連續機率分配
7.1 已知Z 為標準常態隨機變數，計算下列機率值：
a. P(0≤Z≤1.83)
b. P(-1.24≤Z≤0)
c. P(Z≥1.35)
d. P(Z≥-1.76)
e. P(Z<1.22)
f. P(Z≤-2.45)
解
a.：P(0≤Z≤1.83)=0.4664b.： − ≤ ≤ = ≤ ≤ =∫01.24× −2 =
Z2
3925 . 0 e )
24 . 1 Z 0 ( P ) 0 Z 24 . 1 ( P
c.：P(Z≥1.35)=0.5−P(0≤Z≤1.35)=0.0885
d.：P(Z≥−1.76)=0.5+P(−1.76≤Z≤0)=0.5+P(0≤Z≤1.76)=0.9608 e.：P(Z<1.22)=0.5+P(0≤Z<1.22)=0.8888
f.：P(Z≤−2.45)=P(Z≥2.45)=0.5−P(0≤Z<2.45)=0.0071
7.2 已知Z 為標準常態隨機變數，求各面積下的 z 值。
a. 落於0 與 z 值之間的面積為 0.4750。
b. 落於0 與 z 值之間的面積為 0.2291。
c. z 值的右邊面積為 0.1314。
d. z 值的左邊面積為 0.6700。
解
a.： ≤ ≤ =∫0Z × − 2 = ⇒ =
Z2
96 . 1 z 4750 . 0 π e
2 ) 1 z Z 0 ( P
∫ × = ⇒ =−
=
≤
≤ Z0 − 2
Z2
96 . 1 z 4750 . 0 π e
2 ) 1 0 Z z ( P
z＝1.96 或-1.96
b.：P(0≤Z≤z)=0.2291⇒z=0.61
61 . 0 z 2291 . 0 ) 0 Z z (
P ≤ ≤ = ⇒ =− z=0.61或-0.61
c.：P(Z≥z)=0.1314=0.5−P(0≤Z≤z)⇒z=1.12
d.：P(Z≤z)=0.6700=0.5+0.1700=0.5+P(0≤Z≤z)⇒z=0.44
7.3 已知Z 為標準常態隨機變數，求下列各情況下的 z 值。
a. z 值的右邊面積為 0.01。
b. z 值的右邊面積為 0.025。
c. z 值的右邊面積為 0.05。
d. z 值的右邊面積為 0.10。
解
a.：P(Z≥z)＝0.01＝0.5－P(0≤Z<z) P(0≤Z<z)＝0.49 z≒ 2.33b.：P(Z≥z)＝0.025＝0.5－P(0≤Z<z) P(0≤Z<z)＝0.475，z＝1.96
c.：P(Z≥z)＝0.05＝0.5－P(0≤Z<z) P(0≤Z<z)＝0.45，z＝1.645
d.：P(Z≥z)＝0.10＝0.5－P(0≤Z<z) P(0≤Z<z)＝0.4，z≒ 1.28
7.4.管理學院的統計學課程其期末考試學生完成時間呈常態分配，平均數為80 分 鐘，標準差為10 分鐘，試問
a. 在一個小時內完成考試的機率是多少？
b. 學生會在60 分鐘到 75 分鐘完成考試的機率是多少？
c. 假設共有60 位學生，而考試時間為 100 分鐘，則有多少學生不能在此時間 內完成考試？
解
X：學生完成時間（分鐘）a.：P(X≤60)=P(Xσ−μ ≤6010−80)=P(Z≤−2)=0.0228 b.：
2852 . 0 0228 . 0 3080 . 0
) 5 . 0 Z 2 ( P 10 )
80 75 σ
μ X 10
80 (60 P ) 75 X 60 ( P
=
−
=
−
≤
≤
−
− =
− ≤
− ≤
=
≤
≤
c.：P(X>100)=P(Xσ−μ >10010−)80)=P(Z>2)=0.0228
60×0.0228＝1.368
∴ 約 2 位同學
7.5 失業率調查為6%，現隨機抽取 100 位具就業能力的人，試問
a. 失業的期望人數是多少人？
b. 失業人數的變異數與標準差是多少？
c. 剛好有9 位失業的機率是多少？
d. 至少有5 位失業的機率是多少？
解
a.：E(X)＝n×P＝100×0.06＝6（人）b.：V(X)＝n×P(1－P)＝100×0.06×0.94＝5.64 64
. 5 ) X ( V
σ = = ≒ 2.37
c.：
0775 . 0
) 48 . 1 Z 05 . 1 ( P
37 ) . 2
6 5 . Z 9 37 . 2
6 5 . (8 P ) 5 . 0 9 X 5 . 0 9 ( P ) 9 X ( P
=
≤
≤
=
≤ −
− ≤
= +
≤
≤
−
≈
=
d.：P(X≥5)≈P(Y≥5−0.5)=P(Z≥ 42.5.37−6)=P(Z≥−0.6)=0.7357
7.6. 某休閒旅館共有120 個房間，其春季有接近 75%的住屋率，請利用常態分配
估算二項機率的方式來回答下列問題。
a. 在某一天該旅館至少有一半的房間有人住的機率是多少？
