四技二專

四技二專

統一入學測驗

數學（Ａ）

一、試題分析

106 年數學(A)試題除了「三角函數及其應用」5 題、「圓與直線」僅 1 題之外，其 餘章節皆 2 到 3 題，本份試題著重觀念理解，以基本運算、定義判斷取代繁瑣計算，

特別是第 5 題將統計分析以直方圖呈現，檢視學生視圖能力，頗有新意，但整份試卷 算是相當容易拿高分的試卷。

基本公式題：檢視考生是否能清楚題意、熟悉公式。

第 1 題：等差數列與等差級數公式 第 2 題：等比數列公式

第 6 題：斜率公式

第 7 題：一元二次不等式的計算 第 9 題：向量加法與逆向量

第 10 題：除法原理以及利用長除法求解 第 11 題：餘式定理

第 12 題：向量內積公式

第 17 題：圓的標準式與一般式中，圓心與半徑的判斷

基本觀念題：著重考生對各單元觀念的理解。

第 4 題：有向角所在象限的判斷 第 5 題：統計圖表的判讀

第 13 題：指數運算

第 15 題：畫出三角形，分辨出直角三角形中，各角的三角函數值 第 16 題：圖解聯立二元一次不等式

第 18 題：不盡相異物的排列數計算 第 19 題：乘法原理與組合的統整計算

第 22 題：統計量經線性變換後的標準差計算 第 23 題：解析常態分配圖

第 24 題：繪出二元一次不等式圖形之後，利用可行解區域求出目標函數的最大、

最小值。

106 年

稍微有點變化題，但不難

第 3 題：扇形弧長與面積公式的綜合應用

第 8 題：利用銳角三角函數的定義，以正弦函數求出三角形對邊長。

第 14 題：此題須熟悉指對數定義的轉換，方能以簡馭繁，正確解題。

第 20 題： 兩骰子點數和的各種機率命題求解，包括點數和小於 7 的機率、點數 和為 5 的倍數的機率、聯集與交集的綜合運算。

第 25 題： 期望值的運算，首先須求出各種狀況的機率，再進一步利用期望值公 式求解，本題不難，但計算稍多，考生須耐心、細心計算。

二、配分比例表

單元名稱 題數 單元名稱 題數

直線方程式 1 圓與直線 1

三角函數及其應用 5 數列與級數 2

向量 2 排列組合 2

式的運算 2 機率與統計 5

指數與對數及其運算 2

不等式及其應用 3

數學 A 參考公式

1. 在半徑 r 的圓內，圓心角θ （弧度）所對應之扇形 弧長 S rθ= 。

面積 1 ² A= 2r θ 。

2. 首項為a ，公差為 d 的等差數列前 n 項之和為₁

(

(

) )

n 2

n a n d

S + −

= 。

首項為a ，公比為₁ r （r ≠ ）的等比數列前 n 項之和為1 ¹

(

)

1

n n

a r

S r

= −

− 。 3. 平均數 μ 、標準差σ 的常態分佈圖

4. 設有一組抽樣資料x x₁, , ,₂ x ，其算術平均數為 x ，則樣本標準差為 _n

( )

1

1

n i i

x x n

=

−

−

∑

單選題（每題 4 分，共 100 分）

( ) 1. 今有一等差數列 a ，若前二項為_n a = 、₁ 3 a = ，則此數列前16項之和₂ 2 S = ₁₆ (A) 80− (B) 72− (C) 64− (D) 56− 。

( ) 2. 已知 a 、b 為實數，若 a 、 2、3、b 為一等比數列，則 a b+ = (A) 4 (B) 31

6 (C) 35

6 (D)7 。

總 分

106

數學(A)

( ) 3. 設某扇形之弧長為 a 公分且其面積為b 平方公分，若 2a b= ，則此扇形之半 徑為多少公分？

(A)1 (B) 2 (C)3 (D) 4。

( ) 4. 四個有向角分別為甲： 640− °、乙：123° 、丙： 275°、丁： 640° ，則哪幾 個有向角在標準位置上是第四象限角？

(A)甲、乙 (B)丙、丁 (C)甲、丁 (D)乙、丙。

( ) 5. 某幼兒園班上25位小朋友身高分佈之直方圖如圖(一)。今班上轉出一位身高 116公分之小朋友，轉入一位身高113公分之小朋友，則此時班上小朋友身 高分佈之直方圖為何？

