令 V 是一個 over F 的 vector space 且 S 為 V 的一個非空子集

10 1. Vector Spaces

Linear dependence 有以下等價的看法.

Proposition 1.4.2. 令 V 是一個 over F 的 vector space 且 S 為 V 的一個非空子集. 則 S 是 linearly dependent 若且唯若存在 v₁, . . . , vn∈ S 以及 r1, . . . , rn∈ F, 其中這些 vi 皆相異而 r_i 全不為 0 使得 r₁v₁+··· + rnv_n= O.

Proof. (⇒) 由 S 是 linearly dependent 知存在 v1∈ S 滿足 v1∈ Span(S \ {v1}), 亦即存在 v₂, . . . , vn∈ S 皆相異且不等於 v1 以及 r₂, . . . , rn∈ F 皆不為 0 使得 v1= r2v₂+··· + rnv_n. 故 得 (−1)v1+ r₂v₂+··· + rnv_n= O.

(⇐) 假設對於 i ∈ {1,...,n}, vi∈ S 皆相異且 ri∈ F 全不為 0 使得 r1v₁+··· + rnv_n= O, 則 v₁= (−r2r⁻¹₁ )v₂+··· + (−rnr⁻¹₁ )v_n∈ Span(S \ {v1}), 亦即 S 為 linearly dependent.  提醒一下 Proposition 1.4.2 中若 v₁, . . . , vn 中沒有 O, 則要存在 r₁, . . . , rn∈ F, 其中 ri 全 不為 0 使得 r₁v₁+··· + rnv_n= O, 就必須要 n≥ 2. 因為若僅有 r1̸= 0 使得 r1v₁= O 會推得 v₁= O.

另外 linear independence 也有以下等價的看法.

Proposition 1.4.3. 令 V 是一個 over F 的 vector space 且 S 為 V 的一個非空子集. 則 S 是 linearly independent 若且唯若 Span(S) 中任意的元素皆僅有唯一的方法寫成 S 中相異元 素的 linear combination.

Proof. (⇒) 我們利用反證法證明表法唯一. 首先若 v = O 有兩種表示法, 即存在 r1, . . . , rn∈ F 全不為 0 及 v₁, . . . , v_n∈ S 皆相異使得 r1v₁+··· + rnv_n= O. 由 Proposition 1.4.2 知此 與 S 為 linearly independent 相矛盾. 另一方面若 v∈ Span(S) 且 v ̸= O 有兩種寫法, 即存 在 r₁, . . . , rn, s1, . . . , sm∈ F (其中這些 ri, sj 皆不為 0) 以及 v1, . . . , vn, w1, . . . , wm∈ S (其中這些 v₁, . . . , v_n 皆相異且 w₁, . . . , w_m 皆相異) 使得

v = r₁v₁+··· + rnv_n= s₁w₁+··· + smw_m.

經適當排序後我們假設: v₁= w1, . . . , vk= wk 且其他的 v_i, wj 皆相異. 而得

O = (r₁− s1)v₁+··· + (rk− sk)v_k+ r_k+1v_k+1+··· + rnv_n+ s_k+1w_k+1+··· + smw_m. 依表法不同之假設, 若 k = n = m, 則必有某個 r_i̸= si; 而其他情形必有 k < n (此時 r_k+1̸= 0);

或 k < m (此時 s_k+1̸= 0). 因此由 Proposition 1.4.2 知此與 S 為 linearly independent 相矛 盾, 故得證.

(⇐) 依假設對任意 v ∈ S 因 v ∈ Span(S) 且 v = 1v 故由 v 寫成 S 中元素的 linear combination 的寫法僅一種, 得 v̸∈ Span(S\{v}), 依定義此即表示 S 為 linearly independent.

 要注意, linearly dependent 和 linearly independent 是兩個互補的關係, 我們只是為了敘 述方便將 Propositions 1.4.2, 1.4.3 分開, 其實它們是相關的. 例如要證明一個集合是 linearly independent, 你可以用反證法先假設它是 linearly dependent, 然後利用 Proposition 1.4.2

得到矛盾. 另一方面若有一個集合已知是 linearly independent, 你就可以利用 Proposition 1.4.3 表法的唯一性來推導其他相關的性質.

