43224 ××= ⇒−−= C 63!4!723 ！！ ⇒−= 64!963 ！！

高雄市明誠中學 高二數學平時測驗 日期：93.05.07 班級

範

圍 2-4 組合(2)+Ans

座號

姓 名 一. 填充題(每題 10 分)

1、 方程式x+ + + ≤y z u 9之正整數解之個數為____________

答案答案：：x′+ + + + ＝y′ z′ u′ t 5之非之非負負整整數數解解為為H₅⁵ =C₅⁹ =126

2、 從 6 名男人，5 名女人中選取 4 人，其中至少 2 名為男人，1 名為女人，試問共有多少 選法？___________

答案答案：： (Ⅰ(Ⅰ))：：22男男22女女，， ； ； (Ⅱ(Ⅱ))：：33男男11女，女， ，， 由(由(ⅠⅠ)) ((ⅡⅡ))共共252500種種

6 5

2 2 150

C C = C C₃⁶ ₁⁵ =100

3、 甲、乙、丙等六位同學排成兩排拍照，每排 3 人，其中甲、乙要排在前排，丙要排在 後排，則共有_______種排法。

答

答案案：：C C₁³ ₂²× × =3! 3! 108

4、 將”freeze”一字中的字母全取而排列之，其中三個”e”字母不完全相鄰的排列法有_______

種，又三個”e”字母不完全分開亦不完全相鄰的排列法共有_______種。

答

答案案：：((11))全全 − − ee全相全相鄰鄰 6

4! 96

⇒ − =3！

！

(2(2))全全 − − ee全部全部分分開開 − − 全相全相鄰鄰 6 ₃⁴

3! 4! 72 3

C

⇒ −！ − =

！

5、 將 a, b, c, d, e, f 六件不同的禮物分給甲，乙，丙三人，則 (1)每人各得二件的方法有______種。

(2)若 a, b 禮物只能分給同一人，且每人各得 2 件，則分法共有______種。

答

答案案：：((11)) ^6!

2!2!2!=9090 (2(2)) ₁^{3 4!}

C ×2!2!=1818

6、 有 3 個罐子及四種不同的調味醬，每個罐子，只能選一種調味醬倒入，任一種調味醬 均有足夠的份量倒 3 罐，則

(1)若罐子不同，每罐內調味醬也不同，則其方法有_______種。

(2)若罐子不同，每罐內調味醬可以相同，則其方法有_______種。

(3)若罐子相同，但每罐內調味醬不同，則其方法有_______種。

(4)若罐子相同，每罐內調味醬可以相同，則其方法有_______種。

答案答案：：((11))P₃⁴ =4 3 2× × =24 (2(2))4³ =64 ((33))C₃⁴ =4 (4(4))H₃⁴ =C₃⁶ =20

7、 將 6 名學生分配住進完全相同的兩間寢室，每室住 3 人，則共有_______種住法，若將 寢室編號為 101 室與 102 室，則共有_______種住法。

答案答案：：((11))

6 3

3 3 10

C C =2

！ (2(2))

6 3

3 3 2! 20

C C × =2

！

第 1 頁

8、 一平面上有相異 10 點，任 3 點不共線，以這些點為頂點的三角形共有_______個，用 這些點共可決定_______條直線。

答案答案：：((11))C₃¹⁰ =120 (2(2))C¹⁰₂ =45

9、 (1)5 個相同的球，在地上分成三堆，則其分法有_______種。

(2)5 個不同的球，在地上分成三堆，則其分法有_______種。

(3)5 個相同的球，任意分給甲、乙、丙三人，則其分法有_______種。

(4)5 個不同的球，任意分給甲、乙、丙三人，則其分法有_______種。

答案答案：：((11))5=(5, 0, 0), (4,1, 0), (3, 2, 0), (3,1,1), (2, 2,1)，5，5種種 (2(2))

5 2 1 5 3 1

5 5 1 5 2 3 1 1 2 2 1

5 4 1 3 2 41

2! 2!

