數學(C)卷 106-4-C

106-4共同科目 數學(C)卷 詳解

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106 學年度四技二專第四次聯合模擬考試 共同科目 數學(C)卷 詳解

數學(C)卷 106-4-C

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 D A D B D C C B A C D B A C B D A B C C A B C D A

1. 2 ² 3 ₃ 1 _{3 2}

( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

x x A B C

x

x x x

 

  



  

2 2

2x 3x 1 A B x( 1) C x( 1)

       

令x 代入，得2 A B C   2 2²    3 2 1 3 故選(D)

2.

1

12 (2 )2 12 26 64

a   

1

12 (4 )4 12 43 64

b   

1

12 (3 )3 12 34 81

c   

∵c¹²a¹²b¹²，且a1，b1，c1

∴ c a b  ，故選(A) 3. ³ 2₂ ⁷

(x )

x 的展開式中，x⁶項為 ₃^{7 3 4} 2₂ ³ ( ) ( ) C x  x

∴所求係數為C₃⁷2³ 35 8 280  ，故選(D) 4. 由題意可知函數圖形如下

故a ；又0 3 0 2

b

 a   ，得b 0 (0) (6) 0

c f  f  ；圖形與 x 軸有 2 交點 得b²4ac ，故選(B) 0

5. 由題意得圖形如下

得BAC60 ，ABC75 ，ACB45

由正弦定理， 200

sin 60BC sin 45

 

200 3

100 6 2 2

2

BC   _，故選(D)

6. 方程組有異於( , , ) (0 , 0 , 0)x y z  _的解 即此方程組有無限多組解

∴

1 2 1 2 1 3 0 4 5 k



  

24 ( 10) ( 4) 15 4 0

k k

          k 1 故選(C)

7. ^{30 3 2 4 7 10 13 88}

1 k k

i ^ i i i i i i



      



3 2 3 2 3 2

( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 1

   i i i    i i i      i i i  i 0 7 i 1 1 i

      _，故選(C)

8. C_：x²y²2x6y 5 0(x1)²(y3)²5 得圓心(1 , 3) ，半徑為 5

∵C與L交於相異兩點

∴圓心到L_{的距離  半徑}

2 2

|1 6 |

5 | 7 | 5 1 ( 2)

k k

      

 

5 k 7 5 12 k 2

          ，故選(B) 9.

2 2 1

lim( )

2 1 2 1

n

n n n

n n



 

  

2 2

( )(2 1) ( 1)(2 1) lim (2 1)(2 1)

n

n n n n n

n n



    

  

3 2 3 2

2

(2 3 ) (2 2 1)

lim 4 1

n

n n n n n n

n



     

 

2 2

4 1

lim 1

4 1

n

n n n



  

  

 ^，故選(A)

10. sin 23 cos 323  sin113 sin 217 

sin 23 cos(360 37 ) sin(90 23 ) sin(180 37 )

           

sin 23 cos 37 cos 23 ( sin 37 )

      

sin 23 cos37 cos 23 sin 37

     

sin(23 37 ) sin 60 3

       2 _，故選(C) 11. 令 (1 , 1)_，  2

、 、 的關係如下圖

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則 、 所張成的三角形面積為1| 5 3 | 4 1 1 2

 

∵ ，且

∴所求 4 2 2 8 2   _，故選(D) [另解]

(4 , 4)

  _， 4 2

故所求 1

4 4 2 8 2

  2 

12. 新數值資料的平均數、眾數、中位數皆會比舊數值資 料增加 10，但是標準差及全距不變，因此不變的有

和  ，故選(B)

13. 由題意知雙曲線中心亦為 (1, 2) ，且為上下型

2 25

c  ，a² 25 9 16  b²  9 方程式為：( 2)² ( 1)² 1

16 9

y  x  _，故選(A) 14. f x( ) 3 x⁴8x³6x²24x 5

3 2

'( ) 12 24 12 24

 f x  x  x  x 12( 1)( 1)( 2)

 x x x

當 ( )f x 為遞減時， '( ) 0f x  解 '( ) 12(f x  x1)(x1)(x2) 0

1

   或1x   ，故選(C) x 2 15. 令 f x( )x⁵ax²bx 1

∵ ( ) 0f x  有二個相異的有理根

∴ ( )f x 有二個一次有理因式(整係數一次因式) 由整係數一次因式檢驗法，得 ( )f x 的一次因式為

1

x ，即有理根為 1 或1

∴ (1) 0 1 1 0 1

( 1) 0 1 1 0 1

     