Question 1.16. 分別利用 Proposition 1.4.2 和 Proposition 1.4.3 來說明 S ={v1, . . . , v_n} 是 linearly independent 等價於

r1v₁+··· + rnv_n= O⇒ r1=··· = rn= 0.

Question 1.17. 若 S 是 linearly dependent 且 O̸∈ S, Proposition 1.4.3 告訴我們存在一個 Span(S) 中的元素會有兩種 (或更多) 方法寫成 S 中元素的 linear combination. 你看得出在 這種情形, 其實每一個 Span(S) 中的元素都會有兩種 (或更多) 方法寫成 S 中元素的 linear combination 嗎? 甚至當 F 是一個 infinite field 時, 每一個 Span(S) 中的元素都會有無窮多 種方法寫成 S 中元素的 linear combination.

前面 Question 1.15 中我們提到一般來說將一個 linearly independent set S 多加一些元 素有可能會使得 S 變成 linearly dependent. 以下我們回答在一個 linearly independent set 中多加哪些元素仍會保持 linearly independent.

Corollary 1.4.4. 令 V 為一個 vector space over F 且 S^′⊆ S ⊆ V. 則 S 是 linearly inde- pendent 若且唯若 S^′ 和 S\ S^′ 皆為 linearly independent 且 Span(S^′)∩ Span(S \ S^′) ={O}.

Proof. (⇒) 因 S^′⊆ S ⊆ V 依定義若 S 是 linearly independent 自然 S^′ 和 S\S^′ 皆為 linearly independent. 今若存在 v∈ Span(S^′)∩Span(S\S^′) 且 v̸= O, 即表示存在 r1, . . . , r_n, s₁, . . . , s_m∈ F 皆 不 為 0 以 及 v1, . . . , v_n ∈ S^′, w1, . . . , w_m ∈ S \ S^′ 使 得 v =∑ⁿi=1riv_i =∑^mj=1sjw_j. 亦 即 v∈ Span(S) 但有兩種寫成 S 中元素的 linear combination 的寫法, 由 Proposition 1.4.3 知 此與 S 為 linearly independent 相矛盾. 故得證 Span(S^′)∩ Span(S \ S^′) ={O}.

(⇐) 利用反證法, 若 S 是 linearly dependent, 由 Proposition 1.4.2 知存在 r1, . . . , r_n∈ F 全 不 為 0 以 及 v1, . . . , vn ∈ S 使得 r1v₁+··· + rnv_n= O. 因 S^′ 以 及 S\ S^′ 皆 為 linearly independent, Proposition 1.4.2 告 訴 我 們 這 些 v_i 不 可 能 全 落 在 S^′ 中 也 不 可 能 全 落 在 S\ S^′ 中. 適 當 排 序 後, 我 們 假 設 v₁, . . . , v_m∈ S^′ 且 v_m+1, . . . , v_n ∈ S \ S^′. 換 言 之, r1v₁+

··· + rmv_m= (−rm+1)vm+1+··· + (−rn)vn∈ Span(S^′)∩ Span(S \ S^′). 然而 r₁, . . . , rm 皆不為 0 且 v₁, . . . , v_m 為 linearly independent (因 S 為 linearly independent), 由 Proposition 1.4.3 知 r₁v₁+··· + rmv_m̸= O, 亦即 Span(S^′)∩ Span(S \ S^′)̸= {O}. 此矛盾告訴我們 S 是 linearly

independent. 

關於 linearly independent 的例子, 我們很容易驗證在 Example 1.3.5 中介紹的 spanning set 都是 linearly independent. 不過請不要誤以為 spanning set 一定就是 linearly inde- pendent. 例如在Rⁿ 的情況 {e1, e2, . . . , en, e1+ e2} 也是 Rⁿ 的 spanning set, 不過就不再是 linearly independent 了.

12 1. Vector Spaces

1.5. Basis and Dimension

在本講義中我們將專注於有一組 finite set 為 spanning set 的 vector space, 我們有以下 之定義.

Definition 1.5.1. 假設 V 是一個 vector space over F. 若存在一個 finite set S⊆ V 是 V 的 一組 spanning set, 則稱 V 為一個 finite dimensional (也稱為 finitely generated) F-space.

