Vector Spaces 事實上當 F 是一個 infinite field 時, 我們有以下之結果

6 1. Vector Spaces

事實上當 F 是一個 infinite field 時, 我們有以下之結果.

Theorem 1.2.4. 設 F 是一個 infinite field 且 V 是一個 F-space. 若 V₁, . . . ,V_n 為 V 的 nontrivial F-subspaces, 則 V1∪ ··· ∪Vn̸= V.

Proof. 我們利用反證法, 假設 V = V1∪ ··· ∪Vn. 若 V1⊆ V2∪ ··· ∪Vn, 則可將 V1 拿掉仍得 V = V2∪ ··· ∪Vn. 故不失一般性我們可假設 V1* V2∪ ··· ∪Vn. 因此存在 u∈ V1\V2∪ ··· ∪Vn

(即 u∈ V1 但 u̸∈ V2∪ ··· ∪Vn). 又 V₁( V, 故存在 v ∈ V \V1. 考慮集合 S ={ru + v | r ∈ F}.

注意若 r̸= r^′ 則 ru + v̸= r^′u + v (否則會導致 (r− r^′)u = O, 而得到 u = O 之矛盾). 因此由 F 是 infinite field 知 S 有無窮多個元素.

接下來我們看看 S 和每一個 V_i 個別會有多少個共同元素. 若 ru + v∈ V1, 因 ru∈ V1, 由 V₁ 是 F-subspace 可得 v∈ V1 和當初 v 的選取矛盾, 故知 S∩V1= /0. 另一方面, 當 2≤ i ≤ n, 若存在 r̸= r^′ 使得 ru + v∈ Vi 且 r^′u + v∈ Vi, 則由 Vi 是 F-subspace 得 (r− r^′)u∈ Vi, 再推得 u∈ Vi⊆ V2∪ ··· ∪Vn. 此與 u 的選取相矛盾, 故知 S 和每個 Vi 最多僅有一個共同元素. 也就 是說集合 S∩ (V1∪ ··· ∪Vn)最多僅有 n− 1 個元素. 但因 V 是一個 F-space, 由 u,v ∈ V 可得 S⊆ V. 換言之, V = V1∪ ··· ∪Vn 的假設告訴我們 S∩ (V1∪ ··· ∪Vn) = S∩V = S 應有無窮多個 元素. 此與剛才結論相矛盾故知 V = V₁∪ ··· ∪Vn 不可能成立.  要注意 Theorem 1.2.4 若 F 是一個 finite field, 則不一定成立. 另外由此定理可知若 F 是一個 infinite field, 則一個 over F 的 vector space 中兩個無包含關係的 subspaces 的聯集 一定不會是一個 F-space (參見以下 Questions).

Question 1.8. 當 F 是一個 finite field, 試找出一個 Theorem 1.2.4 的反例.

Question 1.9. 設 V 是一個 over infinite field F 的 vector space 且 V₁, . . . ,V_n 為 V 的 F-subspaces. 你可以看出 Theorem 1.2.4 告訴我們 V1∪ ··· ∪Vn 不會是一個 F-space 除非存 在 i∈ {1,...,n} 滿足 Vj⊆ Vi,∀ j ∈ {1,...,n}.

一般來說雖然一個 vector space 中的一些 subspaces 所成的聯集並不一定是一個 vector space, 但是我們仍能造出一個包含這些 subspaces 的 vector space. 我們需要以下的定義.

Definition 1.2.5. 假設 V 為一個 over F 的 vector space 且 V1, . . . ,V_n為 V 的 F-subspaces.

定義

V₁+··· +Vn={v1+··· + vn| vi∈ Vi, 1≤ i ≤ n}.

要注意這只是為了以後方便使用所定的符號, 並不是要對這些 subspaces 定義加法.

Question 1.10. 當 V 是一個 F-space 而 W 是 V 的 subspace, 依定義 W +W 會是什麼?

依照定義, 我們可得到以下的性質.

1.3. Spanning Sets 7

Proposition 1.2.6. 假設 V 為一個 over F 的 vector space 且 V₁, . . . ,V_n 為 V 的 subspaces.

則 V₁+··· +Vn 是 V 的 subspace.

Proof. 因 O∈ Vi for 1≤ i ≤ n, 故 O ∈ V1+··· +Vn. 另一方面, 若 ui, vi∈ Vi, r, s∈ F 因 Vi 是 F-subspace, 故 ru_i+ sv_i∈ Vi, 亦即

r(u₁+··· + un) + s(v₁+··· + vn) = (ru₁+ sv₁) +··· + (run+ sv_n)∈ V1+··· +Vn.

