國立高師大附中 100 學年度第二學期高三數學科(自然組)第一月考試題 一. 單一選擇題:
說明:每題 6 分，共 12 分。每題只有一個最適當的答案，未作答、答錯或多於一個以上的答案，
該題以 0 分計算。
1. 多項式f x( )滿足 f( )1 =2及 f ′( )1 = −1﹐求 2 ( ) ( )
1
lim 1
1
x
x f f x
x
→
−
− ＝
(A) 0 (B)2 (C)−1 (D)5 (E)不存在﹒
2.若n Z∈ ，當n x n≤ < +1時，[ ]x =n，試求limx→3⎡⎣[ ]x −x⎤⎦ ＝
(A) 0 (B)2 (C)−1 (D)5 (E)不存在﹒
二. 多重選擇題:
說明:每題 8 分，共 16 分。每題各有 5 個選項，其中至少有一個選項是正確的，答錯 1 個選項得 4 分，答錯 2 個選項得 2 分，所有選項均未作答，或答錯多於 2 個選項者，該題以 0 分計算。
1. 設 f x′( )表示實係數多項式函數 f x( )的導函數﹐已知y= f x′( )的圖形是一個通過點( )1,0 和點
( )2,0 且開口向上的拋物線﹒試問下列哪些選項是正確的﹖
(A) f x( )一定是三次多項式
(B) f x( )在1< <x 2的範圍內必為遞增
(C) f x( )一定恰有兩個極值
(D) f x( )=0一定有三個實根
(E) f x( )=0在1≤ ≤x 2的範圍內一定有實根﹒
2. 下列敘述﹐哪些是正確的﹖
(A)若 f (x)為實係數多項函數﹐則lim
x→af (x) = f (a) (B)lim
x→a(f (x) －2 g (x)) =lim
x→a f (x) －lim
x→a 2⋅ g (x)
(C) 若 f (x) 為實係數多項函數且在 x = k 有極大值﹐在 x = m 有最小值﹐則 f (k) > f (m)﹒
(D) 若 f (x) < g (x)﹐x ≠ a﹐則lim
x→af (x) <lim
x→ag (x)﹒
(E) 若 f (x) 為實係數多項函數且在定義域中為嚴格遞增函數﹐則 f ' (x) > 0
請翻背面
三. 填充題:
說明:每題 6 分，共 60 分。每題完全答對得 6 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。
1. 設 a﹐b∈ \﹐若f (x) = 2
1, 2
, 2
2
x x
x ax b x x
+ ≤
⎧⎪
⎨ + +
⎪ − >
⎩
﹐且lim2
x→ f (x)存在﹐則數對(a , b)＝
2. 設 a﹐b∈ \﹐若f (x) = 1 1 , 0
, 0
x x x
ax b x
⎧ − − <
⎪⎨
⎪ + ≥
⎩
﹐若 f ′(0)存在﹐則數對(a , b)＝
3. 若 f (x) = 2
(x+1)(x−2)(x−3)﹐則f ' (1) = ____________﹒
4. 令 an =
1
( 1)( 2)
n k
k k
=
+ +
∑ ﹐試求lim n2 n
a n
→∞ 之值為____________﹒
5.求過P(1,2)而與曲線 f(x) = x3 − 3x + 5 相切之直線，切點( , )x y 在坐標軸上，求0 0 ( , )x y0 0
＝ .
6. 設函數 f(x) = ax3 − bx2 + (a2 − 2a − 12)x﹐在 x = − 1 有極小值﹐在 x = 2 時有極大值﹐
求數對(a , b) ＝ ﹒
7.若對任意實數x﹐f(x) = x4 − 6x2 + 8x + a 恆為正數﹐則 a 值的範圍為____________﹒
8. 設 a 、 b 均為單位向量，且其夾角為 60°，x 為一實數，則 lim
x→ 0
| a ＋x b |－| a |
x 的值為 . 9. 求 f (x)＝3x－3－x
3x＋3－x 的值域為 .
10.對任意 x 均使函數 f (x)恆為正值，且 f ( x＋y )＝2f (x) f (y)，若 f ′ (0)＝－2，則 f ′ (x)
f (x) ＝ .
四. 計算作圖題:
說明:每小題 6 分，共 12 分。請清楚的說明作圖與計算的過程，無過程不給分。
1.(1)設y = f (x)的圖形如下圖﹐令 h (x) = f (x2 − 4)﹐試作函數 y = h (x)的圖形﹒
(2)承(1)，k∈ \，試討論k，求方程h (x)−k＝0 相異實根的個數
國立高師大附中 100 學年度第一學期高三數學科(自然組)第一月考答案卷
高三 班座號 號姓名 一.單一選擇題:
說明:每題 6 分，共 12 分。每題只有一個最適當的答案，未作答、答錯或多於一個以上的答案，
該題以 0 分計算。
1 2 D C
二.多重選擇題:
說明:每題 8 分，共 16 分。每題各有 5 個選項，其中至少有一個選項是正確的，答錯 1 個選項得 4 分，答錯 2 個選項得 2 分，所有選項均未作答，或答錯多於 2 個選項者，該題以 0 分計算。
1 2 AC A
三.填充題:
說明:每題 6 分，共 60 分。每題完全答對得 6 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。
1 2 3 4 5 (－1 ,－2 ) 1 1
( , ) 8 2
1 2
1 2
( 0,5 )
6 7 8 9 10 ( －6,－9 ) a>24 1
2 {f x( ) | 1− < f x( ) 1< } －4
四.計算作圖題:
說明:每小題 6 分，共 12 分。請清楚的說明作圖與計算的過程，無過程不給分。
1.(1)設y = f (x)的圖形如下圖﹐令 h (x) = f (x2 − 4)﹐試作函數 y = h (x)的圖形﹒
(2)承(1)，k∈ \，試討論k，求方程h (x)−k＝0 的實根個數 解: (1)f (x) =
1 , 0 2
, 0 x x x x
⎧ ≥
⎪⎨
⎪− <
⎩
x2 − 4 ≥ 0 ⇒ x ≥ 2 或 x ≤ − 2﹐
h (x) =
2 2
1 2, 2 2
2
4, 2 2
x x x
x x
⎧ − ≥ ≤ −
⎪⎨
⎪− + − < <
⎩
或 ﹐得圖如右
(2)k= ∨ >0 k 4兩相異實根 k=4三相異實根
0< <k 4四相異實根 k<0 無實根