C C C C C C C

+

C C

+

C C

+ + = (

(33))H₅³ =C₅⁷ =21 ((44))3⁵ =243

0

10、由五對夫妻中任選三人組成委員會，但規定夫妻不得同時當選，共有_______種選法，

若五對夫妻中恰有一對李姓夫妻，則李先生或李太太至少有一人當選的方法有_____種。

答

答案案：：((11))C₃⁵×2³ =8

(2(2))李李姓姓夫夫妻妻恰恰有有一一人人當當選選：：C C₁² ₂⁸ =56，李，李姓姓夫夫妻妻都都當當選選：：C₁⁸ =8共共6464種種

11、設 5 件玩具分給 3 人，每人至少一件，依下列情形，方法各有多少？

(1)玩具不同______。(2)玩具相同______。

答案答案：：((11))3⁵−C₁³⋅ +2⁵ C₂³⋅ =1⁵ 151500；；((22))H_{5 3}³₋ =6 6

12、將 7 個蘋果分給甲、乙、丙、丁四個人

(1)7 個蘋果全部分完，每人可兼得亦可不得，共有幾種分法？_________

(2)7 個蘋果可以不全部分完，也可以完全不分出去，每人可兼得亦可不得，有幾種方法？

_________

(3) 7 個蘋果全部分完，其中甲至少得 1 個，乙至少得 2 個，丙、丁可兼得亦可不得，共 有幾種分法？________

答案答案：：((11))H₇⁴ =C¹⁰₇ =C₃¹⁰ =120種種。。

(2(2))相相當當於於全全部部分分給給「「甲甲、、乙乙、、丙丙、、丁丁、、戊戊」」五五個個人人。。 共共有有H₇⁵ =C₇¹¹=C₄¹¹=330種。種。 (3(3))先先分分給給甲甲11個，個，乙乙22個，個，剩剩下下77 −− 11 −− 22 == 44個。個。

全

全部部分分完完，，有有H₄⁴ =C₄⁷ =C₃⁷ =35種種分分法法。。

13、將英文字“mathematical”的字母，取出 3 個，共有多少種取法？又有幾種不同的排列法？

答案答案：：((11))7788種種 ((22))440000種 種

解析解析：：字字母母有有aa,,aa,,aa,,mm,,mm,,tt,,tt,,hh,,ee,,ii,,cc,,ll共十共十二二個個

第 2 頁

取

取法法 排列排列數數 三三同同 11 3!

1 1

× =3!

二二同同一一異異

C C

₁³ ₁⁷ =21 3!

21 63

×2!= 三三異異

C

₃⁸ =56 56 3! 336× = 合合計計 7878 404000

取

取法法7788種，種，排排列列法法440000種。種。

14、試求滿足下列各條件的 n 之值。

(1) C₇ⁿ =C₃ⁿ

n

=__________ (2) C¹¹_n+1=C¹¹_2n−5

n

= ________

答

答案案：：((11)) n

n

== 77 ++ 33 == 1100

(2(2)) n

n

++ 11 == 22n

n –

– 55或 或 (n(

n

++ 11)) ++ ((22n

n –

– 55)) == 1111，，故故

n n

== 66或或

n n

== 55。。

15、從“A,A,A,A,A,B,B,B,C,C,D,E”中任取四個字母為一組，共可得幾組？任取四個字母的直 線排列共有幾種？

答 答案案：：

組合組合數數 排排列列數數 四四同同 1 1 4

1 1

× =4！

！ 三三同同一一異異

C C

₁² ₁⁴ =8 4

8 32

× =3！

！ 二

二同同二二同同

C

₂³ =3 4 3 18

×2 2！=

！！

二二同同二二異異 ^{3 4}

1 2 18

C C

= 4

18 216

× =2！

！ 四四異異

C

₄⁵ =5 5 4! 120× =

組合組合數數為為3355，，排排列列數數為為383877

16、將「庭院深深深幾許」七個字作一直線排列，其中三個「深」字不完全分開的排列法 共有幾種？

答案答案：：以以全全部部的的排排列列數數扣扣去去三三個個「「深深」」字字完完全全分分開開的的排排列列數數。。 7! 4!

