3.2. Characteristic Polynomial
前面提過一個 linear operator 的問題, 我們可以轉化成有關於 square matrix 的問題, 所 以我們會先探討一般 n× n matrix, 然後再將之轉化成 linear operator 的情形.
給定一個係數在 F 的 polynomial f (x) = cdxd+··· + c1x + c0 以及一個 n× n matrix A, 我們定義
f (A) = cdAd+··· + c1A + c0In.
很明顯的, f (A) 仍然是一個 n× n matrix. 一般來說矩陣相乘是不可交換的, 不過 Ai 和 f (A) 相乘是可以交換的. 事實上
Ai· f (A) = Ai· (cdAd+··· + c1A + c0In)
= cdAd+i+··· + c1A1+i+ c0Ai= (cdAd+··· + c1A + c0In)· Ai= f (A)· Ai. 因此加上利用矩陣加法乘法的分配律, 我們可以得到以下的結果.
Lemma 3.2.1. 假設 f (x), g(x), h(x)∈ F[x] 且 f (x) = g(x)h(x). 若 A ∈ Mn(F), 則 g(A)· h(A) = h(A) · g(A) = f (A).
再次強調這裡都是和 A 相關的矩陣相乘才會成立, 一般來說若 g(x), h(x)∈ F[x] 以及 A, B∈ Mn(F), 不一定會有 g(A)· h(B) = h(B) · g(A).
接下來我們有興趣的是若 A∼ B, 是否 f (A) ∼ f (B) 呢? 首先觀察若 P 為 invertible, 則 (P−1· A · P)2= (P−1· A · P) · (P−1· A · P) = P−1· A2· P.
利用數學歸納法可得
(P−1· A · P)i= P−1· Ai· P.
我們有以下結果.
Lemma 3.2.2. 假設 f (x)∈ F[x] 且 A,B ∈ Mn(F). 若 A∼ B, 則 f (A) ∼ f (B).
Proof. 由 A∼ B 知存在 P 為 invertible 使得 B = P−1· A · P. 若 f (x) = cdxd+··· + c1x + c0, 則
f (B) = cdBd+··· + c1B + c0In= cd(P−1· A · P)d+··· + c1(P−1· A · P) + c0In
= cd(P−1·Ad·P)+···+c1(P−1·A·P)+c0In= P−1·(cdAd+···+c1A + c0In)·P = P−1· f (A)·P,
得證 f (A)∼ f (B).
我們也可把這概念推廣到 linear operator, 假設 f (x) = cdxd+··· + c1x + c0∈ F[x] 以及 T : V → V 是一個 linear operator, 由於 linear operators 之間的合成和矩陣之間的相乘相對 應 (參見式子 (3.1)), 我們定義
f (T ) = cdT◦d+··· + c1T + c0id,
很明顯的 f (T ) 仍然是 V 到 V 的 linear operator. 我們可以檢查 T◦i◦ f (T) = f (T) ◦ T◦i, 所 以一樣有以下結果.
Lemma 3.2.3. 假設 f (x), g(x), h(x)∈ F[x] 且 f (x) = g(x) · h(x). 若 T ∈ L (V), 則 g(T )◦ h(T) = h(T) ◦ g(T) = f (T).
這裡要強調一下當 f (x) = g(x)· h(x) 時 f (T) = g(T) ◦ h(T) 而不是等於 g(h(T)). 也就是 說將 g(T ) 和 h(T ) 這兩個 linear operator 合成會得到 f (T ) 這個 operator, 但並不是將 h(T ) 這個 linear operator 代入 g(x) 這個多項式.
給定 V 的一個 ordered basis β 我們自然要問 F(T) 的 representative matrix 是否和 T 的 representative matrix 有關. 事實上再次利用等式 3.1, 我們有 [T◦2]β= [T ]2β, 利用數學歸 納法可得
[T◦i]β= [T◦ T◦i−1]β= [T ]β· [T]i−1β = [T ]iβ, 由此我們有以下之結果.
Lemma 3.2.4. 假設 V 是一個 finite dimensional F-space,β 為 V 的一個 ordered basis 且 T : V → V 是一個 linear operator. 若 f (x) = cdxd+··· + c1x + c0∈ F[x], 則
[ f (T )]β = f ([T ]β) = cd[T ]dβ+··· + c1[T ]β+ c0In.
