D1 6极限存在准则

二、 两个重要极限 一、极限存在准则

第六节 极限存在准则及

两个重要极限

第一章

极限存在准则

夹逼准则 ; 单调有界准则 ; 柯西审敛准则 .

a z

y _n

n n

n  







 lim

lim )

2 (

1. 夹逼准则 ( 准则 1)

) ,

2 , 1 (

) 1

( y_n  x_n  z_n n  

a x_n

n 



lim

 



证 :由条件 (2) ,



当n  N_{1 时 ,} y_n  a 



当n  N_{2 时 ,} z_n  a 



令 ^{N  max}









 y a

a _n a 









即 x_n  a 



n 





2, N

例 1. 证明 1 1 2

1

lim ₂1 _{2 2}  



 





 

 

 



 n n







n 

证 : 利用夹逼准则 .



 





 

 









n n_{2 2 2} 1

2 1

1 

 n



n

2 2



 ₂ ² n

n

且 n n



n

n^{ 2} 

2

lim

n  n

 1

lim 1 1







 2

2

lim n n

n 1 ₂

lim 1

n  n

  1

n n

 lim 



 





 

 









n^{2 2 2}

1 2

1

1  1

由

2. 单调有界数列必有极限 ( 准则 2 ) M x

x x

x1  2   _n  _n1   

m x

x x

x1  2    _n  _n1   

) (

lim x_n a M

n  





) (

lim x_n b m

n  





xn x_n1 M

x1 x₂ x

m x_n1x_n x₂ x₁ x a

b

例 2. 设 x_n  (1 ¹_n)ⁿ (n 1, 2,), ^证明数列

 

极限存在 . ^{(P52 ～ P54)}

证 : 利用二项式公式 , 有

n n n

x  (1 ¹)



1

! 2

) 1 (

n n

n 



n n

n

n  



nn

n

n n n

n 1

!

) 1 (

) 1

(   







1 1

) 1

(

1!

n

n



 ( 1 

)  ( 1 

) )

1

(

! 21





( 1 

) ( 1 

)





1 1 xn

) 1

(

1!

n

n



 ( 1 

)  ( 1 

) )

1

(

! 21





( 1 

) ( 1 

)





₁ 1 1

xn ₂¹_!

( 1 

) 

( 1 

)( 1 

)   )

1 ( )

1 )(

1

(

! ) 1 ( 1









  





大 大

正 )

, 2 , 1

1 (  

 x _ n x_{n n}









 (1 ^{1 n}_n) 1 1

xn ₂¹_!

! 31

  

又

比较可知

根据准则 2 可知数列

 

记此极限为 e

, _n ⁿ e

n  



 (1 ) lim ¹

e 为无理数 , 其值为

59045 7182818284

.

 2 e

即

有极限 .









 (1 ^{1 n}_n) 1 1

xn ₂¹_!

! 31

  





1 1 ₂¹ ₂

2



2 1



 

又

 3

21 2

1

1 1 1



 

 ⁿ ₁

2 3  1_

 _n

2. 函数极限存在的夹逼准则 定理 2. 当x ^ (x₀ ,



A x

h x

g x x

x

x  



 ( ) lim ( ) lim

0 0

, ) ( )

(x h x

g  f (x) 

A x

x f

x 

 ( ) lim

0

) 0 ( x  X 

)

(x   (x  )

) (x  

且

sin 1

cos  

x x x

圆扇形 AOB 的面积

二、 两个重要极限

sin 1 lim

.

1 0 

 x

x

x

证 : 当

即 ¹₂sin x  ¹₂ x  ₂¹ tan x

亦即 sin x  x  tan x (0  x  ^₂) )

, 0 ( ^₂



x _时，

) 0

(  x  ^₂ ,

1 cos

lim0 

 x

x sin 1

lim0 

  x

x

x

显然有

△AOB 的面积＜ ＜△ AOD 的面积

D C

B x A

1

x x

x

cos 1 1 sin 

故有

注

例 2. 求 tan . lim0 x

x

x

例 4.求 arcsin . lim0 x

x

x

例 3. 求 ^lim_x0 ^1_x^{cos2 x .}

n n

n R ^



sin cos lim ²



 

R

 n

例 5. 已知圆内接正 n 边形面积 为

证明 : lim A_n R² .

n 







证 : _n

n A



lim

n



n n n R n

A  ² sin ^ cos^

R2





说明 : 计算中注意利用 1

) (

) ( lim sin

0 )

( 

 x

x

x







2 _x ^x e

x  



 (1 ) lim ¹

说明 : 此极限也可写为 z ^z e

z  



)1

1 ( lim0

例 6. 求lim (1 ^{1 x}_x) .

x 





解 : 令t  x, _则



 



x

xlim (1 ¹x) _t ^t

t





 (1 ) lim ¹

lim 1



 

t t

t) 1

(  ¹ e

 1

说明 ：若利用 lim (1 ₍¹ ₎) ^{( )} ,

)

( _x ^x e

x  





 

 则

原式 ^lim









  

 _x ^x e

x

] [

lim

 x

例 7. 求 lim (sin ¹_x cos ¹_x)^x .

x 





解 : 原式 =lim [(sin ¹_x cos ¹_x)²]^2x

x 





)2

sin 1

(

lim ²_x ^x

x 

 

) sin 1

(  ²_x

 e

x 2 x

sin2 2x

sin 1

内容小结

(1) 数列极限存在的夹逼准 则

函数极限存在的夹逼准则

2. 两个重要极限 sin 1

lim )

1

( 0 



 e

 

 1 )

1 ( lim )

2 (

或   e



1

) 1

( lim0

注 : 代表相同的表达式

思考与练习

填空题 ^{( 1 ～ 4 )}

; _____

lim sin .

1 



 x

x

x 1 ____ ;

sin lim

.

2 



 x x

x

; 1 ____

sin lim

.

3 0 

 x x

x 1) ____;

1 ( lim .

4  





n

n n

0 1

0 e