第十六章 树

第十六章 树

主要内容



无向树及其性质



生成树



根树及其应用

16.1 无向树及其性质

定义16.1

(1) 无向树——连通无回路的无向图 (2) 平凡树——平凡图

(3) 森林——至少由两个连通分支（每个都是树）组成 (4) 树叶——1度顶点

(5) 分支点——度数2的顶点

无向树的等价定义

定理 16.1 设 G=<V,E> 是 n 阶 m 条边的无向图，则下面各命 题

是等价的：

(1) G 是树

(2) G 中任意两个顶点之间存在惟一的路径 .

(3) G 中无回路且 m=n1.

(4) G 是连通的且 m=n1.

(5) G 是连通的且 G 中任何边均为桥 .

(6) G 中没有回路，但在任何两个不同的顶点之间加一条新

边，在所得图中得到惟一的一个含新边的圈 .

(3)(4). 只需证明 G 连通 . 用反证法 . 否则 G 有 s （ s2 ）个连 通

分支都是小树 . 于是有 mi=n_i1, ，

这与 m=n1 矛盾 .

证明思路

(2)(3). 若 G 中有回路，则回路上任意两点之间的路径不 惟一 . 对 n 用归纳法证明 m=n1.

n=1 正确 . 设 nk 时对，证 n=k+1 时也对：取 G 中边 e ， Ge 有且仅有两个连通分支 G1,G₂( 为什么 ?) . nik ，由归纳 假设得 mi=n_i1, i=1,2. 于是， m=m¹+m₂+1=n₁+n₂2+1=n1.

) 2 (

1 1











  





s s n

s n

m m

s i

i s

i

i

(1) (2). 关键一步是 , 若路径不惟一必有回路 .

(4)

(5). 只需证明 G 中每条边都是桥 . 为此只需证明命题

“G

是 n 阶 m 条边的无向连通图，则 mn1”.

命题的证明 : 对 n 归纳 .

eE, Ge 只有 n2 条边，由命题可知 Ge 不连通，故 e 为桥 .

证明思路

(5)(6). 由 (5) 易知 G 为树，由 (1)(2) 知， u,vV （ uv ） , u 到 v 有惟一路径，加新边 (u,v) 得惟一的一个圈 .

(6) (1). 只需证明 G 连通，这是显然的 .

) (

2 )

( )

1 (

2 n    d v

 x  n  x

由上式解出 x  2.

定理 16.2 设 T 是 n 阶非平凡的无向树，则 T 中至少有两片树叶 .

无向树的性质

证 设 T 有 x 片树叶，由握手定理及定理 16.1 可知，

例题

例 1

已知无向树 T 中有 1 个 3 度顶点， 2 个 2 度顶点，其余顶点 全是树叶，试求树叶数，并画出满足要求的非同构的无向树 .

解 解本题用树的性质 m=n1 ，握手定理 . 设有 x 片树叶，于是 n = 1+2+x = 3+x,

2m = 2(n1) = 2(2+x) = 13+22+x 解出 x = 3 ，故 T 有 3 片树叶 .

T

的度数列应为 1, 1, 1, 2, 2, 3

，

易知 3 度顶点与 1 个 2 度顶点

相邻与和 2 个 2 度顶点均相邻

例 2 已知无向树 T 有 5 片树叶， 2 度与 3 度顶点各 1 个，其余顶 点的度数均为 4 ，求 T 的阶数 n ，并画出满足要求的所有非同 构的无向树 .

例题

解 设 T 的阶数为 n, 则边数为 n1 ， 4 度顶点的个数为 n7.

由握手定理得

2m = 2(n1) = 51+21+31+4(n7)

解出 n = 8 ， 4 度顶点为 1 个 .

T

的度数列为 1, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 4 ，共有 3 棵非同构的无向 树，如图所示 .

例题

不一定连通，也不一定不含回路，如 图所示

定义 16.2 设 G 为无向图

(1) G 的树—— T 是 G 的子图并且是树

(2) G 的生成树—— T 是 G 的生成子图并且是树

(3) 生成树 T 的树枝—— T 中的边 (4) 生成树 T 的弦——不在 T 中的边

(5) 生成树 T 的余树 ——全体弦组成的集合的导出子

图

16.2 生成树

推论 2 T 的边数为 mn+1.