在前面提過的例子 Fⁿ, P_n(F) 以及當 S 是 finite set 的 F^S 皆為 finite dimensional vector space over F. 不過要特別注意若 F^′ 是 F 的一個 subfield, 前面提過一個 F-space 可看 成為 F^′-space, 因此在此情況一定要強調是 over 哪一個 field 為 finite dimensional, 因為 有可能一個 finite dimensional F-space 不是 finite dimensional F^′-space. 例如 Rⁿ 是 finite dimensionalR-space 卻不是 finite dimensional Q-space.

當 vector space V 中的一個子集合 S 太小時, 可能 S 無法成為 V 的 spanning set, 不過 若 S 太大時, 又可能不是 linearly independent. Basis 就是保持平衡的最佳狀況. 我們有以 下之定義.

Definition 1.5.2. 令 V 是一個 vector space over F 且 S⊆ V. 當 Span(S) = V 且 S 是 linearly independent 時, 我們稱 S 為 V 的一組 basis.

依此定義, 我們可以知道在 Example 1.3.5 中介紹的{e1, . . . , e_n} 就是 Fⁿ 的一組 basis;

而 {1,x,...,xⁿ} 就是 Pn(F) 的一組 basis; 而當 S 是一個 finite set 時, { f_λ |λ ∈ S} 就是 F^S 的一組 basis.

Question 1.18. 依 basis 之定義, 你能看出 S 是 V 的一組 basis 等價於任何 V 中的元素都 可以唯一寫成 S 中元素的 linear combination 嗎?

前面提到 basis 就是保持平衡的最佳狀況的意思是若 S 是 V 的一組 basis. 若將 S 多加 一些元素, 則會破壞 linear independent 的性質; 而若將 S 減少一些元素, 則會破壞 spanning set 的性質. 這個原因其實牽涉到的是 Corollary 1.3.4 和 Corollary 1.4.4 在 S^′= S\ {v} 的 情形. 將來我們經常會處理這種情形, 為了方便起見, 我們特別敘述如下.

Lemma 1.5.3. 假設 S 為 F-space V 的一個 nonempty subset 且 v∈ S. 令 S^′= S\ {v}. 則 下列是等價的.

(1) v̸∈ Span(S^′).

(2) Span(S^′)( Span(S).

(3) 假設 S^′ 為 linearly independent. 則 S 為 linearly independent.

Proof. 首先注意, 由於 S^′⊆ S, 故知 Span(S^′)⊆ Span(S), 因此 Span(S^′)( Span(S) 等同於 Span(S^′)̸= Span(S).

(1)⇔ (2): 由於 S \ S^′={v}, 首先觀察 v ̸∈ Span(S^′) 等同於 S\ S^′* Span(S^′). 因此 Corollary 1.3.4 告訴我們 v̸∈ Span(S^′)等同於 Span(S^′)̸= Span(S), 即 Span(S^′)( Span(S).

(1)⇒ (3): 首先觀察 v ̸∈ Span(S^′)等同於 Span(S\S^′)∩Span(S^′) ={O} 且 v ̸= O. 這是因為若 假設 v̸∈ Span(S^′),此即表示 v̸= O. 此時又若 Span(S\S^′)∩Span(S) ̸= {O} 表示存在 w ̸= O 滿 足 w∈ Span(S\S^′)∩Span(S^′). 由於 S\S^′={v}, w ∈ Span(S\S^′)表示 w = rv, 其中 r̸= 0. 因此 再由 w = rv∈ Span(S^′)得 v =¹_rw∈ Span(S^′)之矛盾. 反之, 假設 Span(S\S^′)∩Span(S^′) ={O}

且 v̸= O. 此時若 v ∈ Span(S^′), 則由 S\ S^′={v} 得 v ∈ Span(S \ S^′)∩ Span(S^′) ={O}, 此與 v̸= O 相矛盾. 由此觀察, 我們得 v ̸∈ Span(S^′) 等同於 Span(S\ S^′)∩ Span(S^′) ={O} 且 S\ S^′={v} 為 linearly independent. 因此若 S^′ 亦為 linearly independent, 則利用 Corollary 1.4.4 可得 v̸∈ Span(S^′) 和 S 為 linearly independent 是等價的.  接下來我們要說 S 是 V 的 basis 表示 S 是 V 最小的 spanning set (也就是說沒有一個比 S 小的 subset 會是 V 的 spanning set). 另一方面 S 也會是 V 中最大的 linearly independent set (也就是 V 中沒有一個比 S 大的集合會是 linearly independent).