Proof. 依定義 [ f (T )]β 是 f (T ) 的 representative matrix, 利用Φ 是 linear transformation, 我們知
[ f (T )]β= [cdT◦d+··· + c1T + c0id]β =
cd[T◦d]β+··· + c1[T ]β+ c0[id]β= cd[T ]dβ+··· + c1[T ]β+ c0In= f ([T ]β).
現在回到 n× n matrix 的情形. 我們知 dim(Mn(F)) = n2, 現若 A∈ Mn(F), 考慮 S = {In, A, A2, . . . , An2}. 由於 #(S) = n2+ 1 > dim(Mn(F)), 我們知 S 為 linearly dependent. 亦即 存在 c0, c1, . . . , cn2 ∈ F 不全為 0 使得
cn2An2+··· + c1A + c0In= O.
若令 f (x) = cn2xn2+··· + c1x + c0, 則得 f (A) = O. 因此我們可以說: 對任意的 n× n matrix A, 皆存在一個次數不大於 n2 的非零多項式 f (x)∈ F[x] 使得 f (A) 為 n × n 的 zero matrix O. 注意這裡 cn2 有可能是 0 所以我們不能說 deg( f (x)) = n2, 另外 cn2, . . . , c1, c0 不全為 0, 所 以 f (x) 不是零多項式.
Question 3.2. 若 A∼ B 且 f (x) ∈ F[x] 滿足 f (A) = O, 是否可得 f (B) = O?
Question 3.3. 若 dim(V ) = n 且 T : V→ V 是一個 linear operator, 是否可找到一個 nonzero polynomial f (x)∈ F[x] 且 deg( f (x)) ≤ n2 使得 f (T ) = O?
事實上我們可以找到次數為 n 的多項式 f (x) 使得 f (A) = O, 就是所謂的 characteristic polynomial.
Definition 3.2.5. 假設 A∈ Mn(F), 考慮χA(x) = det(xIn−A) ∈ F[x], 稱為 A 的 characteristic polynomial.
注意有的書定義 det(A−xIn)為 A 的 characteristic polynomial, 我們用 det(xIn−A) 主要 是讓χA(x) 是一個 monic polynomial (最高次項係數為 1). 利用降階求 determinant 的方法 以及數學歸納法, 我們可以知當 A 為 n×n matrix 時,χA(x) 的次數為 n 且最高次項係數為 1.
也可更進一步得到χA(x) 的次高項 (即 xn−1 項) 係數為−tr(A) (註: tr(A) 為 A 的 trace, 即對 角線之和). 另外將 x = 0 代入χA(x) 可得χA(x) 的常數項為 χA(0) = det(−A) = (−1)ndet(A).
Example 3.2.6. 由於 xIn− In= (x− 1)In, 我們可得 χIn(x) = det((x− 1)In) = (x− 1)n. 我們 計算幾個 2× 2 matrix 的 characteristic polynomial. 考慮
A1=
( 1 −1 1 −1
) , A2=
( 1 −1 0 −1
) , A3=
( 1 −1 2 −1
) , 則
χA1 = det
( x− 1 1
−1 x + 1 )
= (x− 1)(x + 1) + 1 = x2, χA2 = det
( x− 1 1 0 x + 1
)
= (x− 1)(x + 1) = x2− 1, χA3 = det
( x− 1 1
−2 x + 1 )
= (x− 1)(x + 1) + 2 = x2+ 1.
Question 3.4. 試檢查看看 χI2(I2), χA1(A1), χA2(A2), χA3(A3) 是哪些矩陣.
接下來我們來看看 similar matrices 它們的 characteristic polynomial 有什麼關係.
Proposition 3.2.7. 若 A, B∈ Mn(F) 且 A∼ B, 則 χA(x) =χB(x).
Proof. 由 A∼ B 知存在 invertible matrix P 使得 B = P−1· A · P. 因 xIn 為 diagonal matrix, 我們知 xIn· P = P · xIn, 故有 P−1· xIn· P = xIn. 因此
xIn− B = xIn− P−1· A · P = P−1· xIn· P − P−1· A · P = P−1· (xIn− A) · P.
得證
χB(x) = det(xIn− B) = det(P−1· (xIn− A) · P) = det(P)−1det(xIn− A)det(P) =χA(x).
