四技二專

(1)

四技二專

統一入學測驗

數學（Ａ）

一、試題分析

108 年數學(A)各章節出題分配算歷年來最平均的一屆，唯同學最害怕的對數（ log ）一題都沒有，對認真且付出大量時間去弄懂此部分的同學算是一大遺憾！整份試卷的難度較去年差異不大，但有些題目是以往統測，甚至坊間參考書少見的題型，看似不難，但實際計算會發現程度中等以下的學生難以在時間內做完！所以平均分數可能會較去年下降 4～6 分左右。

基本公式題：

第1 題：向量的基本公式代入求解。

第 7 題：簡單的直線排列與機率的結合。

第 8 題：常態分布。

第11題：扇形弧長及面積公式的使用。

第 13 題：多項式乘法，最簡單的一題。

第 16 題：利用斜率公式及兩直線垂直斜率相乘為 1  。第 22 題：簡單的組合題型。

第 23 題：利用圓外一點到圓的切線段長公式求解。

第 25 題：利用  的公式及等差、等比級數求和的公式即可解題。

基本概念題：

第 3 題：基本的任意角三角函數求值。

第 5 題：倍數與次方的應用。

第 9 題：圖表的判讀。

第14 題：最常見的排列題型，只需注意個位數為 0 與個位數非 0 要分開算即可求解。

108 年

(2)

稍微有點變化題：

第 2 題：利用根與係數的關係求解。

第 4 題：利用兩點求向量的觀念即可解題。

第 10 題：因式分解後，利用 sin  的值域判斷即可。

第12 題：利用除法原理及餘式定理解題。

第 18 題：利用相異兩點在直線同側或異側公式解題。

第 21題：列出所有可能情形即可。

第 24 題：等比數列公式。

需思考與計算較難的題目：

第 6 題：利用圓周上的點與 x 軸距離長短判斷。

第 15 題：利用正三角形三邊長相等的觀念解題。

第 17 題：二次函數恆負的條件。

第 19 題：繪出二元一次不等式圖形後，利用可行解區域求出目標函數的最大值。

第 20 題：二次方程式根的性質與立方差公式。

二、配分比例表

單元名稱題數單元名稱題數

直線方程式 2 圓與直線 2

三角函數及其應用 3 數列與級數 2

向量 2 排列組合 2

式的運算 4 機率 2

指數與對數及其運算 1 統計 2

不等式及其應用 3

(3)

數學 A 參考公式

1. 若  、  為一元二次方程式 ax

²

 bx   的兩根，則 c 0 b

    ^ a 、 c

  。 a 2. 首項為 a

₁

，公差為 d 的等差數列，前 n項之和為  2

1

 1  

n

2 n a n d

S  

 。

3. 首項為 a

₁

，公比為

r

（ r  ）的等比數列，前 1 n 項之和為

¹

 ¹ 

1 a r

n

S r

 

 。 4. 常態分配：

單選題（每題 4 分，共 100 分）

( ) 1. 設 ^{a }   ^3,1 ^、 ^{b  }  ^1,2  ^、 ^{c }   ^3,8 ^{，且 c} ^ ^{x a} ^ ^{y b} ^，則

^x

^{ }

^y

(A) 7 (B) 5 (C) 3 (D) 2 。

( ) 2. 已知 a、b 為一元二次方程式 x

²

 7 x  15  的兩根，則下列何者是以 0 2a 、2b 為兩根的方程式？

(A) x

²

 14 x  30  (B) 0 x

²

 14 x  60  (C) 0 x

²

 14 x  30  0 (D) x

²

 14 x  60  。 0

( ) 3. ^{tan 225} ^{ } ^sec  ^{  } ³⁰  ^csc120 ^{ }

(A)1 (B) 1  (C) 4 3

1  3 (D) 4 3 1 3

  。

總分

108

學年度四技二專統一入學測驗

數學 ( A)

(4)

( ) 4. 若 A、B 為直線 3 x  4 y  上相異的兩點，且向量 5 ^AB ^   ^{a b} ^, ^{，則 6} ^a ^ ⁸ ^b ^{ } ⁵

(A)  10 (B)  5 (C) 5 (D) 10 。

( ) 5. 同學在細菌培養的實驗中，發現 A 細菌從開始經 3 小時數目由 500 成長至 600 ，假設 A 細菌呈指數函數成長，試問從開始經 9 小時， A 細菌的數目最接近下列哪一個數？