圖(一)

(A) (B)

(C) (D)

( ) 6. 求過坐標平面上兩點

( )

(

)

(A) 5− (B) 1

− (C)15

5 (D)5 。

( ) 7. 下列何者為一元二次不等式7x²−48x− > 的解？ 7 0 (A) 1

x −< 7 或x > (B) 17 7 7 x

− < < (C)x < − 或7 1

x > (D)7 7 1 x 7

− < < 。

( ) 8. 有一鐵鏈長度為 2 公尺的鞦韆，若一小朋友於鉛直方向兩側 擺動圓心角各20° 至 A、 B 二點如圖(二)，則線段 AB 長為多 少公尺？

(A) 4sin 20° (B) 2sin 40° (C) 4cos20° (D) 2cos40° 。 ( ) 9. ABC△ 中，若向量^{AB =}

(

)

( )

(A)

(

) (

)

(

) (

)

( ) 10. 已知 a 、b 為實數，若x³+ax²+bx− 有因式6 x²− + ，則 a bx 3 + = (A) 2− (B)0 (C) 2 (D) 4。

( ) 11. 已知 a 為實數，若多項式 ^{f x}

( )

(A) 7− (B) 5− (C) 3− (D) 1− 。

( ) 12. 設兩向量 ^{a = −}

(

)

(

)

(A) 1− (B)0 (C)1 (D) 2。

( ) 13. 已知 a 、b 為實數，若 32 2= 且 1^a 2 8

= ，則 a bb + = (A) 2− (B) 1− (C)1 (D) 2。

( ) 14. 若log₈ 1

a = ，則2 log₂ 2

⎛ ⎞ =a

⎜ ⎟⎝ ⎠ (A) 1

6 (B) 1

4 (C) 1

3 (D) 1 2。

( ) 15. 在 ABC△ 中，已知∠ = ° ，A 90 sin 3

B = ，則sin5 A+tanB+cosC= (A) 27

20 (B) 29

15 (C) 47

20 (D) 44 15 。

( ) 16. 下列聯立不等式中，何者之圖解如圖(三)陰影的部分？

(A) 1 0 x y x y+ ≥

⎧⎨ − ≥

⎩ (B) 1

0 x y x y+ ≤

⎧⎨ − ≥

⎩ (C) 1

0 x y x y

⎧ + ≥

⎨ − ≤

⎩ (D) 1

0 x y x y

⎧ + ≤

⎨ − ≤

⎩ 。

( ) 17. 設圓C1 :

(

) (

)

圓C₂ : x²+y²−12x−6y+20 0= 的半徑為r ，若₂ C 與₁ C 二圓心的距離為₂ d ，則d r r− − = _{1 2}

(A)3 (B) 4 (C)5 (D)6 。

圖(三) 圖(二)

( ) 18. 由 2 、 2 、3、3、 4 、 4 、 4 這七個數字排成一列，則共可排成多少個不同 的七位數？

(A)140 (B) 210 (C)350 (D) 420 。

( ) 19. 某餐廳推出之套餐包含二種不同的配菜、一種主菜及一杯飲料。若有四種 配菜、三種主菜及五種飲料可供選擇，則共可搭配出多少種不同組合的套 餐？

(A)12 (B)15 (C)60 (D)90。

( ) 20. 投擲二粒公正骰子，設事件 A是點數和小於7 的事件；事件 B 是點數和為5 的 倍數的事件，求^{P A B}

(

)

(A) 1

9 (B) 5

36 (C) 1

3 (D) 1 2。

( ) 21. 若y=sin 2x的週期為 a ，y=2sinx的週期為b ，則a+2b= (A) 2π (B) 4π (C)5π (D)6π 。

( ) 22. 有50個數值資料x x₁, , ,₂ x ，現將每個數值均乘以0.6 再加上40 後，得到₅₀ 新的50個數值資料0.6x₁+40, 0.6x₂+40, , 0.6x₅₀ +40。若新資料的標準差 為15，則原資料x x₁, , ,₂ x 的標準差為何？ ₅₀

