立, 想 找出矛盾。若採用 Playfair 公理 的形式, 否

定平行公理不成立, 便是做以下兩個假定之 一:

• 過線外一點, 至少可做兩條不同的直線, 和所與之直線不相交。

• 過線外一點, 做任意一條直線, 都會和所 與之直線相交。

從前一種假定出發, 無法得到矛盾, 而經 Bolyai 和 Lobachevsky 的推演, 產生了一 種新的幾何, 即所謂雙曲型的非歐幾何。 這種 幾何我們在此不詳細討論。 若從後一種假定 出發, 會得到一些奇怪的現象: 1. 從一點 出發, 沿一直線向前進行, 經過一定長度後, 會回到出發點 。 2. 在一直線上的任意三點, 每點都在另外兩點的中間 。 B o l y a i 和 Lobachevsky 等初期的非歐幾何學家, 認為 這些已經構成矛盾, 而不繼續討論下去了。 但 Riemann 接受了這些現象, 不但建立了一套 新的非歐幾何, 即所謂橢圓型的非歐幾何, 並 且繼續鑽研, 創立 Riemann 計量 (Rieman- nian metric) 的觀念, 奠定近代微分幾何學 中 Riemann 流形理論的基礎。

在第一講中我們曾提過: 射影平面

P

可 以看成球面, 但把對蹠點看成等同。 若用 Σ

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射影平面六講

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第六講

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表球面, 用 ̟ : Σ →

P

表等同對蹠點的對

應, 則 ̟ 是一個二對一的對應。 以下我們談

P

時恆採用這種看法。 把

_P

中曲線的長想成 對應半球中曲線的長。 在以下的討論中, 我們 對

_P

採用這種弧長的看法, 便稱它為 橢圓型 平面 (plane of the elliptic type)。

在一球上通過球心的平面和球面的交界 叫作球的 大圓 (great circle)。 在球面上取 不是對蹠點的兩點。 則有唯一的大圓通過這 兩點, 這兩點將大圓分成兩個弧, 而在球面上 連接兩點的曲線中, 弧長最短的便是這兩個 弧中較短的一個, 而這較短的弧落在一個半 球之中。 這件事的證明要利用變分法, 我們不 加詳論。 因此我們可以把 Σ 中大圓在 ̟ 對 應下的像稱為

_P

中的 直線。 值得注意的是這 樣定義的直線和射影幾何中所談的直線完全 相同。 用這種看法, 上述關於橢圓型非歐幾何 的種種事實都顯得明顯了。 因為任意球面三 角形都落在一個半球之內, 所以古典球面三 角的種種結果都可以看成橢圓型非歐幾何的 結果。

古典的球面三角在天文學和航海學上曾 有很大的應用, 現在更用在大地測量上面。 除 了這些實務上的應用以外, 我們又看到它用 到非歐幾何上。 所以可以說它在純數學上也 有應用。

對於這些結果, 讀者可以參看任何一本 球面三角的書, 但須做適當的解釋, 使成為橢 圓型非歐幾何的結果。 以下我們僅選擇一個 簡單的結果, 當作例子。

在

_P

中兩條直線把

_P

分成兩個區域, 其 頂角互為補角。 這樣的一個區域叫作一個 月

形 (lune)。 因為兩個月形的總面積為整個

P

即半球的面積, 所以等於 2πR², 其中 R 是 球的半徑, 也叫

P

的曲率半徑 (radius of curvature)。 又因月形的面積和頂角 (即兩 邊所在平面形成的二面角) A 成比例, 而當 A = π 時面積為半球的面積 2πR², 所以對 任意頂角 A, 月形的面積等於

A

π ·2πR² = 2AR². A

C

C^′ b B

a C a^′

B b^′ c^′

C A

圖一

在

_P

中, 一直線上相異兩點是兩個不同 線段的邊界。 設 A, B, C 為

P

中的三點, 令 a 和 a^′ 為以 B 和 C 為端點的二線段, b 和 b^′ 為以 C 和 A 為端點的二線段, c 和 c^′ 為以 A 和 B 為端點的二線段, 其中 a, b 和 c 圍成一個三角形 △abc。 則以 A, B 和 C 為頂點的三角形除 △abc 外還有 △ab^′c^′,

△a^′bc^′ 和 △a^′b^′c 三個。 從圖一可以看出這 四個三角形填滿了平面

_P

。

另一方面以 A (和其對蹠點) 為頂點包 含 a 邊的月形為 △abc 和 △ab^′c^′ 的聯集, 以 B 為頂點包含 b 邊的月形為 △abc 和

△a^′bc^′ 的聯集, 這兩個月形在圖一中都已明

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數學傳播

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卷

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期 民

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年

₆

月

顯地繪出。 同理, 以 C 為頂點包含 c 邊的 月形為 △abc 和 △a^′b^′c 的聯集。 在圖一中 我們要把 △a^′b^′c 想成繪出的三角形的對蹠 點的集合。 這三個月形的面積分別為 2AR², 2BR² 和 2CR²。 在

_P

中這三個月形覆蓋 了 △abc 三次, 而其餘的點每點都只被覆 蓋一次。 所以我們得到了公式 (2A + 2B + 2C)R² = 2πR²+ 2△abc, 即

△abc= (A + B + C − π)R². 如是我們證明了下定理:

定理:

P

中三角形三內角的和必大於 π, 其多出的部分和曲率半徑的平方相乘便是三 角形的面積。

三角形三角的和超過 π 的量叫這三角形 的 球面角盈 (spherical excess)。 這個量在

球面三角中極為有用。

參考文獻

1. 趙文敏: 幾何學概論, 九章, 1993.

2. H. S. M. Coxeter: The real projective plane, 2nd Ed. Cambridge University Press, 1960.

3. W. Meyer: Geometry and Its Applica- tions, Academic Press, 1999.

4. O. Schreier and E. Sperner: Projec- tive geometry of n dimensions, Chelsea, 1985.

5. A. Seidenberg: Lectures in projective geometry, van Nostrand, 1962.

—本文作者為國立中央大學數學系退休教 授—