特別的, 當 T : V→ V 是一個 linear operator, β,β′ 為 V 的 ordered bases, 由於 [T ]β ∼ [T ]β′, Proposition 3.2.7 告訴我們 χ[T ]β(x) =χ[T ]β′(x). 因此我們可以定義 linear operator 的 characteristic polynomial.
Definition 3.2.8. 假設 V 為 finite dimensional F-space. 對於 V 的 linear operator T : V→ V , 任取 V 的一個 ordered basis β, 定義 T 的 characteristic polynomial 為 χ[T ]β(x), 且以 χT(x) 來表示.
由 於 A 的 characteristic polynomial 牽 涉 到 xIn− A 這樣的矩陣, 也就是說矩陣的 entry 中有多項式, 現在我們來探討這一類的矩陣. 首先, 我們可以將這一類的矩陣寫成 xdAd+··· + xA1+ A0, 其中 Ai∈ Mn(F) 這樣的型式. 例如我們可以有以下的表示法
( 5x2+ 3 4x− 1 7 x3− 2x2+ x
)
= x3
( 0 0 0 1
) + x2
( 5 0 0 −2
) + x
( 0 4 0 1
) +
( 3 −1 7 0
) . 由 於 我 們 是 將 F 的 元 素 代 入 x, 所 以 我 們 可 將 xA 視 為 常 數 x 乘 上 矩 陣 A. 因 此 當 A, B∈ Mn(F), 由矩陣乘法 (rA)· (sB) = (rs)A · B, 我們有
(xiA)· (xjB) = xi+ jA· B.
例如因矩陣加法乘法有分配律, 我們有
(A + xB)2= (A + xB)· (A + xB) = A2+ A· (xB) + xB · A + (xB)2= A2+ x(A· B + B · A) + x2B2, 不過要注意因矩陣乘法沒有交換律, (A + xB)2 不一定等於 A2+ 2x(A· B) + x2B2.
當兩個 entry 中有多項式的 square matrices 相乘時, 我們可以它們如同一般的矩陣來相 乘. 也可利用上面的方法將它們有 x 的部分提出, 然後像多項式相乘一樣展開. 由於這樣處 理仍依循著矩陣乘法的規律, 所以得到的結果會相同. 我們看一個例子.
Example 3.2.9. 考慮
( 5x2+ 3 4x− 1
7 x
)
= x2
( 5 0 0 0
) + x
( 0 4 0 1
) +
( 3 −1 7 0
) .
以及 (
x− 1 1
−x x + 2 )
= x
( 1 0
−1 1 )
+
( −1 1 0 2
) . 直接相乘我們有
( 5x2+ 3 4x− 1
7 x
)
·
( x− 1 1
−x x + 2 )
=
( 5x3− 9x2+ 4x− 3 9x2+ 7x + 1
−x2+ 7x− 7 x2+ 2x + 7 )
, 而另一邊如多項式相乘展開有
( x2
( 5 0 0 0
) + x
( 0 4 0 1
) +
( 3 −1 7 0
))
· (
x
( 1 0
−1 1 )
+
( −1 1 0 2
))
= x3
( 5 0 0 0
)( 1 0
−1 1 )
+ x2
(( 5 0 0 0
)( −1 1 0 2
) +
( 0 4 0 1
)( 1 0
−1 1 ))
+ x
(( 0 4 0 1
)( −1 1 0 2
) +
( 3 −1 7 0
)( 1 0
−1 1 ))
+
( 3 −1 7 0
)( −1 1 0 2
)
= x3
( 5 0 0 0
) + x2
( −9 9
−1 1 )
+ x
( 4 7 7 2
) +
( −3 1
−7 7 )
所以兩種算法結果是相等的.
接著我們要強調若 xdAd+··· + xA1+ A0= xdBd+··· + xB1+ B0, 其中 Ai, Bi∈ Mn(F), 則 Ai= Bi,∀i = 0,1,...,d. 這是因為若有某個 Ai̸= Bi, 表示等式兩邊的矩陣有個 entry 其 xi 的 係數不相同, 造成矛盾. 了解了這些概念, 我們就可以處理 characteristic polynomial 的重要 性質.
Theorem 3.2.10 (Cayley-Hamilton Theorem). 若 A∈ Mn(F), χA(x) 為 A 的 characteristic polynomial, 則 χA(A) = O.