(A)9 (B) 25 (C) 49 (D)65。

( ) 23. 某次數學考試共有1000人參加。若成績呈常態分配，且平均數為62分，標 準差為8分，則成績低於70分的人數為何？

(A)介於581人與660 人之間 (B)介於661人與740 人之間 (C)介於741人與820 人之間 (D)介於821人與900 人之間。

( ) 24. 在聯立不等式 0 6

2 2

x y y

x y

⎧⎪ − ≤≤

⎨⎪ − ≥

⎩

的條件下，若^{f x y}

( )

m

M m

(A) 2 (B) 4 (C)6 (D)8。

( ) 25. 某公司年終尾牙摸彩活動，將10 顆大小、重量皆相同的球放在袋中，其中 有3顆紅球、 6 顆白球、1顆金球。假設每顆球被取出的機率相等，每位員 工自此袋中取出兩球，給獎規則如下：

(1)取出兩球之中有金球者為特獎，可得 20000元獎金；

(2)取出兩球均為白球者為貳獎，可得 2400 元獎金；

(3)取出兩球為一紅球、一白球為參獎，可得1000元獎金；

(4)取出兩球均為紅球者，則沒有獎金。

若依上述規則進行抽獎，則每位員工得到獎金的期望值為多少元？

(A)5200 (B)5400 (C)5600 (D)5800。

106 年統一入學測驗 數學(A)

本試題答案係依據統一入學測驗中心於 106 年 5 月 8 日公布之標準答案

1.

(1) 等差數列公式：

( )

1 1

an= + −a n d

(2) 等差級數前 n 項和公式：

( )

2 1 1

n 2n

S = ⎡⎣ a + −n d⎤⎦

由a2= + −a1

(

)

⇒ 2 3 1 d= + × 得d = − 1

故 16 16 2 3 16 1

( ) ( )

2.

等比數列第 n 項公式：a_n= ×a r₁ ⁿ⁻¹

若 a 、 2 、3 、b 為一等比數列

則 3

r = 2

且 2 ar= ⇒ 2 3 a 2

= × 得 4 a = 3 3

b= r ⇒ 3 3

b = × 得2 9 b = 2

所以 4 9 35

3 2 6 a b+ = + =

3.

扇形弧長S rθ= ，面積 1 ² A=2r θ 設扇形圓心角為θ ，半徑為 r 則 1 2

2 a r b r

θ θ

⎧⎪ =

⎨ =⎪⎩

∵ 2a b= ⇒ 2 1 2

2 a r

a r θ

θ

⎧⎪ =

⎨ =⎪⎩  由得

1 2

2a 2r a r

θ

= θ ⇒ 2 1 2r

= 所以r = 4

4.

(1) 象限角觀念：

一： 0° < < ° θ 90 二：90° < <θ 180° 三：180° < <θ 270° 四： 270° < <θ 360° (2) 同界角觀念：

2 1 2n

θ = +θ π（ n 為整數），則θ 與₁ θ 為同₂ 界角

甲： 640 360 2 80− ° + °× = ° ， 0° < ° < ° 80 90 ∴ 第一象限角

乙：123° ⇒ 90 123 180° < ° < ° ∴ 第二象限角

丙：275° ⇒ 270° <275° <360° ∴ 第四象限角

1.B 2.C 3.D 4.B 5.B 6.A 7.A 8.A 9.B 10.C 11.A 12.A 13.C 14.D 15.C 16.A 17.D 18.B 19.D 20.D

21.C 22.B 23.D 24.C 25.A

丁：640 360 1 280° − °× = °，270° <280° <360° ∴ 第四象限角

故

(

)(

)

直方圖的資料整理與次數分配表的繪製

(1)

身高 人數

95

100 2

100

105 5

105

110 7

110

115 7

cm

115

120 4

cm

(2)

其餘不變 故直方圖為圖

(B)

斜率公式：已知兩點A x y 、

(

)

(

)

則過兩點之斜率 ^{2 1}

2 1

m x x⁼ y y⁻⁻

兩點

( )

(

)

由 ^{2 1}

2 1

m x x⁼ y y^{−− ，得}m⁼_{− −}^{5 01 0− = −5} 7.

一元二次不等式

(

)(

)

其解為 x α< 或 x β>

解7x²−48x− >7 0

⇒

(

)(

)

故 1

x < − 或7 x >7

8.

