1.6. Direct Sum and Quotient Space

1.6. Direct Sum and Quotient Space 19

1.6. Direct Sum and Quotient Space

前面介紹 subspace 時, 我們談到幾種建構 subspace 的方法, 那些方法所得的 vector space 都是在原先的 vector space 中. 在這節中, 我們將介紹兩個建構 “全新” 的 vector space 的方法.

1.6.1. Direct Sum. 給定兩個 over F 的 vector spaces U,W (這裡不需假設 U,W 是某個 vector space 的 subspaces) 我們考慮一個新的集合

U⊕W = {(u,w) | u ∈ U,w ∈ W}.

稱此集合為 the (external) direct sum of U and W . 要注意 U⊕W 是一個新的集合, 所以我 們要說明這個集合裡的元素怎樣才會相等 (這就好像當我們介紹多項式時要說明何謂多項 式的相等). 在這裡我們要求若 (u₁, w₁) = (u₂, w₂), 則 u₁= u₂ 且 w₁= w₂.

我們可以利用 U,W 本身為 vector space 的性質定義在 U⊕W 中的運算及 F 的作用. 給 定 (u₁, w₁), (u₂, w₂)∈ U ⊕W 及 r ∈ F, 我們定義

(u₁, w₁) + (u₂, w₂) = (u₁+ u₂, w₁+ w₂) r(u1, w₁) = (ru₁, rw₁)

在此定義之下, 很容易檢查 U⊕W 為一個 vector space over F.

Question 1.24. 請檢查 U⊕W 為一個 vector space over F. 你知道為什麼不能僅檢查封閉 性呢? U⊕W 的 O (加法單位元素) 應該長什麼樣子呢?

Question 1.25. 若 U^′,W^′ 分別為 U,W 的 subspaces, 試證明 U^′⊕W^′ 是 U⊕W 的 subspace.

反過來若 V 為 U⊕W 的 subspace, 是否可找到 U,W 的 subspaces U^′,W^′ 使得 V = U^′⊕W^′? 若 U,W 為 finite dimensional F-spaces, 我們自然會問是否 U⊕W 亦為 finite dimensional F-space, 且其 dimension 為何?

Proposition 1.6.1. 假設 U,W 為 finite dimensional F-spaces, 則 U⊕W 亦為 finite di- mensional F-space, 且

dim(U⊕W) = dim(U) + dim(W).

Proof. 設{u1, . . . , u_m} 為 U 的一組 basis 且 {w1, . . . , w_n} 為 W 的一組 basis. 我們僅要證 明 S ={(u1, OW), . . . , (um, OW), (OU, w1), . . . , (OU, wn)} 為 U ⊕W 的一組 basis (其中 OU, OW

分別表 U,W 中的加法單位元素).

首先我們證明 S 為 U⊕W 的一組 spanning set. 對任意 (u,w) ∈ U ⊕W, 由於 u ∈ U 且 {u1, . . . , um} 為 U 的一組 basis, 故存在 c1, . . . , cm∈ F 使得 u = c1u₁+··· + cmu_m. 同理存在 d₁, . . . , d_n∈ F 使得 w = d1w₁+··· + dnw_n. 因此得

(u, w) = c1(u1, OW) +··· + cm(um, OW) + d1(OU, w1) +··· + dn(OU, wn), 故得證 S 為 U⊕W 的一組 spanning set.

20 1. Vector Spaces

最後我們要證明 S 為 linearly independent. 用反證法, 假設 S 為 linearly dependent, 由 Proposition 1.4.2 知存在 c1, . . . , c_m, d₁, . . . , d_n 不全為 0 使得

(O_U, O_W) = c₁(u₁, O_W) +··· + cm(u_m, O_W) + d₁(O_U, w₁) +··· + dn(O_U, w_n),

依 U⊕W 中元素相等的定義此即 OU = c₁u₁+··· + cmu_m 且 O_W = d₁w₁+··· + dnw_n. 由於 {u1, . . . , um} 和 {w1, . . . , wn} 皆為 linearly independent 可得 c1, . . . , cm 和 d₁, . . . , dn 皆為 0,

此與之前假設相矛盾. 故得證 S 為 linearly independent. 