推论 3 为 G 的生成树 T 的余树， C 为 G 中任意一个圈

，则 C 与 一定有公共边 .

证 否则， C 中的边全在 T 中，这与 T 为树矛盾 .

T

定理 16.3 无向图 G 具有生成树当且仅当 G 连通 .

生成树存在条件

推论 1 G 为 n 阶 m 条边的无向连通图，则 mn1.

证 必要性显然 .

充分性用破圈法（注意：在圈上删除任何一条边，不破坏

连通性）

基本回路系统

定理 16.4

设 T 为 G 的生成树， e 为 T 的任意一条弦，则 Te 中 含一个只有一条弦其余边均为 T 的树枝的圈 . 不同的弦对应的 圈也不同 .

证 设 e=(u,v) ，在 T 中 u 到 v 有惟一路径  _，则   e 为所求的圈 .

设 T 是 n 阶 m 条边的无向连通图 G 的一棵生成树，设

为 T 的弦 . 设 C

为 T 添加弦 e

产生的只含弦

、其余边均为树枝的圈 . 称 C

为 G 的对应树 T 的弦 e

的基本

为

G

对应 T 的基本回路系统，称 mn+1 为 G 的圈秩，记作  (G).

求基本回路的算法：设弦 e=(u,v) ，先求 T 中 u 到 v 的路径 

，再并上弦 e ，即得对应 e 的基本回路 .

基本割集的存在

定理 16.5

设 T 是连通图 G 的一棵生成树， e 为 T 的树枝，则 G 中存在只含树枝 e ，其余边都是弦的割集，且不同的树枝对

应的割集也不同 .

证 由定理 16.1 可知， e 是 T 的桥，因而 Te 有两个连通分支 T

和 T

，令

S_e={e | e

E(G) 且 e 的两个端点分别属于 V(T

和 V(T

， 由构造显然可知 S

为 G 的割集， eS

且 S

中除 e 外都是弦，

所以 S

为所求 . 显然不同的树枝对应的割集不同 .

定义 16.4 设 T 是 n 阶连通图 G 的一棵生成树， e1, e₂, …, e_n1 为 T 的树枝， Si是 G 的只含树枝 ei的割集，则称 Si为 G 的对应 于生成树 T 由树枝 ei生成的基本割集， i=1, 2, …, n1. 并称

{S₁,S₂, …, S_n1} 为 G 对应 T 的基本割集系统，称 n1 为 G 的割 集秩，记作 (G).

基本割集与基本割集系统

求基本割集的算法

设 e 为生成树 T 的树枝， Te 为两棵小树 T

与 T

，令

={e | e E(G) 且 e 的两个端点分别属于 T

与 T

}

则 S

为 e 对应的基本割集 .

解 弦 e, f, g 对应的基本回路分别为

C

=e b c, C

=f a b c, C

=g a b c d, C

={C

, C

, C

}.

树枝 a, b, c, d 对应的基本割集分别为

S

={a, f, g}, S ={b, e, f, g}, S ={c, e, f g}, S ={d, g},

例 3 图 5 实线边所示为生成树，求基本回路系统与基本割集系统

实例

最小生成树

定义 16.5 T 是 G=<V,E,W> 的生成树

(1) W(T)——T 各边权之和

(2) 最小生成树—— G 的所有生成树中权最小的

求最小生成树的一个算法

避圈法（ Kruskal ）设 G=<V,E,W> ，将 G 中非环边按权从小 到大排序： e

(1)

取 e

在 T 中

(2)

查 e

，若 e

与 e

不构成回路，取 e

也在 T 中，否则弃 e

再查 e

直到得到生成树为止 .

例 4 求图的一棵最小生成树 .

所求最小生成树如 图所示， W(T)=38.

实例

16.3 根树及其应用

定义 16.6 T 是有向树（基图为无向树）

(1) T 为根树—— T 中一个顶点入度为 0 ，其余的入度均为

1.