銳角三角函數，sinθ = 對邊 斜邊

由圖，可先求出 AM 在 OAM△ 中，sin 20

2

° = AM

⇒ AM =2sin 20° 故AB =4sin 20°

9.

(1)

(2)

由 AB BC AC+ =

故^{AC =}

(

) ( ) (

) (

)

則^{CA= −AC= −}

(

)

利用除法原理：被除式 = 除式× 商式 + 餘式

3 2 6

x +ax + − 有因式bx x²− +x 3 可利用長除法且其餘式=0

( ) ( )

( ) ( )

2 3 2

3 2

2 2 2

2

3 6

3

1 3 6

2 2 6

3 5 0

x

x x x ax bx

x x x

a x b x

x x

a x b x

−

− + + + −

− +

+ + − −

− + −

+ + − +

餘式為 0 ，則a + = ，3 0 b − =5 0

⇒ a = − ，3 b =5 故a b+ = − + =3 5 2

［另解］

3 2 6

x +ax + − 有因式bx x²− + x 3 可利用長除法且其餘式 0=

( ) ( )

1 2

1 1 3 1 6

1 1 3

1 3 6

2 2 6

0

a b

a b

−

− + + + −

− +

+ + − −

− + −

(

) ( )

(

)

11.

餘式定理： ^{f x 除以 x a}

( )

( )

由餘式定理可知^{f x 除以}

( )

( )

故3 3× + × + × +³ a 3 5 3 62 95² =

⇒ 9a =95 81 15 62− − −

⇒ 9a = − 63

∴ a = − 7

12.

向量內積公式：

(

)

u = x y 、 v =

(

)

則 u v⋅ =x x_{1 2}+y y_{1 2}

由 ^{a = −}

(

)

(

)

得

(

) (

)

⇒

(

)(

)

⇒ x²+ − = x 6 0

⇒

(

)(

)

∴ x = − 或 2 3

故可設α = − ，3 β = ，則2 α β+ = − + = − 3 2 1

13.

指數運算性質：

(1)a¹ⁿ =ⁿa (2)a^mn = ⁿa^m (3) n 1 a n

a

− =

32 2= ⇒ ^{a 25 =}

( )

∴ 5 a = 2 1 2

8

= ⇒ b

( )

3

1 3 2

3 3 2 2

1 1 1 2 2

2 2 2

− b

= = = =

∴ 3

b = − 2

故 5 3 1

2 2

a b+ = + −⎛⎜⎝ ⎞⎟⎠=

14.

log 定義： logab x= ⇔ a^x = b

由log₈ 1 a = 2

可得^{a =812 =}

( )

所求

3 3

2 1

2 2 2 2 2

log log log 2

2 2

a ⎛ ⎞ ⁻

⎛ ⎞= ⎜ ⎟=

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎜⎝ ⎟⎠

1

2 2 1

log 2

= = 2

15.

(1) 銳角三角函數定義：

sinθ = 對邊

斜邊、 cosθ = 鄰邊 斜邊、 tanθ = 對邊

鄰邊

(2) 象限角的三角函數值：

sin 0° = 、sin90 10 ° = 、 sin180° = 、 0 sin 270° = − 1

如圖

sin 3

B = ，可設5 CA = 、3 BC = 5 故AB = 4

則sin tan cos sin90 3 3 A+ B+ C= ° + + 4 5

3 3 47 1 4 5 20

= + + =

16.

二元一次不等式的解區域

: 0

L ax by c+ + = ，a > 0

若ax by c+ + ≥ 圖形為直線 L 及其右側半平0 面

由圖可知其包含直線x y+ = 及其右半部 1 則x y+ ≥ 1

且包含直線x y− = 及其右半部 0 則x y− ≥ 0

故所求為 1

0 x y x y

⎧ + ≥

⎨ − ≥

⎩

17.