Proof. 令 χA(x) = xn+··· + c1x + c0. 利用 xIn− A 的 adjoint matrix, 由 Lemma 3.1.5 我們 有
adj(xIn− A) · (xIn− A) = det(xIn− A)In=χA(x)In= xnIn+··· + xc1In+ c0In.
若將 xIn−A 的 i-th row 和 k-th column 移除, 所得的 (n−1)×(n−1) matrix 其 determinant 為次數小於 n 的多項式, 所以依 adjoint matrix 的定義 adj(A− xIn) 的每個 entry 皆為次數 小於 n 的多項式, 故假設 adj(A− xIn) = xn−1Bn−1+··· + xB1+ B0, 其中 Bi∈ Mn(F). 因此我 們有以下的等式
(xn−1Bn−1+ xn−2Bn−2+··· + xB1+ B0)· (xIn− A) = xnIn+ xn−1cn−1In+··· + xc1In+ c0In (3.2) 將等式 (3.2) 左邊展開, 我們得
(xn−1Bn−1+ xn−2Bn−2+··· + xB1+ B0)· (xIn− A)
= xn(Bn−1· In) + xn−1(Bn−2· In− Bn−1· A) + ··· + x(B0· In− B1· A) − B0· A
應該和等式 (3.2) 右式相同, 故比較係數得
−B0· A = c0In B0· In− B1· A = c1In
...
Bn−2· In− Bn−1· A = cn−1In Bn−1· In = In
將第一式不動, 第二式兩邊右乘 A, 第三式兩邊右乘 A2, . . . , 最後一式兩邊右乘 An, 我們得
−B0· A = c0In B0· A − B1· A2 = c1A
...
Bn−2· An−1− Bn−1· An = cn−1An−1 Bn−1· An = An 因未左邊全部加起來會等於右邊全部加起來, 得證
O = An+ cn−1An−1+··· + c1A + c0In=χA(A).
當β 為 V 的一個 ordered basis, T : V → V 為 linear operator, 我們定義 χT(x) =χ[T ]β(x).
此時χT(T ) 為 linear operator, 其對 β 的 representative matrix , 依 Lemma 3.2.4 知為 [χ[T ]β(T )]β=χ[T ]β([T ]β).
故由 Theorem 3.2.10 知 [χT(T )]β = O, 因此利用 Lemma 3.1.1 得知 χT(T ) = O. 這就是 linear operator 版本的 Cayley-Hamilton Theorem.
Corollary 3.2.11 (Cayley-Hamilton Theorem). 若 V 為 finite dimensional F-space, T : V → V 為 linear operator, 則 χT(T ) = O.
3.3. Minimal Polynomial
若 A 是 n× n matrix, 利用 A 的 characteristic polynomial, 我們知道存在次數為 n 的多 項式 f (X)∈ F[x] 使得 f (A) = O. 會不會有次數更小的多項式可以達到這個目的呢? 這是有 可能的, 例如 A = In 時, χIn(x) = (x− 1)n, 但考慮 f (x) = x− 1, 我們有 f (In) = In− In= O. 所 以我們想要找到次數最小的非零多項式 f (X)∈ F[x] 使得 f (A) = O.
Definition 3.3.1. 設 A∈ Mn(F), 在所有非零多項式 f (x)∈ F[x] 中滿足 f (A) = O, 且次數 最小的 monic polynomial (即最高次項係數為 1) 稱為 A 的 minimal polynomial, 用 µA(x) 來表示.
我們知道一定存在次數最小的非零多項式 f (x)∈ F[x] 使得 f (A) = O, 而這裡要求 monic 就是要求唯一性. 事實上若 f (x), g(x)∈ F[x] 為次數最小的非零 monic polynomial 使得 f (A) = g(A) = O, 因皆為次數最小故必有 deg( f ) = deg(g), 又要求 f (x), g(x) 為 monic, 故 知 deg( f (x)− g(x)) < deg( f (x)). 但此時 f (A) − g(A) = O − O = O, 故由次數最小的要求知
f (x)− g(x) 必為零多項式, 即 f (x) = g(x), 所以 minimal polynomial µA(x) 是唯一的.
接下來我們要問若 A∼ B, 那麼它們的 minimal polynomial µA(x),µB(x) 是否相等. 首先 來看一個 minimal polynomial 最基本的性質.
