輔仁大學九十六學年度進修學士班入學考試 數學科 試題
＊ 本試題共分兩部分: 選擇題及非選擇題 第一部分: 選擇題(共佔六十分)
說明: (1)共有十二題,每題均為單選題.
(2)每題五分;答錯不倒扣;不作答者,得零分.
1.
(
x2 +x)
⋅(
x+2)
7 的展開式中, x4 項之係數為(A) (C27 + C37)⋅24 (B) C47 ⋅24 (C) C37 ⋅25 +C27⋅24 (D) C27⋅25 +C37 ⋅24 (E) k.
k
Ck 2
7
0 7 ⋅
∑
=2. 設A為一個 2 階方陣且滿足A2 −5A+5I2 =O, 則下列何者為A−I2之反矩陣?
(A) A+I2 (B) I2 −A (C) 4I2 −A (D) A−3I2 (E) 4A−I2.
3. 若已知方程式x2 +3y2 −2x+6y+k+1=0 的圖形為一橢圓,則 值的範圍為何? k (A) k ≠0 (B) k <3 (C) k >3 (D) k =3 (E) 任一實數均可.
4. 若多項式x4 +4x3 +3x2 −1 除以 f
( )
x 之商式為x+2, 餘式為2x−1, 則多項式 f(x)除以 2x−1 的餘式為(A) 8 1 (B)
7 1 (C)
6
1 (D) 5 1 (E)
4 1 .
5. 在ㄧ個有 60 位學生的班級中,男生人數是女生人數的兩倍. 若需 6 位學生做問卷調查,依性別 按人數比例做抽樣, 則班上每位男同學被抽中的機率為
(A) 10
1 (B) 40
6 (C) 20
6 (D) 5 1 (E)
6 1 .
6. 點P
(
3,2,1)
到平面3x+4y+2z =11之距離為 (A) 29 30 (B)29 30 (C)
29 19 (D)
29 11 (E)
29 8 .
7. 若
(
x0,y0,z0)
為方程組 之解, 則 之值為⎪⎩
⎪⎨
⎧
= +
−
= +
−
= + +
10 2 2 3
7 3 2
4 2
z y x
z y x
z y x
3 0 3 0 3
0 y z
x + +
(A) 7 (B) 8 (C) 9 (D) 10 (E) 11 . 8. 假設 uρvρ
, 為平面上兩個向量,其長度分別為 uϖ =4, vϖ =5
, 且 uρ 和 vϖ
之夾角為 30 , 則 ο
uϖ+2vϖ 之值為 (A) 116 (B) 14 (C) 116 3+80 (D) 156 (E) 116+40 3 .
9. 行列式
3 2 1
4 3
2 1
x x
x
x +
之最小值發生在x之值為
(A) 0 (B) 11
− 8 (C) 11
8 (D) 8
−11 (E) 8 11 .
10. 設圓C之方程式為x2 +y2 +2x−4y−4=0, 直線 之方程式為L x− y−2=0, 則下列敘述 何者為真?
(A) 圓心為
(
2,−1)
(B)半徑為 2 (C) 圓 和直線 相交於一點 (D) 圓C L C和直線 沒有交點 L (E) 圓C和直線 相交於兩點. L11. 若等差數列的第 3 項為 7, 第 8 項為 22, 則下列何者為真?
(A)公差為 4 (B) 前 8 項和為 92 (C) 第 21 項為 81 (D)首項為 3 (E) 第 101 項為 303.
12. 8400 的正因數有多少個? (A)20 (B)30 (C)40 (D)50 (E)60.
第二部分: 非選擇題(共佔四十分)
說明: (1)共有三大題,請在「非選擇題答案卷」上作答. 作答時,必須在「題號」欄標明題號.
(2)第一大題為填充題(每格 5 分,共 20 分),第二、三大題為計算證明題(共 20 分),應寫出計算 過程或理由,否則將酌予扣分.
一. 填充題:
＊務必在非選擇題答案卷之第一欄作答,並在前方標上格號(A,B,C,D);不必寫出演算過程.
1. ⎟=
⎠
⎜ ⎞
⎝
∑
⎛ += n
n
n
log 1
1023
1
2 (A) .
2.
( )( )
(
ο++ ο)(
ο++ ο)
=ο ο
ο ο
23 sin 23
cos 20 sin 20
cos
55 sin 55
cos 33 sin 33
cos
i i
i
i (B) .
3. 設ΔABC中, BC邊長為 5, AC邊長為 7, 且 AB 邊長為 8, 則 AB 邊上的高 = (C) . 4. 設θ 為第二象限角,且滿足方程式7+5cos2θ =17sinθ, 則secθ +2tanθ = (D) .
二. 設a為一正數且滿足下列方程式:
3( 3 ) 27
1 3
1+ 1 + =
+a− a a− a
試求 (1) a31 + a−31 之值 (4 分) (2) a+ a−1 之值 (2 分)
(3) a2 + a−2 之值 (2 分) (4) a 之值 (2 分)
三. 「小巴黎」咖啡館黃老闆每週進口咖啡生豆甲型 125 磅, 乙型 75 磅, 烘焙過後均減重 20%, 將 烘焙過後的甲, 乙型咖啡豆以2:1的比例混合製成 A 品牌咖啡, 以2:3的比例混合製成 B 品 牌咖啡. A 品牌每磅售出可獲利 70 元, B 品牌每磅售出可獲利 90 元. 若每週 A, B 品牌咖啡均 售完, 無庫存, 試問黃老闆每週要生產 A, B 品牌咖啡各多少磅, 才能獲得最高利潤? (10 分)