(A) 720 (B) 864 (C) 1037 (D) 1800 。 ( ) 6. 平面上三個圓方程式，分別為

圓 A ： x

²

 y

²

 4 x  8 y  16  ， 0 圓 B ： x

²

 y

²

 4 x  10 y  19  ， 0 圓

C

：  ^x ^ ¹  

²

^ ^y ^ ³ 

²

^{ ，} ⁴

設三圓的圓心同時以相同速率往 x 軸方向做垂直移動，且 a 、 b 、 c 分別表示圓 A 、 B 、

C

最早碰觸 x 軸所需時間，則下列何者正確？

(A) a b c   (B) a c b   (C)b a c   (D) c b a   。

( ) 7. 幼兒園中從大、中、小班各派二位小朋友共六位，由左向右排成一列玩遊戲，若每位小朋友排在任一位置機率相同，則同班小朋友均相鄰的機率為何？

(A) 1

120 (B) 1

90 (C) 1

30 (D) 1 15 。

( ) 8. 某校高三有 2000 位學生，數學段考成績呈常態分布，平均成績 65 分，標準差 8 分，小明預估成績在高三數學排名介在 3 至 50 名之間，則合乎他預估分數的最接近區間為何？

(A)  ^65,81  ^(B)  ^57,73  ^(C)  ^81,89  ^(D)  ^{87,95 。} 

( ) 9. 國內自 101 年至 105 年藥妝零售業每年銷售額的長條圖，如圖(一)，而其中 105 年藥妝零售業銷售分配圓形圖，如圖(二)，求該年銷售分配比重最高的前二類銷售金額差距為何？（單位：億元）

圖 (一) 圖(二)

(A) 411.6 (B) 394.8 (C) 284.6 (D) 176.4 。

(5)

( ) 10. 已知 sin

²

  cos

²

  3sin   ，且0 1

2  

  ，則  (A) 15 (B) 30 (C) 45 (D) 60 。

( ) 11. 若一扇形的面積為 27 2

 ，弧長為 9 2

 ，則此扇形的圓心角為何？

(A) 4

 (B) 3

 (C) 2 3

 (D) 3 4

 。

( ) 12. 已知多項式 ^{f x 除以}  

^{x }

¹ ^得到商式 ^{g x 以及餘數}   ³ ^，且 ^{g x 除以}  

^{x }

² ^得到

餘數 6 ，則 ^{f x 除以}  

^{x }

² ^{的餘數為何？}

(A) 6 (B) 9 (C) 15 (D) 21。

( ) 13. 將  ^x

⁵

^ ^x

⁴

^ ^x

³

^ ^x

²

^{ } ^x ¹  ^x

²

  展開，可得下列何式？ ^x ¹ 

(A) x

⁷

 x

⁶

 x

⁵

 x

⁴

 x

³

 x

²

  x 1 (B) x

⁷

 x

⁶

 x

⁵

 x

⁴

 x

³

 x

²

  x 1

(C) x

⁷

 2 x

⁶

 3 x

⁵

 3 x

⁴

 3 x

³

 3 x

²

 2 x  1 (D) x

⁷

 2 x

⁶

 3 x

⁵

 3 x

⁴

 3 x

³

 3 x

²

 2 x  。 1

( ) 14. 由 0、1、2、3、4、5、 6 七個數字中取三個相異數字排成三位數的偶數，

則方法有幾種？

(A) 60 (B) 90 (C) 105 (D) 120 。

( ) 15. 已知正三角形

ABC

的三個頂點分別為 ^{A a b 、}   ^, ^{B }  ^1,1  ^、 ^C  ^{1, 1}  ，則 ab  

(A)1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 。

( ) 16. 設直線 L 通過 ^A  ^ ^k ^,2  ^、 ^B  ^1,2 ^{k 兩點，且與直線}  L

2

: x  5 y   互相垂直， 5 0 則 k 

(A) 7

 (B) 3 3

 (C) 7 9

11 (D) 11 9 。

( ) 17. 設 a 為實數，若 ax

²

 2 ax  2 a   的解為任意實數，則下列何者正確？ 3 0 (A)

a  

3 (B)    3

a

0 (C) 0  

a

3 (D)

a 

3 。

( ) 18. 已知兩直線 L

₁

: x  2 y   和 3 0 L

₂

: 2 x    ，若 A、 B 二點在 y 1 0 L

₁

的異側且 A、

C

二點在 L 的同側，其中 A、B、

₂ C

三點坐標分別為 ^A  ^ ^2, ^k  ^、 ^{B k}   ^,3

和 ^C    ，則實數 k 的範圍為何？ ^k ^, ^k 

(A) 1 1 3 k 2

   或3   (B) k 5 1

2   (C) k 5 1 k  3

 或 k  (D)無解。 3

(6)