Lemma 3.3.2. 假設 A∈ Mn(F) 且 f (x)∈ F[x]. 則 f (A) = O 若且唯若 µA(x)| f (x).
Proof. 假設 f (x)|µA(x), 表示存在 h(x)∈ F[x] 使得 f (x) =µA(x)h(x), 因 µA(A) = O, 利用 Lemma 3.2.1 知 f (A) =µA(A)·h(A) = O·h(A). 因為零矩陣乘以任何同階的矩陣亦為零矩陣, 故得 f (A) = O.
另一方面, 因 F 是一個 field, 考慮多項式的除法 f (x) =µA(x)h(x) + r(x), 其中 h(x), r(x)∈ F[x] 且 deg(r(x)) < deg(µA(x)). 由 f (A) = O 的假設我們得
O = f (A) =µA(A)· h(A) + r(A) = O · h(A) + r(A) = r(A).
亦即 r(x)∈ F[x] 是一個次數比µA(x) 小卻滿足 r(A) = O 的多項式. 依µA(x) 是 A 的 minimal polynomial 之定義得 r(x) 為零多項式, 得證 f (x) 是 µA(x) 的倍式, 即 µA(x)| f (x).
現若 A∼ B, 利用 Lemma 3.2.2 知µA(B)∼µA(A) = O, 然而和零矩陣 similar 的矩陣必為 零矩陣 (因對任意 invertible matrix P, P−1·O·P = O), 故得 µA(B) = O. 由 Lemma 3.3.2 知 µB(x)|µA(x). 同理利用 µB(A)∼µB(B) = O, 得 µA(x)|µB(x). 然而 µA(x),µB(x) 皆為 monic, 故得µA(x) =µB(x). 證得以下之結果.
Proposition 3.3.3. 若 A, B∈ Mn(F) 且 A∼ B, 則 µA(x) =µB(x).
我們也可以定一個 linear operator 的 minimal polynomial.
Definition 3.3.4. 設 V 為一個 finite dimensional F-space, T : V→V 為一個 linear operator.
在所有非零多項式 f (x)∈ F[x] 中滿足 f (T) = O, 且次數最小的 monic polynomial 稱為 T 的 minimal polynomial, 用µT(x) 來表示.
同 matrix 的情形, T 的 minimal polynomial 必存在且唯一. 利用 Lemma 3.3.2 相同的 證明方法 (需用到零函數和任何函數合成仍為零函數) 我們會有以下結果.
Lemma 3.3.5. 假設 V 為一個 finite dimensional F-space, T : V→V 為一個 linear operator.
則 f (T ) = O 若且唯若 µT(x)| f (x).
Question 3.5. 你會證明 Lemma 3.3.5 嗎?
當β 為 V 的 ordered basis, T 的 characteristic polynomial χT(x) 是由 T 的 representative matrix [T ]β 的 characteristic polynomial χ[T ]β(x) 定義而得. 不過 T 的 minimal polynomial µT(x) 並不是由µ[T ]β 定義得到, 所以我們要探討它們是否相同.
Proposition 3.3.6. 設 V 為一個 finite dimensional F-space, β 為 V 的一個 ordered basis 且 T : V → V 為 linear operator. 則
µT(x) =µ[T ]β(x).
Proof. 首先注意, 若 f (x)∈ F[x], 則利用 Lemma 3.2.4 以及 Lemma 3.1.1 我們有 f (T ) = O⇔ [ f (T)]β= O⇔ f ([T]β) = O.
所以由 µT(T ) = O 可得 µT([T ]β) = O, 故由 Lemma 3.3.2 知 µ[T ]β(x)|µT(x). 同樣的由 µ[T ]β([T ]β) = O, 可得 µ[T ]β(T ) = O, 故知 µT(x)|µ[T ]β(x). 又因 µT(x),µ[T ]β(x) 皆為 monic
polynomial, 得證µT(x) =µ[T ]β(x).
最後我們來探討 minimal polynomial 和 characteristic polynomial 之間的關係.
Theorem 3.3.7.
(1) 假設 A∈ Mn(F), 則 µA(x)|χA(x). 而且 λ ∈ F 滿足 χA(λ) = 0 若且唯若 µA(λ) = 0.