Proposition 1.5.4. 令 V 為一個 vector space over F 且 S⊆ V. 我們有以下的等價關係.

(1) S 是 V 的一組 basis.

(2) S 是 V 的一個 spanning set, 且對任意 S^′( S 皆有 Span(S^′)̸= V.

(3) S 是 linearly independent 且對任意 S^′′) S 皆有 S^′′ 為 linearly dependent.

Proof. 我們證明 (1)(2) 是等價的, 再證明 (1)(3) 為等價.

((1)⇒ (2)) 因 S 是一組 basis 由定義知 S 是 V 的一組 spanning set. 任取 S^′( S, 此時 取 v∈ S \ S^′ 可得 S^′⊆ S \ {v}. 因此由 S 為 linearly independent, 可得 v ̸∈ Span(S \ {v}). 因 此得 v̸∈ Span(S^′),亦即 Span(S^′)̸= V.

((2)⇒ (1)) 因已知 S 為 spanning set, 依定義我們僅要證明 S 為 linearly independent.

利用反證法, 假設 S 為 linearly dependent, 亦即存在 v∈ S 滿足 v ∈ Span(S \ {v}). 故考慮 S^′= S\ {v}. 因 v ∈ Span(S^′), 由 Lemma 1.5.3 知 Span(S^′) = Span(S) = V , 但因 S^′( S, 此與 (2) 的前提相矛盾, 故得證 S 為 linearly independent.

((1)⇒ (3)) 因 S 是一組 basis 由定義知 S 為 linearly independent. 任取 S^′′) S, 此 時取 v∈ S^′′\ S 可得 S ⊆ S^′′\ {v}. 因此由 S 為 V 的 spanning set, 得 v ∈ V = Span(S) ⊆ Span(S^′′\ {v}), 亦即 S^′′為 linearly dependent.

((3)⇒ (1)) 因已知 S 為 linearly independent, 依定義我們僅要證明 S 為 V 的 spanning set. 利用反證法, 假設 Span(S)̸= V 為, 亦即存在 v ∈ V 滿足 v ̸∈ Span(S). 故考慮 S^′′= S∪{v}.

因 S^′′\ S = {v}, 故由 v ̸∈ Span(S) 以及 S 為 linearly independent, 利用 Lemma 1.5.3 (分別 將 S^′, S 用 S, S^′′ 取代) 推得 S^′′ 為 linearly independent. 但因 S^′′) S, 此與 (3) 的前提相矛

盾, 故得證 S 為 V 的 spanning set. 

我們在 Definition 1.5.2 中定義了何謂 vector space 的 basis, 但我們還沒有去探討是否 一個 vector space 一定會有一組 basis. 事實上我們可以證明所有的 vector space 都會有 basis, 不過它的證明牽涉到所謂 Zorn’s lemma. 由於以後我們將只專注於 finite dimensional

14 1. Vector Spaces

vector space, 再加上有些同學可能覺得 Zorn’s lemma 不是很容易了解. 以下我們的探討僅 專注於 finite dimensional 的情形; 略過證明所有的 vector space 皆會有 basis 這個事實.

當 V 是 finite dimensional vector space, 依 定 義 是 有 一 個 finite set S 為 V 的 一 組 spanning set. 我們將利用 S 找到 V 的一組 basis.

首先我們考慮 V ={O} 這個特別的情況. 此時令 S = {O}, 我們有 V = Span(S). 由於 S 僅有一個元素, 故為 finite set. 因此依定義 {O} 是一個 finite dimensional vector space. 不 過此時 O∈ S, 由前知 S 不是 linearly independent, 因此 S = {O} 不是 V = {O} 的 basis. 我 們試圖扣除 S 中多餘的元素使之為 linearly independent 且依然保持 spanning set 的特性.

然而若考慮 S^′= /0, 依之前的定義, 我們仍有 Span( /0) ={O} = V, 故 S^′ 是 V 的 spanning set.

然而 S^′ 中沒有元素 v 滿足 v∈ Span(S^′\ {v}) (因 S^′ 是空集合當然沒有元素), 因此 S^′ 不是 linearly dependent, 故 S^′ 為 linearly independent. 得證 S^′= /0 為 V ={O} 的一組 basis.