( ) 19. 某飼料工廠製造一包豬飼料需要大豆 5 公斤、玉米 2 公斤；製造一包雞飼料需要大豆 2 公斤、玉米 3 公斤；此工廠共有大豆 200 公斤、玉米 180 公斤，若每包豬飼料可獲利 22 元，且每包雞飼料可獲利 44 元，試求其可獲得之最大利潤為何？

(A) 2310 元 (B) 2480 元 (C) 2560 元 (D) 2640 元。

( ) 20. 已知 a 為實數，若一元二次方程式  ^a ^ ¹  ^x

²

^ ^{a x}

³

^  ^a

²

   的解為兩相 ^a ¹  ⁰

同實根，則 a 

(A) 3 (B)

³

3 (C) 2 (D)

³

2 。

( ) 21. 甲生忘了金融卡密碼的最後三個數字 abc ，但他記得 a b c   ，均為 1、2、

3、4、5、6 中的數字，且其和 a b c   為 5 的倍數，若甲生依上述條件猜測一組密碼，則甲生猜中的機率為何？

(A) 1

30 (B) 1

5 (C) 1

4 (D) 1 3 。

( ) 22. 由十男十女共二十人中選出十人，其中三個是男生，七個是女生，則有多少種選法？

(A) 120 (B) 14400 (C) C (D) 7! 3!

₁₀²⁰

 。

( ) 23. 若點 ^P   ^{3, 4} ^到圓 ² ^x

²

^ ² ^y

²

^ ⁴ ^x ^ ⁶ ^y   之切線段長度為 ^{1 0} 14 2

a ，則 a  (A) 7 (B) 5 (C) 3 (D) 2 。

( ) 24. 設 a

_k

為公比 2  的等比數列，已知 a a 

_{1 3}

12 ，則 a

₁²

 a

₂²

 a

₃²

 a

₄²

 (A) 219 (B) 237 (C) 246 (D) 255 。

( ) 25.

¹⁰

 

1

2

^k

3 2

k



  



(A) 2229 (B) 2230 (C) 2231 (D) 2232 。

(7)

108 年統一入學測驗數學 (A)

本試題答案係依據統一入學測驗中心公布之標準答案

1.

若 A a a1, 2， B b b1, 2

(1) r A ra ra1, 2（r 為實數）

(2) A B a1b a1, 2b2

(3) A  B ，則a₁ 且b₁ a₂ b₂

∵ c x ay b

∴

    

^3,8 ^^x ^3,1 ^{ }^y ^1,2

 

^ ³^x^^{y x}^, ^²^y



3 3 2

2 8 3

x y x

x y y

  

 

     故x    y 2 3 5

2.

根與係數的關係：

若、 為ax²bx c  之兩根，則 0 : +

:

b a c a

 

  



  



兩根和兩根積

∵a、 b 為x²7x  的兩根 15 0 由根與係數的關係得：

7 15 a b a b

  

   



若一方程式的兩根為 2a 、 2b 則 ² ² ²  ¹⁴

2 2 4 60

a b a b

a b ab

     



   



故方程式為^x²^{ }



¹⁴

 

^x^{ }⁶⁰



^⁰

即x²14x60 0

3.

三角函數值的正負判斷：

 

tan 225sec   30 csc120

¹  ¹

tan 45

cos 30 sin120

   

  

2 2

1 1

3 3

   

4.