故由 Proposition 1.2.1 得知 V₁+··· +Vn 是 V 的 subspace.  Question 1.11. 假設 V 為一個 over F 的 vector space 且 U,W 為 V 的 subspaces. 很容易 知道 U∩W 是 V 中包含於 U 且包含於 W 最大的 subspace. 而什麼是 V 中包含 U 且包含 W 最小的 subspace?

1.3. Spanning Sets

我們介紹 linear combination 的概念, 進而引進另一種得到 subspace 的方法.

Definition 1.3.1. 令 V 是一個 over F 的 vector space 且令 S 為 V 的一個非空子集. 若 v∈ V 滿足 v = r1v₁+···+rnv_n, 其中 ri∈ F 且 vi∈ S, 則稱 v 是 S 的一個 linear combination.

我們用 Span(S) 來表示所有 S 的 linear combination 所成的集合.

要注意, 即使 S 是一個 infinite set, 每一個 S linear combination 僅牽涉到有限多個 S 中 的元素. 有的書會將 S 的一個 linear combination 用 v =∑u∈Sr_uu 這樣來表示, 不過都會標 明其中每個 r_u∈ F 且僅有有限多個 ru 不等於 0. 另外若 v =∑u∈Sruu =∑u∈Ssuu, 其中有某 個 u∈ S 有 ru̸= su, 則稱 v 寫成 S 的 linear combination 其表法 “不唯一”.

Question 1.12. 由定義能看出若 S^′⊆ S ⊆ V, 則 Span(S^′)⊆ Span(S) 嗎? 一般來說將 S 拿 掉一些元素有可能會使得 Span(S) 變小. 想想看在 S 中拿掉哪些元素才不會使得 Span(S) 變小呢?

若 S 是 非 空 的, 任 取 w∈ S, 因 0w = O 知 O 是一個 S 的 linear combination. 故 O∈ Span(S). 另外若 u = r1u₁+··· + rnu_n, v = s1v₁+··· + smv_m 是 S 的 linear combination (即 r_i, s_j∈ F 且 ui, v_j∈ S), 很明顯的對任意 r,s ∈ F,

ru + sv = r(r1u₁+··· + rnu_n) + s(s1v₁+··· + smv_m)

= (rr₁)u₁+···(rrn)u_n+ (ss₁)v₁+··· + (ssm)v_m 也是 S 的 linear combination. 所以利用 Proposition 1.2.1 我們有以下之結果.

Lemma 1.3.2. 若 V 是一個 over F 的 vector space 且 S 為 V 的一個非空子集, 則 Span(S) 為 V 的一個 subspace.

既然 Span(S) 是一個 F-subspace 我們便稱之為 the subspace spanned by S. 事實上 Span(S) 是 V 中包含 S 最小的 subspace.

8 1. Vector Spaces

Proposition 1.3.3. 若 V 是一個 over F 的 vector space 且 S 為 V 的一個非空子集, 則 Span(S) = ^∩

S⊆W,W≤V

W, 這裡 W 是考慮 V 中所有包含 S 的 subspaces.

Proof. 首先由 Lemma 1.3.2 知 Span(S) 就是一個包含 S 的 subspace, 所以自然有 Span(S)⊇ ^∩

S⊆W,W≤V

W.

另一方面若 W 是 V 的 subspace 且 S⊆ W 則任取 v ∈ Span(S), 因 v = r1v₁+··· + rnv_n, 其中 r₁∈ F, vi∈ S ⊆ W, 故由 W 為 subspace 得 v ∈ W, 亦即 Span(S) ⊆ W (此即表示 Span(S) 是 V 中包含 S 最小的 subspace). 因此

Span(S)⊆ ^∩

S⊆W,W≤V

W,

故得證. 

當 S = /0, 因為所有集合皆包含空集合, Proposition 1.3.3 中的交集部分就是所有 V 的 subspaces 的交集, 也就是{O}. 所以當 S 是空集合時, 我們也定義 Span(S) = {O}.

Question 1.13. 假設 V 為一個 over F 的 vector space 且 V₁, . . . ,V_n 為 V 的 subspaces. 很 容易看出 Span(Vi) = Vi. 你能知道 Span(V1∪ ··· ∪Vn) 是什麼嗎?

前面 Question 1.12 中我們提到一般來說將 S 拿掉一些元素有可能會使得 Span(S) 變小.

以下我們回答在 S 中拿掉哪些元素才不會使得 Span(S) 變小.