(2) 树根——入度为 0 的顶点

(3) 树叶——入度为 1 ，出度为 0 的顶点 (4) 内点——入度为 1 ，出度不为 0 的顶点 (5) 分支点——树根与内点的总称

(6) 顶点 v 的层数——从树根到 v 的通路长度 (7) 树高—— T 中层数最大顶点的层数

(8) 平凡根树——平凡图

根树实例

根树的画法——树根放上方，省去所有有向边上的箭头

家族树与根子树

定义 16.7 T 为非平凡根树 (1) 祖先与后代

(2) 父亲与儿子 (3) 兄弟

定义 16.8 设 v 为根树 T 中任意一顶点，称 v 及其后代的导 出子

图为以 v 为根的根子树 .

根树的分类

(1) T 为有序根树——同层上顶点标定次序的根树

(2) 分类

①

叉树——每个分支点至多有 r 个儿子

②

叉有序树—— r 树是有序的

③

叉正则树——每个分支点恰有 r 个儿子

④

叉正则有序树

⑤

叉完全正则树——树叶层数相同的 r 叉正则树

⑥

叉完全正则有序树

定义 16.9 设 2 叉树 T 有 t 片树叶 v

, v

, …, v

，权分别为 w

,

, …, w

，称 为 T 的权，其中 l(v

) 是 v

的层数 . 在所有有 t 片树叶，带权 w

, w

, …, w

的 2 叉树中

，权最小的 2 叉树称为最优 2 叉树 .

( )

(

1 i

t

i wil v

t

W



 

最优二叉树

求最优树的算法——

算法

给定实数 w

, w

, …, w

，且 w

w

…w

.

(1) 连接权为 w

, w

的两片树叶，得一个分支点，其权为 w

+

w₂

.

(2) 在 w

+w

, w

, …, w

中选出两个最小的权，连接它们对应 的顶点 ( 不一定是树叶 ) ，得新分支点及所带的权 .

(3) 重复 (2) ，直到形成 t1 个分支点， t 片树叶为止 .

例 5 求带权为 1, 1, 2, 3, 4, 5 的最优树 .

最佳前缀码

定义 16.10 设

, 

, …, 

, 

是长度为 n 的符号串 (1) 前缀——

, 



, …, 



…

(2) 前缀码—— {

, 

, …, 

} 中任何两个元素互不为前缀 (3) 二元前缀码——

(i=1, 2, …, m) 中只出现两个符号，如

0 与 1.

如何产生二元前缀码？

定理 16.6 一棵 2 叉树产生一个二元前缀码 .

推论 一棵正则 2 叉树产生惟一的前缀码（按左子树标

0 ，右子树标 1 ）

图所示二叉树产生的前缀码为

{ 00, 10, 11, 011, 0100, 0101 }

用 Huffman 算法产生最佳前缀码

例 6 在通信中，八进制数字出现的频率如下：

0 ： 25% 1 ： 20%

2 ： 15% 3 ： 10%

4 ： 10% 5 ： 10%

6 ： 5% 7 ： 5%

求传输它们的最佳前缀码，并求传输 10n （ n2 ）个按上述 比

例出现的八进制数字需要多少个二进制数字？若用等长的

（长为 3 ）的码字传输需要多少个二进制数字？

解 用 100 个八进制数字中各数字出现的个数，即以 100 乘各 频率为权，并将各权由小到大排列，得 w

=5, w

=5, w

=10, w

= 10, w

=10, w

=15, w

=20, w

=25. 用此权产生的最优树如图所示 .

求最佳前缀码

01---0 11---1

001---2 100---3

101---4 0001---5

00000---6 00001---7

，

传 10

(n 2) 个

用二进制数字需

2.8510

个，

波兰符号法与逆波兰符号法

行遍或周游根树

对 T 的每个顶点访问且仅访问一次 . 对 2 叉有序正则树的周游方式：

① 中序行遍法——次序为：左子树、根、右子树

② 前序行遍法——次序为：根、左子树、右子树

③ 后序行遍法——次序为：左子树、右子树、根

对图所示根树按中序、前序、

后序行遍法访问结果分别为：

b a (f d g) c e ，

a b (c (d f g) e)

，

b ((f g d) e c) a

用 2 叉有序正则树存放算式

存放规则



最高层次运算放在树根



后依次将运算符放在根子 树的根上



数放在树叶上



规定：被除数、被减数放 在左子树树叶上

算式 ((b+(c+d))a)((ef)(g+h)(ij))