若A x y 1, 1、B x y ，則



2, 2



 2 1, 2 1

AB x x y y

設A x y 1, 1、B x y



2, 2



則ABx2x y1, 2y1

∵ A 、 B 在 3x4y 上 5

∴ ¹ ¹

2 2

3 4 5 3 4 5

x y

 

  



 得



2 1

 

2 1



3 x x 4 y y  0

∵^AB^ ^{a b}^,

∴ 3a4b 0 6a 8b 0

   6a8b     5 0 5 5

1.B 2.D 3.A 4.B 5.B 6.A 7.D 8.C 9.A 10.B

11.D 12.B 13.D 14.C 15.C 16.A 17.A 18.A 19.D 20.D

21.C 22.B 23.C 24.D 25.C

(8)

5.

倍數與次方的概念

A 細菌每 3 小時成長600 6 500 倍 5

∴ A 細菌 9 小時後成長

6 3 216 5 125

  

   倍 故 A 細菌數量為 216

500 864

125 個

6.

向x軸做垂直移動就是 y 坐標的移動，圓周 上的點靠x軸愈近則愈快碰觸到x軸

圓方程式：

(1) ^{x h}^  ²^ ^y^^k²^{ ，圓心}^r²  ^{h k}^, ^，

半徑 r

(2) x²y²dxey  ， f 0 圓心 ,

2 2 d e

  

 

 ，半徑為1 ² ² 2 d  e 4f

圓 A ：x²y²4x8y16 0 ^x^² ²^ ^y^⁴²^⁴

圓 B ：x²y²4x10y19 0 x2 ² y5²10 圓 C ：^x^¹ ²^ ^y^³²^⁴

∴圓 A 的圓心M 為₁



^^2,4



^，半徑r 1 2 圓 B 的圓心M 為₂

 

^{2,5 ，半徑}r 2 10 圓 C 的圓心M 為₃ ^{1, 3}^{ ，半徑} r  ₃ 2

由圖得知圓 A 、 B 、 C 與x軸最近距離分別為 2 、 5 10、1

∵向x軸做垂直移動且碰觸x軸

且1 5  10 （距離愈遠需時愈久） 2

∴ a b c 

7.

n個相異物做直線排列的方法數為 !n

3! 2! 2! 2! 48 1 6! 720 15 P   

  

8.

常態分布中，在平均數 2 個標準差之間的人數占全體的 95% ，在平均數 3 個標準差之間的人數占全體的 99.7%

∵第 50 名 50 2000 2.5%

  ，

1 2 2.5% 95%   且第 3 名 3

0.15%

2000 ， 1 2 0.15% 99.7%  

∴小明分數介於平均成績加 2 個標準差及平均成績加 3 個標準差之間

即小明的分數應介於 65 2 8 81   分及 65 3 8  89分之間

故選(C)

9.

直方圖與圓餅圖的圖表判斷

105年銷售分配比重最高的前二類分別為

「化妝保養品」、「藥品及醫療用品」

∴銷售金額差距為

 

1960 47% 26% 411.6億元

(9)

10.

三角函數的平方關係：sin²cos² ， 1 其中 1 sin   1

2 2

sin cos 3sin 1

 

2 2

sin  1 sin  3sin 1

    

2sin2 3sin 2 0

   



^2sin^ ^{1 sin}



^ ²



⁰

   

sin 1

 2

  或 2 （不合， 1 sin   ） 1

∵ 0 2

 

 

∴  30

11.

(1) 扇形弧長  半徑圓心角 (2) 扇形面積 1 ²

( )

 2 半徑 圓心角

扇形面積 1 ²

( )

 2 半徑 圓心角 1

2 (

 半徑 半徑圓心角) 

1

=2半徑弧長 

∵27 1

2    半徑2 9 2



∴半徑 6

又弧長 半徑圓心角

∴9

2   圓心角圓心角為6 3 4

12.

(1) 除法原理： ^{f x}

   

^{g x} ^{Q x}

 

^{R x}

 

^^{f x}

 

^^{g x}

     

^^{Q x} ^^{R x}

(2) 餘式定理： ^{f x}

  

^{  的餘式為}^{x a}



^{f a} 

由除法原理知

  

¹

  

³

f x   x g x  又∵^{g x}

  

^{ }^x ²

  

^{q x} ^⁶

∴^g ² ^⁶

由餘式定理知

  

²



f x   的餘式為x f  2

∴^f

  

² ^{  }^{2 1}

  

^g ² ^{ }³ ^g

 

² ^³

6 3 9

  

13.