(2) 假設 V 為 finite dimensional F-space, T : V→V 為 linear operator, 則µT(x)|χT(x).
而且 λ ∈ F 滿足 χT(λ) = 0 若且唯若 µT(λ) = 0.
Proof.
(1) 因χA(A) = O, 由 Lemma 3.3.2 知µA(x)|χA(x). 由此可得若µA(λ) = 0 則 χA(λ) = 0.
反之, 若 χA(λ) = 0, 則表示 det(λIn− A) = 0 亦即 λIn− A 不是 invertible matrix.
現考慮 µA(x) 除以 x−λ, 得 µA(x) = (x−λ)h(x) + r, 其中 h(x) ∈ F[x] 且 r ∈ F. 代 入 A, 得 O =µA(A) = (A−λIn)· h(A) + rIn. 若 r̸= 0, 由 (λIn− A) · h(A) = rIn 得 (λIn− A) · r−1h(A) = In. 此代表 r−1h(A) 為 λIn− A 的 inverse, 與 λIn− A 不是 invertible matrix 相矛盾, 得知 r = 0, 亦即 x−λ | µA(x). 得證 µA(λ) = 0.
(2) 對於 linear operator T : V→V, 選定 V 的一個 ordered basisβ, 由於 χT(x) =χ[T ]β(x) 以及 µT(x) =µ[T ]β(x). 套用 (1) 的結果於 [T ]β, 我們得證 µT(x)|χT(x) 且
χT(λ) = 0 ⇔ µT(λ) = 0.
Example 3.3.8. 我們利用前面 Example 3.2.6 所得的 characteristic polynomial 來求它們 的 minimal polynomial. 因χA1(x) = x2, 依 Theorem 3.3.7 知µA1(x) 應為 x 或 x2. 但 A1̸= O, 知 A1 的 minimal polynomial 不可能為 x, 得知 µA1(x) = x2.
因χA2(x) = x2−1, 依 Theorem 3.3.7 知 x−1 和 x+1 都是µA2(x) 的因式, 又µA2(x)| x2−1 得知µA2(x) = x2− 1.
因 χA3(x) = x2+ 1, 依 Theorem 3.3.7 知 µA3(x)| x2+ 1. 若 F =R, x2+ 1 的 monic factor (因式) 僅有 1 和 x2+ 1, 又 minimal polynomial 不能是常數多項式, 得證 µA3(x)| x2+ 1. 又 若 F =C, 因 i,−i 皆為 x2+ 1 = 0 的根, 依 Theorem 3.3.7 知µA3(x) = x2+ 1.
Question 3.6. 你能找到 A∈ M2(R), 使得 µA(x)̸=χA(x) 嗎?
Question 3.7. 若 A∈ Mn(F) 且χA(x) = (x−λ1)···(x −λn) 其中λi∈ F 且λi̸=λj for i̸= j, 則 µA(x) 是什麼?
我 們 可 以 將 Theorem 3.3.7 做 進 一 步 的 推 廣, 這 需 要 複 習 一 下 學 過 的 代 數. 假 設 p(x)∈ F[x] 是一個 irreducible polynomial, 我們可以找到 F 的一個 finite extension ˜F, 使 得 p(x) = 0 在 ˜F 中有根. 假設λ ∈ ˜F 為一根 (即 p(λ) = 0), 則對於任意 f (x) ∈ F[x], 滿足 f (λ) = 0, 因 p(x) 為 irreducible, 我們知 p(x) | f (x). 現若 A ∈ Mn(F), A 也可視為在 Mn( ˜F) 中.
A 的 characteristic polynomial 不管將 A 視為哪裡的矩陣, 其定義皆為 det(xIn− A), 此和將 A 視為 Mn(F) 或 Mn( ˜F) 中的 matrix 無關. 但 minimal polynomial 的定義就和哪一個 field 有關了. 若將 A 視為 Mn( ˜F) 的矩陣, 其 minimal polynomial (在此用 ˜µA(x) 表示), 其定義為 在 ˜F[x] 中次數最小的 monic polynomial f (x) 使得 f (A) = O. 所以因為µA(x)∈ F[x] ⊆ ˜F[x], 利用 Lemma 3.3.2 我們知 ˜µA(x)|µA(x). 了解了這一層關係, 我們便有以下之重要定理.
Theorem 3.3.9.