圓方程式：

(1) 標準式 ⇒

(

) (

)

圓心

( )

(2) 一般式 ⇒ x²+y²+dx ey f+ + = ， 0

圓心 ,

2 2 d e

⎛− − ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠，半徑1 ^{2 2} 4 2 d + −e f

( ) (

)

1 : 6 2 4

C x+ + y+ = 圓心

(

)

2 2

2 : 12 6 20 0

C x +y − x− y+ = 圓心^⎛⎜⎝^−d₂^,−₂^{e⎞ ⎛}⎟ ⎜⎠ ⎝^{= −−12}₂ ^,−−₂^6⎞⎟⎠⁼

( )

半徑 ₂ 1 ^{2 2} 4 r =2 d + −e f

( ) ( )

1 12 6 4 20 5

=2 − + − − × = 又二圓心距離^{d =}

(

) (

)

∴ d r r− − = − − = _{1 2} 13 2 5 6

18.

不盡相異物「全取」的排列數：

1 2 3 k

m m m+ + + +m n= （第一類有m₁^件，

第二類有m₂^{件，…，第 k 類有}mk^件），

則此 n 件不完全相異物全取的直線排列數為

1 2

!

! ! k!

m mn m

2、2、3、3、4、4、4 全取，排成七位數 共有 7! 210

2!2!3!= 個不同的七位數

19.

(1) 乘法原理：完成一件事有 k 步驟 第一步：m₁^種方法

第二步：m₂種方法

第 k 步：m_k^種方法

可知完成這件事共有m m₁^× ₂^{× ×}m_k ^種

方法

(2) 組合： n 中取m^{的組合方法數（}C ） ⁿm

配菜 4 選 2 ，且主菜3 選1，且飲料5 選1 由乘法原理可知

4 3 5

2 1 1 90

C ×C ×C = （種）

20.

(1) ^{P A}

( ) ( )

( )

(2) ^{P A B}

(

)

( ) ( ) (

)

(1) A ：點數和小於7 的事件

(^和為2) (^{+ 和為3}) (^{+ 和為4}) (^{+ 和為5}) (^{+ 和為6}) ( )^1,1 ( )^1,2 ( )^1,3 ( )^1,4 ( )^1,5

( )^2,1 ( )^2,2 ( )^2,3 ( )^2,4

( )^3,1 ( )^3,2 ( )^3,3

( )^4,1 ( )^4,2

( )^5,1

( )

n A =

( )

P A =

(2) B ：和為5 的倍數

(

) (

)

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

n B =

(3) A B∩ ：即和為5

故^{n A B}

(

)

(

)

(4) ^{P A B}

(

)

( ) ( ) (

)

15 7 4 18 1 36 36 36 36 2

= + − = =

21.

(1) y=sinx的週期為2π (2) y=sinkx的週期為 2

kπ sin 2

y= x的週期為 2

2π π= （ a= ） 2sin

y= x的週期為 2π （ b= ） 故^{a+2b π= +2 2}

( )

22.

一組數值x 為x x1, ,2 , x _n y 為y y₁, ₂, , y _n 其中y ax b_i= _i+ ，則S_y = a S_x

（S 、_x S ：分別為數值 x 、 y 的標準差） _y

將原資料作線性變換 0.6 40

i i

y = x +

則新標準差S_y =0.6S_x 即15 0.6= × S_x 故S =x 25

23.

常態分配之 68 95 99.7− − 法則，

有 68% 的資料落在區間

(

)

低於 70 分的人約占：50% 34% 84%+ =

∴ 1000 84 840

×100=

故選(D)介於821人到 900 人之間

24.

線性規劃的解法步驟：

圖解聯立不等式

⇒ 求出各頂點坐標

⇒ 分別代入目標函數 ^{f x y}

( )

求出最大、最小值

0 0 10 1

6

2 2 0 12 0 x y xy

y

x y yx

⎧ − ≤ ⇒

⎪⎪⎪ ≤

⎨⎪

⎪ − ≥ ⇒ −

⎪⎩

求 ^{f x y}

( )

( )

f = −

( )

f = − = m

( )

f = − =M

∴ M m− = − − − =

( ) ( )

期望值公式： E P M= ×

有金球 均白球 （二白）

一紅

一白 二紅 M 20000 2400 1000 0

P

1 9

1 1

102

C C C

× ⁶₂

102

C C

6 3

1 1

102

C C C

× ³₂

102

C C

‖ ‖ ‖ ‖

9 45

15 45

18 45

3 45

9 15 18 3

20000 2400 1000 0

45 45 45 45

E = × + × + × + ×

5200

= （元）