以對數律為例談數學操作練習

科學月刊【數‧生活與學習】專欄 9903

以對數律為例談數學操作練習

單維彰‧99 年 2 月 13 日

在高中數學課程綱要文件中，經常提起某些課題不宜過度操作，避免人工化的難 題；同樣的建議也散見於許多教師研習的演講和文件中。高中數學課程中以及校 內的評量中，數學考題的深度與複雜度，有時候已經困難到反而「考試領導教學」

是一句好話：校內的形成性或總結性評量題目，不必超過大考（學測數學、數學 甲、數學乙）題目太多。現在，我要以「對數律」為例，申訴基本操作練習的意 義和本質，並且對於「人工化難題」的來源，提出一點個人的觀察心得。

所謂對數原本只是一個記號，就好像平方根

4

是那個平方等於 4 的正數的

2 8

記號，而「以 2 為底 8 的對數」 是那個使得 的次方等於 的數的記號。

如果已經忘記了高中課本的對數內容，可以讀本欄 95 年 3 月〈相看兩不厭〉關 於指數和對數的簡短介紹。 我們知道

log 82

從基本的乘法，

4

是 2，而 是 3。但 是，一般的平方根或對數，就沒那麼簡單，例如

log 82

7 或

，

個重要的 log 72

略 10

；它們需要大量計 算來估計其近似值。以 10 為底的對數稱為常用對數 省 不寫，例如 log 7 表 示使得 10 的次方等於 7 的數。高中課本提供常用對數的近似值表格，但是這不 是本期要談的重點，讀者只要知道這些記號都能算出估計值就好了。

由對數的定義，以及稱為「指數律」的指數計算規則，對數符合幾

計算規則，稱為「對數律」。因為

a

log

b

就是10^a  的意思，所以合併寫在一

b

log10^a 起就是所謂的還原公式（b>0）：

 或者

a

10^logb 

b

從指數律和還原公式就能導出以下三條對數律（a>0、b>0）：

l

僅以第一條為例，示範推論的過程：

其中第二個等號是因為指數律，其他兩個等號都是因為還原公式。

以上五條公式就是學習對數的入門操作，需要熟練。就像小學一年級必須熟 一位數的乘法（也就是九九乘法），三年 級必須熟練兩位數除以一位數的除法，…；數學中不乏這類沒什麼大道理，卻因 為實用之所需而應該盡量熟練的課題。對於成年的讀者，應該明白，不只數學如 口到晶圓廠 og(

ab

)log

a

log

b

log

a

ⁿ 

n

log

a

log( / )

a b

log

a

log

b

log log log log

log(

ab

)log(10 ^a10 ^b)log(10 ^{a b})log

a

log

b

練 20 以內的加減，二年級必須熟練兩個

此，工作、生活和娛樂中所遇的各種課題，還不都是如此？從刷牙漱

的三百道製程，哪一樣不是同時需要理論的架構以及熟練的操作？理論的學習和 練習，以及操作的學習和練習，在內涵與形式上，都是不一樣的。

所謂操作練習，簡稱「操練」，對應英文的 drill 或 drilling。就是那種「沒什 麼道理，反覆練習就會熟能生巧」的事情。從煎荷包蛋到做直式乘法到罰球線投 籃，都屬於這種事。體育教練不會因為我第一球投不進，就指導我退一步再投；

再投不進，再退一步。可是，數學的操練題目，卻可能一題比一題難。

在台灣的中學課堂內，關於對數律的操練題目有多難？我想要留到下個月再

4. (a)

(b)

舉例，但是經歷過的人應該都有概念。以下，讓我拿出美國的微積分課本，看看 人家的操練題目像怎樣？這些都是非常暢銷而儼然「標準」的微積分課本。

先看 Stewart Calculus 第 6 版，在 7.3 對數函數那一節，習題 3—8 求以下數 學式的值。（第 5 題其實設計得不好：兩小題並不「匹配」。）

3. (a)

log 1000 (b) ₁₀ log 4 ₁₆

100

ln e log 81 3

5. (a)

₅ 1

log 25 (b)

e

^ln15

6. (a)

log 0.1 (b) ₁₀ log 320 log 5₈  ₈

7. (a)

log 6 log 15 log 20₂  ₂  ₂ (b) log 100 log 18 log 50₃  ₃  ₃

8. (a) e

^{2ln 5} (b)

l

^e10

)

再看 as Calculus 底 節，習題 1—4

n(ln(e

Thom 第 11 版，在 7.4 一般 之對數函數那一 要求簡化數學式。

1. a.