最後我們要強調要 over 相同的 field 的 vector spaces 才可以談論其 direct sum. 另外我 們可以將兩個 F-spaces 的 direct sum 的定義推廣到任意有限多個 F-spaces 的 direct sum.

Question 1.26. 假設 U1, . . . ,Un 為 F-spaces, 你認為 U₁⊕ ··· ⊕Un 的定義應為何? 又若 U₁, . . . ,U_n 皆為 finite dimensional F-spaces, 則 dim(U₁⊕ ··· ⊕Un) 為何?

1.6.2. Quotient Space. 給定 vector space V 及其 subspace W , 我們可以利用 W 在 V 中 定義一個 equivalent relation, 其定義為對任意 v₁, v₂∈ V, v1∼ v2 若且唯若 v₁− v2∈ W. 我 們來說明一下這是一個 equivalent relation.

(1) 對任意 v∈ V 皆有 v ∼ v: 這是因為 O ∈ W, 故 v − v ∈ W.

(2) 若 v₁∼ v2, 則 v₂∼ v1: 這是因為 v₁∼ v2 表示 v₁− v2∈ W, 故由 W 為 vector space 知 v₂− v1=−(v1− v2)∈ W, 亦即 v2∼ v1.

(3) 若 v₁∼ v2 且 v₂∼ v3, 則 v₁∼ v3: 這是因為由 v₁− v2∈ W 以及 v2− v3∈ W, 可得 v₁− v3= (v1− v2) + (v2− v3)∈ W.

由於這一個 equivalent relation, 我們定義一個新的集合 V /W ={v | v ∈ V}.

當然了我們要說明 V /W 上的元素怎樣才會相等, 在這裡我們要求 u = v 若且唯若 u∼ v (亦 即 u− v ∈ W).

Question 1.27. 前面為什麼要去說明∼ 是一個 equivalent relation 才能定義 V/W 呢?

若學過代數 group 的同學可以看出因為 V 在加法上是一個 abelian group, 而 W 為 V 的 (normal) subgroup, 所以我們可以定出 V /W 上的運算使其成為一個 abelian group. 事 實上我們還可以定出 F 對 V /W 上元素的作用使得 V /W 為一個 vector space over F. 其定 義為對任意的 u, v∈ V/W 且 r ∈ F, 我們定

u + v = u + v rv = rv.

因 W 為 V 的 subspace, 很容易驗證這個 V /W 的運算與作用皆為 well-defined, 而且我們可 得 V /W 為一個 vector space over F, 稱之為 the quotient space of V modulo W .

Question 1.28. 請驗證這個運算是 well-defined 且 V /W 是一個 vector space over F. 什麼 是 V /W 上的加法單位元素呢?

1.6. Direct Sum and Quotient Space 21

Question 1.29. 若 U 為 V 的 subspace 且 W⊆ U, 則 U/W 為 V/W 的 subspace 嗎? W ⊆ U 這個假設是需要的嗎?

若 V,W 為 finite dimensional F-spaces, 我們自然會問是否 V /W 亦為 finite dimensional F-space, 且其 dimension 為何?

Proposition 1.6.2. 假設 V 為 finite dimensional F-spaces 且 W 為 V 的一個 F-subspace, 則 V /W 亦為 finite dimensional F-space, 且

dim(V /W ) = dim(V )− dim(W).

Proof. 由 Theorem 1.5.10 我們知 W 亦為 finite dimensional F-space. 設 {w1, . . . , w_m} 為 W 的一組 basis, 因其為 linearly independent, 由 Theorem 1.5.11 知存在 v1, . . . , vn∈ V 使得 {w1, . . . , w_m, v₁, . . . , v_n} 為 V 的一組 basis. 我們要證明 S = {v1, . . . , v_n} 為 V/W 的一組 basis.