逐項展開再同類項合併



^x⁵^^x⁴^^x³^^x²^{ }^x ¹



^x²^{ }^x ¹



7 6 5 4 3 2

x x x x x x

     

6 5 4 3 2

x x x x x x

     

5 4 3 2 1

x x x x x

     

7 2 6 3 5 3 4 3 3 3 2 2 1

x x x x x x x

        故選(D)

14.

乘法原理：完成一件事有 k 步驟 第一步：m 種方法 ₁

第二步：m 種方法 ₂

第 k 步：m 種方法 _k

可知完成這件事共有m₁m₂ m_k種方法

〈法一〉

(i) 個位數為 0 時：

： 6 5 30  種 (ii) 個位數分別為 2 或 4 或 6 時：

： 5 5 3 75   種 30 75 105  種

〈法二〉

任意排列： 6 6 5 180   種

奇數排列：： 5 5 3 75   種偶數排列 任意排列 奇數排列  180 75 105  種

(10)

15.

兩點之距離公式：設A x y 1, 1、B x y 為



2, 2



相異兩點，則AB x2x1 ² y2y1²

∵△ABC為正三角形

∴ ABACBC

^a ¹ ² ^b ¹² ^a ¹ ² ^b ¹²

       

 ² ² ²²

  

即    

   

2 2

1 1 8

a b

    



   





2 2

2 2 6 2 2 6

a b a b

    



   



 4a4b0 a b

 ²



^a²^^b²



^¹²^^a²^^b²^⁶

又∵ a b

∴2a  ² 6 a  ² 3 a  3 b

∴^{ab  }

 

³ ²^³

16.

(1) 通過P x y 1, 1、Q x y 2, 2兩點的直線斜率為 ² ¹

2 1

y y x x



 （其中x₁ ） x₂ (2) 若兩直線L 與₁ L 垂直，則₂

1 2 1

L L

m m  

∵LL₂

∴m_Lm_L2   1 即¹²^{ }^k ^^k² ^{ }^^ ¹⁵^^^{ }¹

2 2 1 5

k k

 

  2k  2 5 5k

 3 k7 7 k  3

17.

若yax²bx 恆為負數，則 c (1)a 0 (2)b²4ac 0

∵^ax²^²^ax^



²^a  的解為任意實數 ³



⁰

即^ax²^²^ax^



²^a^{  恆成立}³



⁰

故 a 0

 判別式^D^{ } ²â²^⁴â²â^{ }³ ⁰

4a²8a²12a 0 4a²12a 0

4a2 3a 0

   ^{a a }



³



^⁰

得a   或3 a 0 由得a  3

18.

(1) P x y 1, 1、Q x y 2, 2在直線

: 0

L ax by c   的同側，則



ax1by1c ax



2by2  c



0 (2) P x y 1, 1、Q x y 2, 2在直線

: 0

L ax by c   的異側，則



ax1by1c ax



2by2  c



0

∵ A 、 B 在L 的異側 ₁

∴^{ }^{2 2}^k^³



^k^{   }^{2 3} ³



⁰





^{ }²^k ¹



^k^{ }³



⁰





²^k^¹



^k^{ }³



⁰

 1

k 2或k 3

又∵ A 、 C 在L 的同側 ₂

∴

 

²^{ } ²



^{ }^k ¹

 ^

     ²^k ^{ }^k ¹

^

⁰





^k^⁵



^{  }³^k ¹



⁰

^k^^{5 3} ^k^{ }¹ ⁰

 1 3 k 5

  

(11)

由

得 1 1

3 k 2

   或 3  k 5

19.

線性規劃的解法：

(1) 圖解聯立不等式，畫出可行解區域，並求出圖形之各頂點坐標

(2) 目標函數之最大值與最小值必發生在可行解區域之各頂點坐標上，將每一頂點分別代入目標函數中，即可求得其最大值與最小值

設製造豬飼料x包，製造雞飼料 y 包

則 0 0

5 2 200 2 3 180 x

y x y x y

 

 

  

  



利潤函數為 ^{f x y}

 

^, ^²²^x^⁴⁴^y

其可行解區域圖形為：

頂點 ^{x y}^, ^A ^0,0 ^B^40,0 ^{240 500}, 11 11

C 

 

  ^D^0,60

 , 22 44 f x y

x y

  0 880 2480 2640

得知最大利潤為 2640 元

20.