b. 在某一天該旅館有100 間以上的房間有人住的機率是多少？
c. 在某一天該旅館有少於80 間房間有人住的機率是多少？
解
n＝120，n×P＝120×0.75＝90n×P×(1－P)＝90×0.25＝22.5
a.： ) P(Z 7.27) 100%
5 . 22
90 5 . Z 55 ( P ) 5 . 0 60 Y ( P ) 60 X (
P ≥ ≈ ≥ − = ≥ − = ≥− =
b.： ) P(Z 2) 0.0228
5 . 22
90 5 . Z 99 ( P ) 5 . 0 100 Y ( P ) 100 X (
P ≥ ≈ ≥ − = ≥ − = ≥ =
c.： ) P(Z 2.21) 0.0136
5 . 22
90 5 . Z 79 ( P ) 5 . 0 80 Y ( P ) 80 X (
P < ≈ < − = < − = <− =
7.7. 某運動場參觀棒球賽的人數呈常態分配，平均數10000 人，標準差 2000 人。
a. 觀眾人數介於4000 到 8000 人的機率是多少？
b. 觀眾人數超過15000 人的機率是多少？
解
a.：1573 . 0 ) 1 Z 3 ( P
2000 ) 10000 Z 8000
2000 10000 (4000
P ) 8000 X 4000 ( P
=
−
≤
≤
−
=
≤ −
− ≤
=
≤
≤
b.：P(X>15000)=P(Z>150002000−10000)=P(Z>2.5)=0.5−0.4938=0.0062
7.8. 某項針對企管系畢業生薪資的調查顯示，一個有6 到 9 年經驗的業務部門主
管平均薪資為47,000 元，假設薪資呈常態分配，且標準差為 5,500 元。試問
a. 一個主管薪資在40,000 元到 50,000 元之間的機率是多少？
b. 一個主管薪資少於35,000 元的機率是多少？
c. 一個主管薪資超過 55,000 元的機率是多少？這些有 6 到 9 年經驗的主管 中，前1%的高所得者薪資是多少？
解
a.：6051 . 0
= 2071 . 0 + 3980 . 0
= ) 545 . 0
≤ Z
≤ 27 . 1 ( P
=
500 ) , 5
000 , 47 000 ,
≤ 50 Z 500 ≤
, 5
000 , 47 000 , (40 P
= ) 000 , 50
≤ X
≤ 000 , 40 ( P
b.：
0146 . 0
4854 . 0 5 . 0
) 18 . 2 Z ( P
500 ) , 5
000 , 47 000 , Z 35 ( P ) 000 , 35 X ( P
=
−
=
−
<
=
< −
=
<
c.：
0735 . 0
4265 . 0 5 . 0
) 45 . 1 Z ( P
500 ) , 5
000 , 47 000 , Z 55 ( P ) 000 , 55 X ( P
=
−
=
>
=
> −
=
>
01 . 0 500 ) , 5
000 , 47 Z X
(
P > − =
33 . 500 2 , 5
000 , 47
X− =
X=59,815
7.9. 現有50 題選擇題，每題有 4 種選擇，假設某學生在做了家庭作業後，有 80%
的可能可以答對任何問題。試問
a. 若要答對43 題以上才能得到 A，則該學生有多少可能可以得到 A？
b. 若答對35 到 39 題才能得到 C，則該學生有多少可能會得 C？
c. 若要答對30 題以上才能及格，則該學生有多少可能會及格？
d. 若該學生沒做家庭作業，考試時也只用猜的，則可以猜對30 題以上的機率 是多少？
解
n＝50，n×P＝50×0.8＝40，n×P(1－P)＝8a.： ) P(Z 0.88) 0.1894
8 40 5 . Z 42 ( P ) 5 . 0 43 Y ( P ) 43 X (
P ≥ ≈ ≥ − = ≥ − = ≥ =
b.：
4024 . 0
071 . 0 4738 . 0
) 18 . 0 Z 94 . 1 ( P
8 ) 40 5 . Z 39 8
40 5 . (34 P
) 5 . 0 39 Y 5 . 0 35 ( P ) 39 X 35 ( P
=
−
=
−
≤
≤
−
=
≤ −
− ≤
=
+
≤
≤
−
≈
≤
≤
c.： ) P(Z 3.71) 1
8 40 5 . Z 29 ( P ) 5 . 0 30 Y ( P ) 30 X (
P ≥ ≈ ≥ − = ≥ − = ≥− =
d.：n＝50，n×P＝50×0.25＝12.5，n×P(1－P)＝9.375
0 ) 55 . 5 Z ( P 375 ) . 9
5 . 12 5 . Z 29 ( P ) 5 . 0 30 Y ( P ) 30 X (
P ≥ ≈ ≥ − = ≥ − = ≥ =