(1) 假設 A∈ Mn(F) 且 p(x)∈ F[x] 是一個 irreducible polynomial. 則 p(x) |χA(x) 若且 唯若 p(x)|µA(x).
(2) 假設 V 為 finite dimensional F-space, T : V→ V 為 linear operator, 且 p(x) ∈ F[x]
是一個 irreducible polynomial. 則 p(x)|χT(x) 若且唯若 p(x)|µT(x).
Proof.
(1) 由 Theorem 3.3.7 我們知 µA(x)|χA(x), 故若 p(x)|µA(x) 則得 p(x)|χA(x). 另一方 面, 若 p(x)∈ F[x] 為 irreducible 且 p(x) |χA(x). 考慮 ˜F 為 F 的 finite extension, 使得 p(x) = 0 在 ˜F 中有一根λ. 將 A 視為在 Mn( ˜F) 的矩陣且令 ˜µA(x)∈ ˜F[x] 為 A∈ Mn( ˜F) 在 ˜F[x] 的 minimal polynomial. 此時由於 p(x)|χA(x), 我們有χA(λ) = 0.
利用 Theorem 3.3.7 套用在 ˜F 的情形, 得 ˜µA(λ) = 0. 然而已知 ˜µA(x)|µA(x), 得 µA(λ) = 0. 現因 µA(x)∈ F[x] 且 p(x) ∈ F[x] 為 irreducible, 得證 p(x) |µA(x).
(2) 對於 linear operator T : V→V, 選定 V 的一個 ordered basisβ, 由於 χT(x) =χ[T ]β(x) 以及 µT(x) =µ[T ]β(x). 套用 (1) 的結果於 [T ]β, 我們得證
p(x)|χT(x)⇔ p(x) |χ[T ]β(x)⇔ p(x) |µ[T ]β(x)⇔ p(x) |µT(x).
Question 3.8. 若 A∈ Mn(F) 且 χA(x) = pc11(x)··· pckk(x) 其中 ci∈ N, pi(x)∈ F[x] 為 monic irreducible polynomial 且 pi(x)̸= pj(x) for i̸= j, 則 µA(x) 會是怎樣的形式?
Example 3.3.10. 考慮 linear operator T : P2(R) → P2(R) 滿足
T (1) = 2x2− 1,T(x + 1) = 3x2+ 2x + 2, T (−x2+ x + 1) = 4x2+ 2x + 2.
我們想找出 T 的 minimal polynomial µT(x).
首先考慮 P2(R) 的 ordered basisβ = (−x2+ x + 1, x + 1, 1). 因
T (−x2+ x + 1) = (−4)(−x2+ x + 1) + 6(x + 1) T (x + 1) = (−3)(−x2+ x + 1) + 5(x + 1)
T (1) = (−2)(−x2+ x + 1) + 2(x + 1) + (−1)1
得 [T ]β=
−4 −3 −2
6 5 2
0 0 −1
. 計算得 χT(x) =χ[T ]β(x) = (x + 1)2(x− 2). 又
([T ]β+ I3)· ([T]β− 2I3) =
−3 −3 −2
6 6 2
0 0 0
·
−6 −3 −2
6 3 2
0 0 −3
=
0 0 6 0 0 −6 0 0 0
,
知 µT(x) =µ[T ]β(x)̸= (x + 1)(x − 2), 而得 µT(x) =µ[T ]β(x) = (x + 1)2(x− 2). 事實上
([T ]β+ I3)2· ([T]β− 2I3) =
−3 −3 −2
6 6 2
0 0 0
·
0 0 6 0 0 −6 0 0 0
= O.
Question 3.9. 試利用 ordered basis (x2, x, 1) 處理 Question 3.3.10. 會不會有一樣結果?
Exercise 3.2. Determinant the characteristic and minimal polynomials of each of the following matrices:
1 2 3 0 1 2 0 0 1
,
1 0 3 0 1 0 0 0 1
,
1 0 1 0 2 0 1 0 1
,
1 −1 0 1 0 1 0 1 1
,
0 0 2 1 0 −1 0 1 1
.
Exercise 3.3. Suppose that T∈ L (V) and p(x) is an irreducible polynomial in F[x] such that p(T ) is not one-to-one. Prove that p(x)|χT(x) and p(x)|µT(x).
———————————– 10 November, 2017
