一個無理不等式的推廣

一個無理不等式的推廣

蔣明斌

文 [1]給出了如下二元不等式: 設 x, y > 0, 且 x + y = 1, 則 (√

x+√y) 1

√1 + x + 1

√1 + y



≤ 4

√3. (1)

文 [2]給出了 (1) 左邊的下界: 設 x, y > 0, 且 x + y = 1, 則 (√

x+√y) 1

√1 + x + 1

√1 + y



>1 + 1

√2. (2)

文 [3]考慮了 (2) 的指數推廣, 得到: 設 x, y > 0, 且 x + y = 1, k ∈ N, k > 0, 則 (√^k

x+√^ky)h 1

√k

1 + x + 1

√k

1 + y i

>1 + 1

√k

2, (3)

(√^k

x+√^ky)h 1

p1 + (k − 1)xk + 1

p1 + (k − 1)yk

i

>1 + 1

√k

2. (4)

文 [4]給出了 (1) 的類似: 設 x, y, z > 0, 且 x + y + z = 1, 則 (√

x+√y+√

z) 1

√1 + x + 1

√1 + y + 1

√1 + z



≤ 9

2, (5)

並在文末提出了猜想: 設 xi >0 (i = 1, 2, . . . , n), 且

n

X

i=1

x_i = 1, 則

Xⁿ

i=1

√x_iXⁿ

i=1

√ 1

1 + xi ≤ n²

√n+ 1. (6)

文 [5]、[6]證明了猜想不等式 (6) 是成立的, 本文給出上述幾個不等式的推廣。

定理1: 設 xi >0 (i = 1, 2, . . . , n), 2 ≤ n ∈ N, 且滿足

n

X

i=1

x_i = 1, 2 ≤ m ∈ N, (I) 若 0 < λ ≤ n

n − 1, 則

Xⁿ

i=1

√m

x_iXⁿ

i=1

1

m√

1 + λxi ≤ n²

√m

n+ λ. (7)

84

(II) 若 0 < λ ≤ m, 則

Xⁿ

i=1

m√x_iXⁿ

i=1

1

m√

1 + λxi

> n − 1 + 1

m√

1 + λ. (8)

證明: (I) 用數學歸納法證, 對 m 作歸納。(i) 當 m = 2 時, 由柯西不等式有

√1 n ·√

x1+√ x2 · 1

√n +√ x3· 1

√n + · · · +√

xn· 1

√n

≤ r

1

n + x2+ x3+ · · · + xⁿ

x1 +n − 1 n



= r

1

n + 1 − x¹

x1+n − 1 n

= r

−x²¹ + 2

nx1+ n²− 1 n² 即

n

X

i=1

√x_i ≤√ n ·

r

−x²¹ + 2

nx1+ n²− 1 n² 令 1+λxi= yi (i = 1, 2, . . . , n), 則 xi=y_i−1

λ , yi>1 (i = 1, 2, . . . , n),

n

X

i=1

y_i= n+λ, 且

n

X

i=1

√x_i

√1 + λxi ≤

√n

√y1 · r

−

y1− 1 λ

² + 2

n · y1− 1

λ + n²− 1 n²

=

√n λ ·

s

−y¹ +2(n + λ)

n +(n² − 1)λ²− 2nλ − n²

n² · 1

y1

同理, 有

n

X

i=1

√x_i

√1 + λx2

≤

√n

√λ · s

−y²+ 2(n + λ)

n + (n²− 1)λ²− 2nλ − n²

n² · 1

y2

, ...

n

X

i=1

√x_i

√1 + λxn ≤

√n

√λ · s

−yⁿ+2(n + λ)

n +(n² − 1)λ² − 2nλ − n²

n² · 1

y_n, 將這 n 個不等式相加, 並應用柯西不等式, 有

Xⁿ

i=1

√x_iXⁿ

i=1

√ 1

1+λxn ≤

√n λ ·

n

X

i=1

s

−yⁱ+2(n+λ)

n + (n²−1)λ²−2nλ−n²

n² · 1

y_i

≤

√n λ ·√

n v u u t

n

X

i=1

h

−yⁱ+2(n+λ)

n +(n²−1)λ²−2nλ−n² n² ·1

y_i i

=

√n λ ·√

n v u u t−

n

X

i=1

y_i+2(n+λ)+(n²−1)λ²−2nλ−n²

n² ·

n

X

i=1

1 y_i

= n λ ·

v u

utn+ λ + (n²−1)λ²−2nλ−n²

n² ·

n

X

i=1

1 y_i

又由柯西不等式, 有

n

X

i=1

1

y_i ≥ n²

n

X

i=1

y_i

= n²

n+ λ, 由已知 0 < λ ≤ n n − 1, 知 (n²− 1)λ²− 2nλ − n²

n² = [(n − 1)λ − n][(n + 1)λ + n]

n² ≤ 0, 所以,

(n²−1)λ²−2nλ−n²

n² ·

n

X

i=1

1

y_i ≤ (n²−1)λ²−2nλ−n² n² · n²

n+λ = (n²−1)λ²−2nλ−n²

n+λ ,

因此, Xⁿ

i=1

√x_iXⁿ

i=1

√ 1

1+λxn

≤ n λ ·

r

n+λ+(n²−1)λ²−2nλ−n²

n+ λ = n

λ · nλ

√n+ λ

= n²

√n+ λ, 即當 m = 2 時不等式 (7) 成立。

(ii) 假設 m = k (k ≥ 2) 時不等式 (7) 成立, 即有

Xⁿ

i=1

√k

xi

Xⁿ

i=1

1

√k

1+λxi ≤ n²

√k

n+ λ (9)