接 下 來 我 們 將 處 理 V ̸= {O} 但為 finite dimensional vector space 的情況. 我們也 是使用類似技巧, 將 V 的一個 finite spanning set 中扣除不必要的元素使其為 linearly independent 且保持為 spanning set. 現假設 S 為 finite set 且 Span(S) = V . 若 S 恰為 linearly independent, 則 S 就是 V 的一組 basis. 若 S 不是 linearly independent, 此時表示 存在 v₁∈ S 滿足 v1∈ Span(S \ {v1}). 令 S1= S\ {v1}. 注意 #(S1) = #(S)− 1 < #(S) (我們用

#(S) 來表示 S 中元素的個數). 由於 v∈ Span(S1),由 Lemma 1.5.3 知 Span(S₁) = Span(S) = V . 現若 S 恰為 linearly independent, 則 S₁ 就是 V 的一組 basis. 否則如前所做, 取 v₂∈ S1

滿足 v₂∈ Span(S1\ {v2}) 且令 S2= S1\ {v2}. 同樣的我們可得 Span(S2) = Span(S1) = V , 因此只要檢查 S₂ 是否為 linearly independent. 若 S₂ 為 linearly independent, 則 S₂ 就 是 V 的一組 basis. 否則繼續下去得 S₃( S2 且滿足 Span(S3) = Span(S2) = V . 這樣下去, 我們每次得的 S_k⊆ S 都會滿足 Span(Sk) = Span(S_k−1) =··· = Span(S1) = Span(S) = V , 且

#(Sk) < #(S_k−1) <··· < #(S1) < #(S). 由於 S 是 finite set, 這個步驟一定要停. 假設停在 S_k, 就表示 S_k 為 linearly independent, 故由 Span(S_k) = V 得 S_k 為 V 的一組 basis. 我們證得了 以下的結果.

Theorem 1.5.5. 假設 V 是 finite dimensional vector space, 則 V 的 basis 一定存在. 事實 上若 S 為 finite set 且滿足 Span(S) = V , 則存在 S^′⊆ S 是 V 的一組 basis.

我們已知一個 finite dimensional vector space 其 basis 是存在的. 很容易理解 basis 並 不唯一, 不過每一個組成 V 的 basis 的集合它們的元素個數是相同的. 以下我們便是要處理 這一個問題.

Lemma 1.5.6. 令 V 是一個 vector space over F 且假設 S⊆ V 是一個 finite set 滿足 Span(S) = V . 若 S^′′⊆ V 且 #(S^′′) > #(S), 則 S^′′ 為 linearly dependent.

Proof. 假設 #(S) = n 且設 S ={v1, . . . , v_n}. 由於 #(S^′′) > #(S), 我們任取 u₁, . . . , u_n, u_n+1∈ S^′′

且令 S^′={u1, . . . , un+1}. 我們只要證明 S^′ 為 linearly dependent 即可, 因為此時由 S^′⊆ S^′′, 可得 S^′′ 亦為 linearly dependent.

利用反證法, 我們假設 S^′為 linearly independent. 由於 Span(S) = V , 故存在 r₁, . . . , r_n∈ F 使得 u₁= r₁v₁+··· + rnv_n. 因假設 S^′ 為 linearly independent, 我們知 r₁, . . . , r_n 不全為 0.

(否則 r1=··· = rn= 0 會導致 O = u1∈ S^′, 那麼 S^′ 就不會是 linearly independent 了.) 因此 不失一般性, 我們假設 r₁̸= 0, 此時

v₁= r₁⁻¹(u₁− r2v₂− ··· − rnv_n)∈ Span({u1, v₂, . . . , v_n}).

故利用 Lemma 1.5.3 知

Span({u1, v2, . . . , vn}) = Span({u1, v1, v2, . . . , vn}) = V.

接著利用 u₂∈ V = Span({u1, v₂, . . . , v_n}) 知存在 s1, . . . , s_n∈ F 使得 u2= s₁u₁+ s₂v₂+

··· + snv_n. 同理利用 S^′ 為 linearly independent 的假設, 得 s₂, . . . , s_n 不全為 0. (否則若 s2=··· = sn= 0, 則得 u2= s1u₁∈ Span({u1}), 那麼 S^′ 就不會是 linearly independent 了.) 故不失一般性, 我們假設 s₂̸= 0, 此時

v₂= s⁻¹₂ (u₂− s1u₁− s3v₃− ··· − snv_n)∈ Span({u1, u₂, v₃, . . . , v_n}).