波兰符号法

波兰符号法

按前序行遍法访问存放算式的 2 叉有序正则树，其结果不加 括号，规定每个运算符号与其后面紧邻两个数进行运算，运 算结果正确 . 称此算法为波兰符号法或前缀符号法 . 对上图的 访问结果为

   b + c d a   e f  + g h  i j 逆波兰符号法

按后序行遍法访问，规定每个运算符与前面紧邻两数运算，

称为逆波兰符号法或后缀符号法 . 对上图的访问结果为

第十六章 习题课

主要内容

无向树及其性质



生成树、最小生成树、基本回路系统、基本割集系统



根树及其分类、最优树、最佳前缀码、波兰符号法、逆波 兰符号法

基本要求

深刻理解无向树的定义及性质



熟练地求解无向树



准确地求出给定带权连通图的最小生成树



深刻理解基本回路、基本割集的概念，并会计算



理解根树及其分类等概念



会画 n 阶（ n 较小）非同构的无向树及根树（ 1n6 ）

为树叶数 t

t n

n

k i









2









i

i

t

n m

2

1

t n

i v

d t

n m

k i

i n

i

i k

i

i

    

   





2 1 2

) ( 2

2 2

2

2 )

2 (

3





 

 k i

ni

i t

（ 2 ）

（ 3 ）

从而解出

练习 1

1. 无向树 T 有 n

个 i 度顶点， i=2, 3, …,k ，其余顶点全是 树叶，求 T 的树叶数 .

解 用树的性质：边数 m=n1 （ n 为阶数），及握手定理 .

(1)

2 ．设 n 阶非平凡的无向树 T 中， (T)  k ， k  1. 证明 T 至少

有 k 片树叶 . 证 反证法 .

否则， T 至多有 s 片树叶， s < k ，下面利用握手定理及树 的

性质 m = n1 推出矛盾 .

由于 (T)  k ，故存在 v0 ， d(v0)  k. 于是，

s k

s n

v d n

m

i

i

    





 



) 1 (

2 )

( 2

2 2

1

由此解出 s  k ，这与 s < k 矛盾 .

练习 2

3 ．设 G 为 n 阶无向简单图， n5 ，证明 G G 或 中必含圈 . 本题的方法很多，证明中用： G 与 边数之和为 K

的

边数 ，以及树的性质： m = n1.

G

2 1 (n  ） n

方法一 . 反证法 . 否则 G 与 的各连通分支都是树 . 设 G 与 的连通分支分别为 G

, G

, …, G

和 G

, G

, …, G

. 令

, m

与 n

, m

分别为 G

, G

的顶点数和边数 . 于是

G G

2 2

) ' (

2 ) 1 '

( )

1 (

2 ' ) 1

(

1 1

' 1 1





















 









n s

s n

n n

m n m

n

j

j s

i

i s

j

j s

i

i

得 n

5n+4  0 ，

解出 1  n  4, 矛盾于 n  5.

练习 3

方法二 . 在 G 与 中存在一个，比如说 G ，它的边数

用反证法证明 G 中必含圈 . 比方法一简单 .

G

4 ) 1 ( 

 n n m

方法三 . 不妨设 G 的边数

由于 n5 ，得 mn. 再用反证法证明之，更简单 .

4

) 1 ( 

 n n m

练习 3

4 ．画出基图为图所示无向树的所有非同构的根树

练习 4

以 a, b, c 或 d 为根的根树同构，选 a 为根，则 根树如图 (1); 以 e 与 g 为根的根树同构，

取 g 为根，则根树如图 (2) ； 以 f 为根，如 图 (3) 所示 .

(1) (2) (3)

5 ．设 T 是正则 2 叉树， T 有 t 片树叶，证明 T 的阶数 n=2t1.

方法一 . 利用正则 2 叉树的定义及树的性质直接证明 . (1) n = t+i (i 为分支点数 )

(2) n = m+1 （ m 为 T 的边数）

(3) m = 2i （正则 2 叉树定义）

由 (2) 、 (3) 得 ，代入（ 1 ）得 n = 2t1.

2





练习 5

方法二 . 利用握手定理及树的性质证 .

T

的树根为 2 度顶点，所有内点为 3 度顶点，当然叶为 1 度顶点，有

(1) 2m = 2+3(i1)+t