首 先 我 們 證 明 S 為 V /W 的 一 組 spanning set. 對 任 意 v∈ V/W, 由於 v ∈ V 且 {w1, . . . , w_m, v₁, . . . , v_n} 為 V 的一組 basis, 故存在 c1, . . . , c_m, d₁, . . . , d_n∈ F 使得

v = c₁w₁+··· + cmw_m+ d1v₁+··· + dnv_n. 因此依定義得

v = c₁w₁+··· + cmw_m+ d1v₁+··· + dnv_n.

然而對所有 w_i 因 w_i∈ W, 我們有 wi= O, 因此 v = d1v₁+··· +dnv_n.故得證 S 為 V /W 的一 組 spanning set.

最後我們要證明 S 為 linearly independent. 用反證法, 假設 S 為 linearly dependent, 由 Proposition 1.4.2 知存在 d₁, . . . , d_n∈ F 不全為 0 使得 O = d1v₁+··· + dnv_n.依定義此即 d1v₁+··· + dnv_n∈ W = Span({w1, . . . , wm}), 故知

d₁v₁+··· + dnv_n∈ Span({v1, . . . , v_n}) ∩ Span({w1, . . . , w_m}).

然而{w1, . . . , wm, v1, . . . , vn} 為 linearly independent, 由 Corollary 1.4.4 知 Span({v1, . . . , v_n}) ∩ Span({w1, . . . , w_m}) = {O},

故得 d₁v₁+···+dnv_n= O. 由於 d1, . . . , dn不全為 0, 此與{v1, . . . , vn} 為 linearly independent

相矛盾. 故得證 S 為 linearly independent. 

Exercise 1.6.

Let W be a subspace of V and consider the quotient space V /W with a subspace eU . (1) Let U ={u ∈ V | u ∈ eU}. Show that U is a subspace of V and W ⊆ U.

(2) Prove U/W = eU .

Chapter 2

Linear Transformations

在學習數學的過程中大家應該體會到函數的重要性. 在不同課程中我們討論的函數對 象都不同, 例如在微積分中我們有興趣於連續函數、可微函數; 而在群與環中我們有興趣於 group homomorphisms 及 ring homomorphisms. 在線性代數中我們有興趣的函數是希望能 保持 vector spaces 中的運算與作用, 也就是所謂的 linear transformations.

2.1. Definition and Basic Properties

Definition 2.1.1. 設 V,W 皆為 over F 的 vector spaces. 給定一個從 V 到 W 的函數 T : V → W, 若對所有 v1, v₂∈ V 以及 r ∈ F 皆有 T(rv1+ v₂) = rT (v₁) + T (v₂), 則稱 T 為 linear transformation (或 linear mapping) from V to W .

有時候我們會簡稱為 T is F-linear. 另外我們用L (V,W) 表示所有從 V 到 W 的 linear transformations 所成之集合.

Question 2.1. 你看得出來 T is F-linear 等價於對所有 v, v^′∈ V 以及 r ∈ F 皆有 T(v+v^′) = T (v) + T (v^′) 以及 T (rv) = rT (v) 嗎?

接著我們將介紹一些有關於 linear transformation 的基本性質, 由於 linear transforma- tion 可能牽涉到不同 vector spaces, 我們用 O_V 來表示 V 的加法單位元素.

Proposition 2.1.2. 若 T : V → W 為一個 linear transformation, 則 (1) T (O_V) = O_W

(2) 對所有 v∈ V 皆有 T(−v) = −T(v).

Proof.

(1) 由 T (OV) = T (OV+ OV) = T (OV) + T (OV), 可得 T (O_V) = OW.

(2) 若 v∈ V, 則由 OW = T (v + (−v)) = T(v) + T(−v) 得證 T(−v) = −T(v).