故利用 Lemma 1.5.3 知

Span({u1, u2, v3, . . . , vn}) = Span({u1, u2, v2, v3, . . . , vn}) = V.

簡單來說, 我們將 v₁, . . . , v_n 做適當排序後, 可以用 u₁ 取代 v₁; u₂ 取代 v₂, ... 如此 一直下去. 利用數學歸納法, 我們假設 k < n 且 Span({u1, . . . , u_k, v_k+1, . . . , v_n}) = V, 想要 用 u_k+1 來取代 v_k+1, . . . , vn 中的某一個. 如同前面的做法, 我們知道存在 t₁, . . . ,tn∈ F 使 得 u_k+1= t₁u₁+··· + tku_k+ t_k+1v_k+1+···tnv_n. 利用 S^′ 為 linearly independent 的假設, 得 tk+1, . . . ,tn 不全為 0. 故不失一般性, 我們假設 tk+1̸= 0, 此時

v_k+1= t_k+1⁻¹(u_k+1−t1u₁− ··· −tku_k−tk+2v_k+2··· −tnv_n)∈ Span({u1, . . . , u_k+1, v_k+2, . . . , v_n}).

故利用 Lemma 1.5.3 知

Span({u1, . . . , u_k+1, v_k+2, . . . , v_n}) = Span({u1, . . . , , u_k+1, v_k+1, v_k+2, . . . , v_n}) = V.

數 學 歸 納 法 告 訴 我 們, 可 以 如 此 一 直 下 去 直 到 將 所 有 的 v₁, . . . , vn 置 換 完 畢, 亦 即 得 Span({u1, . . . , u_n}) = V. 不過如此一來會造成 un+1∈ Span({u1, . . . , u_n}) = Span(S^′\ {un+1}) 而與 S^′ 為 linearly independent 相矛盾, 故 S^′ 必為 linearly dependent.  Question 1.19. 在 Lemma 1.5.6 中若將 S 為 spanning set 改為 linearly dependent, 當 S^′⊆ V, 你覺得 S^′ 相對應的有關於 spanning set 的性質應該是甚麼?

Lemma 1.5.6 是有關 finite dimensional vector space 相當重要的定理, 它告訴我們一個 linearly independent set 的元素個數不可以有多於一個 spanning set 的元素個數. 我們有以 下幾個重要應用.

Theorem 1.5.7. 假設 V 是一個 finite dimensional vector space. 若 S 為 V 的一組 basis, 則 S 是一個 finite set. 另外若 S^′ 亦為 V 的一組 basis, 則 #(S) = #(S^′).

16 1. Vector Spaces

Proof. 依 V 為 finite dimensional vector space 之假設, 存在{v1, . . . , v_n} 為 V 的一組 basis.

故我們有 Span({v1, . . . , v_n}) = V.

今若 S 為 V 的一組 basis 且為 infinite set, 由於 S 為 linearly independent, S 的任何 subset 亦為 linearly independent. 故任取 u1, . . . , un+1∈ S, {u1, . . . , un+1} ⊆ S 亦為 linearly independent, 此明顯與 Lemma 1.5.6 相矛盾, 故知 S 必為 finite set.

現若 S, S^′ 皆為 V 的一組 basis, 由於 Span(S) = V 且 S^′ 為 linearly independent, Lemma 1.5.6 告 訴 我 們 #(S)≥ #(S^′). 同 理 由 Span(S^′) = V 以 及 S 為 linearly independent, 得

#(S)≤ #(S^′). 故得證 #(S) = #(S^′). 

由 Theorem 1.5.7 知一個 finite dimension vector space 它的任一組 basis 的元素個數是 固定的. 因此我們有以下之定義.

Definition 1.5.8. 令 V 為一個 finite dimensional vector space over F. 若 S 為 V 的一組 basis 且 #(S) = n, 則稱 V over F 的 dimension 為 n, 記做 dim(V ) = n.

依此定義由於我們視 /0 為{O} 的 basis, 故 dim({O}) = 0.

注意, 我們談過當 V 看成 over 不同 field 的 vector space 時, 其 dimension 就可能不同 了. 當這種情形發生時, 我們特別用 dim_F(V ) 來強調是 over F 的 dimension. 例如複數 C 可看成是 over C 或 over R 的 vector space, 而我們有 dim_C(C) = 1 及 dim_R(C) = 2.

