台南一中105學年度第二學期第二次段考高二數學科 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------

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台南一中 105 學年度第二學期第二次段考高二數學科

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一、單一選擇題(共 6 分)

( )1. 聯立方程組

2

2 3 6

3 4 2 8

x y z

+ + =

 + + =

 + + =



，求x²+y²+ 之最小值為_________ z²

(1)0 (2)1

3 (3)5

3 (4)10

3 (5)13 3

二、多重選擇題(共 14 分，錯一個選項得 4 分；錯二個選項得 1 分；其他不給分) ( )2. 空間中一直線 3 4 1

: 1 2 3

x y z

L + = + = −

− − ，下列的各方程式中，何者的圖形也為直線 L ？

(1)

2 6

2 4

6 2

4 6

x y

y z

+ +

 =

 −

 + +

 =



(2)

4 2 2 4 3

x t

y t

z t

= − −

 = − +

 = −



， t 為實數 (3)

4 2 2 4 3

x t

y t

z t

= − +

 = − +

 = +



， t 為實數

(4) 2 10 0 3 2 14 0

x y y z

+ + =

 − + =

 (5) 3 8 0

3 2 14 0 x z

y z + + =

 − + =



( )3. 下列哪些選項中的矩陣經過一系列的列運算後可以化成

1 2 3 8 0 1 2 0 0 0 1 1

 

 − 

 

 

？

(1)

1 2 3 0 1 1 1 0 2 1 4 0

− −

 

− − 

 

 − 

 

(2)

1 2 3 8 0 1 2 0 0 2 3 1

 

 − 

 

 − 

 

(3)

2 1 1 5 1 1 2 3 1 2 3 8

 

− 

 

 

(4)

2 1 2 6 1 1 1 0 0 2 1 2

 

 − 

 

 − 

 

(5)

2 1 3 7 0 1 1 3 0 1 0 2

 

 

 

三、填充題(每格 6 分，共 60 分)

4. .A，B，C 三人參加學歷能力測驗成績如右，三人以此成績去申請 T 大電機系、機械系，生命科學系。假設電機系依國文：

英文：數學：自然為 2：2：3：2 比例評估成績，機械系依國文：

英文：數學：自然為 1：3：2：3 比例評估成績，而生命科學系依國文：英文：數學：自然為 2：2：2：3 比例評估成績問題(1)：三人中電機系申請成績最高分的是________同學問題(2)：C 同學三個科系的申請成績中，最低分的是________

5. 設 2 6 7 3 5 9

A  

=  

 ， 1 3 2

1 4 3

B  − 

= − − ，若矩陣 X 與Y 滿足 2 3 3 X Y A X Y B

 − =

 + =

 則

(1)X = ________ (2)Y = ________

國文英文數學自然 A 12 12 14 15 B 13 12 15 12 C 11 14 13 14

(2)

6. 設

ij 10 5

A a

  ×

=   ，B bij 5 10

 ×

=   ，其中a^ij = + ，i j b_ij = − ，若i j AB= =   ，則C  c_ij c 為________ ³⁴

7. 若矩陣

2 1 1 2

3 2 10

1 2 1 a

b

 

 − 

 

 − 

 

所對應的三元一次方程組有無限多解，則數對 ( , )a b = ________

8. 在空間坐標中，A(1,1,1)， (1, 0,1)B ， P 為平面 :E x+ + = 上的動點，試求 y z 0 (1) AB 在平面E 正射影長為________ (2) AP+BP之最小值________

(3) |AP−BP|之最大值為________

9. 設A 、 B 兩箱中， A 箱內有兩白球， B 箱內有一黑球。甲乙兩人輪流取球，每次先由甲自 A 箱 內任取一球，放入 B 箱內，再由乙自 B 箱內任取一球，放入 A 箱內，這樣稱一局。當第三局結 束時， A 箱內兩球為一黑一白的機率為________

四、計算證明題(共 20 分)

1. 空間中二直線 ₁ 1 3 6

: 4 1 1

x y z

L + = + = −

− ， ₂ 5 1 8

: 2 1 3

x y z

L − = + = − ， (1)求L 與₁ L 的公垂線方程式(注意請以對稱比例式表示)(5 分) ₂ (2)兩直線最短的距離為何？(5 分)

2. .(1)三元一次聯立方程式

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d

+ + =

 + + =

 + + =



有唯一解，若

1 1 1

2 2 2

3 3 3

a b c

∆ = ，

1 1 1

2 2 2

3 3 3

x

d b c

∆ = ，

1 1 1

2 2 2

3 3 3

y

a d c a d c a d c

∆ = ，

1 1 1

2 2 2

3 3 3

z

a b d a b d a b d

∆ = ，試證唯一解為 (∆^x,∆^y,∆^z)

∆ ∆ ∆ (5 分)

(2)聯立方程組

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d

+ + =

 + + =

 + + =



的唯一解為 (4,5,10) ，則方程組

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

3 3 3 3 3

(3 4 ) 5 3 (3 4 ) 5 3 (3 4 ) 5 3 a x b c y c z d a x b c y c z d a x b c y c z d

+ + + =

 + + + =

 + + + =

 組的解為何？(5 分)

(3)