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24 2. Linear Transformations

我們可以利用一些 linear transformations 創造新的 linear transformation. 若 T, T^′ 皆 為 V 到 W 的 linear transformations, 我們定義一個新的 V 到 W 的函數 T + T^′: V → W 為對任意 v∈ V, (T + T^′)(v) = T (v) + T^′(v). 給定 r∈ F , 我們也可定義一個新的 V 到 W 的函數 rT : V → W 為對任意 v ∈ V, (rT)(v) = rT(v). 事實上這樣建構的新函數仍為 linear transformation.

Proposition 2.1.3. 若 T, T^′ 皆為 V 到 W 的 F-linear transformations 且 r∈ F , 則 T +T^′ 以及 rT 皆為 V 到 W 的 F-linear transformations.

Proof. 對於任意 v₁, v₂∈ V 以及 s ∈ F, 皆有 (T + T^′)(sv₁+ v₂) = T (sv₁+ v₂) + T^′(sv₁+ v₂) 由於 T, T^′ 為 F-linear, 故有 T (sv₁+ v2) + T^′(sv1+ v2) = sT (v1) + T (v2) + sT^′(v1) + T^′(v2) = s(T (v₁) + T^′(v₁)) + (T (v₂) + T^′(v₂)). 亦即 (T + T^′)(sv₁+ v₂) = s(T + T^′)(v₁) + (T + T^′)(v₂).

同 理 (rT )(sv₁+ v2) = rT (sv1+ v2) = rsT (v1) + rT (v2) = s(rT (v1)) + rT (v2) = s(rT )(v1) +

(rT )(v₂). 

Question 2.2. 考 慮 所 有 從 V 到 W 的 linear transformations 所 成 之 集 合 L (V,W), Proposition 2.1.3 是不是告訴我們L (V,W) 是一個 vector space over F?

其實給定兩個 F-spaces V,W , 我們很容易建構出一個從 V 到 W 的 linear transformation.

下一個 Theorem 說的是所有 V 到 W 的 linear transformations 我們都可以完全掌握.

Theorem 2.1.4. 假設 {v1, . . . , v_n} 是 V 的一組 basis, 給定任意 w1, . . . , w_n∈ W, 存在一個 唯一的 F-linear transformation T : V → W 滿足 T(vi) = wi, ∀i ∈ {1,...,n}.

Proof. 證明存在性: 也就是說我們要找到一個 T ∈ L (V,W) 滿足 T(vi) = wi. 定義 T : V → W , 滿足對所有 v = c₁v₁+···+cnv_n∈ V, T(v) = c1w₁+···+cnw_n.由於{v1, . . . , v_n} 是 V 的一 組 basis, T 是一個從 V 到 W 的 well-defined function. 又 T 滿足 T (v_i) = w_i, 所以我們僅剩 下證明 T 為 F-linear. 對任意 v =∑ⁿi=1c_iv_i, v^′=∑ⁿi=1d_iv_i∈ V 以及 r ∈ F, 我們有 T(rv+v^′) = T (∑ⁿi=1(rc_i+ d_i)v_i) =∑ⁿi=1(rc_i+ d_i)w_i; 另一方面 rT (v) + T (v^′) = rT (∑ⁿi=1c_iv_i) + T (∑ⁿi=1d_iv_i) = r∑ⁿi=1ciw_i+∑ⁿi=1diw_i, 利用 vector space 的運算性質, 我們得 T (rv + v^′) = rT (v) + T (v^′).

證明唯一性: 我們要證明若 T^′: V → W 亦為 F-linear 且滿足 T^′(vi) = wi,∀i ∈ {1,...,n}, 則 T = T^′. 亦即證明 T (v) = T^′(v),∀v ∈ V. 然而對任意 v = ∑ⁿi=1c_iv_i∈ V, 依 T 的定義 T(v) =