Question 1.20. 你知道 dim_F(Fⁿ), dim_F(P_n(F)) 以及 dim_F(F^S) (S 為 finite set) 為何嗎?

又若 S 為 infinite set, 如何說明 F^S 不是 finite dimensional F-space?

Question 1.21. 設 V 為 finite dimensional F-space 且令 dim(V ) = n. 若 S^′⊆ V 為 linearly independent 及 S^′′⊆ V 為 V 的一個 spanning set, 則 #(S^′) 和 #(S^′′) 與 n 的關係為何?

利用 dimension 我們可將 Proposition 1.5.4 化為以下形式.

Corollary 1.5.9. 令 V 為一個 finite dimensional vector space over F 且 S^′⊆ V. 我們有以 下的等價關係.

(1) S 是 V 的一組 basis.

(2) S 是 V 的一個 spanning set 且 #(S) = dim(V ).

(3) S 是 linearly independent 且 #(S) = dim(V ).

Proof. 令 dim(V ) = n. 若 S 是 V 的一組 basis, 依定義 S 為 V 的 spanning set 且 S 為 linearly independent. 又由 dimension 的定義知 #(S) = dim(V ). 故 (1)⇒ (2) 且 (1) ⇒ (3).

(2)⇒ (1): 對任意 S^′( S, 我們有 #(S^′) < #(S) = n. 若 Span(S^′) = V , 由 Lemma 1.5.6 知 任意 n 個元素所成的集合皆不可能為 linearly independent, 此與 dim(V ) = n 相矛盾. 故知 Span(S^′)̸= V 因此由 Proposition 1.5.4 ((2) ⇒ (1)) 得證 S 為 V 的一組 basis.

(3)⇒ (1): 對任意 S^′′) S, 我們有 #(S^′′) > #(S) = n. 因 dim(V ) = n 表示 V 中存在一個有 n 個元素的 spanning set, 由 Lemma 1.5.6 知 S^′′必為 linearly dependent. 因此由 Proposition

1.5.4 ((3)⇒ (1)) 得證 S 為 V 的一組 basis. 

若 V 是一個 finite dimensional F-space, 而 W 是 V 的 F-subspace, 是否 W 也是 finite dimensional F-space 呢? 要注意, 雖然 W⊆ V, 且存在一個 finite set 為 V 的 spanning set, 但這並不代表可以找到一個 finite set 為 W 的 spanning set.

Question 1.22. 試舉出一例, 其中 V 為 vector space, W 為其 subspace 且 Span(S) = V , 但 是 Span(S∩W) ̸= W.

以下我們要說明若 V 是一個 finite dimensional F-space, 而 W 是 V 的 nontrivial F- subspace, 則 W 也是 finite dimensional F-space. 我們直接找 W 的一組 basis 並說明這組 basis 的元素個數小於 dim(V ). 首先因為 W̸= {O} 故存在 v1∈ W 且 v1̸= O. 考慮 S1={v1}.

依定義 S₁ 是 linearly independent. 若 Span(S1) = W , 則得到 S1 為 W 的一組 basis; 而若 Span(S₁)̸= W, 則任取 v2∈ W \ Span(S1). 令 S₂={v1, v₂}. 依 Lemma 1.5.3, S2 亦為 linearly independent. 若 Span(S2) = W , 則得到 S2 為 W 的一組 basis; 而若 Span(S2)̸= W, 我們再 加 v₃∈ W \ Span(S2) 得 S₃={v1, v₂, v₃}, 由 Lemma 1.5.3 知 S3 亦為 linearly independent.

如此一直下去得 S₃, S₄, . . . 其中 S_i 皆為 linearly independent. 若這個步驟無法停止 (即對 所有 n∈ N 皆無法得 Span(Sn) = W ) 表示對任意 n∈ N, 在 V 中皆存在有 n 個元素的集 合 S_n 是 linearly independent. 但 V 是 finite dimensional vector space, 若 n > dim(V ), 依 Lemma 1.5.6 知 Sn 不可能是 linearly independent. 因此這個步驟一定要停止, 亦即存在 一個 m≤ dim(V) 使得 Span(Sm) = W 也就是說 S_m 是 W 的一組 basis, 故 W 亦為 finite dimensional F-space. 我們有以下之結果.