下面證明當 m = k + 1 時不等式 (7) 也成立。

首先應用冪平均不等式: “ 設 ai >0 (i = 1, 2, . . . , n), 則當 α > β 時,

n

X

i=1

a^α_i n

!_α¹

≥

n

X

i=1

a^β_i n

!¹_β

(∗)

且等號成立的充要條件為 a1 = a2 = · · · = aⁿ ”, 有

n

X

i=1

a^α_i n

!_α¹

≥

n

X

i=1

a_i

n (ai>0, α ≥1), 即Xⁿ

i=1

a_iα

≤ n^α−1

n

X

i=1

a^α_i (ai>0, α ≥1). (10)

應用 (10) 可得

Xⁿ

i=1

k+1√ x_i^k+1_k

≤ n^{k+1k −1}

n

X

i=1

(^k+1√

x_i)^k+1k = n^1k

n

X

i=1

√k

x_i

⇔

n

X

i=1

k+1√

x_i ≤ n^k+11

Xⁿ

i=1

√k

x_i_k+1^k

(11)

Xⁿ

i=1

1

k+1√

1 + λxi

^k+1_k

≤ n^{k+1k −1}

n

X

i=1

 1

k+1√

1 + λxi

^k+1_k

= n^1k

n

X

i=1

1

√k

1 + λxi

⇔

n

X

i=1

1

k+1√

1 + λxi ≤ n

1 k+1

Xⁿ

i=1

1

√k

1 + λxi

_k+1^k

. (12)

(11)、(12) 兩邊相乘並應用歸納假設 (9) 有

Xⁿ

i=1

k+1√

x_iXⁿ

i=1

1

k+1√

1 + λxi ≤ n^k+12

"

Xⁿ

i=1

√k

x_iXⁿ

i=1

1

√k

1 + λxi

#_k+1^k

≤ n^k+12

 n²

√k

n+ λ

_k+1^k

= n²

√k

n+ λ, 即 m = k + 1 時不等式 (7) 也成立。

由 (i)、(ii) 可知, 對 m ≥ 2 (m ∈ N) 不等式 (7) 成立。

(II) 不妨設 x1 是 x1, x2, . . . , x_n 中最大的, 注意到 0 < xi <1 (i = 1, 2, . . . , n), 則

n

X

i=1

√k

x_i

√k

1 + λx1

>

n

X

i=1

x_i

√k

1 + λx1

= 1

√k

1 + λx1

> 1

√k

1 + λ, 當 i = 2, 3, . . . , n 時, 注意到 0 < λ ≤ k, 有

n

X

i=1

√k

x_i

√k

1 + λxi

=

k

s

Xⁿ

i=1

√k

x_ik

√k

1 + λxi

=

k

s _n X

i=1

(√^k

x_i)^k+ C_k¹(√^k

x₁)^k−1√^k

x_i+ · · ·

√k

1 + λxi

>

k

s _n X

i=1

x_i+ k(√^k

x_i)^k−1√^k x_i

√k

1 + λxi

=

√k

1 + kxi

√k

1 + λxi

≥ 1 將這 n 個不等式相加即得 (8)。

考慮 (7) 的進一步推廣, 我們有

猜想: 設 x1, x2, . . . , x_n 是正數, 且滿足

n

X

i=1

x1 = 1, 0 < α < 1, 0 < λ ≤ _n−1ⁿ , 則

Xⁿ

i=1

x^α_iXⁿ

i=1

1

(1 + λxi)^α ≤ n²

(n + λ)^α (13)

對於指數大於 1 的情形, 我們有

定理2: 設 x1, x2, . . . , x_n 是正數, 且滿足

n

X

i=1

x1 = 1, α > 1, λ > 0, 則

Xⁿ

i=1

x^α_iXⁿ

i=1

1

(1 + λxi)^α ≥ n²

(n + λ)^α. (14)

證明: 因 α ≥ 1, 由冪平均不等式(∗), 有

n

X

i=1

x^α_i

n

!¹_α

≥

n

X

i=1

x_i

n =¹_n, 所以

n

X

i=1

x^α_i ≥ n n^α, 應用權方和不等式: 設 ai, b_i >0 (i = 1, 2, . . . , n), 則當 α > 0 或 α < −1 時

n

X

i=1

a^α+1_i b^α_i ≥

Xⁿ

i=1

a_iα+1.Xⁿ

i=1

b_iα

(∗∗)

且等號成立的充要條件為 a1

b1

= a2

b2 = · · · = a_n b_n, 有

n

X

i=1

1

(1 + λxi)^α =

n

X

i=1

1^α+1

(1 + λxi)^α ≥ n^α+1 hXⁿ

i=1

(1 + λxi)iα = n^α+1 (n + λ)^α,

所以,Xⁿ

i=1

x^α_iXⁿ

i=1

1

(1 + λxi)^α ≥ n

n^α · n^α+1

(n + λ)^α = n²

(n + λ)^α, 即 (14) 成立。

參考文獻

1. 邢進喜, 數學問題 1388[J], 數學通報, 2002(8)。

2. 宋慶, 龔浩生, 一個不等式的下界估計 [J], 中學數學月刊, 2003(2)。

3. 張升, 安振平, 一個無理不等式的再探索 [J], 中學數學教學參考, 2005(8)。

4. 吳善和, 石煥南, 一個無理不等式的簡證及類以 [J], 福建中學數學, 2004(2)。

5. 舒金根, 一個猜想不等式的證明 [J], 福建中學數學, 2004(8)。

6. 舒金根, 一個無理不等式的推廣及其它 [J], 中學教研, 2004(10)。

—本文作者任教於中國四川省蓬安縣蓬安中學_—