(1) a  ，0 ax²bx c  有相等實根，則判0 別式Db²4ac 0

(2) ^a³^{ }¹ ^a^¹



^a²^{ }^a ¹



∵是相同實根

∴判別式^D^

 

^a³ ²^⁴^a^¹



^a²^{  }^a ¹



⁰

^a⁶^⁴



^a³^{ }¹



⁰

a⁶4a³  4 0



 

^a³ ²^⁴^a³^{ }⁴ ⁰





^{a }³ ²



²^⁰

a  ³ 2 即a ³2

21.

列出所有可能之情形

∵ a b c 

且 a b c  為 5 的倍數符合條件的



a b c 情形有： ^{, ,}



 

1,3,6 10 1, 4,5 2,3,5 a b c



   



 



15 4,5,6 a b c  

共四種情形

∴甲生猜中密碼的機率為1 4

（從 4 種情形中找出1 種正確的）

22.

組合：n中取m的組合方法數（C ） ⁿ_m

10 10

3 7 120 120 14400 C C   

(12)

23.

圓方程式：x²y²dxey  ， f 0

 1, 1

P x y 為圓外一點，則 P 到圓的切線段長 為 x₁²y₁²dx₁ey₁ f

∵圓： ² ² 1

2 3 0

x y  x y  2

∴切線段長

2 2 1

3 4 2 3 3 4

       2 9 16 6 12 1

     2

63 126 3 14 14

= 2 2 2 2

  a

∴a 3

24.

等比數列第n項公式：a_n  a₁ rⁿ^¹

∵a₁ a₃ 12

∴a₁  a₁  2 ² 12

a  ₁² 3

則a₁²a₂²a₃²a₄²

 ²

   

² ²

2 2 3

1 1 1 1

a a r a r a r

   

2 2 2 2 4 2 6

1 1 1 1

a a r a r a r

   

 ²  ⁴  ⁶

3 3 2 3 2 3 2

          3 12 48 192

   

255

25.

(1)  

1 1 1

n n n

k k k k

k k k

a b a b

  

  

  

(2)

1 n

k

c n c





  ^（^c^為常數）

(3) 2 1 1

 

1 1 1 1

1 1

n

n a r

a a r a r a r

r

  

    

 (4) ¹ 

1 2 2

n  n n

   

 

10

1

2^k 3 2

k



 



10 10 10

1 1 1

2^k 3 2

k k k

k

  















²¹ ²² ²¹⁰



³ ^^{1 2} ¹⁰^

        

  10 2



¹⁰



 

2 2 1 1 10 10

3 20

2 1 2

   

   



2046 165 20

  

2231

四技二專

四技二專

數學（Ａ）

一、試題分析

基本公式題：

第1 題：向量的基本公式代入求解。

第 7 題：簡單的直線排列與機率的結合。

第 8 題：常態分布。

第11題：扇形弧長及面積公式的使用。

第 13 題：多項式乘法，最簡單的一題。

第 16 題：利用斜率公式及兩直線垂直斜率相乘為 1  。 第 22 題：簡單的組合題型。

第 23 題：利用圓外一點到圓的切線段長公式求解。

第 25 題：利用  的公式及等差、等比級數求和的公式即可解題。

基本概念題：

第 3 題：基本的任意角三角函數求值。

第 5 題：倍數與次方的應用。

第 9 題：圖表的判讀。

第14 題：最常見的排列題型，只需注意個位數為 0 與個位數非 0 要分開算即可求解。

108 年

稍微有點變化題：

第 2 題：利用根與係數的關係求解。

第 4 題：利用兩點求向量的觀念即可解題。

第 10 題：因式分解後，利用 sin  的值域判斷即可。

第12 題：利用除法原理及餘式定理解題。

第 18 題：利用相異兩點在直線同側或異側公式解題。

第 21題：列出所有可能情形即可。

第 24 題：等比數列公式。

需思考與計算較難的題目：

第 6 題：利用圓周上的點與 x 軸距離長短判斷。

第 15 題：利用正三角形三邊長相等的觀念解題。

第 17 題：二次函數恆負的條件。

第 19 題：繪出二元一次不等式圖形後，利用可行解區域求出目標函數的最大值。

第 20 題：二次方程式根的性質與立方差公式。

二、配分比例表

單元名稱 題數 單元名稱 題數

直線方程式 2 圓與直線 2

三角函數及其應用 3 數列與級數 2

向量 2 排列組合 2

式的運算 4 機率 2

指數與對數及其運算 1 統計 2

不等式及其應用 3

數學 A 參考公式

1. 若  、  為一元二次方程式 ax

 bx   的兩根，則 c 0 b

     a 、 c

  。 a 2. 首項為 a

，公差為 d 的等差數列，前 n項之和為  2

 1  

2

n a n d

S  

 。

3. 首項為 a

，公比為

（ r  ）的等比數列，前 1 n 項之和為

 1 

1 a r

S r

 