Theorem 1.5.10. 若 V 為一個 finite dimensional F-space 且 W 為 V 的一個 nontrivial F-subspace, 則 W 亦為 finite dimensional F-space, 且 dim(W ) < dim(V ).

Proof. 前面已證得 W 為 finite dimensional F-space. 現假設 S 為 W 的一組 basis, 因 S 為 linearly independent, 由 Lemma 1.5.6 知 dim(W ) = #(S)≤ dim(V). 若 #(S) = dim(V), 則 由 Corollary 1.5.9 ((3)⇒ (1)) 知 S 亦為 V 的一組 basis, 得 W = Span(S) = V. 此與 W 為 nontrivial subspace 相矛盾, 故知 dim(W ) < dim(V ).  在 Theorem 1.5.10 的證明過程中, 我們找 W 的 basis 的方法並不是像 Theorem 1.5.5 中 找 V 的 basis 的方法. 主要的原因是 Theorem 1.5.5 中, 我們已知 V 有一組 finite spanning set S, 所以我們可以利用扣除一些 S 的元素且保持 spanning set 方法, 這樣一直縮小到無 法再縮小為止, 便找到一組 basis. 而 Theorem 1.5.10 由於事前我們尚未知 W 是否為 finite dimensional, 所以我們改由從 W 中一組 linearly independent 的子集合設法加入元素且保 持 linearly independent, 這樣一直擴大到無法再擴大為止, 然後就可以找到一組 basis. 事實 上以後我們要找到 finite dimensional vector space 的 basis, 從這兩個方向著手都可以. 也 就是說在 finite dimensional vector space 中我們都可以將一個 linearly independent set 擴 大成為一組 basis; 也可以將一個 spanning set 縮小成為一組 basis. 我們有以下之結果.

18 1. Vector Spaces

Theorem 1.5.11. 假設 V 為一個 finite dimensional F-space. 若 S^′⊆ S^′′⊆ V, 其中 S^′ 為 linearly independent 而 S^′′ 為 V 的 spanning set, 則 V 有一組 basis S 滿足 S^′⊆ S ⊆ S^′′. Proof. 我們在 S^′ 中逐一加入 S^′′\ S^′ 的元素使其仍保持 linearly independent. 由於 V 是 finite dimensional vector space, 由 Lemma 1.5.6 知不可能一直如此將 S^′ 擴大下去. 我們令 加入元素到最後不能再擴大的集合為 S, 也就是說 S^′′\ S 中的元素都在 Span(S) 中. 依假設 S 為 linearly independent, 所以我們要證明 Span(S) = V , 亦即 Span(S) = Span(S^′′). 然而依 S 的選取方式, S^′′\ S ⊆ Span(S), 故 Corollary 1.3.4 告訴我們這是成立的.  我們再強調 Theorem 1.5.11 中 S 的選取並不一定是唯一的, 但是 S 中元素個數是固定 的, 即為 dim(V ).

Question 1.23. 你知道為什麼 Theorem 1.5.11 的證明不利用將 S^′′ 縮小的方法找到 V 的 basis 嗎?

Exercise 1.3. Let Pn(F) ={anxⁿ+···+a1x+a0| ai∈ F} and let F[x] be the set of polynomials with coefficients in F.

(1) Let f0(x)̸= 0, f1(x), . . . , fn(x)∈ Pn(F) with deg( fi(x)) = i, for i = 0, . . . , n. Prove that { f0(x), f₁(x), . . . , f_n(x)} is a basis of Pn(F).

(2) Show that F[x] is a vector space over F, but is not a finite dimensional vector space over F.

Exercise 1.4. Let V be a finite dimensional vector space over F and let U,W be subspaces of V .

(1) Show that max{dim(U),dim(W)} ≤ dim(U +W) ≤ dim(U) + dim(W).

(2) Prove that dim(U +W ) + dim(U∩W) = dim(U) + dim(W).

(3) Suppose dim(V ) = 8, dim(U) = 7 and dim(W ) = 5. Suppose further that W * U.

Show that dim(U∩W) = 4.

Exercise 1.5. Let F^′ be a subfield of F.

(1) Prove that F is a vector space over F^′.

(2) Suppose that F is finite dimensional over F^′ and V is a finite dimensional vec- tor space over F. Prove that V is a finite dimensional vector space over F^′ and dim_F′(V ) = dim_F(V ) dim_F′(F).

———————————– 29 September, 2017