3!− ×C₃⁵= = 884400 –– 224400 == 660000

17、從一副撲克牌中，抽出其中 5 張，這 5 張同花的情形共有幾種？

答案答案：：44種種花花色色，，選選出出一一種種：：C₁⁴= = 44；；選選中中花花色色之之1313張牌張牌中中再再抽抽出出其其中中55張：張：C¹³₅ = = 11228877 總共總共有有C₁⁴×C₅¹³ =5148種。種。

第 3 頁

18、將 6 個蘋果分給甲、乙、丙、丁四個人。

(1) 6 個蘋果全部分下去，每人可兼得亦可不得，共有幾種分法？

(2) 6 個蘋果可以不全部分完，也可以完全不分下去，每人可兼得亦可不得，共有幾種 分法？

(3) 甲至少得 1 個，乙至少得 2 個，丙、丁可兼得亦可不得，共有幾種分法？

答案答案：：((11)) H₆⁴==C₆⁹= = 8844種。種。

(2(2)) 相當相當於於全全部部分分給給「「主主人人、、甲甲、、乙乙、、丙丙、、丁丁」」五五個個人人。。 共有共有H₆⁵==C₆¹⁰= = 221100種種。。 (3(3)) 先分先分給給甲甲11個，個，乙乙22個，個，剩剩下下66 –– 11 –– 22 == 33個。個。

這這33個再個再分分下下去去，，有有H₃⁴==C₃⁶= = 2200種分種分法法。。

如果如果剩剩下下的的33個可個可以以不不全全部部分分完完，，則則有有H₃⁵==C₃⁷= = 3355種分種分法法。。 19、以凸八邊形的整條對角線為邊的三角形共有幾個？___________

(以以對對角角線線為為邊邊，，是是指指以以「「整整條條」」對對角角線線為為邊邊，，不不可可以以以以對對角角線線的的一一部部 分為分為邊邊))

答案答案：：

所求所求三三角角形形的的三三頂頂點點都都是是原原八八邊邊形形的的頂頂點點。。可可作作 == 5566個。個。 這這5566個三個三角角形形的的邊邊都都是是原原八八邊邊形形的的邊邊或或對對角角線線。。扣扣除除含含有有原原來來 兩邊兩邊的的三三角角形形以以及及原原來來一一邊邊的的三三角角形形，，剩剩下下的的就就是是三三邊邊都都是是原原來來 的對的對角角線線的的三三角角形形。。

8

C3

(1(1))含含原原來來兩兩邊邊的的三三角角形形，，如如前前頁頁圖圖所所示示之之△△A

AB BC C,

, △△F

FG GH H

等等等等，，共共有有88個。個。 (2(2))含含原原來來一一邊邊及及兩兩對對角角線線的的三三角角形形，，如如前前頁頁圖圖所所示示之之△△A

AB BD D,

, △△E

EG GH H

等，等，有有

個。個。故故所所求求之之三三角角形形共共有有5566 –

8 (8 4)× − =32 – 88 –– 3322 == 1166個。個。 20、9 個相同的球任意分給甲、乙、丙三人，其中

(1)甲至少 1 球，乙至少 2 球，丙至少 2 球，則其分法有多少種？

(2)若改為其中一人至少得 1 球，另外 2 人至少得 2 球，則其分法有多少種？

答

答案案：：((11))H₄³ =C₄⁶ =15

(2(2))9=(6, 2,1), (5, 3,1), (5, 2, 2), (4, 3, 2), (4, 4,1), (3, 3, 3) 3! 3! 3!

3! 3! 3! 25

2! 2! 3!

+ + + + + =

21、將 8 名學生分配住進 A, B 兩寢室，每室住 4 名，共有幾種分配法？

答案答案：：共共有有

8 4

4 4 2! 70

2!

C

×

C

× = 種分種分配配法法。。

22、設 表從 1，2，3，4，5，6，7，8，9 中任取相異三數，其積為奇數之方法總數，而 b 表任取相異二數，其和為奇數之方法總數，則

( ) (A)36 (B)10 (C)5 (D)25 (E)125。

( ) (A)10 (B)15 (C)20 (D)25 (E)30。

a

a

=

b

=

答案答案：：((11))((BB)) (2(2))((CC))

解析解析：：((11))奇奇數數相相乘乘才才可可得得奇奇數數 ∴∴a=C₃⁵ =10 (

(22))一一奇奇一一偶偶相相加加其其和和為為奇奇數數 ∴ ∴ b=C C₁⁵ ₁⁴ =20

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