 。 4. 常態分配：

單選題（每題 4 分，共 100 分）

( ) 1. 設 a    3,1 、 b    1,2  、 c    3,8 ，且 c  x a  y b ，則

 

(A) 7 (B) 5 (C) 3 (D) 2 。

( ) 2. 已知 a、b 為一元二次方程式 x

 7 x  15  的兩根，則下列何者是以 0 2a 、2b 為兩根的方程式？

(A) x

 14 x  30  (B) 0 x

 14 x  60  (C) 0 x

 14 x  30  0 (D) x

 14 x  60  。 0

( ) 3. tan 225   sec     30  csc120  

(A)1 (B) 1  (C) 4 3

1  3 (D) 4 3 1 3

  。

108

數 學 ( A)

( ) 4. 若 A、B 為直線 3 x  4 y  上相異的兩點，且向量 5 AB    a b , ，則 6 a  8 b   5

(A)  10 (B)  5 (C) 5 (D) 10 。

( ) 5. 同學在細菌培養的實驗中，發現 A 細菌從開始經 3 小時數目由 500 成長至 600 ，假設 A 細菌呈指數函數成長，試問從開始經 9 小時， A 細菌的數目最 接近下列哪一個數？

第 16 題：利用斜率公式及兩直線垂直斜率相乘為 1  。第 22 題：簡單的組合題型。

單元名稱題數單元名稱題數

    ^ a 、 c

 ¹ 

( ) 1. 設 ^{a }   ^3,1 ^、 ^{b  }  ^1,2  ^、 ^{c }   ^3,8 ^{，且 c} ^ ^{x a} ^ ^{y b} ^，則

^{ }

( ) 3. ^{tan 225} ^{ } ^sec  ^{  } ³⁰  ^csc120 ^{ }

數學 ( A)

( ) 4. 若 A、B 為直線 3 x  4 y  上相異的兩點，且向量 5 ^AB ^   ^{a b} ^, ^{，則 6} ^a ^ ⁸ ^b ^{ } ⁵

( ) 5. 同學在細菌培養的實驗中，發現 A 細菌從開始經 3 小時數目由 500 成長至 600 ，假設 A 細菌呈指數函數成長，試問從開始經 9 小時， A 細菌的數目最接近下列哪一個數？

：  ^x ^ ¹  

^ ^y ^ ³ 

^{ ，} ⁴

設三圓的圓心同時以相同速率往 x 軸方向做垂直移動，且 a 、 b 、 c 分別表示圓 A 、 B 、

( ) 7. 幼兒園中從大、中、小班各派二位小朋友共六位，由左向右排成一列玩遊戲，若每位小朋友排在任一位置機率相同，則同班小朋友均相鄰的機率為何？

( ) 8. 某校高三有 2000 位學生，數學段考成績呈常態分布，平均成績 65 分，標準差 8 分，小明預估成績在高三數學排名介在 3 至 50 名之間，則合乎他預估分數的最接近區間為何？

(A)  ^65,81  ^(B)  ^57,73  ^(C)  ^81,89  ^(D)  ^{87,95 。} 

( ) 9. 國內自 101 年至 105 年藥妝零售業每年銷售額的長條圖，如圖(一)，而其中 105 年藥妝零售業銷售分配圓形圖，如圖(二)，求該年銷售分配比重最高的前二類銷售金額差距為何？（單位：億元）

( ) 12. 已知多項式 ^{f x 除以}  

¹ ^得到商式 ^{g x 以及餘數}   ³ ^，且 ^{g x 除以}  

² ^得到

餘數 6 ，則 ^{f x 除以}  

² ^{的餘數為何？}

( ) 13. 將  ^x

^ ^x

^ ^x

^ ^x

^{ } ^x ¹  ^x

  展開，可得下列何式？ ^x ¹ 