∑ⁿi=1ciw_i, 而依 T^′ 是 F-linear 可得 T^′(v) 亦為 ∑ⁿi=1ciT (vi) =∑ⁿi=1ciw_i, 故得證 T = T^′.  Theorem 2.1.4 告訴我們, 給定一個 linear transformation T : V → W, 若能找到一組 basis S 讓我們知道對所有的 u∈ S, T(u) 為何, 則對所有 v ∈ V, 便可知 T(v) 為何了! 例 如 T_θ :R² → R² 為將 R² 上任一組向量 (x, y) 以原點 (0, 0) 為圓心逆時針繞 θ 角所得 的向量. T_θ((x, y)) 是甚麼向量呢? 由於將向量 (1, 0) = (cos 0, sin 0) 以 (0, 0) 為圓心繞 θ 角後依定義所得向量為 (cosθ,sinθ), 所以我們得到 Tθ((1, 0)) = (cosθ,sinθ). 同理 (0,1) = (cos(π/2),sin(π/2)), 故得 Tθ((0, 1)) = (cos((π/2)+θ),sin((π/2)+θ)) = (−sinθ,cosθ). 故知 T_θ((x, y)) = T_θ(x(1, 0) + y(0, 1)) = xT_θ((1, 0)) + yT_θ((0, 1)) = x(cosθ,sinθ) + y(−sinθ,cosθ) = (x cosθ − ysinθ,xsinθ + ycosθ). 不過要注意, 這個方法僅對 linear transformation 才成立,

2.1. Definition and Basic Properties 25

所以要用這個方法處理函數的取值, 須先檢驗這個函數是 linear transformation 才行. 也就 是說在上面的例子, 我們要先知道 T_θ 是 linear transformation (請自行驗證), 才可利用此法 得到 T_θ((x, y)) = (x cosθ − ysinθ,xsinθ + ycosθ).

Question 2.3. 若 T :R² → R² 是 一 個 linear transformation, 滿 足 T ((1, 2)) = (2, 1), T ((2, 4)) = (4, 2) 是否可得 T ((x, y)) = (y, x)? 又若 T^′:R²→ R² 是一個 linear transfor- mation, 滿足 T^′((1, 2)) = (2, 1), T^′((2, 1)) = (1, 2) 是否可得 T^′((x, y)) = (y, x)?

Question 2.4. 假設 V,W 為 F-spaces 且 v1, . . . , vn 為 V 的一組 basis 以及 w₁, . . . , wm為 W 的一組 basis. 對於 1≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n 考慮 Ti j∈ L (V,W) 滿足 Ti j(v_j) = w_i 且 T_{i j}(v_k) = O_W for k̸= j. 試證明 {Ti j| 1 ≤ i ≤ m,1 ≤ j ≤ n} 是 L (V,W) 的一組 basis, 並依此得證若 V,W 為 finite dimensional vector spaces 則 dim(L (V,W)) = dim(V)dim(W).

當一個函數的對應域剛好是另一個函數的定義域時, 我們可以將之合成為一個新的函數.

下一個 Proposition 告訴我們 linear transformations 的合成仍為 linear transformation.

Proposition 2.1.5. 若 T₁: V → W, T2 : W → U 皆為 F-linear, 則 T2◦ T1: V → U 亦為 F-linear.

Proof. 對於任意 v, v^′∈ V 以及 r ∈ F, 考慮 T2◦T1(rv + v^′) = T₂(T₁(rv + v^′)).因 T₁為 F-linear, 故知 T₁(rv + v^′) = rT1(v) + T1(v^′)再由 T₂為 F-linear 得 T₂◦T1(rv + v^′) = T2(rT1(v) + T1(v^′)) = rT₂(T₁(v)) + T₂(T₁(v^′)) = rT₂◦ T1(v) + T₂◦ T1(v^′).  Question 2.5. 設 T, T^′ 皆 為 V 到 W 的 F-linear transformations, T^′′ 為 W 到 U 的 F-linear transformation. 是 否 T^′′◦ (T + T^′) = T^′′◦ T + T^′′◦ T^′? 又 對 任 意 r∈ F 是否 r(T^′′◦ T) = (rT^′′)◦ T = T^′′◦ (rT)?

———————————– 06 October, 2017