  

 

          

  

f a b a

f a b b

得 2a b      ，故選(B) 2 1 ( 1) 1 16. 設另一根為_{，由根與係數關係}

(1 )

(1 ) 2

i k

i





   

    











由  ，得 2 (1 ) 1

1 i i

 ^ i      

 代入 

得k  ，故選(D) 2i 17. f x y( , )kx y

可行解區域頂點為 (1, 1) 、 (2 , 3) 、 ( 1 , 4)

則 (1, 1)f   ， (2 , 3) 2k 1 f  k ， ( 1 , 4)3 f     k 4

由題意得：

2 3 1 2 2 3 4 1

3 k k k

k k k

 

  

 

       

  ，故得k 2

故選(A)

18. log (₂  x) log (2₄ x 3) log₄x²log (2₄ x3)

2 2 3

x x

   (底數大於 1)

2 2 3 0 ( 1)( 3) 0

x x x x

            1 x 3 又真數   x 0 x 0，真數2 3 0 3

x     x 2

由

1 3

0 1 0

3 2 x

x x

x

  

     



  



，故選(B)

19. a⁵⁰為 15 位數loga⁵⁰14b_，其中0 b 1 則 ^{25 50 12} 1 ⁵⁰ 1

log log( ) log (14 )

2 2

a^  a ^   a    b 7 ( 1 )

2b

    _，其中 1 1 0 2 2b

    8 (1 1 )

2b

    _，其中1 1

1 1

2  2b 得loga^25首數為8

∴a^25在小數點後第 8 位開始不為 0，故選(C) 20. 設擲出 x 次偶數點，y次奇數點，由題意得：

6 1

1 ( 1) 4 5

x y x

x y y

  

 

        

 

即點數出現為 5 奇 1 偶，則依此奇、偶的排列有 6! 6

5! 1!

 種情形，又奇數點每次有 3 種可能，偶數點 也是 3 種可能，共有6 3  ⁵ 3 4374種情形，故選(C) 21. 令x    1 t x t 1_，dx dt

則





1 5 4 6 5 1

0 0

1 1

( ) ( )

6 5





1 1 11

( ) (0 0)

6 5 30

     ，故選(A)

22. 黑隊勝利的取球情形為(黑 , 黑)、(黑 , 黃 , 黑)、(黃 ,  黑 , 黑)

所求 4 3 4 8 3 8 4 3 13 12 11 12 11 10 12 11 10 55

         故選(B)

23. 設 b ar ，c ar ²，d ar³，其中r0為公比 則可知

(A) 為首項1

a，公比1

r的等比數列 (B) 為首項a²，公比r²的等比數列 在(C)中，將後項除以前項，得：

2 2 2

  b

b a

a ，2 2

2

  c

c b b

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∵c b ar r  (  與1) b a a r  (  未必相等 1)

∴ 2 , 2 , 2 , 2^{a b c d}未必為等比數列 在(D)中， logblogarlogalogr

logclogbrlogblogr logd logcrlogclogr

∴ log , log , log , loga b c d 為 公 差 是 log r 的 等 差 數 列，故選(C)

24. 令 BAD_{，則 }CAD_，BAC2 由 ABC 面積 ABD面積 ACD面積

1 5 13 sin 2

   2 

1 5 sin 1 13 sin

2 2

  AD  AD  

5 13 2sin cos 5 sin 13 sin

     AD AD   5 13 2 cos 5 13

    AD AD 18 26 13

 AD AD 9 ，故選(D) 25. ₁₀₁ ^{1 101} 101 0 ₅₁ 101 0

2 a a

S  a

     

51 0

a  (a₅₁為a₁和a₅₁的等差中項)

1 103

102 0 103 0 103 0 2

a a

S S 

      a₅₂ 0

∴該數列由第 52 項開始為負值，故選(A)