Corollary 1.3.4. 令 V 為一個 vector space over F 且 S^′⊆ S ⊆ V. 則 Span(S) = Span(S^′) 若且唯若 S\ S^′⊆ Span(S^′).

Proof. (⇒) 因 S \ S^′⊆ S 依定義自然有 S \ S^′⊆ Span(S). 故由前提 Span(S) = Span(S^′) 可得 S\ S^′⊆ Span(S^′).

(⇐) 由 S^′ ⊆ S 可得 Span(S^′)⊆ Span(S), 因此我們僅要證明 Span(S) ⊆ Span(S^′). 事實 上, 我們只要證明 S⊆ Span(S^′) 即可. 這是因為 Lemma 1.3.2 告訴我們 Span(S^′) 是一個 subspace of V , 故若 S 包含於 Span(S^′)則由 Proposition 1.3.3 可得 Span(S)⊆ Span(S^′). 然而 對任意 v∈ S, 我們有 v ∈ S^′ 或 v∈ S \S^′. 若 v∈ S^′ 依定義自然有 v∈ Span(S^′);而若 v∈ S \ S^′ 依假設也有 v∈ Span(S^′). 故知 S⊆ Span(S^′),因而得證 Span(S) = Span(S^′).  特別地, 當 V 是一個 F-space, 而 S 是 V 的子集滿足 Span(S) = V , 則稱 S 是 V 的一個 spanning set. 依此定義很容易知道若 S⊆ S^′⊆ V, 且 S 是 V 的 spanning set, 則 S^′ 也是 V 的 spanning set.

Example 1.3.5. 我們藉由 Example 1.1.1 的 vector spaces, 舉出它們幾個基本的 spanning sets.

1.4. Linear Independence 9

(1) 在 Fⁿ 中考慮 e_i= (0, . . . , 1, . . . , 0), 其中 1 是在第 i 個位置, 其他位置都是 0. 則 {e1, . . . , e_n} 是 Fⁿ 的一個 spanning set.

(2) 在 P_n(F) 中因為所有元素皆可用 a_nxⁿ+··· + a1x + a₀ 來表示, 其中 a_i ∈ F, 所以 {1,x,...,xⁿ} 是 Pn(F) 的一個 spanning set.

(3) 在 F^S 中, 任取λ ∈ S 定義 f_λ∈ F^S, 為 f_λ(s) =

{ 1, s =λ;

0, s̸=λ.

當 S 是一個 finite set 時, { f_λ |λ ∈ S} 是 F^S 的一個 spanning set. 不過當 S 是 infinite set 時, 這就不對了. 這是因為在 vector space 中我們僅考慮有限多個元素 相加 (無窮多個元素相加會有收斂發散的問題, 這會牽涉到 “Topology”, 不是一般 線性代數所談的範疇).

Question 1.14. 在上述 F^S 的情形, 若 S 是一個 infinite set, Span({ f_λ |λ ∈ S}) 是什麼?

1.4. Linear Independence

我們介紹 linear independence 的概念, 不過為了避免大家邏輯上可能發生的謬誤, 我們 由 linear dependence 的概念出發. 事實上 Linear independence 和 spanning set 之間有許 多相呼應的性質, 希望大家研習此節一些結果時能常常和前一節的結果相對照.

Definition 1.4.1. 令 V 是一個 over F 的 vector space 且令 S 為 V 的一個非空子集. 若 存在 v∈ S 滿足 v ∈ Span(S \ {v}), 則稱 S 為 linearly dependent. 反之, 則稱 S 為 linearly independent.

依此定義我們很容易得知, 若 O∈ S, 則 S 一定是 linearly dependent. 因為 O 一定會在 任何的 subspace 中.

Question 1.15. 依此定義你能看出若 S⊆ S^′′⊆ V, 而 S^′′ 是 linearly independent, 則 S 是 linearly independent 嗎? (or 若 S 是 linearly dependent, 則 S^′′ 是 linearly dependent) 不 過若 S 是 linearly independent, S^′′ 不一定是 linearly independent. 也就是說一個 linearly independent 的集合多加了元素後有可能變成 linearly dependent. 要加入怎樣的元素才能保 持 linearly independent 呢?

Exercise 1.2. Let S,U,W be subspaces of V . (1) Show that S∩ (U +W) ⊇ (S ∩U) + (S ∩W).

(2) Find an example that S∩ (U +W) = (S ∩U) + (S ∩W) is not true.

(3) Show that if W⊆ S, then S ∩ (U +W) = (S ∩U) + (S ∩W).

(4) Prove S∩ (U + (S ∩W)) = (S ∩U) + (S ∩W).

———————————– 22 September, 2017