5^{log 75}

b.

8^{log8 2}

c.

1.3^log1.375

d. e. f.

₄ 1

log ( )

4 4

log 16

log

₃

3

log 7_

 2. a.

2^{log 32}

b.

10^{log(1/ 2)}

c.

d.

log 1₁₁ 21

e.

log₁₂₁11

f.

₃ 1 log ( )

9

3. a.

2^log4x

b.

9^log3x

c.

log 2₂ ^{sin x}

4. a.

25^log53x2

b.

log 3₃ ^x

c.

log 2₄ ^exsinx

一般底之對數函數那一節，習題

求對數的值，

再看 Larson Calculus 第 6 版，在 5.5 1—4 5, 6 改寫為對數等式，7, 8 改寫為指數等式。

1. ₂1

log g .

8 2. lo ₂₇9 3. log 1₇ 4 1 log_a

a

23  (b) 8 ¹ 1

3 3

 

6. (a)

27^2/39

5. (a)

(b)

7. (a)

(b)

163/4 8

8. (a)

₃1 log 2

9   (b) ₄₉ 1 log 7

 2 log 0.01 2 log_0.58  3

因為篇幅所限，我不能毫無節制地舉例。相信這三冊「暢銷」微積分教科書 的基本操練習題，讓許多讀者覺得簡單得「可笑」。但是，它們畢竟是近乎「標

（美國教科書習慣先以微積分

。觀察這些操練題，是否和台灣數學課 我個人先後在台灣和美國受教育，而我認同美國教科書對於 題的看

，學生有 ，而教師也可能有「迷思」

」的主要來源。

教師

題目，適當地用於總結性評量或許有意義，但是在形成性評 量中

多難度 準」的大學用書，而且還是第五章或第七章的內容

定義自然對數，然後才導出一般底對數）

堂中的習題很不一樣？

「操練」

法：基本、大量、不會一題比一題難、不要求學生全部做完。

數學的學習過程中 「迷思」 。教師的迷思

可能來自於大環境的壓力，可能繼承於所謂的傳統，也就是台灣的數學教學典 範。我猜想，數學教師的迷思之一，就是『題目必須一題比一題難』。對於操練 型的題目而言，實在不必如此。試想，學生如果不會第一題，也許費了好大力氣 懂了第一題；然後做第二題，但是題目變難了，又不會。依此類推，學生豈不是 永遠追不上題目？

一題比一題難的效果，在內功深厚的教師之間傳承了三、五年之後，就出現 了「超級版」的難題。這些難題，很可能就是所謂「人工化難題

們在命題的技巧與深度上，精益求精，本來是專業成長的喜事。但是也該切 記，教師的功力與日具增，而我們的學生，卻永遠都是懵懂的新手啊！

教師的迷思之二，可能是『題目必須融通，不可平鋪直敘』。而操練型的題 目，應該維持在「直接」的層次上，給學生大量的練習，以達到熟練的目的。那 些融通了的、包含了兩種以上步驟的題目，的確「效率」比較高，做一題等於做 三題。但是，這樣的

，實在應該避免。

教師傾向使用效率高的題目，可能是為了節省題目的數量。而這項傳統可能 有兩個來源：第一，以前命題不易，刻鋼板很累，影印又不方便。這個理由現在 幾乎消失了。第二，又是一個迷思：『題目一定要做完』。我們可以提供很

類似的「操練」題目給學生，卻不一定每個人都要做完。操練的題目就像無窮級 數，根本沒有做「完」的一天。資質好或預習足夠的同學，也許只要在腦中默算 就好；而需要更多練習的同學，則有足夠多難度相差不多的題目，供他反覆練習。

下一期，我將延續這個主題，舉出更多實例來探討高中數學課堂內的現象。